Prof. Luiz Antnio Gouveia

Estatstica Aula 4

Objetivos desta aula Reconhecer as principais medidas de posio central,

seus pontos fortes e fracos;

Encontrar a mdia, a mediana e a moda de uma populao e de uma amostra;

Compreender as razes do uso de medidas de posio central;

Medidas de Tendncia CentralUma medida de tendncia central um valor que representa uma entrada tpica - ou central - de um conjunto de dados.

As trs medidas de tendncia central mais usadas so:

Mdia

Mediana

Moda

Mdia Mais usual das medidas estatsticas;

Relao entre soma e contagem;

Apresenta um valor nico e utiliza todos os dados analisados no seu clculo;

Tipos mais comuns de mdia: Mdia aritmtica simples (dados agrupados e no agrupados);

Mdia ponderada.

Mdia Aritmtica Simples Para dados no agrupados:

Exemplo: o n de jornais vendidos em uma determinada semana em uma banca ocorre na seguinte grandeza: 39, 18, 24, 20, 27, 19, 25. Assim, teramos o seguinte n mdio de jornais vendidos:

x = x1 + x2 + ...+ xnn

=xi

i=1

n

n

Mdia Aritmtica Simples Para variveis discretas agrupadas:

Pmi =li + ls2

x =xi fi

i=1

n

fii=1

n

Para variveis contnuas agrupadas:

1. Calcule o ponto mdio do intervalo de classe:

2. Calcule a mdia dos pontos mdios dos intervalos de classe:

x =Pmi fi

i=1

n

fii=1

n

Mdia Aritmtica Simples Ex.:

Um engenheiro de produo que atuava numa empresa de manuteno de motores de avies, observou nos registros da empresa, que o tempo de mo-de-obra gastos na reviso completa de um motor apresentava-se na seguinte tabela de frequncia:

Para planejar o oramento e a data de entrega de 5 motores, ele deseja saber o nmero mdio de horas de mo-de-obra necessrio para a reviso de cada motor

2610

1814

XiFi

Mdia Aritmtica Simples

2610

1814

2 PASSO: Realizar o somatrio da multiplicao de cada ponto mdio pela frequncia:

1 PASSO: Calcular o ponto mdio de cada classe:

2 x 1 = 26 x 5 = 30

10 x 10 = 10014 x 12 = 16818 x 4 = 72

Mdia Aritmtica Simples3 PASSO: Realizar o clculo final do valor mdio pela frmula:

Interpretao do resultado: Sabendo que o tempo mdio de mo-de-obra para a manuteno de cada motor 11,625 horas, o engenheiro pode realizar os clculos do oramento e do prazo de entrega do servio.

x =Pmi fi

i=1

n

fii=1

n

= 37232

= 11,625h

Ateno!O maior problema no clculo e utilizao da mdia quando a distribuio de frequncias apresenta dados extremos, tambm chamados outliers.Ex.:Um empresa paga um salrio inicial de $ 3.400,00 aos seus analistas de sistemas. muito ou pouco?Coletamos uma amostra de dados em mais 5 empresas.Dados: {$ 3.000; $ 3.500; $ 10.000; $ 3.400; $ 3.100; $ 3.800}Rol: {$ 3.000; $ 3.100; $ 3.400; $ 3.500; $ 3.800; $ 10.000;}

x =xi

i=1

n

n

x = 3000 + 3100 + 3400 + 3500 + 3800 +100006

= 4.466,67

Rol: {$ 3.000; $ 3.100; $ 3.400; $ 3.500; $ 3.800; $ 10.000;}Xx = 3000 + 3100 + 3400 + 3500 + 3800

5= 3.360

Mdia PonderadaNum conjunto de dados em que cada elemento ou cada observao possui a mesma importncia do clculo da mdia aritmtica simples mostraro bem a populao ou a amostra estudada. No entanto, se queremos atribuir pesos distintos ou importncias distintas aos elementos de um conjunto de dados, a estatstica a ser adotada a mdia aritmtica ponderada, em que a cada valor Xi dever ser atribudo um determinado peso Pi.

Ex.:xp =

xi pii=1

n

pii=1

n

Valor do meio do conjunto de dados, quando os valores esto dispostos em ordem crescente ou decrescente; divide um conjunto de dados em duas partes iguais.

Para calcular: Disponha os valores em ordem (crescente ou decrescente); Se o nmero de valores mpar, a mediana o nmero

localizado na posio no rol, calculada atravs da frmula abaixo:

Posio = n +12

Mediana (Md)

Se o nmero de valores for par, convenciona-se que a mediana (Md) a mdia aritmtica dos valores que ocupam as posies centrais;

Neste caso, procede-se da seguinte forma: Calcula-se a posio central, ou seja, Pc = (n/2); Calcula-se a posio seguinte, ou seja, Ps = (n/2)+1.

A mediana (Md) definido com sendo a mdia aritmtica dos elementos que ocuparem as posies anteriormente definidas:

Mediana (Md)

Md =Pc + Ps2

Ex.:para um conjunto de dados: Xi = {6, 9, 3, 5, 2, 9, 5, 5, 8, 7, 1, 7, 2}, em que n = 13, temos primeiro que organizar esses dados em um rol e depois encontrar a posio da mediana para ento saber qual ser a mediana.

Rol Xi - {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9}

Mediana (Md)

Posio = n +12

Posio = 13+12

= 142

= 7 Md = 5

Mediana (Md)Ex.:Para um conjunto de dados Xi = {6, 4, 8, 3, 2, 9, 7, 1}, em que n = 8, temos, ento:Rol Xi = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}

Como fazer? Deve-se tirar a mdia entre os dois valores do meio para obter o valor da mediana.Assim, temos:

Pc =n2= 82= 4 valor Ps =

n2+1= 8

2+1= 4 +1= 5 valor

Md =Pc + Ps2

= 4 + 62

= 102

= 5

o valor que ocorre com maior freqncia.

Quando dois valores ocorrem com a mesma freqncia, cada um deles chamado de uma moda, e o conjunto se diz BIMODAL;

Se mais de dois valores ocorrem com a mesma freqncia mxima, cada um deles uma moda e o conjunto MULTIMODAL ou POLIMODAL;

Quando nenhum valor repetido o conjunto no tem moda (AMODAL).

{2; 2; 3; 4; 4; 5; 7; 7; 8}

Moda (Mo)