Estatística II Aula 2 - pmbortolon.wikispaces.compmbortolon.wikispaces.com/file/view/Estatística...

Estatística II

Aula 2

Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Distribuições Amostrais

Antes de tudo...

• ... vocês lembram que:

Estatística Parâmetro

População Amostra

E usamos estatíticas das amostras

para estimar parâmetros da população

Finalidade da amostragem

• Obter uma indicação do valor de um ou mais

parâmetros de uma população, tais como média, o

desvio padrão populacional, ou a proporção de itens

que possuem determinadas característica.

Variabilidade Amostral

• Mas você pode retirar várias amostras diferentes de

uma mesma população!!

• Cada amostra pode te dar diferentes valores para a

média, desvio-padrão ou proporção. Como saber

então qual o valor do parâmetro na população?

• É preciso conhecer como a estatística varia de

amostra para amostra...

Exemplo

• Vamos supor uma população finita com 5 elementos,

que são os números 3, 5, 7, 9, 11.

• Neste caso, é fácil calcular os parâmetros média e

desvio padrão da população:

• A média dessa população é

• E seu desvio padrão é

• Vamos supor que eu não pudesse calcular

diretamente a média da população e tivesse que fazê-

lo através de estimativas com base em amostras de 2

elementos...

75

119753

83,285

7117977757322222

Exemplo

• Quantas amostras diferentes seria possível montar?

• Vamos listar as amostras e suas médias:

• Cada amostra tem uma probabilidade de ser escolhida igual a

1/10.

10!32

!345

!3!2

!5

2

5

x

xx

Amostras 3 e 5 3 e 7 3 e 9 3 e 11 5 e 7 5 e 9 5 e 11 7 e 9 7 e 11 9 e 11

Médias 4 5 6 7 6 7 8 8 9 10

Exemplo

• Posso calcular a probabilidade de encontrar cada um dos

diferentes valores de média nas amostras, que será:

Prob.

4 1/10

5 1/10

6 2/10

7 2/10

8 2/10

9 1/10

10 1/10

x

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

4 5 6 7 8 9 10

O que acabamos de

construir foi uma

distribuição de

probabilidades da

média da amostra

Mas isso nada mais é

do que uma

Distribuição Amostral!!

Distribuição Amostral

Uma distribuição amostral é uma distribuição de

probabilidades que indica até que ponto uma

estatística amostral tende a variar devido a variações

casuais na amostragem aleatória.

Voltando ao Exemplo

• No nosso exemplo qual a média das médias nas amostras? E

qual o desvio-padrão dessas médias?

Prob.

4 1/10

5 1/10

6 2/10

7 2/10

8 2/10

9 1/10

10 1/10

710

110

10

19

10

28

10

27

10

26

10

15

10

14x

3

310

1710

10

179

10

278

10

277

10

276

10

175

10

174

22222222

x

x

x

É igual a média

da população

É menor que o

desvio padrão da

população

• Vamos ver outro exemplo, agora fazendo a

amostragem com reposição...

Exemplo 2

• Suponha uma população (simplificada) de quatro

pessoas de seu departamento.

• Tamanho da população N=4

• Variável aleatória, X, é a idade dos indivíduos

• Valores de X: 18, 20, 22, 24 (anos)

Exemplo 2

Parâmetros da distribuição da População:

214

24222018

N

Xμ i

2.236N

μ)(Xσ

2

i

.3

.2

.1

0 18 20 22 24

A B C D

P(x)

x

Distribuição Uniforme

Exemplo 2

1o.

Obs.

2o. Observação

18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

Agora, considere todas as amostras possíveis de

tamanho n=2

1o.

Obs.

2o. Observação

18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

16 médias

amostrais

16 amostras possíveis

(amostragem com

reposição)

Exemplo 2

Distribuição Amostral de todas as médias

amostrais

1o.

Obs

2o. Observação

18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

16 médias

amostrais

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

P(X)

X

(não é mais uniforme)

Distribuição das

médias amostrais

_

Exemplo 2

2116

24211918

N

Xμ i

X

1.5816

21)-(2421)-(1921)-(18

N

)μX(σ

222

2

Xi

X

Parâmetros da distribuição amostral da média

Exemplo 2

População

N = 4

1.58σ 21μXX

2.236σ 21μ

Distribuição Amostral da Média n = 2

18 20 22 24

A B C D

0

.1

.2

.3

P(X)

X 18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3 P(X)

X _

_

Por enquanto... pelo menos em nossos exemplos...

x , a média da distribuição amostral de x , é igual a , a

média da população; x , o desvio padrão da distribuição

amostral de x , é menor do que , o desvio padrão

populacional.

Observem a notação!!!!

• Mas... será que sempre podemos enumerar todas as

amostras possíveis para então analisar a média

amostral e quanto ela está próxima da média da

população?

• Não!!

• Alguns teoremas solucionam a questão...

• Teorema 1:

Para amostras aleatórias de tamanho n extraídas de uma

população com média e o desvio padrão , a distribuição

amostral de x tem média x .

Erro Padrão

• Desvio padrão da estimativa

• Erro padrão: quanto menor, melhor!

• Erro padrão da média para populações infinitas e finitas:

1N

nN

nou

nxx

O que acontece se o erro padrão é pequeno? E se ele for grande?

O que determina o tamanho do erro padrão?

Você lembra?

