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    Carlos Vamberto de Arajo Martins1

    ROTEIRO PARA DETERMINAO DOS ESFOROS AXIAIS DAS ESTACAS DE IGUALRIGIDEZ, COMPONENTES DE UM ESTAQUEAMENTO.

    1 INTRODUO

    Existem vrios mtodos para determinao de esforos axiaisem estacas, componentes de um estaqueamento, todos eles

    baseados em hipteses simplificadoras e, entre eles, destaca-seo mtodo de SC!E", pelo tratamento matricial dispensado,que facilita sobremaneira a elaborao de pro#ramascomputacionais$

    2 - HIPTESES SIMPLIFICADORAS

    %$& ' ( bloco de coroamento sobe)amente r*#ido em relaoa esbelte+ das estacas, de modo a ne#li#enciar-se suadeformao

    %$% ' Considerar as estacas como se fossem rotuladas no blocode coroamento e no solo

    %$ ' .e#li#enciar a ao do empuxo devido ao solo sobre asestacas

    %$/ ' ( material das estacas obedece a lei de ((0E

    %$1 ' ( esforo axial na estaca diretamente proporcional 2pro)eo do deslocamento total do seu topo sobre o eixoda mesma$

    3 - SISTEMA DE REFERNCIA

    3dota-se um sistema cartesiano espacial, com o eixo 4

    vertical, orientado para baixo, e com o plano formado peloseixos 5 e 6 contendo a cota de arrasamento das estacas, ouse)a, 4i7 8$ 9 :i#$ ! ;

    definido

    - ( ?n#ulo de cravao da estaca, ou se)a, o ?n#ulo @a iA,que fa+ o eixo da estaca com o eixo 4 9 :i#$ !! ;

    - ( ?n#ulo @BiA que fa+ o semi-eixo positivo do eixo 5,com o eixo da pro)eo da estaca no plano 56 9 :i#$!! ;$

    ! ESFOROS EXTERNOS

    >edu+-se o carre#amento externo 2 ori#em do sistema dereferncia, conforme esquema vetorial abaixo =

    1Engenheiro Companhia Docas da Paraba &

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    Carlos Vamberto de Arajo Martins1

    HzHyH ,, - :oras axiais se#undo os eixos 5, 6 e 4,respectivamente

    MzMyM ,, - Domentos se#undo os eixos 5, 6 e 4,respectivamente$

    ara os momentos, utili+ar a re#ra da mo direita$9 "#$#-%&'(#" ;

    3 ori#em 9 o ; deve coincidir com o ponto de aplicao docarre#amento, ou se)a, no centro de car#a dos esforosaplicado 9s ; no9s ; p9s; do9s; pilar9es;$

    ) DESLOCAMENTO E ROTAO

    Como as estacas obedecem a lei de ooFe, teremos para osesforos #enricos axiais, se#undo os eixos das estacas =

    .i7 Si$ li, onde li o encurtamento ou alon#amento de umaestaca Eie Si a ri#ide+ dessa estaca, e dado por =

    i

    iii

    lAE!.

    = , onde =

    Ei' mdulo de elasticidade do material da estaca

    3i' Grea da Seo reta da estaca

    "i' Comprimento da estaca$

    Sob a ao do Sistema de Esforos Externos 9 :i#$ !!! ;, obloco sofrer um deslocamento elstico resultante de umatranslao e uma rotao que referenciados aos eixos 5, 6 e 49 :i#$ !!! ; resultam nas componentes =

    HranslaIes = x,J, +

    >otaIes = x , J , +

    Kemonstra-se que o deslocamento ni da estaca #enrica Ei,na direo do seu eixo ser =

    "#cos$asen$y#senasen$%z

    acos$$yacos$y$acos$z

    #sen$asen$y#cos$asen$n

    iiiiii

    iiiii

    iiiii

    +

    +++

    ++=

    * A +

    Como, em #eral, as estacas, componentes de umestaqueamento de bloco tm a mesma ri#ide+, ento a car#aaxial de uma estaca #enrica i ser =

    ii n& = * +

    ROTEIRO DE CLCULO

    a ; Calcula-se a matri+ de ri#ide+ S, dada por =

    [ ]

    =

    '''(')'*'+'1

    ('((()(*(+(1

    )')()))*)+)1

    *'*(*)***+*1

    +'+(+)+*+++1

    1'1(1)1*1+11

    !!!!!!

    !!!!!!

    !!!!!!

    !!!!!!

    !!!!!!

    !!!!!!

    !

    Esta matri+ simtrica em relao 2 dia#onal principal, esendo n o nLmero da estacas do bloco, teremos para os valoresdos seus termos as expressIes=

    =

    =n

    1i

    +

    ii11 "#cos$a%sen!

