O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA POR ATIVIDADE · delimitar e acentuar as discussões sobre a...

GLAUCIANNY AMORIM NORONHA

PEDRO ROBERTO SOUSA DA SILVA

PEDRO FRANCO DE SÁ

O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA

POR ATIVIDADE

BELÉM - PARÁ

outubro 2019

Organizadores Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

Glaucianny A. Noronha - Pedro Roberto Sousa da Silva - Pedro F. de Sá

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Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição

Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores

Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Belém - Pará - Brasil

O Ensino De Fatoração Algébrica Por Atividade

Belém : Sociedade Brasileira de Educação

Matemática - SBEM, 2019.

1. Educação - Finalidade e objetivos

2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)

4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores -

Formação 7. Sala de aula – I. Amorim Noronha, Glaucianny

. II. Roberto Sousa da Silva, Pedro .III. Franco de Sá, Pedro.

Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI).

78p.

ISBN 978-65-5076-011-3 (V.11)

ISBN 978-65-5076-000-7 (Coleção)

CDD 510.

Índices para catalogo sistemático:

1. Matemática: Estudo e ensino 510.7

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida

sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos infratores

aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº 9.610, de 19

de fevereiro de 1998.

Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo

José Carlos de Sousa Pereira

José Messildo Viana Nunes

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

Natanael Freitas Cabral

Organizadores:

Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

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XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

Diretoria Regional da SBEM-PA

Diretor: Fernando Cardoso de Matos

Vice-diretor: Reginaldo da Silva

Secretário: José Carlos de Sousa Pereira

Secretário: José Messildo Viana Nunes

Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo

Secretário: Natanael Freitas Cabral

Tesoureiro: Acylena Coelho Costa

Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias


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Apresentação

om o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da

produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação

Matemática na Amazônia teve o lançamento de sua sexta edição

durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação

Matemática – XII EPAEM.

A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e

Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras diversificadas,

tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no âmbito da

Educação Matemática em diversos centros de pesquisa do país.

Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e

reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas

durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se,

nesse sentido, que a publicação desse material permita que

estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores

dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se

refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.

Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e

provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de

cada um dos leitores.

Boa leitura!

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

(Membro da Diretoria da SBEM-PA)

C


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O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA

POR ATIVIDADE

Glaucianny Amorim Noronha

Pedro Roberto Sousa da Silva

Pedro Franco de Sá


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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO.................................................................................. 11

ESTUDOS SOBRE O ENSINO DA ÁLGEBRA............................. 15

ESTUDO DE DIAGNÓSTICO......................................................... 15

ESTUDO DE EXPERIMENTOS....................................................... 33

KIT DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA: KIT – 2D........................... 43

DESCRIÇÃO DO KIT – 2 D.............................................................. 44

MANUSEIO DO KIT – 2 D............................................................... 47

SEQUENCIA DIDÁTICA................................................................. 48

CONSTRUÇÃO DAS ATIVIDADES.............................................. 50

ATIVIDADE PARA O ENSINO DE FATORAÇÃO

ALGÉBRICA DO CASO DO FATOR COMUM............................

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ALGÉBRICA DO CASO DE AGRUPAMENTO...........................

61

ATIVIDADE DE FIXAÇÃO............................................................. 62


ALGÉBRICA DO CASO DA DIFERENÇA DE DOIS

QUADRADOS....................................................................................

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ALGÉBRICA DO CASO DO TRINÔMIO QUADRADO

PERFEITO...........................................................................................

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CONCLUSÃO.................................................................................... 71

REFERÊNCIAS................................................................................... 73

DADOS SOBRE OS AUTORES........................................................ 79

Educação Matemática na Amazônia - Coleção – VI............... 83


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Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.11

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INTRODUÇÃO

“O bom pensador não é àquele que formula teorias para tentar resolver os problemas sociais, mas, sobretudo, tem que saber demonstrar e afirma a referida teoria, questionando e contribuindo para mudar uma dada realidade indesejada”

(Sociólogo Pedro Demo)

No atual contexto Global e contemporâneo, permeado pela acirrada

competitividade, a ciência e o conhecimento matemático se tornaram ferramenta fundamental para desenvolver pessoas, empresas, organizações, instituições (públicas e privadas) e o próprio país. Para tanto, a sociedade exige pessoas dotadas de atributos inerentes a matemática, como iniciativa própria, criatividade, crítica, raciocínio rápido e lógico, visão de futuro e, o mais importante, que o sujeito seja capaz de solucionar situações difíceis e desafiadoras, requisitos essências em mundo dinâmico e seletivo.

Das várias vertentes da matemática, o estudo da Álgebra vem ganhando espaço, devido a sua importância para expressar fatos genéricos. Como toda linguagem, a Álgebra possui seus símbolos e suas regras, representada por letras e sinais (GIL, 2008). Portanto, a Álgebra é a parte da Matemática que trabalha a generalização, abstração e a manipulação de equações, representando quantidades através de símbolos ou variáveis (letras) que, no linguajar matemático, chamamos de incógnitas.

Dentre as unidades que compõem o estudo Algébrico, privilegiou-se

delimitar e acentuar as discussões sobre a Fatoração algébrica. A trajetória desse tema teve como ponto de partida o meu ingresso no ensino médio, dada a facilidade de entender os conteúdos de matemática, a ponto de ter prazer de estudar e de auxiliar colegas de classe que tinham dificuldades nesta disciplina. Neste período, percebi que tinha tendência para os números, sendo que esta perspectiva se fortaleceu quando entrei no Curso pré-vestibular e decidir ser professor. Portanto, a minha formação no Curso


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de licenciatura em matemática pela Universidade Federal do Pará, ano de 2004, sempre refletiu a minha preocupação comas dificuldades que emperram a aprendizagem e o desenvolvimento dos alunos.

Pelas minhas observações, notei que as dificuldades de aprendizagem vivenciadas em tempos outrora, junto com os colegas de classe, reproduziram-se agora nas séries finais do ensino fundamental, contudo no conteúdo de álgebra. Percebi que o problema passava pelo processo ensino aprendizagem, mas, a priori, a pouca experiência não permitia qualquer intervenção mais efetiva para auxiliar nas necessidades dos alunos.

No decorrer da carreira docente, percebi que as dificuldades de aprendizagem no conteúdo algébrico eram persistente, inclusive esse problema era visível também nas escolas particulares. Diante dessa situação, formei a opinião de que a álgebra é um assunto matemático em que os alunos enfrentam dificuldades de aprendizagem (Grifo do Autor). Essa constatação empírica me levou a muitas reflexões, quanto à forma de apresentar e ministrar o conteúdo, principalmente nos casos produtos notáveis e de fatoração das expressões algébricas junto aos alunos das séries finais do ensino fundamental

Desde então, passamos a proceder de uma prática pedagógica diferenciada, deixando de valorizar o ensino a partir de problemas, com foco nas respostas paras as variáveis (letras) das operações algébricas. A ideia era preparar o aluno em reconhecer e aplicar os casos de fatoração e produtos notáveis para que, quando chegasse ao último ano do fundamental, pudesse se sair bem nas equações do segundo grau, sistemas, funções e resolução de problemas e com conhecimento das ferramentas algébricas.

Todavia, notei que o alunado tinha dificuldade de fixar os conhecimentos aprendidos e, por conta disso, não conseguia se sair bem na elucidação das situações algébricas. Daí chegou-se a segunda conjetura: os alunos não aprendiam de maneira significativa e/ou efetiva, a ponto de relembrar o conteúdo ensinado, a não ser apenas para cumprir a avaliação (Grifo do Autor).


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Como educador, as dificuldades dos alunos na aprendizagem algébrica me inquietava e não poderia ficar inerte diante desse problema tão grave na educação matemática. Ou seja, eu não queria ser um profissional a reproduzir o mesmo modelo adotado por milhares de docentes, em que se apóiam nas chamadas aulas tradicionais, definidas como aquelas em que o conhecimento é centrado no professor, que expõe o conteúdo no quadro e exige dos alunos a fiel reprodução. Neste formato, não há espaço para reflexões, debates ou justificativas, cabendo apenas aos alunos aceitarem as regras e fórmulas matemáticas (CAMARGO, 2006).

Tive ainda mais força para me afastar das aulas tradicionais e obsoletas, por ocasião do contato com pensadores de vanguarda da Educação matemática, os quais reforçaram que eu deveria enveredar pela linha construtivista do ensinar, cujos autores tomam como objeto de discussão as dificuldades de aprendizagem na algébrica. Destarte, diversas pesquisas têm contribuído para mostrar que os alunos têm dificuldade na abstração das regularidades, não permitindo a sua representação ou transformação para a linguagem algébrica (GIL, 2008); desconhecem as propriedades das operações elementares, não sabendo proceder de uma simples multiplicação ou divisão (RIBEIRO, 2001); não conseguem colocar em evidência o fator comum ou resolver um trinômio, em função de não saber multiplicar e dividir expressões algébricas, além de dificuldades conceituais (BURIGATO, 2007).

