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Estrutura Algébrica

“Matemática é a ciência que exige a prova de tudo o que é verdadeiro” José Petrúcio.

Leis de transformações algébricas:

1. Aditiva: y = x+a2. Multiplicativa: y = k.x / k é uma constante.3. Recíproca: y = 1/x , x é diferente de 0

Aplicação:

Dada a equação P(x)=x3+x2+x+1, determine a sua transformada P(y)= 0 de acordo com cada uma das seguintes leis:

a) Y = X+2b) Y = 3Xc) Y = 1/X, X é diferente de zero

Solução:

a) Y = X + 2I. Deixamos a equação em função de X, onde X = Y- 2 e substituímos a expressão na equação polinomial P(x)=x 3 +x 2 +x+1 II. Ficaremos com (Y – 2)3+(y – 2)2+(y – 2) +1III. Desenvolvendo ficaremos com Y3-6Y2+12Y-8+Y2-4Y+4+Y-1=0 IV. Separando os termos em comum teremos a equação transformada Y3-5y2+9Y-5=0.

b) Y= 3X

c) X = 1/X, X é diferente de zero

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Miscelânea de Problemas

1. A relação da transformação para a qual y3−12 y+16=0 é uma transformada

multiplicativa de x3−3 x+2=0a) y=-2xb) y=-xc) y=xd) y=2xe) N.D.A

2. Uma função cujas raízes são o quádruplo das raízes de x3−x2+2x−3=0 é?

a) y3−2 y2+22 y−192=0b) y3−4 y2+32 y−192=0c) y3+2 y2−32 y+192=0d) y3+4 y2+32 y+192=0e) N.D.A

3. Sendo a,b e c raízes da equação x3−3 x+54=0 o valor da expressão

log ( 1a¿+1b

+ 1c)¿é?

a) −3 log 2b) −2 log 3−log2 c) −2 log 3d) log 3e) N.D.A4. A transformada aditiva de x3−3 x2+2x+5=0 desprovida do termo do segundo

grau.a) y3+2 x+5=0b) y3−3 y+3=0c) y3+3 y+5=0d) y3−2 y+3=0e) N.D.A

Respostas:

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Coeficiente Dominante

É o valor numérico que acompanha a variável de maior expoente ex: 1x3+1x2+x+1. Quando o coeficiente dominante é um a equação e chamada de Mônica ou Polinômio Mônico.

A forma fatorada de um polinômio é A0(x-a)(x-b)(x-c)=0, onde A0 é o coeficiente dominante.

Exercício: 1) Escreva a equação polinomial cujas raízes sejam 1,2 e 3.

R= como o coeficiente dominante não é exposto A0=1, dai teremos: a=1 , b=2 e c=3 ∴ 1(x-1)(x-2)(x-3) = x3-6x2+11x-6 ∴ x3-6x2+11x-6=0

2) Resolva a equação x3-6x2+11x-6=0 sabendo que as raízes estão em P.A.

3) A soma dos 5 termos de uma P.G de números reais é 484 e a soma dos termos de ordem par é 120, escreva a P.G.

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Equação Recíproca

Existem dois tipos de equação recíproca, a de 1° espécie é quando os termos eqüidistantes são iguais em número e sinal ex: 6x4-35x3+62x2-35x+6=0. E de 2°espécie quando os termos eqüidistantes são simétricos, sendo de grau impar admite raiz 1, sendo de grau par admite raiz 1 e -1.

Exercício:

Resolva as seguintes equações recíprocas:

1) 6x6-13x5-6x4+26x3-6x2-13x+6=02) 6x4-35x3+62x2-35x+6=03) 6x3-19x2+19x-6=04) 2x4-4x3+4x-2=0

Prove que se a e b são raízes da equação X2-PX+Bm=0 teremos : logBaa+logBb

b+

logBab+logBb

a= m.p

Resolver a equação 28 x+14 .26 x−96 .24 x−896 .22x+2048=0

Resolver a equação 64 x3−56 x2+14 x−1=0 sabendo que as raízes estão em P.G.