Fator de

correção

para populações

finitas!!

Veja que interessante...

• No primeiro exemplo dessa aula tínhamos uma população com 5

elementos: 3, 5, 7, 9, 11

• A média e o desvio padrão da população eram:

• Aí, listamos todas as amostras possíveis e calculamos a média

e o desvio-padrão (erro padrão) das médias das amostras:

• Mas, se calcularmos o erro-padrão pela expressão do slide

anterior, teremos:

87 e

37 xx e

342

38

15

25

2

8

1N

nN

nx

As expressões nos dão o erro padrão sem que seja necessário listar todas as

amostras possíveis, calcular suas médias e então obter o erro padrão da média

das amostras!!

Efeito do tamanho da amostra sobre uma

distribuição amostral

• À medida que aumenta o tamanho da amostra, há

variabilidade cada vez menor entre as médias das

amostras;

• A média da distribuição amostral é igual ao

parâmetro da população, ou seja, é igual à média da

população;

• Na medida em que o tamanho da amostra aumenta,

a distribuição dos resultados amostrais tende para a

forma da distribuição normal (ver apostila nas

páginas 229 a 232).

Distribuição Amostral da Média

Erro Padrão: População Normal

μμX

n

σσ

X

• Se a população é normal com média μ e desvio-padrão σ, a

distribuição amostral da média é também distribuída

normalmente com

e

(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem

reposição em uma população infinita)


Valor Z: População Normal

n

σ

μ)X(

σ

)μX(Z

X

X

• Valor-Z para a distribuição amostral da média:

onde: = média da amostra

= média da população

= desvio padrão da população

n = tamanho da amostra

Xμ

σ


Propriedades: População Normal

(i.e. é não viesada )

População segue

Distribuição Normal

Distribuição Amostral da

média segue


(com a mesma média)

μμx

xx

x

μ

xμ


Propriedades: População Normal

• Para amostragem com reposição:

– À medida que n aumenta,

– diminui xσ Maior tamanho

de amostra

Menor tamanho

de amostra

xμ

Teorema do Limite Central

• Para grandes amostras, a distribuição amostral da média pode

ser muito bem aproximada por uma distribuição normal,

lembrando que para populações infinitas:

• Podemos então dizer formalmente que:

ne xx

Se x é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população infinita com a média μ e o desvio padrão σ e se n é grande

então

n

xz

/

tem aproximadamente a distribuição normal padrão.


• Se aplica a populações infinitas...

• ... e a populações finitas em que n é grande mas

representa uma porção pequena da população, ou

seja, n/N é pequeno

• Em geral n=30 é considerado suficientemente

grande

• Quando sabemos que a população tem distribuição

normal, a distribuição amostral da média pode ser

aproximada pela normal, independentemente do

tamanho de n.

X


À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...

Estatística: Prof. André Carvalhal

X


A distribuição

amostral torna-

se praticamente

normal.

À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...


X


A distribuição

amostral torna-

se praticamente

normal.

À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...

xn

x



Exemplo

• Suponha uma população com média μ = 8 e desvio-

padrão σ = 3. Suponha uma amostra aleatória de

tamanho n = 36 é selecionada.

• Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre

7.75 e 8.25?

• Mesmo que a população não seja normalmente

distribuída, o Teorema do Limite Central pode ser usado

(n > 30).

• Então, a distribuição amostral da média é

aproximadamente normal com

8μ x0.5

36

3

n

σσx


Exemplo

5.0

363

8-8.25

5.0

363

8-7.75

Z

Z

Primeiro, vamos calcular os valores-Z para 7.75

e 8.25.

0.38300.5)ZP(-0.5 8.25) μ P(7.75X

Agora, usando uma tabela de probabilidades da

Distribuição Normal teremos:


Exemplo

= 2(.5000-.3085)

= 2(.1915)

= 0.3830

Z -0.5 0.5


Padrão

0μz7.75 8.25

Distribuição

Amostral

Amostra

8μX

x

Distribuição da

População

8μ X

Distribuição Amostral da Proporção

amostra da tamanho

interesse de ticacaracterís a com amostra na de número

n

X itensp

• A proporção da população com determinada

característica é denotada por π.

• A proporção da amostra ( p ) com esta

característica dá uma estimativa de π:

– 0 ≤ p ≤ 1

– p segue uma Distribuição Binomial

(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem reposição em

uma população infinita)


• Erro padrão para a proporção:

n

)(1σp

n

)(1σZ

p

pp

• Valor-Z para a proporção:


Exemplo

• Se em um plebiscito a proporção de votantes à favor

da Proposta A é π = .4, qual a probabilidade de que

em uma amostra de 200 pessoas a proporção de

votantes a favor esteja entre .40 and .45?

• Em outras palavras, se π = .4 e n = 200, qual a?

P(.40 ≤ p ≤ .45) ?


Exemplo

.03464200

.4).4(1

n

)(1σ p

1.44)ZP(0

.03464

.40.45Z

.03464

.40.40P.45)P(.40 p

Encontre :

Converta para

a Normal

Padronizada:

pσ


Exemplo

Use a tabela de probabilidade Normal acumulada:

P(0 ≤ Z ≤ 1.44) = P(Z ≤ 1.44) – 0.5 = .4251

Z .45 1.44

.4251

Padronize

Distribuição Amostral Distribuição Normal

Padronizada

.40 0 p

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