Estatística para Concursos

8/8/2019 Estatstica para Concursos

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Apostila de Estatstica

Assunto:

ESTATSTICA P/CONCURSOS

ESAF

Autor:

LUCIANO BARBOSA DA SILVA

Introduo Estatstica

Estatstica


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uma coleo de mtodos para PLANEJAR EXPERIMENTOS, OBTER DADOS, ORGANIZ-LOS, RESUMI-LOS, ANALIS-LOS, INTERPRET-LOS e deles EXTRAIR CONCLUSES.

A estatstica uma cincia da INFORMAO.

DEFINIES IMPORTANTES

INDIVDUOS So os objetos descritos por um conjunto de Dados. Os indivduos podem ser:pessoas, coisas, animais etc.;VARIVEL qualquer caracterstica de um indivduo;POPULAO - a coleo completa de todos os indivduos a serem estudados;CENSO uma coleo de dados relativos a todos os elementos de uma populao;AMOSTRA uma sub-coleo de elementos extrados de uma populao;

Exemplo Nos EUA, uma pesquisa Nielsen tpica da televiso utiliza uma amostra de 4000lares e com base nos resultados formula concluses acerca da populao de todos os 97.855.392lares americanos.

PARMETRO uma medida numrica que descreve uma caracterstica de uma populao;ESTATSTICA uma medida numrica que descreve uma caracterstica de uma amostra;

Exemplo Pesquisa feita pela Bruskin-Goldring Research com 1015 pessoas escolhidasaleatoriamente, 269 (26,5%) possuam computador. Como a cifra de 26,5% se baseia em umaamostra, e no em toda a populao trata-se de uma estatstica (e no de um parmetro). Poroutro lado de uma pesquisa cuja populao alvo so os alunos matriculados na disciplina deestatstica, feita com cada um desses alunos revela que 26,5% no possuem computador emcasa isto um parmetro.

EXPERIMENTO - Conjunto de procedimentos reprodutveis que visam a obteno de informaosobre uma dada realidade.

EXPERIMENTO DETERMINSTICO - aquele que garantidas as mesmas condies iniciais oresultado ser o mesmo.

Exemplo - Observar a temperatura de ebulio da gua em condies normais detemperatura e presso.

Exemplo - Soltar um objeto a certa altura e calcular a velocidade com que chega ao solo.

EXPERIMENTO ALEATRIO - aquele que mesmo garantindo as condies iniciais impossvelprever com certeza o resultado do mesmo.

Exemplo - O lanamento de uma moeda;

Exemplo - O comportamento de um ndice financeiro como o Ibovespa (Bolsa de Valoresde So Paulo);


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VARIVEIS ALEATRIAS (VA) - So funes que associam valores numricos a resultado deexperimentos aleatrios;

VA's DISCRETAS - So aquelas que assumem um numero finito ou infinito e enumervel de valores;

Praticamente podemos pensar na variveis aleatrias discretas como funes que associam

resultado de experimentos aleatrios a nmeros inteiros.Dica - Todas as variveis aleatrias associadas a contagem so discretas.

Exemplo: Suponha que lancemos um dado e chamemos X uma VA que assume o valor daface do dado que estiver para cima. X s pode assumir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. X, portanto, discreta.

Exemplo - Suponhamos agora que um estudo sobre uma populao em que estivessemosinteressados em entender o perfil educacional. Suponha que num questionrio constasse oseguinte item: Escolaridade, e que as respostas possveis a esse item fossem: 0 - Analfabeto;

1 - 1 Grau Incompleto; 2 - 2 Grau incompleto; 3 - 3 Grau Incompleto; 4 - 3 GrauCompleto; 5 - Ps-graduao em andamento; 6 - Ps-graduao completa.

Se associarmos uma VA X a esses valore, de modo que X sp possa assumir 0, 1, 2, 3, 4, 5,ou 6 temo X como uma VA discreta.

Se num outro item do questionrio tivessemos Sexo: 0 - Masculino ou 1 - Feminino, eassociamos uma VAY, de modo que Y s pode assumir 0 ou 1, temos que Y uma VAdiscreta;

Exemplo: Suponha que voc um dono de restaurante. Defina X como o nmero de

clientes que almoam no seu restaurante a cada dia. X pode assumir 0, 1, 2, 3, 4.... X umaVA discreta.

VA's CONTNUAS - So aquelas que assumem uma quantidade no-enumervel de valores. Paraefeitos prticos aquelas que podem assumir valores num sub-conjunto dos reais.

