1

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

EMENTA:

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípio fundamental da contagem

Arranjos simples

Permutações

Fatorial

Combinações

Permutações com elementos repetidos

BINÔMIO DE NEWTON

Teorema binomial

Termo geral

Triângulo de Pascal

PROBABILIDADE

Experimentos aleatórios

Espaço amostral

Evento

Combinações de eventos

Frequência relativa

Definição de probabilidade

Espaço amostral equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema da multiplicação

Lei binomial da probabilidade

2

INTRODUÇÃO

A combinação estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado

acontecimento.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em N situações

independentes e sucessivas, tendo a primeira situação acorrendo M1 maneiras, a segunda

ocorrendo de M2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de Mn

maneiras, temos que o número total de ocorrências será M1.M2. . . . Mn.

Exemplo 1: Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o

primeiro, segundo e terceiro lugares?

Exemplo 2: Quantos automóveis podem ser licenciados se cada placa contém três letras e 4

dígitos?

Exemplo 3: Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os

algarismos 1, 2, 6, 8 e 9?

Exemplo 4: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os

algarismos 0, 1, 2, 6 e 8?

Exemplo 5: Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, quantos números ímpares com três algarismos

distintos podem ser formados?

Exemplo 6: Dentre os números naturais de quatro algarismos distintos formados com os

algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos são pares e maiores que 4 000?

3

LISTA 1

1) Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e só uma sobremesa.

O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De

quantas formas pode o homem pode fazer sua refeição?

2) Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma

saia?

3) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições,

independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume

quantas posições distintas?

4) Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser

formados?

5) Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por

uma porta diferente da que usou para entrar?

6) Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas

maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios?

7) Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele

vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?

8) Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 (sete) cores diferentes, podendo o comprador

optar entre os motores com oito ou com dezesseis válvulas. Sabendo-se que os automóveis são

fabricados nas versões “standard”, “luxo” e “superluxo”, quantas são as alternativas do

comprador?

9) De quantas formas podemos responder a doze perguntas de um questionário, cujas respostas

para cada pergunta são “SIM” ou “NÃO”?

10) Um prova consta de 20 testes do tipo verdadeiro ou falso. De quantas formas uma pessoa

poderá responder aos 20 testes?

4

11) Uma loteria (semelhante à loteria esportiva) apresenta 10 jogos, cada um com quatro

possíveis resultados. Usando a aproximação 210 = 103, qual é o total de resultados possíveis?

12) Em um computador digital, um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sucessão

de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits?

13) Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A comissão

julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente

um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?

14) Quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dígitos 1, 2, 3,

7, 8 ?

15) Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoa podem receber

um nome e um sob renome, com esses elementos?

16) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele

possa apresentar-se em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças

(número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é:

17) Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas sequências de resultados são possíveis,

se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado?

18) O sistema telefônico de São Paulo utiliza sete dígitos para designar os diversos telefones.

Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2), e que o dígito zero (0) não seja utilizado para

designar estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter?

19) Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos 0x e 0y. Ele

pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Quantas trajetórias ele pode

percorrer, se der exatamente 4 passos?

20) São quantos os números ímpares com três algarismos, que não possuem dígitos repetidos e

que de trás para frente também são ímpares?

21) Quantos números naturais com 3 algarismos podemos formar que não comecem com 16, nem

com 17?

5

FATORIAL

Definição: Seja n um número natural, com n ≥ 2. Define-se o fatorial de n, que indicamos n!, como

o produto dos números naturais consecutivos:

n! = n(n – 1)(n – 2) . . . 1.

Exemplo: 3! = 3 . 2 . 1 = 6

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

n! = n(n – 1)! para n ϵ N, com n ≥ 3 (propriedade fundamental dos fatoriais)

Definição: 0! = 1

1! = 1

Exemplo: Simplificar as frações:

Exemplo: Resolva a equação:

EXERCÍCIOS

1) Assinale V ou F:

a) 3! + 2! = 5!

b) 3! . 2! = 6!

c) 4! + 4! = 2 . 4!

d) n! = n(n – 1)(n – 2)! Para n ϵ N, n ≥ 2

e) n! = n(n – 1)(n – 2)! Para todo n ϵ N*

f) n! + n! = (2n)! n ϵ N

g) n! + n! = 2n! para n ϵ N

h) n! – n! = 0! Para n ϵ N

6

2) Simplifique as frações:

3) Resolva a equação:

ARRANJOS SIMPLES

Definição: Seja I = {a1 , a2, a3 , . . . , an} um conjunto formado por n elementos e seja p um

número natural tal que p ≤ n. chama-se arranjo simples de p elementos de I toda sequência

formada por p elementos de I distintos.

