Estatística Descritiva -...
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Probabilidade e Estatística Prof. Dr.Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Estatística Descritiva
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Probabilidade e Estatística
Prof. Dr.Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva
Estatística Descritiva
Distribuição de frequência
Para obter informações de interesse sobre
a característica em estudo, deve-se agrupar
os dados obtidos em uma distribuição de
frequência, onde os valores observados
não mais aparecerão individualmente.
Distribuição de frequência
Os dados abaixo representam as idades (em
anos) dos alunos de Estatística de um
determinado curso da UTFPR de Curitiba do
ano de 2010.
20 21 21 21 22 22 22
22 23 23 23 23 23 23
23 24 24 24 24 24 24
24 24 24 25 25 25 25
25 25 26 26 26 26 28 ‘
Ro
l C
resce
nte
Distribuição de frequência
Idade (xi) Número de alunos (fi)
20 1
21 3
22 4
23 7
24 9
25 6
26 4
27 0
28 1
Total 35
fac
1
4
8
15
24
30
34
34
35
fr
1/35
3/35
4/35
7/35
9/35
6/35
4/35
0/35
1/35
1
Histograma
HISTOGRAMA
0
2
4
6
8
10
20 21 22 23 24 25 26 27 28
idades
fre
qü
ên
cia
Distribuição de frequência em classes
Considere o exemplo:
As alturas (em metros) de 30 alunos de uma
sala de aula são os seguintes:
1,50 1,53 1,68 1,51 1,63 1,65
1,54 1,55 1,65 1,56 1,57 1,50
1,60 1,48 1,61 1,52 1,63 1,47
1,52 1,50 1,52 1,46 1,45 1,66
1,65 1,59 1,51 1,58 1,62 1,60
Chama-se classe o intervalo considerado para
as alturas.
Para se construir uma distribuição de freqüência
utilizando classes, deve-se determinar:
a) Número de classes (k):
Utiliza-se a Fórmula de Sturges:
k = 1 + 3,32.log n
onde: n = é o número de dados
e k deve ser um número inteiro positivo
b) Amplitude total dos dados (A):
A = Xmax – Xmin, onde Xmax é o valor máximo
da amostra e Xmin é o valor mínimo da amostra
Distribuição de frequência em classes
c) Intervalo de classe (h):
h = A/k
h deve ser um valor de modo que as classes
acomodem todos os dados da amostra
d) Limite inferior (Li) e Limite superior (Ls) da
classe:
Li é o menor valor dos dados da amostra
Ls = Li + h
Distribuição de frequência em classes
Distribuição de frequência em classes
Alturas (m) fi fac xi
1,45 |― 1,49 4 4 1,47
1,49 |― 1,53 8 12 1,51
1,53 |― 1,57 4 16 1,55
1,57 |― 1,61 5 21 1,59
1,61 |― 1,65 4 25 1,63
1,65 |― 1,69 5 30 1,67
Total 30
Medidas de Tendência Central
Medidas de tendência central são medidas
estatísticas, cujos valores estão próximos do
centro de um conjunto de dados dispostos
ordenadamente em rol crescente ou decrescente. As mais conhecidas são:
• Média aritmética
• Média geométrica
• Média harmônica
• Mediana
• Moda
Co
nce
ito
s
Média Aritmética
a) Dados brutos
A média aritmética de um conjunto de “n” valores
x1, x2, x3, ... ,xn é definida por:
n
x
n
xxxxx
n
i
i
n
1321 ...
Exemplo:
As idades (em anos) de 5 jogadores de futebol são: 18, 16,
15, 17, 17
A média aritmética das idades destes jogadores é:
6,165
171715161854321
n
xxxxxx anos
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Média Aritmética
b) Dados agrupados
Se x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,
f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média aritmética é
dada por:
n
fx
n
fxfxfxfxx
k
i
ii
kk
1332211
........
