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ESTATÍSTICA (II)

Prof. Airton A. CASTAGNA

Docteur Ingénieur

PROBABILIDADECONCEITUAÇÃO

Todos nós temos, ainda que inconsciente, um conceito de probabilidade.Intuitivamente as pessoasTomam decisões em função dos fastos que têm maior probabilidade de ocorrer.Vejamos os seguintes exemplos:1) Num confronto direto entre o Barcelona e o Arapiraca, há uma chance enorme de o Barcelona sair vitorioso. Ao se fazer uma aposta, esta deverá ser no Barcelona;


2) Se, numa família, há muitos casos de doenças cardíacas, então há uma chance maior para que membros dessa família venham a sofrer com doenças cardíacas;

3) Se estamos fazendo controle de qualidade numa fábrica e uma máquina está produzindo muitos pregos fora do padrão pré-estabelecido, existe uma grande chance que estas máquina continue a produzir pregos fora do padrão.

Mas, também intuitivamente sabemos que estas probabilidades podem não ocorrer, isto é, há incerteza quanto ao resultado real.


1’) O Arapiraca, ainda que improvável, pode vencer o Barcelona;

2’) Não obstante o histórico familiar, uma pessoa originária de uma família com doenças cardíacas pode nunca apresentar tais problemas;

3’) Os pregos fora do padrão podem ser mera casualidade e a máquina estar funcionando bem.

Se for possível quantificar a incerteza associada a cada fator, as decisões a serem tomadas tonar-

se-ão mais fáceis.


Os modelos probabilísticos são aplicados em situações que envolvem algum tipo de incerteza ou de variabilidade aleatória.

Exemplos:

a) Lançamento de dados

não viciados;

b) Diâmetros de pregos;

c)Número de jornais restantes

numa banca.

PROBABILIDADEMODELO PROBABILÍSTICO

Nos casos em que os resultados de um experimento aleatório podem ser listados (caso discreto) um modelo probabilístico pode ser entendido como a listagem desses resultados, acompanhados de suas respectivas probabilidades.

CONTRUÇÃO DE UM MODELO PROBABILÍSTICO

Definição doexperimento

Definição dos resultados possíveis

do experimento

Definição de uma regra que obtenha a probabilidade decada resultado ocorrer.


O conjunto de todos os possíveis resultados do

experimento é chamado de espaço amostral e é

representado pela letra grega Ω.

Exemplos:

a) Lançamento de um dado – Ω = 1,2,3,4,5,6;

b) Carta de baralho ao acaso (naipe) – Ω = copas, espadas, ouros, paus;

c) Número de cartas distribuídas anualmente pelos Correios – Ω = 1,2,3,...;

d) Diâmetro de um prego produzido, em mm – Ω = d, tal que d>0.


Um espaço amostral é dito discreto quando ele for

finito ou infinito enumerável; é dito contínuo

quando for infinito, formado por intervalos de

números reais.

Elementos para tomada de decisão podem estar vinculados a um conjunto de resultados (ou evento) associados ao experimento aleatório.

Ex.: o diâmetro de um eixo metálico, em mm, que sai de uma linha de produção, se pertencer a A = 49,0 ≤ d ≤ 51,0 então se decide que é adequado.


Chamamos de evento a qualquer subconjunto do

espaço amostral:

A é um evento ⇔ A Ω⊆

(a) União:A ∪ B

(b) interseção:A ∩ B

(c) complementar:

A

A AA

Ω Ω Ω

B B


OPERAÇÕES ENTRE EVENTOS

Operação Conjunto Evento

a) UniãoA ∪ B

reúne os elementosde ambos os

conjuntos

ocorre quando ocorrerpelo menos um deles (A,

B ou ambos)

b) InterseçãoA ∩ B

formado somentepelos elementos que

estão em A e B

ocorre quando ocorrerambos os eventos (A e

B)

c) Complementar

A

formado peloselementos que não

estão em A

ocorre quando nãoocorrer o evento A (não

A)


EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOSEventos são ditos mutuamente exclusivos se e

somente se eles não puderem ocorrer simultaneamente.

A e B são mutuamente exclusivos ⇔ A ∩ B= ∅

A

B

Ω

PROBABILIDADEDEFINIÇÃO – CLÁSSICA

PROBABILIDADEAXIOMAS E PROPRIEDADES

Probabilidade do evento complementar

P(A) = 1− P(A)

A

A

Ω


Regra da soma das probabilidades

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B)

ΩA

BA ∩ B

Se A e B mutuamente exclusivos, então:P(A ∪ B) = P(A) + P(B)


PROBABILIDADEPROBABILIDADE DE EVENTOS

Probabilidade condicional. ExemploSeja o lançamento de 2 dados não viciados e aobservação das faces voltadas para cima. Calcule aprobabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma é menor ou igual a 5.