Portanto, como notamos elementos pontuais de dificuldades na aprendizagem algébrica, contudo em produtos notáveis e fatoração, não faltam para justificar o desenvolvimento deste estudo, em favor de alternativas para aprimorar o trabalhado docente, quanto à forma de apresentar e ministrar este conteúdo para os alunos das séries finais do ensino fundamental. Em face das duas conjecturas levantadas e reforçadas pelas dificuldades do aprender no conteúdo algébrico, o nosso esforço de pesquisa se centrou na seguinte reflexão: O ensino de fatoração algébrica por meio de atividades proporciona resultados significativos e efetivo relativos à aprendizagem dos discentes?

Diante deste contexto descrito, tomou-se o objetivo de investigar a potencialidade do ensino de fatoração algébrica através de atividades matemáticas.


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Este objeto de estudo, todavia, foi levado para ser construído e discutido em outra esfera da academia, dado o ingresso no Curso de Mestrado em educação pela Universidade do Estado do Pará, concluído no ano de 2012.

De antemão, acreditamos que ainda que não exista um modo único de ensinar e de aprender Matemática, o educador deve conhecer as diversas possibilidades de trabalho em sala de aula para que possa desenvolver a sua prática (CAMARGO, 2006). A investigação matemática ou atividades investigativas entra neste quesito, visto que:

As aulas por investigação matemática têm relação com a atividade

que os matemáticos profissionais desenvolvem ao produzirem conhecimento. Por esta vertente, investigar tem a finalidade de

descobrir algo recorrendo a um processo, de alguma forma,

sistemático (PORFÍRIO; OLIVEIRA, 1999 Apud CAMARGO, 2006, p. 8).

Esta definição permite dizer que as aulas investigativas, alicerçadas

em atividades matemáticas, exigem um aluno participativo e ativo no processo de produção de conhecimento, de modo que se trone um sujeito descobridor e criativo, questionando e procurando alcançar respostas para aquilo que lhe é proposto no ambiente de ensino. Para tanto, o mesmo tem que sair do comodismo/zona de conforto, colocando de lado a tradicional cultura de apenas esperar pelo professor, cujo esforço certamente contribui para a sua formação do pensamento algébrico. Inclusive, as atividades investigativas estão na agenda dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), ao recomendar que “os alunos têm que adquirir atitudes investigativas, a partir do estimulo do interesse, curiosidade, investigação e para resolver problemas” (BRASIL, 2001, p. 47).


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Capítulo 1 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE ÁLGEBRA

O objetivo dessa seção é identificar as dificuldades encontradas no processo de ensino e aprendizagem no ensino da álgebra, com particularidade a fatoração algébrica. Para tanto, recorreu-se a um conjunto de 12 (doze) autores, cujo objeto de investigação foi os resultados dos estudos desses pesquisadores. Nesse sentido, foram analisados diversos trabalhos de distintas naturezas e de vários propósitos, com recorte temporal de 08 (oito) anos (2001/2009).

Após as análises dos materiais coletados, as amostras dos resultados das pesquisas foram agrupadas nas seguintes categorias: Estudos Diagnósticos e Estudos Experimentais. Os estudos de Diagnósticos são àqueles que analisam e identificam as dificuldades dos alunos de resolver e solucionar a álgebra, em especial a fatoração algébrica. Os estudos experimentais, por sua vez, estão estritamente relacionados com a realização de atividades de ensino da álgebra. ESTUDOS DE DIAGNÓSTICOS

Nesta categoria de estudo foram analisados 09 (Nove) estudos sobre a fatoração algébrica, onde os autores buscam identificar as dificuldades relevantes para se ensinar e aprender esse assunto. Nesse contexto, Ribeiro (2001) foi um dos autores que se destacou nesse campo, sendo um dos seus grandes feito nesse campo foi a sua Dissertação, intitulada de “Analisando o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP”. O Objetivo deste estudo foi identificar os principais elementos que contribuem para o insucesso dos alunos na resolução de Álgebra, abordando os procedimentos e estratégias do alunado referente a tentativa de equacionar essa operação Matemática. A preocupação central da pesquisa de Ribeiro (2001) foi investigar o seguinte problema: Quais as causas do baixo desempenho e insucesso dos alunos na resolução da operação algébrica?

Como Metodologia Ribeiro (2001) se apropriou do Exame do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo


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(SARESP) do ano de 1997. As questões desse Exame foram aplicadas aos 20 sujeitos da pesquisa, porém foram divididos dois momentos distintos: a) O primeiro em que reaplica a partir de um teste 10 questões sobre álgebra do exame do SARESP a 20 alunos, e b) O segundo momento verifica as questões que obtiveram maiores e menores acertos reaplicando-as, agora com o objetivo, não apenas de respondê-las, mas também de justificá-las mediante o resultado alcançado.

Ribeiro (2001) chamou atenção para a seguinte situação: Na segunda fase da pesquisa as questões não apresentavam alternativas aos alunos, para que estas não viessem a influenciar nenhum tipo de resposta, ou seja, a idéia foi avaliar o nível de criatividade do alunado. Na primeira situação, isto é, no conjunto das 10 questões, os itens de interesse do estudo foram apenas duas questões: 1ª e 3 (Figura 01).

Figura 01

Aplicação das questões algébricas

Fonte: Ribeiro (2001)

Na primeira fase o autor analisou a 1ª questão e chegou a um

percentual de 22% de acertos, sendo interpretado pelo pesquisador que a maioria dos discentes não conhece as propriedades das operações. Já no segundo momento da pesquisa alcançaram-se, na mesma questão, 30% de alunos que obtiveram êxito na resposta, sendo que, apenas 15% dos respondentes descriminaram a resolução a partir de estratégias matemáticas corretas.


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Pelo resultado alcançado, o autor considerou que esses percentuais

corroboram que no ensino da álgebra enfatiza apenas a mecanização de algoritmos e a memorização de técnicas e regras. Por esse motivo, Ribeiro (2001, p. 26) afirmou: “O professor de Matemática deverá repensar sua metodologia para ensinar álgebra de modo a garantir que seus alunos saibam expressar generalizações de relações e as propriedades das operações aritméticas por meio de escritas algébricas”.

Na 3ª questão o estudioso obteve na primeira parte da pesquisa um percentual de apenas 15% dos alunos acertaram a questões, sendo que nenhum aluno aplicou uma estratégia correta para responder a questão. Ribeiro (2001) considera que esse mau desempenho tem intima relação com as dificuldades que os alunos têm na resolução da questão, cujo um dos elementos explicadores é o desenho que, para complicar, está com dimensões desproporcionais.

Ribeiro (2001) conclui que no ensino da álgebra predomina o treinamento de habilidades, mecanização de algoritmos e a mera memorização de técnicas e regras. Essa didática aponta para a necessidade de se trabalhar os aspectos processuais e estruturais do ensino de álgebra. Ribeiro (2001) recomendou que, para a fatoração algébrica ter significado êxito e sustentação, este ensino aprendizado tem que se pautar na construção do conhecimento e na compreensão dos significados pelos alunos. Para tanto, o autor sugere a necessário da efetivação de cursos de capacitação para os professores, onde sejam discutidas e utilizadas abordagens alternativas e/ou inovadora no ensino de álgebra. Apontar ainda a necessidade de maior massa de pesquisas relacionadas ao aprendizado da álgebra, visto que as metodologias pesquisadas mostraram que os docentes de matemática ensinam este conteúdo.

As dificuldades de se aprender e resolver fatoração algébrica também foram tomados como objeto de investigação de Valentino e Grando (2004) no trabalho, intitulado de “O conhecimento Algébrico que os alunos apresentam no início do Curso de Licenciatura em Matemática – Um olhar sob o aspecto da Álgebra elementar”. O objetivo desta pesquisa foi identificar os erros e dificuldades mais freqüentes em Álgebra elementar do aluno que ingressa na Universidade no Curso de Matemática.


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O problema investigado por Valentino e Grando (2004) foi: Quais são os erros e dificuldades mais frequentes em Álgebra elementar que os alunos apresentam ao iniciar o Curso de Licenciatura em Matemática?

A Metodologia adotada por Valentino e Grando (2004) foi o Estudo de Caso, cujos dados foram coletados de maneira qualitativa através do questionário. A amostra foi constituída por 46 (quarenta e seis) alunos do primeiro ano do Curso de Licenciatura em Matemática do período noturno de uma Faculdade particular, localizada na cidade de Santa Fé do Sul, região noroeste do Estado de São Paulo. O referencial teórico adotado por estas autoras foi à linha de pesquisa da Álgebra Elementar defendida por Krutetskii (1976), que pensa e trabalha a álgebra de maneira categorizada, visando o desenvolvimento de um conteúdo para o Ensino Básico, como modo de estimular o raciocínio dos alunos.