Caso os dados sejam distribuídos em classes,
os valores x1, x2, x3,...,xk correspondem aos
pontos médios das “k” classes, ou seja:
2
sii
LLx
M
ed
ida
s d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Média Aritmética (Exemplo)
Idade
(xi)
Número de
alunos (fi) xi.fi
20 1 20
21 3 63
22 4 88
23 7 161
24 9 216
25 6 150
26 4 104
27 0 0
28 1 28
Total 35 830
...714,2335
830==x
71,23~x
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
anos
Média Aritmética (Exemplo)
Alturas (m) fi xi xi.fi
1,45 |― 1,49 4 1,47 5,88
1,49 |― 1,53 8 1,51 12,08
1,53 |― 1,57 4 1,55 6,20
1,57 |― 1,61 5 1,59 7,95
1,61 |― 1,65 4 1,63 6,52
1,65 |― 1,69 5 1,67 8,35
Total 30 46,98
metros==x 57,1~...5666,130
98,46
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Média Geométrica
a) Dados brutos
A média geométrica de um conjunto de “n” valores
x1, x2, x3, ... ,xn é definida por:
nnxxxx .... 321 n
xn
i
i1
log
10Mg = =
Exemplo:
A média geométrica das idades dos 5 jogadores de futebol
do exemplo citado anteriormente é:
6,1617.17.15.16.185 Mg = anos
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Média Geométrica
b) Dados agrupados
Se x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,
f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média geométrica é
dada por:
n f
k
fff kxxxx .... 321
321 Mg = n
xfk
i
ii1
log.
10=
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Média Geométrica (Exemplo)
Idade
(xi)
Número de
alunos (fi)
20 1
21 3
22 4
23 7
24 9
25 6
26 4
27 0
28 1
Total 35
35
09,48
10Mg =
Mg = 23,66 anos
fi.log xi
1,30
3,97
5,37
9,53
12,42
8,39
5,66
0
1,45
48,09 Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Média Geométrica (Exemplo)
Alturas (m) fi xi fi.log xi
1,45 |― 1,49 4 1,47 0,67
1,49 |― 1,53 8 1,51 1,43
1,53 |― 1,57 4 1,55 0,76
1,57 |― 1,61 5 1,59 1,01
1,61 |― 1,65 4 1,63 0,85
1,65 |― 1,69 5 1,67 1,11
Total 30 5,83
Mg = 56,11010 30
83,5log.
1
==
∑
n
xfk
=iii
metros Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Média Harmônica
a) Dados brutos
A média harmônica de um conjunto de “n” valores
x1, x2, x3, ... ,xn é definida por:
n
h
x++
x+
x+
x
n=M
1...
111
321
Exemplo:
A média harmônica das idades dos 5 jogadores de futebol
do exemplo anterior é:
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
54,16
17
1
17
1
15
1
16
1
18
1
5=
++++
=Mh anos
Média Harmônica
b) Dados agrupados
Se x1, x2, x3,...,xk ocorrem com as freqüências f1,
f2, f3, ... ,fk ,respectivamente, a média aritmética é
dada por:
Caso os dados sejam distribuídos em classes,
os valores x1, x2, x3,...,xk correspondem aos
pontos médios das “k” classes.
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
n
k
k
=ii
h
x
f++
x
f+
x
f+
x
f
f
=M
∑
...3
3
2
2
1
1
1
Média Harmônica (Exemplo)
Alturas (m) fi xi fi/xi
1,45 |― 1,49 4 1,47 2,72
1,49 |― 1,53 8 1,51 5,30
1,53 |― 1,57 4 1,55 2,58
1,57 |― 1,61 5 1,59 3,14
1,61 |― 1,65 4 1,63 2,45
1,65 |― 1,69 5 1,67 2,99
Total 30 19,18
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
56,118,19
30
...3
3
2
2
1
1
1 ==
x
f++
x
f+
x
f+
x
f
f
=M
n
k
k
=ii
h
∑
m
Mediana
a) Dados brutos
A mediana Me de um conjunto de “n” valores
ordenado x1, x2, x3,...,xn é representada pelo
valor central do conjunto para “n” ímpar e pela
média aritmética dos dois valores centrais para
“n” par.
Exemplos:
a) 3, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12
Como n = 9, então, Me = 7
b) 3, 3, 4, 5, 7, 7, 9, 10
Como n = 8, então, Me = 62
75
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Mediana
a) Dados agrupados em intervalos de classes
Utiliza-se a expressão:
hf
fPLM
eM
ac
ie .'
2
nP Onde: é a posição da classe mediana
iL
acf '
eMf
h
é o limite inferior da classe mediana
é a frequência acumulada da classe
anterior à classe mediana
é frequência da classe mediana
é intervalo da classe mediana
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Mediana
Exemplo 1:
Determine a mediana da distribuição abaixo.
Idade
(xi)
Número de
alunos (fi) fac
20 1 1
21 3 4
22 4 8
23 7 15
24 9 24
25 6 30
26 4 34
27 0 34
28 1 35
Total 35
Posição da mediana:
altura==P a5,172
35
Me = 24 anos
Como n é ímpar, a
mediana é a 18ª idade
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Mediana
Exemplo 2:
Determine a mediana da distribuição abaixo.