Dica - Todas as variveis associadas medidas que dependam da preciso de um instrumento socontnuas.

Exemplo - Nos estudos astronmicos o tempo aparece em medida de bilhes de anos. Nessaescala anos, dias e horas so despresveis. Para a histria humana uma escala de anos compeum quadro suficiente. Para o dia a dia um relgio que marque hora e minutos suficiente paraacertamos nossos compromissos. Para a frmula 1 os cronmetros precisam dos milsimos.Assim a durao do tempo uma medida que pode ser detalhada infinitamente, sem deixar deser medida de tempo. Se X uma VA que mede a durao de tempo X uma VA contnua.

OBS - No caso do exemplo anterior note que h uma dependncia da preciso do instrumentode medida.


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Exemplo - Um estudo deseja entender a distribuio de alturas no Brasil. Recolhe-se umaamostra e defne-se X como a altura de um indivduo. X depende da preciso do instrumento epode ser subdividida infinitamente, sem deixar de ser uma medida coerente de altura. X umaVA contnua.

PRINCIPAIS PARTES DA CINCIA ESTATSTICA

PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO e AMOSTRAGEM a parte da estatstica responsvelpela gerao e/ou coleta dos dados;ESTATSTICA DESCRITIVA a parte da estatstica responsvel pela organizao e exploraode informaes nos dados amostrais;INFERNCIA ESTATSTICA a parte da estatstica que a partir das informaes amostrais eutilizando a TEORIA DAS PROBABILIDADES faz afirmaes sobre toda a populao com um graude certeza controlado.

Natureza dos Dados

Dados Quantitativos Consistem em nmeros que representam contagens ou medidas;Dados Qualitativos (Categricos ou Atributos) Consiste em simbolos que representam categorias.

Exemplo Dados Quantitativos Medidas de Altura;

Dados Qualitativos Sexo, Escolaridade.

Os dados quantitativos podem ser divididos em duas classes:

Dados Discretos Resultam de um conjunto finito ou enumervel de valores (em geral dados que seexpressam por nmeros inteiros);Dados Contnuos

Resultam de um nmero no-enumervel de valores (em geral dados que seexpressam por nmeros reais).

OBS Quando os dados representam contagens so discretos e quando representam medies socontnuos;

Outra forma de classificao:

Nvel Nominal de Mensurao caraterizado por dados que consistem apenas em nomes, rtulosou categorias. Os dados nominais no podem ser dispostos segundo um esquema ordenado.

Exemplo Respostas Sim ou No, Sexo (Dados Binrios), Marca de Automveis

OBS s vezes atribui-se nmeros a categorias (em especial quandocomputadores), mas tais nmeros no tm qualquer significado para efeito de clculo.

Exemplo Sexo Masculino = 1, Feminino = 0

Marca de Automvel Ferrari = 1, Mercedes = 2, Outros = 3


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Nvel Ordinal de Mensurao Envolve dados que podem ser dispostos em alguma ordem, mas asdiferenas entre os valores dos dados no podem ser determinadas ou no tm sentido.

Exemplo Um editos classifica manuscritos de livros em: Excelentes, Bons, Maus;

Numa entrevista pede-se a um consumidor ordenar trs produtos similares em 1, 2

e 3 lugar.Nvel Intervalar de Mensurao anlogo ao nvel ordinal, com a propriedade adicional de quepodemos determinar diferenas significativas entre os dados. Todavia no existe ponto de partida, ouseja zero, inerente.

Exemplo Anos : 1000, 2000, 1776, 1944, ... (esta contagem de tempo no comeou numzero);

Escala de Temperatura em Centgrados: 10, 20 (20 no significa que est duas vezes maisquente que 10, o zero da escala arbitrrio).

OBS Entenda-se zero como ausncia da caracterstica de interesse.

Nvel de Razo de Mensurao o nvel de intervalo modificado de modo a incluir o ponto departida zero inerente.

Exemplo Pesos, Durao de Tempo de um dado processo, Temperatura em Kelvin etc.

Sumrio do que foi apresentado

Nvel Sumrio Exemplo

Nominal To somente categorias. Os dados no podem serdispostos em um esquema ordenado.

Carros:

10 Ferrari;

20 Mercedes

30 Honda

Ordinal As categorias so ordenveis mas no podemosestabelecer diferenas, ou estas no tm sentido.