Para aplicar a pesquisa e testar os conhecimentos algébricos dos

sujeitos pesquisados, Valentino e Grando (2004) elaboraram 15 (quinze) questões, sendo que a avaliação dos resultados foi feita mediante aos seguintes critérios: - Correta (para o resultado que apresentasse raciocínio e cálculo corretos); - Parcialmente correta (para o raciocínio correto, porém cálculos incorretos); e - Incorreta (para as questões que não possuíam nem cálculo e nem raciocínio corretos ou ainda que não fossem respondidas).

As questões foram elaboradas agregando as seguintes dimensões: Tecnicismo algébrico, generalização da Aritmética, formulação de leis, geometrização da Álgebra e resolução de problemas. Os resultados desse teste indicaram que os alunos apresentaram grande dificuldade de resolução na categoria tecnicismo algébrica, pois o item parcialmente correta teve grande representatividade (80,43%). Valentino a Grando (2004) explicam que as causas dos erros vão além da questão de saber manipular as técnicas algébricas elementares. Trata-se de uma deficiência conceitual de conteúdo, que é à base da construção do conhecimento algébrico.

Na generalização da aritmética a deficiência dos alunos ficou por conta da pouca capacidade da tradução da língua materna para a linguagem matemática, como também a dificuldade de compreensão e interpretação do enunciado das questões propostas. Esse pouco


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desempenho dos alunos na resolução da questão se traduz na dificuldade de identificar as funções que a letra assume em uma expressão algébrica. Por outro lado, os resultados da formulação de leis apontaram fortes dificuldades de representação algébrica e de composição em uma lei de formação a partir da variável na expressão algébrica.

Valentino e Grando (2004) concluíram que os alunos não conseguiram externalizar os conhecimentos ensinados, nem compreender os conceitos implícitos nas estruturas dos conteúdos matemáticos, como também vêem as expressões algébricas como proposições incompletas e que necessitam ser fechadas para terem significados. Consideram ainda que na transição da Aritmética para a Álgebra existem diferenças que podem intensificar estas dificuldades. E mais: Este elevado grau de dificuldade e de erros é conseqüência das técnicas de memorizar regras e procedimentos mecânicos para a resolução da questão, o que gera pouca competência de interpretação dos conceitos de Álgebra elementar.

Valentino e Grando (2004) recomendaram maior qualificação na formação profissional no curso de licenciatura em Matemática, como também programas de qualificação continuada, cujo aprendizado possa gerar competências e habilidades para desenvolver um saber dinâmico, sistematizado e contextualizado. Ao contrário desta política, os profissionais licenciados correm o risco de reproduzir estas mesmas dificuldades e erros na resolução da álgebra nas escolas do Ensino Básico.

Outra autora que dá grande contribuição para o estudo da álgebra é Andrezzo (2005), que desenvolveu um trabalho, intitulado de “Um estudo do uso de padrões figurativos na aprendizagem de Álgebra por alunos sem acuidade visual”. O objetivo deste estudo foi investigar a compreensão de objetos algébricos, especificamente seqüências de padrões figurativos por alunos Sem Acuidade Visual (SAV), abordando um contexto que facilitassem a participação desses atores especiais em atividades de generalização.

O problema central da pesquisa de Andrezzo (2005) foi: Quais os fatores que contribuem na apreensão de expressões algébricas por alunos Sem Acuidade Visual? A Metodologia adotada por Andrezzo (2005) foi à pesquisa qualitativa e a população estudada foi constituída por 21 alunos do SAV, sendo que para o estudo de Álgebra a amostra foi de 3.000 alunos de 13 a 15 anos do Ensino Médio de uma escola da rede estadual,


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localizada no bairro da Aclimação, cidade de São Paulo, no período letivo de 2003.

Para maior qualificação do estudo, este autor resgatou o Histórico da Educação Especial no Brasil, envolvendo as deficiências físicas e mentais, estudando a sua trajetória desde os anos de 1960, com a Lei de Diretrizes e Bases Nº 4.024/61 até a Lei Nº 9394/96 da LDB, discutindo o capítulo V, o qual diz que: “[...] A educação dos portadores de necessidades especiais deve-se dar preferencialmente na rede regular de ensino” Andrezzo (2005, p. 24).

Esta pesquisadora tomou como referencial teórico a linha de pensamento de Vygotsky, que defende à integração social do aluno portador de necessidades especiais no sistema de ensino. Antes de desenvolver a sua pesquisa de fato, em estudo preliminar, a pesquisadora identificou seis caminhos de interpretação e uso das letras nas respostas dos alunos, cuja orientação foi o estudo de Collis (1975) e de Küchemann, como bem descreveu Andrezzo (2005):

• Letra como valor: A letra recebe um valor numérico correspondente a posição do alfabeto, como: a = 1; b = 2; c = 3; e assim sucessivamente. • Letra não utilizada: A letra é ignorada, reconhecendo apenas a parte numérica, como: 2b + 5c – 3b; que tem como resultado 4. • Letra como objeto: A letra é associada a inicial de um objeto, como: 9m + 3b – 5m, onde o “m” representa maçã e “b” banana; e assim por diante. • Letra como uma incógnita específica: A letra é considerada como um número específico, porém desconhecido, como: 3m - 5 = 13, onde a solução pode ser atribuindo valores, a partir da unidade, a letra. • Letra como um número generalizado: A letra é associada aos lados de uma figura, cujos lados podem representar as letras, como o perímetro, cujas letras variam de acordo com os lados. • Letra como variável: A letra pode assumir valores distintos, que podem ser comparada o maior valor de uma expressão, como 3n ou n + 3; onde a solução é atribuir o mesmo valor para n em ambas as operações.

Nessa experiência, Andrezzo (2005) constatou que poucos alunos foram capazes de considerar as letras como números generalizados. No entanto, a maioria dos alunos (73%) identificou a letra como objeto, resultado o qual a autora categorizou de nível 1 e 2. Em seguida, a autora desenvolveu a sua pesquisa, a qual foi estruturando em duas fases:


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a) A primeira envolveu a elaboração das atividades e dos materiais manipulativos (prancha de metal e imãs), através dos quais os alunos SAV puderam ter acesso às seqüências de padrões figurativos; e b) A segunda fase constituiu-se de uma Atividade de Sondagem composta por itens que envolveram noções algébricas com cinco entrevistas.

Destas fases, tomaram-se apenas duas atividades da primeira situação, que são de interesse do estudo (1ª e 2ª tarefas), como se destaca a seguir: a) 1ª TAREFA: Teve como objetivo investigar as idéias dos alunos a respeito das posições que os círculos, os quadrados e os triângulos poderiam ocupar, concluindo que as posições múltiplas de três seriam ocupadas pelos círculos, as múltiplas de três menos um, pelos quadrados e as múltiplas de três mais um, pelos triângulos, como consta na 2ª tarefa. b) 2ª TAREFA: A proposta dessa atividade foi à utilização experimental de padrões figurativos, possibilitando uma situação dinâmica em relação à aprendizagem tradicional da álgebra, o que pudesse possibilitar a integração e inclusão dos alunos SAV com estudantes sem deficiência.

Andrezzo (2005) concluiu que os alunos SAV, a partir do material manipulativo (prancha de metal e ímãs de diferentes formas geométricas), são capazes de desenvolver seus tatos, percebendo os padrões das seqüências, uma vez que a mobilidade dos ímãs possibilitou o agrupamento dos mesmos de diversas maneiras. Isso se deve a facilidade de percepção e de aprendizagem de outras formas regulares. Observa ainda a autora que as representações figurativas que descreviam a organização dos ímãs (padrão) formatavam a posição de uma figura, sendo um elemento decisivo para que os alunos SAV chegassem a uma regra geral.

Andrezzo (2005) sugeriu que os alunos SAV sejam integrados em um grupo de alunos videntes/normais, onde poderiam ser observadas as contribuições dos alunos videntes para a apreensão de conceitos matemáticos pelos educandos SAV e vice-versa, atendendo assim as recomendações do Parâmetro curricular Nacional. Coloca ainda esta autora que o material manipulativo poderia ser utilizado em outros ramos da Matemática, a exemplo da Estatística, onde cada ímã, no estudo de gráficos de barras, equivaleria a uma unidade de medida ou múltiplo de um valor específico. Afinal, a educação enfrenta o desafio de incluir aprendizes com necessidades especiais nas aulas de Matemática.


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Outro estudo de grande relevância que busca diagnosticar e detectar problemas de aprendizagem no campo do ensino da álgebra é a pesquisa de Keppke (2007), intitulada de “Álgebra nos Currículos do Ensino Fundamental”. A proposta deste trabalho foi fazer uma análise comparativa das diretrizes curriculares para o ensino da Álgebra no Brasil, abordando três documentos oficiais: Guias Curriculares, Propostas Curriculares para o Ensino de Matemática no 1º grau e os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).