Alturas (m) fi fac
1,45 |― 1,49 4 4
1,49 |― 1,53 8 12
1,53 |― 1,57 4 16
1,57 |― 1,61 5 21
1,61 |― 1,65 4 25
1,65 |― 1,69 5 30
Total 30
Posição da mediana:
hf
fP+L=M
eM
ac
ie ).-
(
'
altura==P a152
30
04,0).4
12-15(53,1 +=Me
Me = 1,56 metros
Cálculo da mediana:
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Moda
a) Dados brutos
A moda Mo de um conjunto de “n” valores x1,
x2, x3,...,xn é o número desse conjunto que
possuir a maior repetição. Se o conjunto não
tiver valores repetidos não existirá moda
(amodal) e se dois valores estiverem
igualmente repetidos, tem-se então duas
modas e o conjunto será dito bimodal.
A moda é o valor ao qual está associado a
freqüência mais alta.
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Moda
a) Dados agrupados em intervalos de classes
Fórmula de Czuber: hLM io .21
1
iL
1
2
h
Onde:
é o limite inferior da classe modal. Chama-se classe
modal à classe de maior freqüência absoluta
é a diferença entre a freqüência da classe modal e
a freqüência da classe imediatamente anterior
é a diferença entre a freqüência da classe modal e a
freqüência da classe imediatamente posterior
é o intervalo da classe modal. Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Moda
Exemplo 1:
Determine a moda da distribuição abaixo.
Idade
(xi)
Número de
alunos (fi)
20 1
21 3
22 4
23 7
24 9
25 6
26 4
27 0
28 1
Total 35
Moda é a idade que mais
se repete, ou seja, a que
tem maior frequência.
Logo, Mo = 24 anos.
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Moda
Exemplo 2:
Determine a moda da distribuição abaixo.
k Alturas (m) fi fac
1 1,45 |― 1,49 4 4
2 1,49 |― 1,53 8 12
3 1,53 |― 1,57 4 16
4 1,57 |― 1,61 5 21
5 1,61 |― 1,65 4 25
6 1,65 |― 1,69 5 30
Total 30
Classe modal: 2ª
hΔ+Δ
Δ+L=M io ).(
21
1
04,0).44
4(49,1+
+=Mo
Mo = 1,51 metros
Cálculo da moda:
Me
did
as d
e T
en
dê
ncia
Ce
ntr
al
Medidas de Dispersão
As medidas de tendência central, por si só, não
são suficientes para caracterizar duas
distribuições estatísticas. Exemplo:
Dois candidatos à emprego fizeram 5 provas e
vamos comparar seus rendimentos com base na
media aritmética.
Candidato A: 70, 71, 69, 70, 70 Média = 70
Candidato B: 40, 80, 98, 62, 70 Média = 70
Com base somente na média aritmética diríamos
que os dois candidatos apresentaram o mesmo
rendimento. Porém, como podemos observar o
candidato A apresentou notas mais uniformes.
Co
nce
ito
s
Medidas de Dispersão
Para avaliar quantitativamente o grau de
variabilidade ou dispersão dos valores de um
conjunto de números em torno do valor médio,
utiliza-se ferramentas estatísticas denominadas
medidas de dispersão. As principais medidas são:
• Amplitude total
• Desvio médio
• Variância
• Desvio-padrão
• Coeficiente de variação
Co
nce
ito
s
Amplitude Total
Dia Amplitude Empregado
1° 2° 3° 4° 5° Média
total
A 82 70 65 60 73 70 82 – 60 = 22
B 60 78 68 62 82 70 82 – 60 = 22
C 53 72 75 75 75 70 75 – 53 = 22
Exemplo:
A tabela abaixo apresenta o rendimento diário (em %) de
três empregados:
Amplitude total é a diferença entre o maior e o
menor valor dos dados.
Muitas vezes a amplitude total não é a medida de
dispersão mais adequada para avaliar a dispersão, como
mostrou o exemplo anterior.
Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Desvio Médio (d)
O desvio médio de um conjunto de “n” valores
x1, x2, x3, ... , xn é dada pela expressão:
n
xx∑n
=ii
1
-
d =
Para dados agrupados:
n
xxf∑k
=iii
1
-
d =
Esta medida de dispersão considera todos os
valores do conjunto de dados.
Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Variância Amostral (s2)
1-
)-(1
2
n
xx∑n
=ii
A variância de um conjunto de “n” valores x1, x2,
x3, ... , xn é a média aritmética dos quadrados
do desvio médio de cada valor se estes dados
são de uma população.
s2 =
1-
.)-(1
2
n
fxx∑k
=iii
Para dados agrupados: s2 =
Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Se os dados são de uma amostra, a variância é
dada pela expressão:
Desvio-padrão (s)
Desvio-padrão é a raiz quadrada da variância,
ou seja:
1-
)-(1
2
n
xx∑n
=ii
s =
1-
.)-(1
2
n
fxx∑k
=iii
s =
para dados brutos
para dados agrupados Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Desvio-padrão (s)
s = 3
1 2 3 4 5 6 7
s = 1,0
1 2 3 4 5 6 7
s = 0,8
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
s = 0 7
6
5
4
3
2
1
0
O desvio-padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Coeficiente de Variação (CV)
Coeficiente de variação é a razão entre o
desvio-padrão e a média aritmética, em
porcentagem, ou seja:
100.x
scv =
Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Exemplo 1
Idade
(xi)
Número
de
alunos
(fi)
20 1 13,76
21 3 22,03
22 4 11,70
23 7 3,53
24 9 0,76
25 6 9,98
26 4 20,98
27 0 0
28 1 18,40
Total 35 101,14
ii fxx .)-( 2
1-
.)-(1
2
n
fxx∑k
=iii
s =
1-35
14,101s =
s = 1,72 anos
100.x
scv =
%25,7=100.71,23
72,1cv =
Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Exemplo 2
Alturas (m) fi xi
1,45 |― 1,49 4 1,47 0,0324
1,49 |― 1,53 8 1,51 0,0200
1,53 |― 1,57 4 1,55 0,0004
1,57 |― 1,61 5 1,59 0,0045
1,61 |― 1,65 4 1,63 0,0196
1,65 |― 1,69 5 1,67 0,0605
Total 30 0,1374
ii fxx .)-( 2
07,029
1374,0
1-
.)-(1
2
==n
fxx∑k
=iii
%46,4100.57,1
07,0100. ==x
scv =
s = metros Me
did
as d
e D
isp
ers
ão
Medidas de Posição ou Separatrizes
São medidas que dividem um conjunto de
valores em um certo número de partes iguais. A
mediana, por exemplo, divide um conjunto de
dados em duas partes iguais.
Co
nce
ito
s
As outras principais medidas de posição são:
• Quartis
• Decis
• Centis ou Percentis
Quartis
O quartil divide um conjunto de valores ordenado em
quatro partes iguais. O primeiro quartil (Q1) é o valor
que antecede 25% da freqüência abaixo dele e
sucede 75%, segundo quartil (Q2) é igual ao valor da
mediana e terceiro quartil (Q3) é o valor que antecede
75% da freqüência abaixo dele e sucede 25%.
A expressão para cálculo do quartil “i” é a mesma da
mediana:
hf
fP+L=Q
IQ
aciii ).
-(
'
4
.ni=PiOnde a posição do quartil “i” é dada por:
Me
did
as d
e P
osiç
ão
com i = 1, 2, 3
Quartis
Idade
(xi)
Número de
alunos (fi) fac
20 1 1
21 3 4
22 4 8
23 7 15
24 9 24
25 6 30
26 4 34
27 0 34
28 1 35
Total 35
4
.ni=Pi
Exemplo:
Determine o 3º quartil das idades dos 35 alunos:
Posição do Q3:
25,264
35.33 ==P
Entre a 26ª e a 27ª idade
Logo, Q3 = 25 anos
Me
did
as d
e P
osiç
ão
Decis
O decil divide um conjunto de valores
ordenados em dez partes iguais e são
representados por D1, D2, ... , D9. O 5º decil é a
mediana.
A expressão para calcular o decil “i” é:
hf
fP+L=D
ID
aciii ).
-(
'
10
.ni=PiOnde a posição do decil “i” é dada por:
Me
did
as d
e P
osiç
ão
com i = 1, 2, ... , 9
Centis ou Percentis
O centil divide um conjunto de valores
ordenados em 100 partes iguais e são
representados por C1, C2, ... ,C99. O 50º centil é
a mediana e o 25º e 75º centis correspondem
ao 1º e ao 3º quartis, respectivamente.
A expressão para calcular o centil “i” é:
hf
fP+L=C
IC
aciii ).
-(
'
100
.ni=PiOnde a posição do centil “i” é dada por:
Me
did
as d
e P
osiç
ão
com i = 1, 2, 3, ... , 99
Exemplo
Alturas (m) fi fac
1,45 |― 1,49 4 4
1,49 |― 1,53 8 12
1,53 |― 1,57 4 16
1,57 |― 1,61 5 21
1,61 |― 1,65 4 25
1,65 |― 1,69 5 30
Total 30
No exemplo das alturas dos 30 alunos determine o 3º
quartil, 6º decil e 20º centil. Posição do 3º quartil:
hf
fP+L=Q
IQ
aciii ).