Carros:

10 Compactos

20 Mdios

40 Grandes

Intervalo Podemos determinara diferena entre valores,mas no h ponto de partida intrnseco. As razesno tm sentido.

Temperatura:

15C


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25C

30C

(30 no duas vezes maisquente que 15)

Razo Como intervalo, mas com um ponto de partidainerente. As razes tm sentido.

Peso:

70Kg

90Kg

140Kg

(140Kg duas vezes maispesado que 70Kg)

ESTATSTICA DESCRITIVADefinio um conjunto de tcnicas que visa: organizar e sumarizar a informao contida nos dados.

Para este fim utiliza-se TABELAS e GRFICOS (organizao) e MEDIDAS (de centralidade e dedisperso, p/ sumarizao).

TABULAO

Normas para Apresentao Tabular da Estatstica Brasileira. Resoluo N 886, de 26 deoutubro de 1966. (Pontos Principais)

Definies

Uma tabela estatstica compe-se de elementos essenciais e elementos complementares.

Os elementos essenciais de uma tabela estatstica so: o ttulo, o corpo, o cabealho e a colunaindicadora.

Ttulo a indicao que precede a tabela e que contm a designao do fato observado, o local e apoca em que foi registrado.

O corpo o conjunto de colunas e linhas que contm respectivamente, em ordem horizontal e vertical,as informaes sobre o fato observado.

Casa o cruzamento de uma coluna com uma linha.

As casas no devero ficar em branco, apresentando sempre um nmero ou um sinal convencional.

Cabealho a parte superior da tabela que especifica o contedo das colunas.


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Coluna indicadora a parte da tabela que especifica o contedo das linha.

Uma tabela pode Ter mais de uma coluna indicadora

Os elementos complementares de uma tabela estatstica so: a fonte, as notas e as chamadas, e sesituam de preferncia no rodap da tabela.

Fonte a indicao da entidade responsvel pelo fornecimento dos dados ou pela sua elaborao.

Notas: so informaes de natureza geral, destinadas a conceituar ou esclarecer o contedo das tabelas,ou a indicar a metodologia adotada na elaborao dos dados

Chamadas: So informaes de natureza especfica sobre determinadas partes da tabela, destinadas aconceituar ou esclarecer dados.

As chamadas so indicadas no corpo da tabela em algarismos arbicos, entre parnteses, esquerda nascasas e direita na coluna indicadora.

A numerao das chamadas da tabela ser sucessiva, de cima para baixo e da esquerda para a direita.

A distribuio das chamadas no rodap na tabela obedecer ordem de sua sucesso na tabela,separando-se uma das outras por ponto (.).

As chamadas de uma tabela que ocupe mais de uma pgina devem figurar no rodap da tabela daltima pgina, de acordo com a sucesso da mesma.

Sinais Convencionais

- (trao), quando o dado for nulo;... (trs pontos), quando no se dispuser do dadoX (letra x), quando o dado for omitido a fim de evitar a individualizao das informaes

Apresentao das Tabelas

As tabelas, excludos os ttulos, sero delimitadas, no alto e em baixo, por traos horizontais grossos,preferencialmente.

Recomenda-se no delimitar as tabelas, direita e esquerda, por traos verticais.

Ser facultativo o emprego de traos verticais para separar as colunas no corpo da tabela.Quando uma tabela, por expressa altura, tiver de ocupar mais de uma pgina, no ser delimitada naparte inferior, repetindo-se o cabealho na pgina seguinte. Neste caso, deve-se usar, no alto docabealho ou dentro da coluna indicadora, a designao contnua ou concluso, conforme o caso.

Exemplo

(Ttulo)


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Pessoal Docente Lotado na Universidade X

Por categoria funcional e formao acadmica

1976

Formao

Acadmica

Categoria Funcional CategoriaFuncionalCategoriaFuncional

Titular Adjunto Assistente Auxiliar deEnsino

Graduao 10 30 25 9 74

Especializao - ... 1 31 4

Aperfeioamento 5 4 3 1 13

Mestrado 1 - 2 4 7

Doutorado (1) (2) 5 (3) 3 2 - 10Total 21 37 33 17 108

Fonte: Servio de Estatstica da Educao e Cultura

Com e sem curso de mestradoProtegido pela Lei n 5.540Livres Docentes

Aps a coleta dos dados e sua apurao necessta-se de mtodos de apresentao dos dados. Para tantoum dos instrumentos a TABELA.

A filosofia da tabulao obedece ao seguinte critrio: mximo de esclarecimento (informao) nummnimo de esforo e tempo .