Keppke (2007) se preocupou em responder o seguinte questionamento central: Como a Álgebra aparece nos currículos do ensino fundamental nos últimos 50 anos? A metodologia usada por Keppke (2007) foi um estudo de Revisão Bibliográfica, valorizando os autores que discutem o ensino de Álgebra. Além deste levantamento, foram aplicados questionários a um grupo de 50 professores dos três últimos anos do Ensino Fundamental da rede pública municipal e estadual do Estado de São Paulo. Contou com o depoimento de professores que atuam na rede pública e particular de ensino e que participam do Grupo de pesquisa “Inovações Curriculares nos Ensino Fundamental e Médio”.

Dentre os trabalhos analisados e que serviram de Referencial

teórico ao estudo Keppke (2007) se fundamentou em Miguel, Fiorentini e Miorim (Reflexões sobre Educação Algébrica) e Zalman Usiskin (As concepções sobre Álgebra e Aritmética). A autora fez uma síntese comparativa, elaborada a partir da análise documental de propostas curriculares oficiais, identificando semelhanças e diferenças (Quadro 1).


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Quadro 1.

Comparação das concepções dos três documentos que orienta o ensino da

Matemática/Álgebra

Guias curriculares Propostas curriculares Parâmetros curriculares nacionais

- Concebe a Matemática como não sendo nem clássica e nem moderna, mas apenas como Matemática. - A evolução da Matemática nas últimas décadas, resultou numa enorme defasagem entre pesquisa e o ensino desta matéria.

- Toma a Matemática como um tipo de linguagem necessária dentro e fora do ambiente escolar para preparar o educando para enfrentar o mundo. - Esta concepção trabalha com duas lógicas: Desenvolvimento do raciocínio lógico e a instrumentalização para a vida.

- Trabalha com a idéia de que a Matemática é necessária aos alunos para compreender o mundo em sua volta, cuja concepção é de que “a curiosidade e a investigação são a capacidade de resolver problemas. - Considera que a Matemática exerce papel central na cultura moderna, sendo um instrumento que possibilita a ascensão social. - Visualiza a Matemática como elemento de inclusão social.

Fonte: Keppke (2007, p. 59)

Além desta síntese comparativa Keppke (2007) fez uma análise de

como as Guias Curriculares, Propostas Curriculares e o 13º Parâmetros Curriculares Nacionais concebem a resolução de problemas algébricos, cujos resultados é disponibilizado na sequencia (Quadro 2).


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Quadro 2.

Resolução de problemas Algébricos pelos três documentos que orienta o

ensino da Matemática

Guias curriculares Propostas curriculares PCN

- Sugerem várias oportunidades para a resolução dos problemas, mediante estratégias planejadas. - Sugere a reorganização de dados e a compreensão dos conceitos Matemáticos. - A Matemática incentiva o aluno na busca de soluções dos problemas, desenvolvendo o seu espírito critico.

- Sugere que sejam equacionados pelo raciocínio e pela ação criativa do estudante. - Para tanto, considera que as situações problemas não devem conduzir o estudante para uma única solução.

- Parte do principio de que a Resolução de Problemas justifica a atividade da matemática e, por isso, defende a idéia de que os alunos aprendem quando se sentem desafiados frente a um dado problema. - Seus defensores criticam a utilização de problemas como forma de aplicação de conhecimentos previamente adquiridos pelos alunos.

Fonte: Keppke (2007, p. 61)

Depois desse estudo, Keppke (2007), visou conceber como os

professores pensam o ensino aprendizagem da Álgebra, organizou um questionário para ser respondido pelos professores, cujas respostas foram no sentido de identificar as principais dificuldades encontradas no processo ensino aprendizagem.

Pelos dados estatísticos alcançados com a pesquisa, Keppke (2007)

concluiu que os professores – em sua maioria, consideram a Álgebra como um elemento importante para o desenvolvimento de habilidades de


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generalização, abstração, interpretação, muito embora esta mesma maioria seja unânime ao apontar dificuldades no desenvolvimento dessas habilidades, a exemplo da incompreensão no uso de letras e barreiras para generalizar e abstrair. Apontou ainda que as dificuldades de resolução algébrica sejam de ordem cultural dos conteúdos no processo ensino aprendizagem, cuja visão dos professores valoriza a dimensão estruturalista da Álgebra, tendo como fundo a mecanização.

Keppke (2007) – com base no trabalho de Schoen (1995), recomendou que a aprendizagem eficaz da Álgebra deve levar em consideração o conhecimento dos alunos sobre este tipo de operação matemática, mediante a um processo gradual, cuja transição possa sair do campo da verbalização até chegar ao simbolismo algébrico. Para tanto, a aplicação prática dos tópicos de Álgebra deve ser construída através de estratégias para a resolução de problemas no campo da experimentação, afastando-se da abordagem estruturalista e da abordagem “facilitadora”, que predominam no sistema de ensino no Brasil.

Considerando as dificuldades que os docentes têm no ensino aprendizagem da Álgebra, cujo ponto central é a falta de compreensão e/ou interpretação dos alunos; Keppke (2007) sugeriu que os docentes sejam menos cômodos frente a esse problema, questionando a grade curricular, bem como aumentem a sua qualificação profissional.

Também nos dá grande contribuição no Diagnóstico da

aprendizagem da fatoração algébrica Gil (2008), que desenvolveu um trabalho, intitulado de “Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de Álgebra”. O objetivo desta pesquisa foi compreender as dificuldades encontradas pelos alunos de 7ª série no sentido do entendimento dos conceitos e procedimentos que envolvem estudo de Álgebra, buscando as possíveis causas que contribuem para alimentar este problema.

Como Metodologia, Gil (2008) adotou uma abordagem qualitativa ou naturalístico-construtiva, tomando como referencial teórico a linha de pensamento de Lüdke e André (1986), cuja visão é de que o agente pesquisador não deve manipular qualquer problema no ambiente de pesquisa, mantendo a sua imparcialidade. Além das observações em sala de aula, a pesquisadora aplicou testes com alunos e entrevistas com alunos


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e professores. Os sujeitos da pesquisa foram alunos (32) e professores de 7ª série do Ensino Fundamental de uma escola da rede privada, localizada na cidade de Porto Alegre, RS.

O problema investigado por Gil (2008) foi o seguinte: Por que os alunos apresentam tantas dificuldades na aprendizagem de Álgebra? A relação entre Álgebra e Aritmética pode estar contribuindo para as dificuldades apresentadas? Existe dificuldade na tradução do problema para a linguagem algébrica? Quais as possíveis causas para as dificuldades encontradas? Que alternativas poderiam diminuir o fracasso no estudo da Álgebra?

No que diz respeito às observações em sala de aula Gil (2008) adotou os seguintes critérios: - (A) para indicar a fala de alunos; - (P) para indicar a fala do professor; - (Q) para indicar as informações que foram escritas no quadro-negro; - (C) para indicar os comentários da pesquisadora.

Em relação aos testes, estes foram aplicados em blocos de atividades e foram construídos de acordo com o grau de dificuldade dos sujeitos. A partir dessa testagem foi analisado o tipo de dificuldade encontrada por cada aluno no estudo algébrico, cuja uma das atividades do teste (bloco I). Este bloco teve como objetivo identificar dificuldades na tradução de uma situação para a linguagem algébrica. Uma das estratégias para isto foi que o aluno tinha como opção visualizar o objeto que estava sendo representado por uma letra através de uma figura.

Outro teste aplicado por Gil (2008) foi no sentido de avaliar o aluno pelo gosto pelo estudo, isto é, medir o sentimento do alunado pela Matemática, em geral, e pela Álgebra, em particular, cujo pano de fundo foi estabelecer uma relação entre gosto e compreensão das operações. Como resultado desse teste, Gil (2008) constatou que, no geral, os estudantes simpatizam com a disciplina de Matemática, visto que 50% dos entrevistados responderam que gostam de estudar esta disciplina, seguida por 20% que disseram que gostam muito da Matemática. A pesquisadora também quis descobrir os motivos daqueles que afirmaram gostar mais ou menos (30%) e, nesse sentido, teve como maior resposta (50%) a dificuldade do alunado.


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Também o nível de sentimento pela álgebra foi mensurado pela autora, obtendo as seguintes respostas: Legal (50%), difícil (40%), seguido de chato (10%). Dentre as justificativas mais freqüentes que os alunos atribuem a sua dificuldade para com o aprendizado da Álgebra foram: Aos poucos vai complicando, e não pode esquecer o que aprendeu antes; É muito complicado, demorei a pegar o jeito da matéria; É muito chato; e é muito complicado.

Gil (2008) concluiu que às dificuldades de compreender e fazer a leitura das operações algébricas está relacionado ao fato de o aluno ter deficiência na linguagem escrita, o que valoriza o papel do professor no ensino fundamental no que diz respeito à construção do conhecimento. Para tanto, a autora argumentou que partem deles as propostas e os questionamentos a serem realizadas em sala de aula, sendo um mediador para aguçar a curiosidade e criatividade do aluno em busca de respostas para as situações-problemas.