Exemplo 1: Dez atletas participam de uma corrida. Serão premiados apenas os três primeiros

colocados, e não pode haver empate. O número de maneiras a serem distribuídos os prêmios é:

PERMUTAÇÕES SIMPLES

Definição: Seja I = {a1 , a2, a3 , . . . , an} um conjunto com n elementos. Chama-se permutação

simples dos n elementos de I todo arranjo simples desses n elementos tomados n a n.

Pn = n!

Exemplo: De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem formar uma fila indiana?

Exemplo: com a palavra MARTELO:

a) quantos anagramas podemos formar?

b) quantos anagramas começam por M e terminam por O?

c) quantos anagramas apresentam as letras M, A, R juntas?

7

LISTA 2

1) Calcule:

a) A6,3 b) A10,4 c) A20,1 d) A12,2

2) Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os

três primeiros ligares?

3) Em um torneio de dois turnos do qual participam seis times, quantos jogos são disputados?

4) Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De

quantas formas isso pode ser feito?

5) Uma bandeira é formada por 7 listras, que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De

quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca

estejam pintadas da mesma cor?

6) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada

tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente?

7) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2 , ..., 9. O segredo do cofre é formado

por uma sequência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá

fazer (no máximo) para conseguir abri-lo. (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado

por dígitos distintos).

8) Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoa podem se sentar,

devendo haver ao menos uma cadeira entre elas.

9) Qual é a quantidade de números de 3 algarismos que tem pelo menos 2 algarismos repetidos?

10) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com ao algarismos 1, 3, 6 , 7, 8 ,

9?

11) No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos

escrever, de modo que os algarismo 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam agrupados?

8

12) Resolva a equação: An,4 = 12 . An,2.

13) Obtenha m, sabendo que:

14) Resolva a equação: Am,3 = 30m.

15) Quantos números de quatro algarismos formados com os algarismo de 0 a 7 são divisíveis por

5?

16) Com relação a palavra TEORIA:

a) Quantos anagramas existem?

b) Quantos anagramas começam por T?

c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A?

d) Quantos anagramas começam por vogal?

e) Quantos anagramas têm as vogais juntas?

17) Quantos anagramas da palavra FILTRO começam por consoantes?

18) Quantos anagramas da palavra PASTEL começam e terminam por consoante?

19) Calcule o número de anagramas da palavra REPÚBLICA, nos quais as vogais se mantêm nas

respectivas posições?

9

COMBINAÇÔES SIMPLES

Dado o conjunto I = {a , b , c , d}, vamos formar todos os subconjuntos de I com três elementos:

{a , b , c} , {a , b , d} , {a , c , d} , {b , c , d}.

Tais subconjuntos são chamados de combinações simples dos quatro elementos de I tomados

três a três. Observe que duas combinações simples quaisquer se diferenciam apenas pela

natureza dos elementos e não pela ordem de apresentação desses elementos.

Definição: Seja I = {a1 , a2, a3 , . . . , an} um conjunto formado por n elementos e seja p um

número natural tal que p ≤ n. chama-se combinação simples de p elementos de I todo subconjunto

de I formado por p elementos.

Exemplo 1: Calcule:

a) C6,4

b) C7,3

c) C5,2

d) C5,3

e) C4,1

f) C4,3

g) C6,6

Exemplo 2: Quantos triângulos ficam determinados pelos distintos A, B, C, D, E de uma

circunferência?

Exemplo 3: Uma comissão de quatro homens e três mulheres dever ser escolhida dentre seis

homens e cinco mulheres. De quantos modos diferentes pode-se escolher a comissão, sabendo

que os membros dessa comissão terão funções idênticas?

10

PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a

permutação teremos:

LISTA 3

1) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele

poderá escolher as 10 questões?

2) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimenta toas as outras, havendo ao todo 45 apertos

de mão. Quantas pessoas havia na reunião?

3) De um baralho de 52 cartas, são extraídas 4 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual o

número de resultados possíveis, se não levarmos em conta a ordem das cartas extraídas?