    =

    ==n

    1i

    iii

    +

    +11+ "#cos$#sen$a%sen!!

    ===n

    1i

    iii*11* "#cos$acos$a%sen!!

    =

    ==n

    1i

    iiii)11) "#cos$acos$asen$y%!!

    =

    ==n

    1i

    iiii(11( "#cos$acos$asen$%!!

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    =

    ==n

    1i

    i

    +

    i

    +

    iiii

    +

    i'11' "#cos$asen$y#cos$#sen$asen$%!!

    =

    =n

    1i

    +

    ii++ "#sen$a%sen!

    1Engenheiro Companhia Docas da Paraba%

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    Carlos Vamberto de Arajo Martins1

    =

    ==n

    1i

    iii*++* "#sen$acos$a%sen!!

    =

    ==n

    1i

    iiii)++) "#sen$acos$asen$y%!!

    ===n

    1i

    iiii(++( "#sen$acos$asen$%!!

    =

    ==n

    1i

    iii

    +

    ii

    +

    i

    +

    i'++' "#cos$#sen$asen$y#sen$asen$%!!

    =

    =n

    1i

    i

    +

    ** acos!

    =

    ==n

    1i

    i+

    i)**) "acos$y%!!

    =

    ==n

    1i

    i

    +

    i(**( "acos$%!!

    =

    ==n

    1i

    iiiiiiii'**' "#cos$acos$asen$y#sen$acos$asen$%!!

    =

    =n

    1i

    i

    ++

    i)) "acos$y%!

    =

    ==n

    1i

    i+

    ii())( "acos$y%!!

    =

    ==n

    1i

    iiiiiiiii'))' ",#cos$acos$asen$y#sen$acos$asen$%y-!!

    =

    =n

    1i

    i++

    i(( "acos$%!

    =

    ==n

    1i

    iiiiiiiii'((' ",#cos$acos$asen$y#sen$acos$asen$%-!!

    =

    +=n

    1i

    iii+

    ii+

    ii+i

    +ii

    +i'' ,#cos$#sen$asen$y+"#cos$a%seny"#sen$a$%sen-!

    -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    :a+endo =

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    Metor Keslocamento, { }

    =

    z

    y

    z

    y

    D

    Metor Esforos Externos, { }

    =

    z

    y

    z

    y

    M

    M

    M

    .

    .

    .

    E

    Heremos =

    [ ] { } { } { } [ ] { }E!DED! 1 == * C +

    >esolvendo NKO, obteremos os valores de x, J, +, x, J, +,que substitu*dos em * +, tendo em vista *A +resultaro nos valores dos .idas estacas$

    /- SORE A SOLUO DO SISTEMA [ ] { } { }ED! =

    Se)a o sistema de equaIes lineares=

    [ ] { } { }/0A = * D +

    ( determinante normali+ado desse sistema =

    =

    =n

    1i

    i

    "Adet%"Adet%

    , onde,

    ==n

    1j

    +iji a , para i P&,%, $$$, nQ

    Se RRdet93;RR &, o sistema linear dado em * D + considerado Tmal condicionadoT$:ace as hipteses simplificadoras do mtodo de Schiel, osistema dado em * C +tende para essa situao$

    0-EXEMPLO NUMRICO ' Extra*do do 3rti#oC'$'& 45 E"6#75#8596& de Z59:% F:;5:%54& eL:< A'=%54& F:;5:%54&, publicado na >evistaESTRUTURA, n$U V1

    :x 7 W %1888 0#f

    :J 7 8

    :+ 7 W X88888 0#f

    Dx 7 8

    DJ 7 - &88888 0#m

    D+ 7 8

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    QUADRO GERAL

    EST. : X: * 8 + >: * 8 + A: * ? + @: * ? +

    1 -1.) -1.) 1) 22)2 -1.) 1) 2/3 B1.) -1.) 1) 31)! -1.) ) B1.) / -1.) B1.) 1) 13)

    0 B1.) 1) B1.) B1.) 1) !)

    SOLUO

    EST. : N: * ;= + N: * N + ESFORO

    EST. 1 33.2)),3 332,)) C&8%5""&EST. 2 /.!!,1 /!,) C&8%5""&EST. 3 11.))),3 1.1),)) C&8%5""&EST. ! )2.21, )22,1 C&8%5""&EST. ) ./03,1) /,03 C&8%5""&

    EST. 0/.2/),21 0/2,/) C&8%5""&EST. / 33.2)!,3 332,)! C&8%5""&EST. 0 /.!!,1 /!,) C&8%5""&EST. 11.)), 1.1),)/ C&8%5""&

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    Carlos Vamberto de Arajo Martins1

    3 fi#ura acima exibe a tela do pro#rama ESH3Y, de nossa autoria, executando o exemplo numrico proposto$

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