Gil (2008) sugeriu a necessidade de uma política educacional que dê maior espaço para o educando para que possa explicitar as suas formas de raciocínio, possibilitando a construção do conhecimento efetivo a partir da riqueza da troca de idéias. Acrescentou ainda esta autora que à linguagem - fundamental para a construção do conhecimento, precisa produzir significados íntimos com a vida do aluno, sob pena de tais conhecimentos produzidos caírem no crônico esquecimento.

Outro estudo importante foi o trabalho de Burigato (2007) de cujo titulado é “Estudos das dificuldades na aprendizagem da fatoração nos ambientes – Papel e lápis no Software Aplusix”. O objetivo deste estudo foi analisar as dificuldades na aprendizagem da fatoração, abordando o uso dos teoremas na resolução da operação. Esta autora adotou como Metodologia as próprias produções dos alunos, ao resolverem as atividades da seqüência didática, cujo material usado foi papel, lápis e o software Aplusix2. O estudo foi desenvolvido numa escola pública de Ensino Fundamental no Município de Campo Grande, MS, cuja amostra foi constituída por 54 alunos da 8ª serie.

Para maior qualificação do estudo de diagnóstico a partir da sua experiência em sala de aula, Burigato (2007) se apoiou no conceito de análise teórica ou análise a priori de Henry (2006). Para esse autor, a


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análise, a priori, é um conjunto de estudos com o propósito de se perceber situações distintas em sala de aula, em especial na identificação das dificuldades no processo ensino aprendizagem da fatoração.

O teste de diagnóstico foi composto por uma lista com doze exercícios, onde o propósito foi observar o uso de teoremas em ação falsos para resolver à fatoração. Neste contexto, a preocupação da autora com a aplicação deste teste foi observar se os alunos conseguiam colocar em evidência o fator comum (monômio/binômio) e resolver os trinômios quadrados perfeitos e a diferença de quadrados, além da resolução dos produtos notáveis (a exemplo do seguinte trinômio: x²-4x+4).

Após o teste de diagnóstico, a pesquisadora dividiu os sujeitos pesquisados em dois grupos. No primeiro grupo os alunos resolveram 10 (dez) atividades da seqüência didática no lápis e papel e, no segundo grupo, resolveram as mesmas atividades, porém no software Aplusix1, como descrito abaixo: - Atividade I: Visava fatorar os polinômios, colocando em evidência o fator comum e, na seqüencia fazer a verificação desenvolvendo o produto encontrado. - Atividade II: Idem. - Atividade III: Idem. - Atividade IV: Recomendava escrever a expressão na forma de produto, desenvolvendo os produtos encontrados. - Atividade V: Usar o resultado da atividade anterior para fatorar polinômios. - Atividade VI: Desenvolver as expressões e reduzir a termos semelhantes. - Atividade VII: Use o resultado da atividade anterior para fatorar os polinômios - Atividade VIII: Desenvolver produtos notáveis. - Atividade IX: Usar o resultado da atividade anterior para fatorar polinômios. - Atividade X: Fatorar polinômios de vários graus.

Como resultado desse teste de diagnóstico, Burigato (2007) revelou que mais da metade dos alunos não se recordava da fatoração, o que exigiu orientação da pesquisadora, que mandou que os alunos associassem

1 É uma ferramenta destinada ao aprendizado da álgebra elementar, que

desenvolve resoluções de expressão algébricas, equações, inequações, etc.


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a fatoração à idéia de escrever uma expressão em forma de produto, porém a dificuldade persistiu. A pesquisadora identificou as seguintes dificuldades que os alunos encontram ao resolverem as atividades de fatoração: Dificuldade em trabalhar com um número na forma fatorada; Dificuldade em multiplicar e dividir expressões algébricas; Aplicação da fatoração em uma situação inadequada, na tentativa de simplificar uma expressão; e Dificuldade em trabalhar com expressões algébricas, mediante as regras.

Para esse resultado de dificuldades, Burigato (2007) argumentou que as dificuldades dos alunos nas análises dos teoremas dizem respeito aos conhecimentos referentes ao conceito sobre fatoração (divisão e a multiplicação de expressões algébricas, redução de termos semelhantes, raiz quadrada, etc.).

Burigato (2007) concluiu que os alunos pouco sabem manipular, operar e resolver a operação fatoração seja pela dificuldade de leitura da expressão e/ou do entendimento conceitual. O mais grave disto foi que muitos alunos têm dificuldades em identificar o fator comum para colocar em evidência.

Burigato (2007) recomendou que a fatoração deve ser trabalhada, observando alguns aspectos, a exemplo de lembrar a fatoração de números inteiros na apresentação da fatoração, não somente com exemplos, mas também em atividades para os alunos, cujo número 90 o aluno possa fatorá-la para obter o resultado: 2.3².5. Sugeriu - em função do surgimento de várias questões ao longo do estudo no que diz respeito aos erros observados, o aprofundamento da discussão sobre a referida temática, valorizando a seguinte proposição para estudos futuros: Qual a concepção dos alunos com relação à fatoração e o que eles entendem como sendo um produto de fatores?

Outro trabalho interessante na categoria diagnóstico foi a Dissertação de Pinto (2009), que foi uma pesquisa que enveredou na linha de pensamento de Katz (2007). O autor procurou responder o seguinte questionamento central: Quais vantagens e desvantagens a utilização das novas tecnologias (computador, calculadora e objetos robóticos) traz para a aprendizagem de Álgebra, sob a perspectiva do Curso de Pós-Graduação em Educação Matemática da PUC-SP?


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Em termos Metodológicos Pinto (2009) se apropriou de 17

(dezessete) Dissertações de Mestrado do Curso do Programa de Pós graduação em Educação Matemática da PUC-SP, cujo recorte temporal foram os anos de 1994 a 2007. Com esse vasto material a autora realizou um levantamento, denominado Estado da Arte, inspirada em Romberg (1992), cujo foco de análise foi os Resumos, Palavras-chave e título dos respectivos documentos dissertativos. Outros autores, como Borba (2001); Katz (2007); Almouloud (2007); Eves (2002); e Brasil (1998) contribuíram também para dar sustentação teórica a pesquisa.

Inspirada na linha de raciocínio de Romberg (2009), a autora desenvolveu seu método através do seguinte procedimento (Figura 02).

Figura 02. Métodos de Pesquisa de Romberg

Fonte: Romberg apud Pinto (2009)


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Depois da análise acurada de todo o material, Pinto (2009) não apenas ratificou o seu pensamento/argumento em relação ao objeto pesquisado, como concluiu que as Dissertações analisadas mostram que as calculadoras gráficas podem sim aumentar a aprendizagem do aluno, como também o uso de computadores podem prover prática útil, no que diz respeito ao ensino de Álgebra. No bojo do documento estudado, 09 (nove) Dissertações apontaram unicamente como vantagem o uso de tecnologias no ensino de álgebra e 08 (oito) trabalhos indicaram apontaram vantagem e desvantagens, ao mesmo tempo, no uso dessas tecnologias. Coloca-nos ainda que todas as pesquisas analisadas apresentaram fatos eficazes que colaboram no uso de tecnologias para acelerar o processo de ensino e aprendizagem em álgebra.

Por contas dos resultados alcançados, Pinto (2009) fechou seu trabalho com a seguinte sugestão, visando o aprofundamento e enriquecimento da atemática em 50 questão: A realização de um levantamento de Dissertações de outras instituições que possuam programas de pós-graduação em educação matemática.

Aproximando da pesquisa dessa última autora, Samora (2003) também discutiu a questão algébrica, fazendo a leitura do trabalho de Tese de Paulovich (1998), cujo titulo foi delimitado sobre o conhecimento algébrico dos professores e estudantes. O objetivo deste estudo foi analisar as mudanças no cenário educacional, tendo como marco o ano de 1990, justamente o período da pesquisa do referencial teórico adotado, Paulovich, até os dias atuais com as reformas educacionais. Busca recontextualização da escola básica e os argumentos dos professores a respeito da diminuição na qualidade dos conhecimentos que os alunos vinham adquirindo.

Dentre as tantas preocupações que Samora (2003) procurou investigar e responder são: Como os alunos aprendem? Como interagem com a matemática? Como se relacionam com os professores? Como são os planejamentos dos professores? Quais são os materiais mais apropriados? Entre outras indagações.

Para dá respostas a esses questionamentos, como Metodologia Samora (2003) realizou, primeiramente, um levantamento das propostas educacionais de matemática em vigor, tais como: livros e propostas


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curriculares, buscando descobrir quais conhecimentos algébricos os alunos deveriam adquirir ao final da escolaridade obrigatória. A amostra pesquisada foi constituída por alunos da 7ª e 8ª séries do ensino fundamental (38 alunos) e estudantes de Curso pré vestibular da UFSCar. Dentre as bibliografias mais expressivas que sustentaram a pesquisa estão: Leonardo Paulovich, Richard Jantz, Ana Teresa C. C. Oliveira, Alba Gonzáles Thompson, Maria da Penha Lopes, e Maria da Conceição F. R. Fonseca.