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Miscelanea de Problemas:

1. Dada a equação: x4+3 x2+5x+1=0, determinar sua transformada recíproca.

2. Obter uma equação cujas raízes sejam os inversos das raízes de

5 x4−x3+7 x2+3x−2=0.

3. Determinar a relação de transformada mediante a qual x3−x+1=0 é a primitiva

da transformada aditiva y3+9 y2+26 y+25=0.

4. Qual é a equação polinomial cujas raízes são iguais as raízes da equação

P ( x )=x4+2 x3+3 x2+4 x+5 acrescida de 50%.

5. Determinar a relação de transformação mediante a qual y3−12 y+16=0 é uma

transformada multiplicativa de x3−3 x2+2=0.

6. Determinar a transformada aditiva de x3+2x2+3 x−5=0 desprovida de termo do segundo grau.

7. Qual a relação de transformada para a qual y3−12 y+2=0 é uma transformada

multiplicativa da equação x3−2 x+2=0.

Respostas:

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Assunto Extra

Divisão Euclidiana em Z:

Teorema: sejam a e b dois números inteiros onde existe um único par de números inteiros (q,r) tais que : a=b.q+r com a≤0≤|b| para r=0 ↔ divisão exata, a<b ↔ q=0 e r=a, b>0, a≥0.

1. Ache q e r nas seguintes divisões:a) a=10, b=2b) a=-10, b=2c) a=25, b=-5d) a=-25, b=8e) a=-25, b=-8f) a=8, b=25

Nota: a expressão a=b.q+r

Respostas:

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Álgebra Abstrata

E a parte da matemática que estuda as diversas operações que podemos realizar com um conjunto finito.

Operações Internas ou Operações num Conjunto:

Considere um conjunto A não vazio (A≠0) é o produto cartesiano de AXA=A2, chama-se operação interna ou operação em A toda função F:AXA→A.

Em lugar da letra F costuma-se usar outros símbolos como a operação estrela(*), bola(o), truco ou treco (T), anti – truco ou anti-treco (┴), quadro(□), adição(+) e multiplicação(▪).

Ex: c=afb → c=a*b ou c=a□b

Grupóide: E um conjunto não vazio munido de uma operação de adição e de multiplicação.

Diga-me:

1. (R,*), onde a*b=a+b é um grupóide? Por quê?

2. (R,□), onde a□b=a.b é um grupóide? Por quê?

3. (N,T), onde aTb= m.d.c(a,b) é um grupoide? Por quê?

4. (A,*), onde a*b=a é um grupoide? Por quê?

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Miscelânea de problemas:

1. Qual dos pares ordenados são grupóides?a) (R,T), aTb=a.bb) (N,*), a*b=ab

c) <P,*>, {P={2n /¿nE Za∗b=a+b

d) <P,*>, {P={2n /¿nE ZaTb=ab

e) <I,*>, {I={2n+1/n E Za∗b=ab

f) <I,□>, {I={2n+1/¿n EZa □b=a+b

2. No grupóide <N,*> a operação * é definida por a*b=ab2 calcule:a) 2*3b) 3*2c) (2*3)*23. No grupóide <Z,T> a operação T é definida por aTb=a+b+2ab calcule:a) (-1)T2b) (2T1)T3c) [(-2)T(-3)]T54. Seja o conjunto A={1,2,3,8,12} mostrar que a maximação não é uma operação

em A.5. Resolver em N a equação 3*(x*x)+2*x=160 sendo a operação * em N definida

por a*b=a+b+ab6. Seja o grupoide <ZXZ,T> sendo a operação T em ZXZ definida por (a,b)T(c,d)=

(ac,ad+b)a) (1,2)T(3,4)b) (-1,-2)T(4,3)

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Propriedades de uma Operação

Seja <A,*> um grupoide.