Uma tabela pode ser decomposta em 3 partes:

TTULO uma apresentao do que a tabela est tentando representar. Deve conter informaessuficientes para responder s seguintes questes:

O QUE? (referente ao fato);ONDE? (referente a lugar);QUANDO (referente a tempo).

Exemplo 1 Acidentes com morte na Br 232 em 2000

O QUE? Acidentes com morte;

ONDE? Br 232;

QUANDO 2000.


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Exemplo 2 N de acesso a disco, Servidor da Universo em 07/08/2000

O QUE? N de acesso a disco;

ONDE? Servidor da Universo;

QUANDO 07/08/2000.CORPO composto de um conjunto de colunas e subcolunas onde so postos os dados coletados.

Exemplo

Previso da Populao para a Cidade de So Paulo

1984 2020

Anos Populao(em 1000 hab.)

1984 9439

1990 11160

1995 12224

2000 13410

2010 14910

2020 15532Fonte: XXXX

RODAP Coloca-se todas as legendas que visam esclarecer a interpretao da tabela. Geralmentetambm no rodap que se coloca a fonte dos dados.

Exemplo

Sexo

Tipo

Homens Mulheres Total

Maiores 60 30 90

Menores 40 10 50

Total 100 40 140

Fonte: Departamento de Relaes Industriais

SRIES ESTATSTICA


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So assim chamadas as tabelas estatsticas nas quais existe um critrio distintivo de agrupamento. Soelas:

Sries Cronolgicas;Sries Geogrficas;Sries Especficas;

Sries Conjugadas.Sries Cronolgicas (ou temporais)

Neste tipo de srie o QUE (fato) e o ONDE (local) permanecem fixos, enquanto o QUANDO(tempo varia), ou seja a informao varia com a variao do tempo.

Ex:

Evoluo da Demanda de Vestibulandos

Brasil 1978 1982

Anos Inscritos

1978 1.250.537

1979 1.559.097

1980 1.803.5674

1981 1.735.457

1982 1.689.249

Fonte: CODE INF/SESU/Ministrio da Educao.

OBS Aqui o QUE, Demanda de Vestibulandos, permanece fixo, bem como o ONDE, no casoo Brasil. Mas a informao muda com o tempo.

Exemplo

N de Computadores Vendidos no Estado X

1 Semestre de 1986

Meses NJan 25.000

Fev 26.000

Mar 340.000

Abr 350.000

Mai 190.000


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Jun 220.000

Fonte: XXXXXX

Sries Geogrficas (ou de Localizao)

Nestas sries o elemento varivel o ONDE (local) enquanto o QUE (fato) e o

QUANDO (tempo) permanecem constantes.

Exemplo

Nmero de Emissoras de Rdio nas Grandes

Regies do Brasil

1980

Grandes Regies Quantidade de Rdios

Norte 43

Nordeste 215

Sudeste 517

Sul 403

Centro-Oeste 85

Brasil 1.263

Fonte: SEEC ME/IBGE.

Exemplo

Populao Brasileira Segundo as Regies

1970

Regies Populaes

Norte 5.885.536

Nordeste 34.855.469

Sudeste 51.746.318

Sul 19.038.935

Centro-Oeste 7.544.607

Brasil 119.070.865

Fonte: IBGE


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Sries Especficas (ou de Qualidade)

So aquelas em que o ONDE (local) e o QUANDO (tempo) so fixos variando-se o QUE(fato) em subgrupos de caractersticas prprias.

Exemplo

Matrculas no ensino 3 Grau no Brasil

1983

reas de Ensino Matrculas

Cincias Biolgicas e Prof. De Sade 180.176

Cincias Exatas e Tecnolgicas 334.694

Cincias Agrrias 38.181

Cincias Humanas 761.367Letras 94.618

Artes 24.612

Fonte: SEEC IBGE

Exemplo:

Corpo Docente do Ensino de 3 Grau no Brasil

1975

Especificao Quantidade

Titular 28.079

Adjunto 11.306

Assistente 28.711

Colaborador 4.377

Auxiliar de Ensino 20.073

TOTAL 92.546Fonte: SEEC IBGE

Sries Conjugadas (ou mistas)

So assim classificadas as sries que combinam pelo menos duas das sries anteriores.

