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EstatísticaProf. Edson Nemer

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Ementa• Introdução a Estatística

• Medidas de Tendência Central

• Medidas de Dispersão

• Revisão de Análise Combinatória

• Probabilidade

• Distribuição Normal

• Intervalo de Confiança

Probabilidade

Além de apresentar dados e realizar cálculos nos dados obtidos, também é interessante poder fazer algum tipo de inferência.

Introdução

Um pesquisador que tenha anotado a idade e a pressão arterial de seus pacientes, pode montar tabelas e gráficos que descrevam como varia a pressão de seus pacientes em função da idade.

Mas esse pesquisador também poderia estender suas conclusões a outros pacientes, além daqueles que ele examinou, ou seja, ele gostaria de fazer uma inferência.

Para fazer inferência estatística, usam-se técnicas que exigem o conhecimento de probabilidade, embora, consciente ou inconscientemente, a probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisão em situações de incerteza.

Probabilidade

A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento.

Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cada ou coroa.

A probabilidade nos indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento.

Em várias situações é desejável se ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro:

Lançamento de um produto;

Evolução de uma doença;

Probabilidade de chover em um determinado período;

Probabilidade de um candidato vencer uma eleição;

Probabilidade

É a experiência onde os resultados são imprevisíveis e mutuamente exclusivos, ou seja, em cada repetição dessa experiência é impossível prever, com absoluta certeza, qual resultado será obtido; além disso, a ocorrência de um deles exclui a ocorrência dos demais.

Experiência Aleatória

Como exemplo, imagine o lançamento de um dado não viciado. Os resultados possíveis são:

1 2 3 4 5 6ou ou ou ou ou

Pontos importantes: Você não pode prever qual o valor que sairá na próxima

jogada do dado; A ocorrência de um valor exclui a ocorrência dos demais pois é

impossível você tirar dois valores em uma única jogada do dado. Se saiu o “2”, não tem como ter saído um outro número.

Experiência aleatória

Eventos simples = Resultados mutuamente exclusivos pois não podem ocorrer duas faces de um dado ao

mesmo tempo.

Probabilidade

É o conjunto de todos os eventos simples (resultados mutuamente exclusivos) de uma experiência aleatória.

Espaço Amostral S

Como exemplo de espaços amostrais, temos:

o Lançamento de um dado: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

o Lançamento de uma moeda: S = { cara, coroa}

o Lançamento de duas moedas: S = {( cara, cara); ( cara, coroa); ( coroa, cara); ( coroa, coroa)}

Probabilidade

Na definição clássica de probabilidade, tomamos um espaço amostral finito S={a1, a2, a3,...,an}, no qual os pontos amostrais ai (i=1,2,...,n) podem ter a mesma probabilidade de ocorrer, ou seja, são considerados equiprováveis.

Medidas de Probabilidades

Então, todo subconjunto do espaço amostral diz-se um evento, sendo sua probabilidade dada por:

P(A)

Como exemplo, suponha um dado não viciado. Espera-se que as várias faces sejam equiprováveis, ou seja, que qualquer das faces do dado tenha a mesma probabilidade de sair quanto as outras. A probabilidade de sair o número “5” é:

P(5)

Número de casos favoráveis ao evento “5” é igual a 1 porque só existe um número “5” no dado.

Número de casos possíveis é igual a 6 porque pode sair um de seis números possíveis (1, 2, 3, 4, 5 e 6)

Probabilidade

Para o mesmo exemplo anterior, qual seria a probabilidade de sair um número ímpar?


P(ímpar)

Número de casos favoráveis ao evento “ímpar” é igual a 3 pois existem três faces do dado com número ímpar(1,3 e 5).Número de casos possíveis é igual a

6 porque pode sair um de 6 números possíveis (1, 2, 3, 4, 5 e 6)

Para o mesmo exemplo anterior, qual seria a probabilidade de sair um número menor do que “5”?

P(num<5)Número de casos favoráveis ao evento “ímpar” é igual a 4 pois existem quatro faces do dado com número menor do que 5 (1,2, 3 e 4).Número de casos possíveis é igual a

6 porque pode sair um de 6 números possíveis (1, 2, 3, 4, 5 e 6)

ProbabilidadeMedidas de Probabilidades

Probabilidade


Considere mais um exemplo. Uma carta será retirada ao acaso do baralho. Qual é a probabilidade de sair um Ás?

P(5)

Número de casos favoráveis ao evento “sair Ás” é igual a 4 pois existem quatro Ases em um baralho.

Número de casos possíveis é igual a 52 porque existem 52 cartas em um baralho.

E qual é a probabilidade de sair uma figura?

P(figura)

Número de casos favoráveis ao evento “sair figura” é igual a 12 pois existem 12 figuras em um baralho.

Número de casos possíveis é igual a 52 porque existem 52 cartas em um baralho.

ProbabilidadeRegras Básicas da Probabilidade

I. Campo de variação das probabilidades

ou

A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0 (zero), porém menor ou igual a 1, isto é:

Se é certo ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 1, ou 100%;

Se é impossível ocorrer determinado evento, a probabilidade desse evento é 0(zero).