4) De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas , sem levar em

conta a ordem delas, de modo que cada escolha há pelo menos um rei?

5) Existem 10 jogadores de futebol de salão, entre ele João, que por sinal é o único que joga

como goleiro. Nessas condições, quantos times de 5 pessoas podem ser escalados?

6) Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6

dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem

mistura explosiva?

7) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas, das

quais pelo menos 4 sejam pretas?

11

8) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas podemos formar uma comissão de 3

pessoas de modo que haja 2 homens e uma mulher, na mesma?

9) Existem 5 pontos, entre os quais não existem 3 colineares. Quantas retas eles determinam?

10) Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, onde

um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos.

Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e Luiz.

11) No congresso Nacional, uma comissão de 5 membros será formada a partir de 8 senadores e

6 deputados, sendo que pelo menos um deputado deverá pertencer à comissão. Calcule o

número de comissões que poderão ser formadas.

12) Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início

do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5

atacantes?

13) Doze equipes participarão de um torneio internacional de vôlei; os participantes foram

divididos em dois grupos de seis equipes cada. A fase classificatória deste torneio prevê a

realização de dois turnos. No primeiro turno, cada equipe jogará contra os adversários do seu

próprio grupo e, no segundo, as equipes enfrentarão os times do outro grupo. Ao término da fase

de classificação, os dois primeiros colocados de cada grupo avançarão para a fase final, que será

disputada em turno único, num só grupo, com cada classificado jogando contra todos os outros

times. O time que obtiver a primeira colocação na fase final será declarado campeão do torneio.

De acordo com este regulamento, o total de jogos realizados durante o torneio é igual a:

a) 102 b) 66 c) 72 d) 78 e) 105

14) Recebi de uma editora um catálogo oferecendo em promoção a assinatura de 10 revistas.

Gostaria de assinar todas, mas como não tenho posses para isso me contentarei com apenas 3.

Quantas são as minhas opções?

a) 120 b) 144 c) 60 d) 240 e) 90

15) Quantos triângulos ficam determinados por nove pontos distintos, dos quais cinco pertencem a

uma reta r e os outros quatro pertencem a uma reta s (s ≠ r) paralela a r?

12

16) Durante uma viagem, nove pessoas param para pernoitar em um hotel. Existem três quartos

vagos: um com quatro camas, outro com três e o terceiro com duas. O número de formas que

essas pessoas podem se distribuir entre o s quartos é:

17) Calcule p, sabendo que Am,p = Cm,p. (0 ≤ p < m)

18) Calcule Am,3, sabendo que Cm,3 = 84.

19) Determine x na equação Ax,3 - 6 . Cx,2 = 0.

20) Determine n, sabendo que An + 1, 4 = 20 . Cn,2.

21) Quantos números de 6 algarismos podemos formar permutando os algarismos 2, 2, 3, 3, 3, 5?

22) Quantos anagramas podemos formar com a palavra AMARILIS?

23) Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra

ESTATÍSTICA, quanto tempo levará para escrever todos, se não deve parar nenhum instante para

descansar?

24) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem

reposição. Quantas sequências de cores podemos observar?

25) Quantos anagramas da palavra BARREIRA:

a) começam pela letra B?

b) começam por consoante?

13

BINÔMIO DE NEWTON

TEOREMA BINOMIAL

O desenvolvimento de para n ϵ N e x, a ϵ R é dado por:

Exemplo: Desenvolver .

TERMO GERAL

Já vimos que:

O termo

é chamado de termo geral, pois p = 0, 1, 2, . . . , n obtemos

todos os termos do desenvolvimento.

Exemplo: No desenvolvimento de , qual o coeficiente de x8?

Exemplo: Qual o termo independente de x no desenvolvimento de

?

14

1) Desenvolva, usando o teorema binomial:

2) Desenvolva

3) Quantos termos tem o desenvolvimento de:

a) (x + y)7 b) (x + y)10

4) No desenvolvimento de (x + y)1000, qual o centésimo termo, se o desenvolvimento for feito em

potências de expoentes decrescentes de x?

5) Calcule a e b, sabendo que (a + b)3 = 64 e que

6) Sabendo que

calcule o valor

de (a +b)2.

7) Calcule o valor numérico do polinômio: x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 para

8) Calcule o valor da expressão

9) Desenvolvendo (x + 3y)9, qual o termo que contém x4?