Para aplicar a sua pesquisa, a autora elaborou uma lista com questões que apresentavam assuntos algébricos, oriundos dos currículos do ensino fundamental. O teste foi “confeccionado a partir de uma seleção feita de conteúdos de 5ª a 8ª séries do ensino fundamental, utilizando-se livros didáticos adotados em algumas escolas, os Parâmetros Curriculares Nacionais e a Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo” (SAMORA, 2003, p. 4).

Samora (2003) concluiu que os conhecimentos algébricos adquiridos pelos estudantes são bastante precários, cuja uma das explicações e de que tal resultado revela um processo de ensino aprendizagem fundado na pura mecânica, produto de uma manipulação automática e cega de variáveis e de operações em álgebra. Por isso, a autora recomendou mais reflexão por parte do professorado sobre aquilo que denomina como privilégios das “manifestações matemáticas”, já socialmente arraigada no imaginário do aluno (fórmulas, macetes, etc.). Embora não desconsiderar esses recursos, a autora chamou atenção para o risco de não se valorizar a percepção, assimilação, questionamento e compreensão dos conceitos, em prol do treinamento de habilidades, baseada nos cálculos, que atualmente predomina na prática pedagógica do ensino de álgebra.

Outro estudo que mereceu respaldo no campo do ensino da Álgebra

foi o trabalho de Santos (2005), cuja Dissertação foi intitulada de “Concepções do Professor de Matemática sobre o Ensino de Álgebra”. O objetivo desta pesquisa foi compreender o que ocorre atualmente nas aulas de matemática dos ensinos fundamental e médio. O problema investigado foi o seguinte: Qual a concepção do professor de matemática sobre o ensino de Álgebra?

A Metodologia adotada por Santos (2005) foi a Pesquisa Descritiva, cuja fonte da coleta dos dados foi questionários. Os dados foram tratados


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de maneira qualitativa e quantitativa, sendo que os sujeitos da pesquisa foram 28 (vinte e oito) professores de matemática do nível fundamental e médio. A autora tomou como referencial teórico a linha de pensamento de Usiskin (1995) e das abordagens sobre a Álgebra, sob o ponto de vista de Bednarz, Kieran e Lee.

Antes de fazer as análises dos dados coletados, Santos (2005) fez

um resgate histórico sobre a origem dos conhecimentos algébricos, sendo um dos marcos intelectual foi a Universidade de Alexandria, fazendo parte dessa Academia Arquimedes, Erastótones, Apolônio, Hiparco, Menelau, Ptolomeu e Diofanto. Também se fundamentou em algumas escolas de pensamento, como a Hindu e a Grega, para entender as bases do ensino da álgebra.

Pelos resultados alcançados, Santos (2005) conclui que os professores denotam uma atitude positiva em relação ao ensino da Álgebra. Porém, a autora foi enfática ao constatar duas carências no processo ensino aprendizagem desse assunto: a) Maior rigor na prática pedagógica dos professores que abordam e ensinam a Álgebra; e b) Maior valorização dos conhecimentos prévios dos alunos, visando a construção de conceitos algébricos. Diante desse quadro, o autor recomendou que os professores de matemática trabalhem as situações problemas, cujas soluções possam dominar a álgebra e a aritmética generalizada, desde que se adotem procedimentos corretos para trabalhar as grandezas algébricas. ESTUDOS EXPERIMENTAIS

Nesta categoria foram analisados três documentos sobre estudo experimental nos quais os autores trabalham com metodologias e abordagens diferenciadas para o ensino aprendizagem da fatoração algébrica. Esse conjunto diminuto de materiais experimentais sinaliza para a dificuldade de se encontrar materiais disponíveis para pesquisa, embora seja um estudo de análise prévia.

Um dos autores que se destacou no contexto do experimento algébrico foi Cárdia (2007) que desenvolveu um estudo de cuja temática foi “Integrando a Geometria com a álgebra na construção de expressões algébricas”. O objetivo desta pesquisa foi apresentar uma proposta de


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construção de conhecimento sobre expressões algébricas, utilizando a Geometria como instrumento base. Buscou investigar o seguinte problema: Como podemos utilizar a Geometria como instrumento para o ensino e a aprendizagem das expressões algébricas?

Cárdia (2007) desenvolveu o seu estudo através da Metodologia da Engenharia Didática, fundamentada em duas linhas de pesquisa: a Dialética Ferramenta-Objeto e a Jogo de Quadros de Régine Douady (1986) e a teoria de Registros de representação Semiótica de Raymond Duval (1993; 1994; 1995). Os sujeitos da pesquisa foram constituídos por 45 alunos de 12 a 15 anos da 7ª série do Ensino Fundamental de uma Escola Estadual, localizada na região sul da cidade de São Paulo. Além desses elementos, a autora tomou o depoimento dos professores do ensino Fundamental e médio deste estabelecimento de ensino.

Em Primeiro, Cárdia (2007) aplicou o pré-teste na população alvo, que foi constituído por cinco questões, abordando o reconhecimento das figuras planas,formas geométricas, conceitos de perímetro, área e cálculo do perímetro; área das figuras pedidas e diferenciação entre os conceitos, utilizando algumas unidades de medidas (metro, centímetro). Os resultados do pré-teste foram razoáveis, pois 70% dos alunos atingiram o propósito do estudo e 30% tiveram pouco desempenho. “A maior dificuldade encontrada pelos alunos foi fazer a diferenciação dos conceitos entre perímetro e área” (CÁRDIA, 2007, p. 67).

No campo da Experimentação, a autora trabalhou as medidas de Superfície, cujas tarefas desenvolvidas foram às seguintes: 1) Recobrir a superfície da carteira utilizando as peças do jogo que você recebeu; 2) Registrar a quantidade de peças necessárias para recobrir a carteira; e 3) Registrar a medida da carteira, comparando o resultado obtido com os resultados dos outros grupos.

Nesta fase a autora constatou dois tipos de erros, resultados de uma adaptação sistemática de conhecimentos anteriores, dentre os quais Cárdia (2007) apontou: a) Os erros correspondentes à ausência de mudanças conceituais e b) Os erros ligados às técnicas de extrapolação. Foi observado nessa pesquisa experimental entusiasmo nos sujeitos


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pesquisados, fruto da inovação de recursos no ensino aprendizagem: Dialética Ferramenta-Objeto e o Jogo de Quadros.

Especificação na construção das expressões algébricas, a partir da geometria, Cárdia (2007) adotou como linha metodológica a Engenharia Didática, cuja justificativa foi de que esta metodologia se enquadra no perfil dos instrumentos didáticos utilizados na pesquisa (Dialética Ferramenta-Objeto e o Jogo de Quadros). A engenharia didática foi composta por quatro fases: análises preliminares, análise a priori, experimentação e análise a posteriori, com as respectivas atividades a serem desenvolvidas: - 1ª Fase: Análise Preliminar, que visou descrever quadro teórico didático geral sobre os conhecimentos didáticos já adquiridos, como também a análise epistemológica no que diz respeito à concepção dos alunos sobre as dificuldades no campo da didática, - 2ª Fase: Concepção e Análise a priori das situações didáticas, visou uma análise a priori para fundamentar à metodologia da engenharia didática, como também exigiu as considerações do aluno no processo, - 3ª Fase: Experimentação, que representou o momento do contato do pesquisador com a população objeto (alunos), visando a explicitação dos objetivos e condições de realização da pesquisa experimental, e - 4ª Fase: Análise a posteriori e validação: envolveu os dados colhidos na experimentação e das observações realizadas durante cada sessão de ensino, através do recurso do questionário, entrevista individual ou em pequenos grupos, bem como das produções dos alunos em classe.

A Seqüência Didática a partir desta metodologia (estudos preliminares, elaboração das atividades e uma análise a priori, experimentação e uma análise a posteriori) foi composta por 12 atividades, buscando construir uma metodologia de ensino para a noção de expressão algébrica, através da Geometria, procurando dar significado a esse conhecimento matemático.

No geral, nas atividades da seqüência didática, Cárdia (2007) apontou que o maior nível de dificuldade encontrado pelos alunos foi fazer a leitura das formas das expressões algébricas e a manipulação das quatro operações matemática, como modo para tentar compreender a álgebra. Outra dificuldade foi fazer a passagem da Aritmética para a Álgebra,


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reflexo dos alunos de não saberem interpretar o significado algébrico das expressões.