A probabilidade de ocorrer um número menor do que 8 no lançamento de um dado é 1 ou 100%.(evento certo)

A probabilidade de ocorrer um número maior do que 8 no lançamento de um dado é 0(evento impossível).


II. Probabilidade do Espaço Amostral S

A probabilidade do Espaço Amostral S é igual a 1. Isto é:

III. Regra da Adição de Probabilidades

A probabilidade de ocorrência do evento A, ou do evento B (ou de ambos) é igual a:

Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos, isto é:

Então:



Exemplo: Suponha que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha.Retira-se uma bola ao acaso. Qual a probabilidade de ter saído uma bola colorida, isto é, azul ou vermelha?

Ora, a probabilidade de sair bola azul é:

E a probabilidade de sair bola vermelha é:

Então a probabilidade de sair bola azul ou vermelha é dada pela soma:

Os eventos são mutamente exclusivos (a bola sorteada não pode ser azul e vermelha ao mesmo tempo)

=0



Exemplo: Imagine, agora, que uma carta será retirada ao acaso de um baralho.

Qual a probabilidade de ter saído uma carta de espadas ou um Ás?

Como um baralho tem 52 cartas, das quais 13 são de espadas e quatro são ases, alguém poderia pensar que a probabilidade de sair um Ás ou uma carta de espadas seria:

Mas esta resposta estaria errada porque existe uma carta, o Ás de espadas, que é tanto Ás como espadas. Logo, teria sido contado duas vezes. E a resposta certa é:


IV. Probabilidade de um evento complementar

Exemplo: Qual a probabilidade de se retirar uma carta qualquer de um baralho, exceto copas?

A probabilidade de se retirar uma carta de copas de um baralho é dada por:

ProbabilidadeIndependência estatística

Dados dois eventos independentes, A e B, a probabilidade da ocorrência conjunta é definida pela regra da multiplicação:

Dois eventos estão estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro.

Se lançarmos uma moeda por duas vezes, a probabilidade de obter uma cara no segundo lance não é afetada pelo resultado do primeiro lance.

Exemplo: No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de sair duas caras?

No caso de lançamento de duas moedas, existem quatro resultados possíveis:S = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}. Cada resultado é igualmente provável e tem probabilidade igual a ¼.

Portanto, a probabilidade de sair uma sequência de duas caras é:

ProbabilidadeProbabilidade condicionada

Se a condição de independência estatística não for satisfeita, deve ser usada uma fórmula mais geral, envolvendo probabilidades condicionadas.

Denomina-se probabilidade condicional à probabilidade de ocorrer determinado evento sob uma dada condição.

Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que o evento B ocorra, dado que o evento A já ocorreu, é a probabilidade condicionada de B, escrita por P(B/A).

Da mesma forma, escrevemos a probabilidade da ocorrência de A, condicionada à ocorrência de B, como P(A/B)


Exemplo: Suponha que existam 10 rótulos de papel em uma urna que podem ser distinguidos pelo número e pela cor: por exemplo, os rótulos numerados por 1, 2 e 3 são amarelos e os restantes, brancos.

1

2 3

7 9

86

4

5

10

Se todos forem colocados em uma urna e retirados ao acaso, a probabilidade de extrair um rótulo particular é igual a 1/10.

Se, porém, após retirar um rótulo ao acaso, e sabendo que ele é amarelo, como calcular a probabilidade de que o rótulo sorteado seja o de número 1?

Em outras palavras, o rótulo deve ter o número 1 e ser amarelo.

Agora o número possível de acontecimentos favoráveis está reduzido de 10 para 3, pois são 3 os rótulos amarelos.

Probabilidade

Probabilidade condicionada 1

2 3

7 98

6

4

5

10

Neste momento, o cálculo da probabilidade condicionada é realizado da seguinte maneira:

De modo geral, dados dois eventos A e B, que não são independentes, a probabilidade condicionada de A, dado B, é definida como:

ou seja, como a razão entre a probabilidade do evento conjunto A e B ocorrer e a probabilidade da ocorrência de B.


Exemplo: Suponha agora que uma carta é retirada de um baralho. Qual é a probabilidade de ser um rei preto sabendo que a carta retirada foi uma figura (valete, dama ou rei)?

Sejam A ={rei preto} e B = {figura}.

i) Como existem dois reis pretos no baralho, os quais são, também, figuras, tem-se que:

ii) Como existem doze figuras em um baralho, tem-se que:

Portanto, tem-se que:

ProbabilidadeRevisão geral: Considere a tabela de estudantes abaixo:

i) Qual a probabilidade de um estudante ser do sexo masculino?

No de casos favoráveis ao sexo masculino = 72

No de casos possíveis = 203

P { homem } = 72

203= 0,448 = 44,8%

ii) Qual a probabilidade de ser mulher, sabendo que é do 3º ano?

P{homem/3oano}=

iii) Qual a probabilidade de ser mulher do 2º ano?

=

iv) Qual a probabilidade de ser mulher ou 2º ano?

=

=

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