10) No desenvolvimento de (1 – 2x2)5, qual o coeficiente de x8?

11) qual é o termo em x3 no desenvolvimento de

12) Qual é o termo em x3 no desenvolvimento de

13) Qual é o termo independente de y no desenvolvimento de

14) Qual é o termo independente de x no desenvolvimento de

15) Qual é o termo independente de x no desenvolvimento de

16) qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (2x + 3y)4?

17) Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de:

a) (3x + 2y)10 b) (5x + y)8 c) (x – y)5

18) Calcule p na equação

.

15

19) Sendo

, calcule p.

20) Resolva

.

PROBABILIDADE

EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS

Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que, repetidos em idênticas condições, produzem

resultados que não podem ser previstos com certeza. Embora não saibamos qual o resultado que

irá ocorrer num experimento, em geral conseguimos descrever o conjunto de todos os resultados

possíveis que podem ocorrer. As variações de resultados, de experimento para experimento, são

devidas a uma multiplicidade de causas que não podemos controlar, as quais denominamos

acaso.

ESPAÇO AMOSTRAL

Chamamos de espaço amostral, um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório.

EVENTO

Consideremos um experimento aleatório. Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço

amostral.

PROBABILIDADE

A Probabilidade de um acontecimento, associado a certa experiência aleatória, é a frequência

relativa esperada desse acontecimento, ou seja : O quociente entre o número de vezes que o

acontecimento se realiza ao fim de n repetições da experiência e o número ( n ) de repetições.

Exemplo: No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:

a) O número 2

b) um número par

c) um número múltiplo de 3

Exemplo: No lançamento de dois dados, um branco e um vermelho, qual a probabilidade de a

soma nos dois dados ser maior que 7?

16

Exemplo: Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragadas. Escolhendo

aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determine a probabilidade de:

a) Ambas não estarem estragadas

b) pelo menos uma estar estragada

EXERCÍCIOS

1) Numa urna existem duas bola vermelhas e seis brancas. Sorteando-se uma bola, qual a

probabilidade de ele ser vermelha?

2) Numa cidade com 1000 eleitores vai haver uma eleição com dois candidatos, A e B. É feita uma

prévia em que os 1000 eleitores são consultados, sendo que 510 já se decidiram, definitivamente,

por A. Qual a probabilidade de que A ganhe a eleição?

3) Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa.

Calcule a probabilidade de:

a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda.

b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda.

4) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos

eventos abaixo?

a) Ocorrer dama de paus.

b) Ocorrer dama.

c) Ocorrer uma carta que não é um rei.

5) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade de o

número escolhido:

a) ser par? b) ser primo? C) quadrado perfeito?

17

6) Um número é escolhido ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. Qual a probabilidade de o

número:

a) ser múltiplo de 9? b) ser múltiplo de 3 e de 4? C) ser múltiplo de 3 ou de 4?

7) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao

acaso. Qual a probabilidade de:

a) a bola não ser amarela?

b) a bola ser branca ou preta?

c) a bola não ser branca, nem amarela?

8) Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados e observados os números das faces de

cima. Qual a probabilidade de:

a) ocorrerem números iguais?

b) ocorrerem números diferentes?

c) a soma dos números ser 7?

d) a soma dos números é 12?

e) aparecer número 3 em ao menos um dado?

9) Numa cidade, 30% dos homens são casados, 40% são solteiros, 20% são desquitados e 10%

são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso.

a) Qual a probabilidade de ele ser solteiro?

b) Qual a probabilidade de ele não ser casado?

10) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam engenharia, 150 estudam Economia e 10

estudam engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:

a) ele estude Economia e Engenharia?

b) ele estude somente Engenharia?

c) ele estude somente Economia?

d) ele não estude Engenharia nem Economia?

e) ele estude Engenharia ou Economia?

18

11) Uma cidade tem 50 000 habitantes e 3 jornais, A, B, C. Sabe-se que:

15 000 leem o jornal A

10 000 leem o jornal B

8 000 leem o jornal C

6 000 leem os jornais A e B

4 000 leem os jornais A e C

3 000 leem os jornais B e C

1 000 leem os três jornais.

Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que:

a) ele leia pelo menos um jornal? b) leia só um jornal?

12) Com os dígitos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é

escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele ser:

a) par? b) ímpar?

13) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas, de 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, sem

reposição. Qual a probabilidade de que a sequência de números observados seja crescente?

14) Um grupo é constituído de 6 homens e 4 mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso,

sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens?

19

PROBABILIDADE COM REUNIÃO E INTERSECÇÃO DE EVENTOS

Mos estudar agora algumas situações em que necessitamos saber a probabilidade da ocorrência

de duas situações e da ocorrência dessas condições serem simultâneas.

Exemplo: No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou um número

primo?

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Seja S um espaço amostral e consideremos dois eventos A e B. Com o símbolo P(A/B) indicamos

a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu, isto é, P(A/B) é a probabilidade

condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido. Quando calculamos P(A/B), tudo se

passa como se B fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual queremos calcular a

probabilidade de A.

Exemplo 1: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de sair um ás

vermelho, sabendo que ela é de copas?

Exemplo 2: Os 500 estudantes de um colégio

responderam a uma pergunta sobre qual a sua área

de conhecimento preferida, entre exatas,

humanidades e biológicas. As respostas foram

computadas e alguns dados foram colocados na

tabela.

Um estudante é escolhido ao acaso:

Área

Masculino

(M)

Feminino

(F) Total

Exatas (E) 120 200

Humanidades

(H) 80 125

Biológicas (B) 100 175

Total 500

20

a) Sabendo que é do sexo feminino, determine a probabilidade de essa estudante preferir humanidades ou biológicas.

b) Sabendo que é do sexo masculino, determine a probabilidade de esse aluno preferir exatas.

c) Sabendo que estudante escolhido prefere biológicas, qual é a probabilidade de ser do sexo masculino.

EXERCÍCIOS

1) Um dado é lançado e o número da face de cima é observado.

a) Se o resultado for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a 5?

b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade de ele ser par?

c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser menor que 3?

d) Se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar?

2) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.

a) Qual a probabilidade de o número ser par?

b) Qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50?

c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par?

3) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada

moça, segundo a tabela.

a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a

probabilidade de ela ser:

I) loira? II) morena de olhos azuis? III) morena ou ter olhos azuis?

b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos,

mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?

Cabelos olhos

azuis castanhos

Loira 17 9

Morena 4 14

Ruiva 3 3

21

4) De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de matemática, física e Química sabe-

se que:

i) 30 destinam-se à Matemática e, destes 20 são do sexo masculino.

ii) O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química.

iii) Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.

Nessas condições, sorteando um aluno ao acaso do grupo total e sabendo que é do sexo

feminino, qual a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática?

5) De um baralho de 52 cartas, uma é retirada e observa-se que seu número está entre 4 e 10

(inclusive 4 e 10). Qual a probabilidade de que o número da carta seja 6?

6) Uma comissão de 3 pessoas é formada escolhendo-se ao acaso entre Antônio, Benedito,

Cesar, Denise e Elisabete. Se Denise não pertence á comissão, qual a probabilidade de Cesar

pertencer?

7) Se A e B são evento com p(A) = 0,4, p(B) = 0,2 e p(A∩B) = 0,1, calcule:

a) p(A/B) b) p(B/A) c) p(A/AUB)

8) Um grupo de pessoas está classificada da seguinte maneira

Define-se que: H: homem; M: mulher; P: professor; A: advogado; D: dentista. Determine:

a) P(A/H) b) p(P/M) c) p(D/H)

9) Numa cidade, 20% da população são mulheres que não podem votar (menores de 16 Anos).

Se 60% da população são mulheres, qual é a probabilidade de que uma mulher selecionada ao

acaso não possa votar?

Professor Advogado Dentista

Homens 60 80 50

Mulheres 90 40 30

22

10) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há

alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0.

Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as

funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0 a

probabilidade de ela calçar 38,0 é

A) 3

1 B)

5

1 C)

5

2 D)

7

5 E)

14

5

11) Em um blog de variedades,

músicas, mantras e informações

diversas, foram postados ”Contos de

Halloween“. Após a leitura, os

visitantes poderiam opinar,

assinalando suas relações em:

”Divertido“, ”Assustador“ ou ”Chato“.

Ao final de uma semana, o blog

registrou que 500 visitantes distintos

acessaram esta postagem. O gráfico a

seguir apresenta o resultado da

enquete.