Comutatividade:Diz-se que a operação * é comutativa se, e somente se: a*b=b*a, Para todo a e b pertencentes ao conjunto A.

Associatividade ou (Semi-Grupo): Diz-se que a operação * e associativa se, e somente se: (a*b)*c=a*(b*c), para todo a,b pertencentes ao conjunto A.

Seja o conjunto A, munido de duas operações * e T.

Distributividade: Diz-se que a operação T é distributiva em relação a operação * se, e somente se: aT(b*c)=(aTb)*(aTc) distributiva à direita.

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Pratica em exercício:

1. Determinar quais dos grupoides são comutativos:

a) (R,*), onde a*b=1/2 (a+b)

b) (R, o), aob=√a.b

c) (R, T), aTb=a+b+ab

d) (N,*), a*b=ab

e) (R, o), aob=a+b2

2. Quais dos grupoides acima são associativos ou (semi – grupos)

3. Nos grupoides seguintes, de a distributividade da segunda em relação à primeira:

a) <R,+, . >

b) <R, - , . >

c) <R*,+, : >

d) <R*, - , : >

4. Mostrar que são comutativas as operações T em RXR=R2 assim definidas:

I) (a, b) T (c, d) = (a+c, bd)

II) (a, b) T (c, d) = [(ac-bd), (ad+bc)]

Respostas:

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Elementos notáveis de um grupoide.

Seja (A,*) um grupoide.

Elementos Idempotentes: Diz-se que um elemento pertencente a A é um elemento idempotente para a operação * se, e somente se: a*a=a.

Elemento Absorvente: Seja a pertencente ao conjunto A e seja x um elemento de A, diz-se que x pertencente ao conjunto A é o elemento absorvente para a operação * se, e somente se: a*x=x*a=x.

Elemento Neutro: Diz-se que e pertencente ao conjunto A é o elemento neutro para a operação * se, e somente se:a*e=e*a=a.

Elementos Simetrizáveis: Diz-se que um elemento a pertencente ao conjunto A é simetrizável para a operação * se, e somente se existir o elemento a’ pertencente ao conjunto A tal que: a*a’=a’*a=e.

Elementos Simplificáveis ou Regulares: Diz-se que um a pertencente ao conjunto A é simplificável (ou regular) para a operação * se, e somente se: a*b=a*c → b=a (simplificável a esquerda) e b*a=c*a → b=c (simplificável a direita).

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Pratica em exercício:

1. Determine os elementos idempotentes para a operação * nos seguintes grupóides:

a) (z,*), onde a*b=ab2

b) (R+,*), onde a*b=√a2+b2c) (Q,*), onde a*b=a2+b2+abd) (R,*), onde a*b=a2. Determinar o elemento absorvente para a operação * em Q definida por

a∗b=ab2

3. Determine o elemento absorvente para a operação □ em R definida por a□b=ab-(a+b)+2

4. Determine o elemento neutro para a operação * nos seguintes grupóides:

a) (Q,*), onde a∗b=ab2

b) (R,*), onde a∗b=a+b1+ab

c) (Z,*), onde a∗b=a+b+25. Mostrar que a operação * em R definida por a*b = a+b2 não admite elemento

neutro.

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Monoide, Grupo e Grupo Abeliano.

Seja (A,*) um grupoide.

Definição de Monoide: Monoide é um conjunto não vazio (A≠0) munido de uma operação * que admite as seguintes propriedades:

I. Associativa: (a*b)*c=a*(b*c) para todo a,b,c pertencente ao conjunto A.II. Existência de elemento neutro: a*e=e*a=a, para todo a pertencente ao

conjunto A. Em outras palavras, monóide é um semi grupo com elemento neutro.

Definição de Grupoide: Diz-se que um grupoide (A,*) tem a estrutura de um grupo se, e somente se, forem verificadas as seguintes propriedades:

I. Associativa: (a*b)*c=a*(b*c) para todo a,b,c pertencente ao conjunto A.II. Existência de elemento neutro: a*e=e*a=a, para todo a pertencente ao

conjunto A.III. Todo elemento a pertencente ao conjunto A possui o seu simétrico a’

pertencente ao conjunto A: a*a’=a’*a=e.