Exemplo:


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Receita do Municpio X

1983 1986

Receita ($ 1000)

Anos Prevista Arrecadada

83 10.746.393 10.739.487

84 24.891.790 19.374.275

85 52.913.762 60.721.847

86 79.648.844 90.757.069

Fonte: Secretaria de Economia e Finanas

OBS As informaes variam em dois sentidos: por ano (vertical) e por especificao do fatoobservado (horizontal Receita Prevista e Receita Arrecadada).

Tabela de Freqncias

As tabelas de freqncias s muito importantes na estatstica. Basicamente so utilizadas para se teruma idia quantitativa sobre a distribuio dos dados, ou seja, como os dados se manifestam.

Assim como existem dois tipos de dados existem tambm dois tipos de tabelas de freqncias.

Tabela de freqncias para dados discretos

Neste caso a tabela de freqncias se compe basicamente de duas informaes: as possveisocorrncias e a quantidade de vezes que cada uma ocorreu de fato.

Exemplo: Imagine que voc lana um dado 20 vezes e anota, em cada lanamento, o valor daface voltada para cima. Suponha que temos os seguintes resultados:

1 5 3 1 4

3 1 2 5 2

6 2 1 3 1

3 3 4 1 5

Para este exemplo temos a seguinte tabela de freqncias:

Valores

Observados (xj)

Freqncia

Observada (Fj)

1 6

2 3


14/28

3 5

4 2

5 3

6 1

Total 20OBS

Na primeira coluna temos os primeiros valores do experimento aleatrio em questo, no nosso caso, ospossveis valores das faces do dado;Na segunda coluna temos o nmero de vezes que cada face ocorreu no processo. Sendo assim l-se atabelada seguinte forma: A face 1 ocorreu 6 vezes, a face 2 ocorreu 3 vezes, etc;A segunda coluna, coluna das freqncias, montada contando-se as ocorrncias da respectiva face databela de resultados do nosso experimento;A soma total da coluna das freqncias tem valor igual ao total de observaes do experimento.

Exemplo: Suponha que voc o revisor de um livro e o responsvel por encontrar os errostipogrficos. Voc observa que o nmero mximo de erros por pgina 4. Como resultado desua reviso voc poderia ter, para um livro de 60 pginas, a seguinte tabela de freqncias deerros:

N de Erros N de Pginas

com o respectivo

N de erros

0 301 10

2 5

3 5

4 10

Total 60

Tabela de freqncias para dados contnuos

Quando os dados so contnuos o mtodo de montagem da tabela de freqncias diferente. Omtodo para dados contnuos consiste no estabelecimento de classes e do nmero deocorrncias de valores nas classes.

Algumas definies importantes:

Dados Brutos: So os dados como foram gerados, sem nenhum critrio de organizao;


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Rol: um arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente;

Exemplo: Considere uma prova feita por 25 alunos cujos resultados foram:

8,0 3,0 4,5 0,0 7,5

6,0 3,5 3,0 3,5 4,5

1,0 1,0 2,5 4,5 2,0

2,5 10,0 3,0 7,0 1,0

4,0 9,5 1,0 8,0 9,0

Da forma como esto esses dados so brutos, esto sem nenhum critrio de organizao. Um rolcrescente desses dados seria

0,0 2,0 3,0 4,5 8,0

1,0 2,5 3,5 4,5 8,0

1,0 2,5 3,5 6,0 9,0

1,0 3,0 4,0 7,0 9,5

1,0 3,0 4,5 7,5 10,0

Limites de Classe: Uma classe um subconjunto do Rol limitada inferiormente por um nmerochamado Limite Inferior da classe e superiormente por um outro nmero chamado Limite Superior daclasse.

Exemplo: Uma classe , por exemplo, o conjunto 0 |----- 3. 0 o limite inferior da classe e 3 olimite superior. O smbolo |------- indica que o limite inferior, no caso 0, contado como

pertencente classe da qual limite inferior e que o limite superior, no caso 3, no contandocomo pertencente a essa classe. Em outras palavras para uma classe geral o seu limite inferior contado como pertencente mesma enquanto o limite superior como no pertencente.

Amplitude Total uma medida estatstica definida como

AT = Max Min

onde:

Max o valor mximo dos dados,

Min o valor mnimo dos dados.

No nosso exemplo: AT = 10 0 = 10

Ponto Mdio da Classe: a mdia aritmtica entre os limites da classe.Nmero de Classes: definido como a quantidade de classes utilizada para representar os dados. Onmero n de classes definido como sendo:


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n = 1 + 3,3log10(N)

onde N o nmero de dados com os quais se trabalha.