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem ”Contos

de Halloween“. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma

pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto ”Contos de

Halloween“ é ”Chato“ é mais aproximada por:

A) 0,09. B) 0,12. C) 0,14. D) 0,15. E) 0,18.

23

12) De acordo com o gráfico, em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma

pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número

mais próximo de:

a) 2

1

b) 20

7

c) 25

8

d) 5

1

e) 25

3

TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Seja E um espaço amostral equiprovável, finito e não-vazio. Sejam A e b eventos de E.

Vimos que P(B/A) =

. Dividindo o numerador e o denominador dessa fração por n(E), temos:

E portanto ,

Nota: Se A e B forem eventos independentes, então

Exemplo: Uma urna contém exatamente sete bolas: quatro azuis e três vermelhas. Retira-se ao

acaso uma bola da urna, registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir, retira-se

novamente uma bola da urna e registra-se sua cor. Calcular a probabilidade de:

a) Sair uma bola azul e depois uma vermelha.

b) Saírem duas bolas de cores diferentes.

24

Exemplo: Uma urna contém exatamente nove bolas: cinco azuis e quatro vermelhas.

a) Retirando simultaneamente três bolas da urna, qual é a probabilidade de obtermos duas bolas

azuis e uma vermelha?

b) Retirando sucessivamente, sem reposição, três bolas da urna, qual é a probabilidade de

obtermos duas bolas azuis e uma vermelha?

EXERCÍCIOS

1) Uma urna contém exatamente nove bolas: três brancas, duas verdes e quatro azuis. Retirando-

se três bolas da urna, uma de cada vez e com reposição, calcule a probabilidade de saírem:

a) a primeira bola branca, a segunda bola verde e a terceira bola azul.

b) três bolas de cores diferentes.

c) três bolas azuis.

2) Uma urna contém exatamente sete bolas: três brancas e quatro azuis. Retirando-se

sucessivamente e sem reposição três bolas, determine a probabilidade de:

a) saírem as duas primeiras bolas azuis e a terceira branca.

b) saírem duas bolas azuis e uma branca.

c) sair pelo menos uma bola branca.

3) A probabilidade de um atirador acertar um alvo em cada tiro é 0,7. Em três tiros, calcule a

probabilidade de ele acertar o alvo:

a) apenas no terceiro tiro.

b) apenas um dos tiros.

c) em pelo menos um tiro.

25

4) No lançamento de um dado e uma moeda, qual é a probabilidade de obter cara na moeda e a

face 5 no dado?

5) Em um campeonato de tiro ao alvo, dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e

70%, respectivamente, de acertar. Nessas condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é:

a) 30% b) 42% c) 50% d) 12% e) 25%

6) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas.

Uma urna é escolhida ao caso e dela é escolhida uma bola também ao acaso. Qual a

probabilidade de observarmos:

a) a urna I e bola vermelha?

b) a urna um e bola preta?

c)a urna II e bola vermelha?

d) a urna II e bola preta?

7) Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao acaso e, sem

reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a probabilidade de:

a) a primeira bola ser vermelha e a segunda branca?

b) a primeira bola ser branca e a segunda vermelha?

c) a primeira e a segunda serem vermelhas?

8) Uma urna um tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 brancas.

Uma urna é escolhida ao acaso e nela é escolhida uma bola, também ao acaso.

a) qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?

b) qual a probabilidade de observamos bola vermelha?

c) se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I?

26

9) Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fábrica B,

existem 24 peças boas e 6 defeituosas, em outro lote da fábrica C, existem 38 peças boas e 2

defeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao caso. Qual a

probabilidade de a peça ser:

a) boa? b) defeituosa?

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Exemplo: Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7

vezes?

EXERCÍCIOS

1) Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja 1/4 . Se

houverem seis crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos

loiros?

2) Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que

em 4 disparos o seja atingido no mínimo 3 vezes?

3) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica

tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é real

(correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia entre 13

selecionados ao acaso.

4) Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% têm uma

determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6

indivíduos na amostra ter essa determinada posição política?

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5) Estima-se que cerca de 30% dos frangos congelados contenham suficiente número de

bactérias salmonelas causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um

consumidor compra 12 frangos congelados. Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de 6

frangos contaminados?

6) A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é

0,20. Se uma amostra aleatória de 6 itens é obtida desta máquina, qual é a probabilidade de haver

5 ou mais em itens defeituosos na amostra?