-(
'
a==P 5,224
30.33
04,0).4
12-5,22(61,13 +=Q
Q3 = 1,63 metros
Cálculo do 3º quartil:
Me
did
as d
e P
osiç
ão
Interpretação: 75% dos alunos têm
altura menor ou igual a 1,63 m e 25%
das alturas são superiores a 1,63 m
Exemplo
Alturas (m) fi fac
1,45 |― 1,49 4 4
1,49 |― 1,53 8 12
1,53 |― 1,57 4 16
1,57 |― 1,61 5 21
1,61 |― 1,65 4 25
1,65 |― 1,69 5 30
Total 30
Posição do 6º decil:
hf
fP+L=D
ID
aciii ).
-(
'
a==P 1810
30.66
04,0).5
61-81(57,16 +=D
D6 = 1,59 metros
Cálculo do 6º decil:
altura
Me
did
as d
e P
osiç
ão
Exemplo
Alturas (m) fi fac
1,45 |― 1,49 4 4
1,49 |― 1,53 8 12
1,53 |― 1,57 4 16
1,57 |― 1,61 5 21
1,61 |― 1,65 4 25
1,65 |― 1,69 5 30
Total 30
Posição do 20º centil:
hf
fP+L=C
IC
aciii ).
-(
'
a==P 6100
30.2020
04,0).8
4-6(49,120 +=C
C20 = 1,50 metros
Cálculo do 20º centil:
altura
Me
did
as d
e P
osiç
ão
Medidas de Assimetria
As medidas de assimetria procuram
caracterizar o quanto o histograma de uma
distribuição de freqüência se afasta da
condição de simetria em relação à uma medida
de tendência central.
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
4
6
8
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Distribuição assimétrica
positiva
Distribuição assimétrica
negativa
Co
nce
ito
s
Coeficiente de Assimetria de Pearson (A)
s
Mx=A
o-
A
A
O grau de assimetria de uma distribuição de
frequência pode ser avaliada utilizando o
coeficiente de Pearson:
• < 0,15 : distribuição praticamente simétrica A
• 0,15 < < 1 : distribuição assimétrica moderada
• > 1 : distribuição fortemente assimétrica Me
did
as d
e A
ssim
etr
ia
Medidas de Curtose
As medidas de curtose caracterizam uma
distribuição simétrica ou aproximadamente
simétrica quanto ao seu achatamento, tomando
como referência uma distribuição normal, que
será objeto de estudo mais adiante.
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mesocúrtica
(normal)
Platicúrtica Leptocúrtica
Co
nce
ito
s
Coeficiente Percentílico de Curtose (C)
)-(2
-
1090
2575
CC
CC=C
O grau de achatamento com relação a
distribuição normal de uma distribuição de
frequência pode ser avaliado através do
coeficiente percentílico:
• Se C = 0,263: distribuição é mesocúrtica (normal)
• Se C < 0,263: distribuição leptocúrtica (alongada)
• Se C > 0,263: distribuição platicúrtica (achatada)
Onde C10, C25, C75 e C90 são os 10º, 25º, 75º e
90º centis (ou percentis)
Me
did
as d
e C
urt
ose
Exemplo
Alturas (m) fi fac
1,45 |― 1,49 4 4
1,49 |― 1,53 8 12
1,53 |― 1,57 4 16
1,57 |― 1,61 5 21
1,61 |― 1,65 4 25
1,65 |― 1,69 5 30
Total 30
Classifique a distribuição abaixo quanto a assimetria e
curtose
07,0
51,1-1,57=A
s
Mx=A
o-
86,0=A
Distribuição com
assimetria moderada
Me
did
as d
e A
ssim
etr
ia e
Cu
rto
se
Exemplo
Alturas (m) fi fac
1,45 |― 1,49 4 4
1,49 |― 1,53 8 12
1,53 |― 1,57 4 16
1,57 |― 1,61 5 21
1,61 |― 1,65 4 25
1,65 |― 1,69 5 30
Total 30
Logo, a distribuição é
platicúrtica
48,104,0).4
0-3(45,110 =+=C
51,104,0).8
4-7,5(49,125 =+=C
63,104,0).4
21-22,5(61,175 =+=C
263,0316,0)48,1-67,1.(2
1,51-1,63>==C
67,104,0).5
25-27(65,190 =+=C
Me
did
as d
e A
ssim
etr
ia e
Cu
rto
se