OBS

Em geral n no um nmero inteiro. Neste caso n deve assumir um inteiro prximo. Ex n = 3,3 entopoderamos assumir 3 ou 4.

N vale aproximadamente para valores de N at 50.

Para o nosso exemplo: n = 1 + 3,3log10(25) = 5,61 6.

Amplitude de Classe: Corresponde extenso da classe, ou seja, diferena entre o limite superior e olimite inferior das classes. Na realidade na montagem da tabela temos que definir primeiro a amplitudede classe para, s ento, definirmos as classes. Para tanto usamos a seguinte expresso:

AC = AT / n.

Para o nosso caso: AC = 10/6 = 1,66

OBS Podemos trabalhar tambm com amplitudes de classe mais simples, de modo afacilitar nossa operao. Neste caso aproximamos o valor para um valor de ordemsuperior digamos, no nosso caso, 1,7.

Com estas informaes somos capazes de criar uma tabela de freqncia para nossodados bastando, para isso, determinarmos o limite inferior da primeira classe.

OBS

A exigncia sobre o limite inferior da primeira classe +e que ele seja menor ou igual ao menor valordos dados;A exigncia sobre o limite superior da ltima classe que ele seja maior que o valor mximo dosdados.

DICA: Utilizar como limite inferior o menor valor dos dados.

Finalmente para os nosso dados temos a seguinte tabela de freqncias:

Classes Fj

0,0 |-----1,7 5

1,7 |----- 3,4 6

3,4 |----- 5,1 6

5,1 |----- 6,8 1

6,8 |----- 8,5 4


17/28

8,5 |----10,2 3

Total 25

OBS

Os nmeros da coluna de freqncias Fj so estabelecidos contando-se as quantidades de valores que

caram em cada classe. Por exemplo: conta-se na classe 0,0 |----- 1,7 qualquer valor maior ou igual a0,0 e estritamente menor que 1,7. Assim os seguintes valores so contados nessa classe: 0,0; 1,0; 1,6.Se existisse um valor 1,7 esse valor 1,7 seria contado na segunda classe 1,7 |----- 3,4.As tabelas de freqncia para os dados contnuos tambm podem ser utilizadas para dados discretos.Isso ocorre quando as possibilidades de ocorrncias so muito grandes.Os valores na coluna de freqncias Fj so chamados de freqncia absoluta.

Outras colunas importantes podem ser acrescentadas s tabelas de freqncias:

Freqncia Absoluta Acumulada (FAC)

Quando lemos os dados de freqncia absoluta somos capazes de responder pergunta:quantas observaes caram nesta classe?. No nosso caso na classe 0,0 |----- 1,7 caram7 etc.

A freqncia acumulada toma por base o limite superior da classe em questo epergunta: at esse limite superior, quantas observaes j ocorreram?. Para o nossocaso na primeira classe temos que at 1,7 (limite superior da primeira classe) socorreram 5 observaes. At 3,4 (limite superior da segunda classe) ocorreram 11observaes e assim por diante. Dessa forma teremos a seguinte tabela de freqncias:

Classes FjFAC

0,0 |-----1,7 5 5

1,7 |----- 3,4 6 11

3,4 |----- 5,1 6 17

5,1 |----- 6,8 1 18

6,8 |----- 8,5 4 22

8,5 |----10,2 3 25

Total 25 25

OBS: A FAC da ltima classe tem que ser o valor total das observaes, pois o limitesuperior da ltima classe tem que ser maior que o maior valor dos dados.

Freqncia Relativa (FREL)

A freqncia relativa mostra aperticipao percentual da classe no todo dos dados. definida como a freqncia absoluta dividida pela quantidade total de observaes.Assim na classe 0,0 |-----1,7 temos como freqncia relativa 5/25 = 0,20 e assim pordiante de modo que nossa tabela dada por:


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Classes FjFACFREL

0,0 |-----1,7 5 5 0,20

1,7 |----- 3,4 6 11 0,24

3,4 |----- 5,1 6 17 0,24

5,1 |----- 6,8 1 18 0,046,8 |----- 8,5 4 22 0,16

8,5 |----10,2 3 25 0,12

Total 25 1,00

OBS

A soma da coluna de freqncias relativas sempre igual a 1, que corresponde a 100%;A coluna de freqncias relativas pode ser lida como percentual.