E1 = faces iguais = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6); e

E2 = soma das faces é menor ou igual a 5 = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3,2), (4, 1).

Ω


PROBABILIDADEDEFINIÇÃO – EXPERIMENTAL

n→∞ n→∞


Exemplo: Um fabricante de lâmpadas fluorescentes precisa definir o tempo de garantia de um de seus modelos. Estima-se que durem 5.000 horas, mas não se tem certeza do comportamento na prática. Assim é temerário fixar uma garantia.Definiu-se um experimento aleatório que consiste em ligar a lâmpada e registrar o tempo em horas que ela funciona. O espaço amostral é formado pelo conjunto de todos os valores maiores que zero:Ω = t, tal que t ≥ 0Seja o evento:At = a lâmpada funcionar até o tempo t.


Eventos independentesDois ou mais eventos são independentes quandoa ocorrência de um dos eventos não influencia aprobabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso:

P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

A e B são independentes

P(A∩B) = P(A).P(B)

PROBABILIDADEEXEMPLO

Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Se retiramos, ao acaso, dois cartões, um após o outro, sem reposição:

a)Qual é a probabilidade que ambos sejam amarelos?Designando de A1 o evento que representa o cartão amarelo na i-ésima extração, e V1 o evento que representa o cartão vermelho na i-ésima extração (i= 1, 2), temos o seguinte espaço amostral:

Ω = (A1, A2), (A1, V2), (V1, A2), (V1, V2)

A probabilidade de interesse é P(A1, A2), que também pode ser expressa como P(A1∩A2). Aplicando a regra do produto

P(A1∩A2) = P(A1) * P(A2/A1), calculamos:


4 amarelos8 vermelhos(total = 12)

A


A

V

V4 amarelos7 vermelhos(total = 11)

A

V1ª. extração 2ª. extração

PROBABILIDADEEXEMPLO (II)Realize o exercício anterior, mas com amostragem feita com reposição


A


A

V

V4 amarelos8 vermelhos(total = 12)

A

V1ª. extração 2ª. extração

PROBABILIDADE

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTALImagine que você emprega peças vindas de 4 fornecedores distintos, com 4 desempenhos de qualidade também diferentes. Você conhece a proporção de peças “não conformes” de cada um dos fornecedores (p1, p2, p3 e p4). Pense num lote formado por peças dos 4 fornecedores. Se você selecionar um das peças deste lote qual é a probabilidade dela ser “não conforme”?

v vPeças

do lote

Peças “não conformes”

PROBABILIDADE

Seria fácil calcular se você soubesse qual era a origem da peça, mas você não sabe. O teorema da probabilidade total é que permite solucionar este problema.Considere o espaço amostral particionado em k eventos, E1, E2, E3, ..., Ek, satisfazendo as seguintes condições:a)Ei⋂Ej = , para todo i ≠ j (eventos mutuamente exclusivos);b)E1UE2UE3U...Uk = Ω (eventos exaustivos), ec)P(Ei) > 0 para i = 1, 2, ... , k.

Partição do espaço amostral em eventos mutuamente exclusivos.

EEE

E1

E2E3

E4E5

E6

E7

F

F ⋂ E5

PROBABILIDADE

PROBABILIDADE

Naturalmente, algumas P(F/Ei) poderão assumir valor zero por não

haver interseção entre F e Ei. O teorema da probabilidade total pode ser interpretado fisicamente como

uma medida do peso de cada um dos eventos Ei na contribuição para

formar o evento F.

PROBABILIDADE – EXEMPLO (III)

Os eventos Ei representam as procedências das peças (fornecedores 1, 2, 3 e 4), e o evento F representa peça não conforme. Note que os eventos Ei são mutuamente exclusivos, pois uma peça não pode vir de mais de um fabricante e que o evento F tem interseção com todos eles pois todos os fornecedores produzem peças não conformes.

PROBABILIDADE – EXEMPLO (III)

Suponha a mesma probabilidade para todos os fornecedores, isto é:

P(E1) = P(E2) = P(E3) = P(E4) = 0,25 e as probabilidades de não conformidade de cada fabricante sejam: p1 = P(F/E1) = 0,1; p2 =

P(F/E2) = 0,1; p3 = P(F/E3) = 0,2; p4 = P(F/E4) = 0,4 ; então, usando o teorema:

P(F) = (0,25 * 0,1) + (0,25 * 0,1) + (0,25 * 0,2) + (0,25 * 0,4)

P(F) = 0,2

PROBABILIDADE

PROBABILIDADE – EXEMPLO (IV)

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