Se a operação * for comutativa, isto é : a*b=b*a para todo a,b pertencente ao conjunto A, então o grupo (A,*) será chamado de grupo abeliano( em homenagem a Miels Henrik Abel.)

Verifique se o grupoide (R,*) onde a operação * é definida por a*b=a.b é:

a) Um monóide.b) Um grupo.

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Prática em Exercício:

1. No grupóide (A,T), o conjunto A={(a,b)/a,b E R e a≠0} é a operação T em A definida por: (a,b)T(c,d)=(ac,bc + d)

I. Mostrar que a operação T Não é comutativa.II. Determinar o elemento neutro para a operação T.III. Determinar o simétrico do elemento (2,6) E A.IV. Resolver em A a equação (2,-3)T(x,y)=(1/2,4).2. Mostrar que são monóides os seguintes grupóides:I. (R2,□), onde (a,b) □ (c,d)= (a+c,b+d+2bd)II. (Q,*), onde a*b=a+b-1/3ab3. Mostrar que o grupóide (R,T), a operação truco sendo definida por: aTb=a+b-5

é um grupo.

4. Seja o conjunto : G={[1 00 1] , [−1 0

0 1] ,[1 00 −1] ,[−1 0

0 −1]} mostrar que (G, . ) é

um grupo abeliano.

5. Mostrar que (R,*) é um grupo abeliano, a operação * em R sendo definida por : a*b=3√a3+b3

Respostas:

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Grupos

1. Seja um grupóide <Q+*,□>, a operação □ sendo definida por a□b=

12ab mostrar

que <Q+*,□> é um grupo.

2. Mostrar que <{1,-1,i,-i}, ▪>, onde i2=-1, é um grupo ,e construir a tábua deste grupo.

3. Sejam as funções F1,F2,F3,F4 : R*→R assim definidas F1(x)=x, F2(x)=1x

,F3(x)=-

x,F4(x)=−1x e o conjunto G={ F1,F2,F3,F4} mostrar que <G,◦> é um grupo, sendo

“◦” a operação de composição de funções.4. Seja G o conjunto cujos elementos são as 6 funções: F1,F2,F3,F4,F5,F6 : R={0,1}

assim definidas: F1 ( x )=x,F2 ( x )=1x

, F3 ( x )=1−x, F4 ( x )= x−1x

, F5 ( x )= xx−1 , F6

( x )= 11−x

mostrar que (G,0) é um grupo não abeliano, sendo “◦” a operação de

composição de funções, e construir a tábua deste grupo.

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Grupo de Permutação

Seja o grupo A={1,2,3,.......,n} e a função bijetora f : A→A uma permutação de

A definida por. f=( 1 2 ………….nf (1) f (2) …………f (n)) ,lembre – se, isto não é uma

matriz é a notação em duas linhas da função F.

A permutação idêntica de A é : I=(1 2 ………….n1 2 …………n ), sendo F uma função

bijetora, então toda permutação F admite a inversa F-1 dai o conjunto das permutações munido da operação “◦” tem a estrutura de um grupo.

Pratica em exercícios.1. Quantas e quais são as permutações do conjunto A={1,2,3}? E represente-

as em notação de duas linhas, construa a tábua da operação “◦” com as funções determinadas : F1,F2,F3,F4,F5,F6

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Grupo de Permutação

Anéis

Conceito:

Anel é um conjunto A não vazio (A≠0) munido de duas operações * e T, que admite as seguintes propriedades:

Associativa: (a*b)*c=a*(b*c) ,∀a,b,c E AElemento neutro: a*e=e*a=a, ∀a E ASimétrica: a*a’=a’*a=e

Comutativa: a*b=b*a, ∀a,b E AEm outros temos : o par ordenado (A,*) tem a estrutura de um grupo abeliano.