Freqncia Relativa Acumulada (FREL AC)

Obedece ao mesmo princpio da freqncia acumulada normal, s que ao invs deacumular-se a freqncia relativa. Assim:

Classes FjFACFRELFREL AC

0,0 |-----1,7 5 5 0,20 0,20

1,7 |----- 3,4 6 11 0,24 0,44

3,4 |----- 5,1 6 17 0,24 0,68

5,1 |----- 6,8 1 18 0,04 0,72

6,8 |----- 8,5 4 22 0,16 0,88

8,5 |----10,2 3 25 0,12 1,00

Total 25 1,00

Estatstica Grfica

A estatstica grfica consiste na utilizao de estruturas geomtricas, cores, noes de proporo etc,para expor a informao contida nos dados. A filosofia a mesma das tabelas: o mximo de

informao no mnimo de espao.Grficos para Representao de Freqncias

Dados Discretos:

Consiste em associar a cada valor ocorrido uma haste cuja a altura diretamenteproporcional ao valor da freqncia do valor em questo.


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Exemplo: Num lanamento de um dado 20 vezes podemos ter o seguinte resultado:

Valores

Observados

Freqncias

Observadas

1 6

2 3

3 5

4 2

5 3

6 1

Total 20

OBS

As informaes de freqncias so representadas pelas hastes. Quanto maior a freqncia observadamaior ser a haste associada;As hastes no tm espessura, so linhas verticais;No se ligam os pontos extremos superiores das hastes;

Este grfico tambm pode ser utilizados para representar freqncia acumulada, relativa e relativaacumulada. Nestes caso a mudana acontece na escala do eixo y, ficando o eixo x inalterado.

Para o nosso caso temos o seguinte grfico para freqncia acumulada:


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Dados Contnuos

Histogramas

Um dos mais famosos grficos e importantes grficos em estatstica representa asfreqncias, para dados contnuos, atravs de retngulos justapostos cujas reasso proporcionais s freqncias de classes.

Exemplo: Voltemos ao exemplo das notas. Temos a seguinte tabela defreqncias.

Classes de

Notas

Fj

0,0 |----- 1,7 5

1,7 |----- 3,4 6

3,4 |----- 5,1 6

5,1 |----- 6,8 1

6,8 |----- 8,5 4

8,5 |----- 10,2 3

Total 25

Para este caso temos o seguinte histograma:


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OBS

Os retngulos tm rea proporcional freqncia;Os retngulos devem ser da mesma cor pois isso indica que representamos a mesma realidade em cadaclasse;No deve haver distncia entre as colunas dos histogramas;Assim como na representao de dados discretos o histograma tem tambm suas verses Acumulada,Relativa e Relativa Acumulada. O formato da verso relativa igual verso absoluta e a verso darelativa acumulada ao da acumulada, em ambos os casos variando-se apenas o eixo y.

Para o nosso caso

Classes de

Notas

Fj FAC

0,0 |----- 1,7 5 5

1,7 |----- 3,4 6 11

3,4 |----- 5,1 6 17

5,1 |----- 6,8 1 18

6,8 |----- 8,5 4 22

8,5 |----- 10,2 3 25

Total 25

O histograma para a FAC


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Polgono de Freqncias

Uma outra forma de representao de dados o polgono de freqncias. Nestarepresentao utiliza-se uma linha poligonal para representar a variao dasfreqncia das classes.

Exemplo: Voltemos mais uma vez ao nosso exemplo das notas

Classes de

Notas

Fj PM

0,0 |----- 1,7 5 0,85

1,7 |----- 3,4 6 2,55

3,4 |----- 5,1 6 4,25

5,1 |----- 6,8 1 5,95

6,8 |----- 8,5 4 7,65

8,5 |----- 10,2 3 9,35Total 25

Para desenhar o polgono de freqncias precisamos do ponto mdio das classes.A partir destas marca-se a altura correspondente freqncia e depois une-seesses pontos por uma linha poligonal. Assim temos


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OBS

O grfico consiste na ligao dos pontos cartesianos formados pelos pontos mdios das classes e asfreqncias por linhas poligonais;Os pontos inicial e final do grfico so pontos mdios das classes que existiriam antes da primeira edepois da ltima classe real dos dados. Eles so introduzidos para manter a proporcionalidade narepresentao dos dados;Este grfico tambm pode ser utilizado para representar freqncias acumuladas. Neste caso usam-seos pontos finais da classe como referncia, ao invs dos pontos mdios. Para o nosso caso:

O polgono de freqncias tambm pode ser utilizado para representar a freqncia relativa acumulada.O polgono para freqncia relativa tem a mesma forma do grfico de freqncia absoluta e o grficode freqncia absoluta acumulada mesma forma do polgono de freqncias acumuladas. Em ambos oscasos, apenas existe diferena na escala do eixo y.