Depois desse mau desempenho dos pesquisados e ratificar o seu estudo a autora realizou entrevistas com o mesmo grupo de alunos e constatou que uma das dificuldades dos alunos tinha intima relação com a compreensão dos significados das expressões algébricas. Por esta descoberta, a autora afirmou que “a habilidade para descrever o método verbalmente não significa necessariamente a habilidade de reconhecer a simbolização correta daquele método algébrico” (CÁRDIA, 2007, p. 25). No contexto da didática da Matemática, a autora mostrou que a Dialética ferramenta-objeto é formada por dois pólos: O da ferramenta e o do objeto. Por esse motivo, Cárdia (2007, p. 28), num recorte, afirmou que: “Para se construir o conhecimento matemático, o professor dispõe de muitas variáveis didáticas que vão transformar a situação da aprendizagem. Suas escolhas terão conseqüências sobre a percepção do saber que os alunos irão desenvolver [...]”.

Cárdia (2007) conclui que a Dialética ferramenta-objeto e o Jogo de quadros são fortes instrumentais para a construção de conhecimentos matemáticos algébricos, na medida em que permite aos alunos desenvolverem diversas estratégias para solucionar um mesmo problema de distintas maneiras. Com tais instrumentos os alunos podem se tornar capazes de construir suas estratégias de resoluções sem maiores dificuldades, apropriando dos seus próprios conhecimentos prévios, articulando saberes construídos nas atividades anteriores com os fazeres das experiências.

Cárdia (2007) recomendou que sejam criados mecanismos didáticos pedagógicos para fortalecer o conhecimento e a análise dos critérios de investigação em torno da conexão Álgebra e Geometria, como maneira de aumentar o poder de discussão na academia e, assim, possibilitar a construção de técnicas alternativas de maior entendimento para a resolução de questões algébricas. Afinal, a maior dificuldade dos atores pesquisados foi à indistinção entre os conceitos de perímetro e de área, a leitura das expressões algébricas e a construção de retângulos e quadrados.


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Contribuiu também para aumentar o poder de debate na seara de estudos experimentais Rodrigues (2008), que desenvolveu a sua dissertação, intitulada de “Uma análise da aprendizagem de produtos notáveis com o auxílio do programa Aplusix”. O objetivo deste estudo foi analisar os procedimentos pelos quais os alunos se utilizam para desenvolver e resolver as operações de produtos notáveis.

O questionamento central que norteou a construção da pesquisa de Rodrigues (2008) foi: O programa Aplusix2 poderá contribuir para a coordenação de registros de representação semiótica em relação aos produtos notáveis? Em quê? Quais as evoluções percebidas?

No quesito Metodologia Rodrigues (2008) fez um estudo de diagnóstico e com abordagem qualitativa, cujo procedimento foi auxiliado pelo uso do computador, o software Aplusix, sendo adaptada a metodologia da Engenharia Didática. A amostra foi constituída por 7 alunos de 8º e 9º anos de uma escola pública do Ensino Fundamental da Cidade de São Paulo. O uso do computador, como recurso inovador, se deu em função dos baixos resultados das avaliações do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica - SAEB e do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP.

Por outro lado, a pesquisadora destacou que desenvolveu o seu estudo com base na concepção pedagógica do Projeto Político Pedagógico – PPP, que a escola adotava. O PPP, pois, concebe a Matemática como um saber relacionado com a realidade sócio-cultural, tendo como ação pedagógica: “A preocupação de usar a resolução/formulação de problemas de acordo com situações que emergem da realidade social do aluno e de situações matemáticas” (RODRIGUES, 2008, p. 15).

Em primeira mão a pesquisadora valorizou os conhecimentos prévios dos alunos, onde foram usados como recursos os próprios cadernos dos alunos, cujas anotações permitiram uma visão geral dos conceitos trabalhados no ano letivo de 2006 e no primeiro semestre de 2007,

2 É uma ferramenta destinada ao aprendizado da álgebra elementar, que

desenvolve resoluções de expressão algébricas, equações, inequações, etc.


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indicando com os produtos notáveis, em particular, e a álgebra, em geral, eram trabalhados.

Rodrigues (2008) avaliou essa primeira fase do estudo destacando as dificuldades que os alunos encontraram para desenvolver as operações de cálculos algébricos, constatando que foi a leitura incorreta de tal atividade ser a causa do insucesso dos alunos. Esse equívoco se reproduziu no erro da aplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou a aplicação de produtos notáveis como, por exemplo: x2 - 20x +100; y2 + 16 y + 64. Rodrigues (2008, p. 119) argumentou que os obstáculos que os alunos tiveram para resolver as atividades algébricas foram “o pouco domínio da interpretação do texto matemático, cálculo de raízes quadradas exatas, desenvolvimento do trinômio quadrado perfeito e da diferença entre dois quadrados”.

Em seguida a autora aprofundou a sua pesquisa, cujas análises

foram fundamentadas na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (2003), pensamento pelo qual valoriza atividades que favorecem maior aprendizagem, mediante as conversões entre registros de representação e de tratamento num mesmo registro. Seu processo experimental foi composto de quatro fases: análises preliminares, concepção e análise a priori das situações didáticas, experimentação e, por último, a análise a posteriori e validação.

Depois Rodrigues (2008) constituiu um banco de dados do programa Aplusix para desenvolver o seu experimento em três etapas: pré-teste, aprendizagem e pós-teste. Os registros das observações foram feitos por meio de gravações do “videocassete”, que gravou todo o desenrolar das atividades, possibilitando maior acesso e compreensão das resoluções das operações por parte do alunado.

Nas atividades de pré-teste foram apresentadas diferentes alternativas de escolha de respostas, onde os alunos procuraram desenvolver cada uma delas aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para verificar qual alternativa coincidia com as expressões dos enunciados das questões. Por conseguinte, no pós-teste, as expressões de fatoração não foram apresentadas com diferentes alternativas de escolha de resposta e a maioria dos alunos resolveu corretamente as expressões propostas. A autora confrontou os resultados


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do pré- teste (análises a priori) com os resultados do pós-teste (análise a posteriori e validação) para chegar as suas conclusões.

Rodrigues (2008) concluiu que – ao comparar os resultados do pré-teste com os do pós-teste, houve evolução conceitual e avanços significativos quanto ao desempenho dos sujeitos pesquisados, bem como nas conversões entre os registros figural, algébrico e numérico e o tratamento nos registros numérico e algébrico. Dois elementos contribuíram para este resultado positivo: As retroações do programa Aplusix e a mediação da pesquisadora. O autor sugeriu, a partir desta experiência de pesquisa, que se realizem novos estudos e de maneira mais abrangente, que contemple as operações de polinômios, envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e suas propriedades.

Fanti, Kodama, Martins e Cunha (2006) contribuíram também para aprofundar o estudo experimental pois desenvolveram uma pesquisa, intitulada de “Ensinando Fatoração e Funções Quadráticas com o apoio de material concreto e informática”. O objetivo deste estudo foi relacionar figuras geométricas planas (quadrados e retângulos) com expressões algébricas (primeiro e segundo graus, monômios e polinômios, resolução de equações do primeiro grau e fatoração de trinômios do segundo grau). A Metodologia usada pelos autores se traduz na experiência realizada com 180 alunos do nível Fundamental (7ª e 8ª séries) e do nível médio (1ª e 2ª séries) da E. E. Profº Guines Affonso Morales, localizada na região de Neves Paulista.

Os conteúdos matemáticos dessas séries foram trabalhados com o auxílio do material concreto Algeplan e dos softwares Cabri Géomètre II e Winplot3. Em termos físicos as Figuras 3 e 4 apresentam o Algeplan com as suas especificidades eletrônicas.

3 É uma ferramenta computacional que serve para fazer/representar gráficos de

funções reais de uma ou duas variáveis (2D e 3D). Trata-se de um software gratuito, podendo por isso ser utilizado sem problemas por professores e alunos do

Ensino Fundamental, Médio, e Superior, inclusive pode ser traduzido para o

português, podendo ser encontrado no site http://math.exeter.edu/rparris.

http://math.exeter.edu/rparris


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Figura 03.

Algeplan construído com o Cabri Géomètre II

Fonte: Fanti, Kodama, Martins e Cunha (2006, p. 172)

Podemos apresentar algumas características do Algeplan, a partir de algumas formas geométricas, a saber: - Quadrados: Quatro quadrados grandes de lados x, x > 0 (onde um valor para x é fixado, a priori), de área x2, representando cada um deles o elemento/expressão do tipo x2), quatro quadrados médios de lados y (com y < x), representando cada um deles um elemento/expressão do tipo y2, e doze pequenos de lados 1, a unidade (representando o elemento/expressão do tipo 1=12). Total de quadrados: 20. - Retângulos: Quatro retângulos de lados x e y (representando cada um o elemento/expressão do tipo xy), oito retângulos de lados x e 1 (representando cada elemento/expressão do tipo x = x.1) e oito de lados y e 1 (representando cada o elemento y = y.1). O total de retângulos: 20.