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Grficos para Representao de Dados Diversos

At agora vimos a representao grfica apenas para dados de freqncia. Outros grficos soimportantes para representar outras classes de dados.

Grficos Lineares

So usados principalmente para representar sries temporais. Consiste em uma formacartesiana simples em que os pares ordenados (x,y) representam a informao e soconectados por linhas poligonais.

Exemplo: Um pesquisador est estudando a populao de um dado pas e obtm osseguintes dados:

Ano Populao

(em milhes)

1990 100

1991 108

1992 115

1993 125

1994 137

O grfico linear para esses dados :

OBS

O grfico linear tem o mesmo comportamento do polgono de freqncias mas serve para representardados que no so freqncias.


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O grfico linear muito bom quando se que enfatizar tendncias;Mais de uma srie pode ser representada no mesmo grfico. Para tanto deve-se observar:

Compatibilidade dos eixos;A utilizao de cores ou padres para enfatizar as linhasA utilizao de legendas.

Exemplo: Suponhamos uma empresa com a seguinte evoluo financeira

Ano Receita

(x 1000)

Despesa

(x 1000)

1998 100 80

1999 110 100

2000 120 120

2001 130 140

Um indicador de tendncia do grfico linear a inclinao dos seguimentos de reta que o compe. Atendncia to maior quanto maior for a inclinao dos mesmos.

Grfico de Colunas ou Barras

Os grficos de colunas ou barras so grficos que, assim como o histograma,representam a magnitude dos dados pela rea do retngulo.

Os retngulos tm um lado fixo e, portanto, a magnitude dos dados representada pelaoutra dimenso.


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Quando os retngulos esto em posio vertical diz-se que temos grfico de colunas,caso em posio horizontal diz-se que temos grficos de barras.

Todas as observaes feitas para os grficos de colunas valem para os grficos de barras,respeitada a orientao particular.

Em geral os grficos de barra podem representar qualquer srie , mas soparticularmente importantes para sries especficas.

Grficos de colunas justapostas

So grficos em que a base do retngulo representa uma categoria (tipos, datasetc) e que a altura do mesmo proporcional magnitude dos dados.

Exemplo: Em uma universidade foi feito um levantamento sobre o nmero dealunos inscritos por curso obtendo-se:

Curso N alunosAdministrao 50

Anlise de Sistemas 30

Direito 70

Pedagogia 20

Temos o seguinte grfico de colunas justapostas para o nosso exemplo

OBS

Os grficos de colunas justapostas podem vir com as colunas coladas ou com intervalos regulares entreelas;


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Pode-se colorir o grfico colocando uma cor em cada coluna ou ainda um padro de preenchimentopara cada coluna. Neste caso pode ser necessria uma legenda;Todo raciocnio anterior vlido para os grficos de barras lembrando que nesse caso a base doretngulo est no eixo vertical, como abaixo

Grficos de Colunas para Sries Multivariadas

Estes grficos so utilizados para representar dados onde para cada objeto observadoexiste mais de uma fonte de informao. Este grfico uma generalizao do grfico decolunas justapostas e, portanto, segue o mesmo tipo de regra de formao.

Exemplo: Suponha que o MEC fez um levantamento de dados sobre o nmero de alunosnos cursos de Administrao, Direito, Pedagogia e Letras em quatro universidades de

uma mesma cidade obtendo a seguinte srie:

Curso

Universidade

Administrao Direito Pedagogia Letras

A 100 150 70 50

B 80 90 30 40

C 90 80 20 20

D 120 150 80 60

Uma representao grfica para esses dados a seguinte


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OBS

No grfico de sries multivariadas uma noo muito clara tem que ser a de classes distintas. Deve estarclaro para o leitor onde comea e onde termina a informao sobre cada classe. Isso se conseguecolocando um espao vazio separando-as.Dentro da mesma classe as colunas podem vir juntas ou separadas. Se vierem separadas a distnciaentre elas deve ser visivelmente menor que o espao entre as classes, de modo que no haja confusona leitura da informao;As colunas devem seguir a mesma ordem em cada classe. Cada coluna deve apresentar uma cor e/oupadro de preenchimento diferente, constantes em cada classe, e uma legenda deve ser associada ao

grfico, de modo a facilitar a transmisso de informaes.

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