As peças são identificadas pelas suas áreas. Pode-se utilizar uma cor para cada tipo de peça ou ainda, tomar todas da mesma cor. Esse material pode ser adquirido em lojas especializadas (em madeira). Nesse caso usa-se a cor amarela, azul e vermelha para os quadrados grandes, médios e pequenos, respectivamente. Para os retângulos as cores usadas


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são lilás, verde e laranja. No entanto outras cores podem ser usadas (Figura 04).

Figura 04.

Algeplan construído em EVA

Fonte: Fanti, Kodama, Martins e Cunha (2006, p.172)

Como ensaio da pesquisa as autoras passaram os conhecimentos

básicos dos recursos do Algeplan (que foi também construída com cartolina - EVA) à população pesquisada em sala de aula para, depois, serem retomados de modo a conduzir o aluno a trabalhar a álgebra. Segundo Fanti, Kodama, Martins e Cunha (2006, p.174), na 7ª série foi trabalhada a representação/modelagem das expressões, adição e subtração de monômios, onde tais atividades foram desenvolvidas com as peças do Algeplan, enquanto que na oitava série foi trabalhada à fatoração/produtos notáveis e nas séries do Ensino Médio foram desenvolvidas as funções quadráticas com o software Winplot.

No laboratório de informática o experimento se traduziu na aplicação de 5 questões com o uso do Algeplan para modelagem as expressões algébricas, e aplicaram 2 atividades explorando os recursos do software Winplot para formatar as figuras geométricas.


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Fanti, Kodama, Martins e Cunha (2006) concluíram que o uso do Algeplan e do Winplot se conformou em elementos inovadores no processo ensino aprendizagem na Álgebra e na Geometria, cuja dinâmica contribuiu para que os alunos se tornassem mais interessados, motivados e criativos para com as atividades. Acrescentam que as atividades desenvolvidas no laboratório de informática contribuíram para gerar um vínculo mais estreito entre professor, bolsistas e alunos, tornando-se esses mais disciplinados na sala de aula. Estas autoras sugeriram que os estudos experimentais sejam realizados em sala de aula e/ou em laboratório, pois acreditam no potencial do alunado quanto ao seu desempenho na aprendizagem da fatoração algébrica.

Portanto, registra-se a preocupação de aumentar o poder do ensino aprendizagem da fatoração algébrica, como uma das linhas de conhecimento da Matemática, é uma constância no campo da educação. As pesquisas, sobretudo, buscam fundamentar formas distintas das tradicionais para que a didática de ensino desse assunto torne-se menos difícil e, assim, acessível àqueles que tentam compreender a álgebra como uma toda. Assim, as literaturas especializadas no assunto pode ser dividida em dois grandes grupos: Àquelas que apontam as deficiências, equívocos e dificuldades do alunado (Estudo Diagnósticos), justificada pela precária formação docente e, o outro, que procura apontar soluções alternativas pedagógicas metodológicas para o processo ensino aprendizagem da fatoração algébrica (Estudo Experimentais), como modo de rebater o tradicional método de definição, seguido de exemplos e exercícios.

Os estudos diagnósticos revelaram que a deficiência e dificuldades dos alunos na fatoração algébrica vão desde a pouca capacidade da tradução da linguagem matemática e do entendimento conceitual; perpassando pela pouca compreensão e interpretação do enunciado das questões até a dificuldade de identificar as funções que a letra assume na álgebra, como também a pouca capacidade de manipular com as técnicas algébricas. Essas difusas dificuldades são produtos da valorização da dimensão estruturalista/mecânica da Álgebra por parte dos docentes, gerando um „ciclo vicioso‟ da academia ao ensino básico e vice versa. Por outro lado, os estudos de experimentos sugerem inovações na condução do ensino da fatoração algébrica, como o uso do Algeplan e do Winplot; e os Recursos tecnológicos e computacionais, sendo que todas essas ferramentas se demonstraram eficazes na fixação do conhecimento


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sobre a álgebra. Além da menor dificuldade na aprendizagem, tais recursos – como elementos inovadores no processo ensino aprendizagem, tornaram mais dinâmicas às aulas, como também as tornou mais interessantes.

Portanto, o uso do material concreto na fatoração algébrica no campo do experimento – a exemplo do Algeplan e do Winplot, [pode ser outro] é certamente mais interessante, cuja praticidade pode dar maior liberdade para que os alunos criem/adotem estratégias distintas para tentar fatorar as expressões algébricas; afastando-se da abordagem tradicional, que predomina no sistema de ensino no Estado do Pará e, em geral, no Brasil. É nessa direção que apresentamos o campo do experimento como proposta didática metodológica para reduzir as dificuldades do ensino aprendizagem na fatoração algébrica. Dando continuidade nas análises preliminares sobre o ensino de fatoração algébrica, apresentamos um diagnóstico sobre o ensino de fatoração algébrica segundo docentes de matemática. KIT DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA: “KIT-2D”

O kit de fatoração algébrica “kit-2D” foi elaborado com base na idéia do “ALGEPLAN”, pois o “jogo” Algeplan é formado por 40 peças ou figuras geométricas, a saber: - Quadrados: Quatro quadrados grandes de lados x, x > 0 (onde um valor para x é fixado, a priori), de área x2, representando cada um deles o elemento/expressão do tipo x2), quatro quadrados médios de lados y (com y < x), representando cada um deles um elemento/expressão do tipo y2, e doze pequenos de lados 1, a unidade (representando o elemento/expressão do tipo 1=12). Total de quadrados: 20. - Retângulos: Quatro retângulos de lados x e y (representando cada um o elemento/expressão do tipo xy), oito retângulos de lados x e 1 (representando cada elemento/expressão do tipo x = x.1) e oito de lados y e 1 (representando cada o elemento y = y.1). O total de retângulos: 20. As peças são identificadas pelas suas áreas. Pode-se utilizar uma cor para cada tipo de peça ou ainda, tomar todas da mesma cor. Esse material pode ser adquirido em lojas especializadas (em madeira). Nesse caso, usa-se a cor amarela, azul e vermelha para os quadrados grandes, médios e pequenos, respectivamente. Para os retângulos, as cores usadas são lilás, verde e laranja.


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DESCRIÇÃO DO “KIT-2D”

O “kit-2D” é composto por 138 peças/figuras geométricas a partir, basicamente, de duas formas: Quadrado e Retângulo e foi construído em EVA.

• Quadrados Oito quadrados de lados x, (onde um valor para x é fixado, a priori), de área x2, cada um deles representa uma expressão do tipo x2), oito quadrados de lados y (com y < x), cada um deles representa uma expressão do tipo y2, oito quadrados de lados z (com z < y < x), cada um deles representa uma expressão do tipo z2 e dezoito quadrados de lados 1, a unidade (cada um deles representa uma expressão do tipo 1=12); resultando em um total de 42 quadrados.

• Retângulos Dezesseis retângulos de lados x e y (cada um deles representa uma expressão do tipo xy), dezesseis retângulos de lados x e z (cada um deles representa uma expressão do tipo xz), dezesseis retângulos de lados y e z (cada um deles representa uma expressão do tipo yz), dezesseis retângulos de lados x e 1 (cada um deles representa uma expressão do tipo x = x.1), dezesseis retângulos de lados y e 1 (cada um deles representa uma expressão do tipo y = y.1) e dezesseis retângulos de lados z e 1 (cada um deles representa uma expressão do tipo z = z.1). Totalizando 96 retângulos.

O “kit-2D” foi confeccionado em EVA nas cores azul e laranja, sendo 69 peças na cor azul representando as peças “positivas” e 69 na cor laranja representando as peças “negativas”. Foram construídos 10 “kits-2D” para serem utilizados em sala de aula. Usou-se, em particular, as medidas x = 10 cm, y = 8 cm, z = 6 cm e a unidade como 2 cm. Temos como principais diferença entre o kit-2D e o algeplan a quantidade de peças que aumentou consideravelmente pois o algeplan é composto por 40 peças e o kit-2D por 168 peças, as cores e a inclusão de uma nova variável sendo esta a variável “z”.

O principal objetivo do uso do “Kit-2D”, é associar figuras planas (quadrados e retângulos) com expressões algébricas do primeiro e segundo graus e fatoração algébrica nos casos fator comum, agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômio quadrado perfeito. O “Kit-2D” será


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utilizado em sala de aula de modo a conduzir o discente a relacionar a área do quadrado e do retângulo com a fatoração das expressões algébricas. Vale ressaltar que o kit-2D assim como o algeplan apresentam algumas limitações, como por exemplo, trabalhar com frações.

De acordo com (BRASIL, 1998, p. 121), “a visualização de expressões algébricas, por meio de cálculos de áreas e perímetros, é um recurso que facilita a aprendizagem de noções algébricas, pois possibilita ao aluno conferir um tipo de significado às expressões”. A seguir apresentaremos as peças do kit-2D na forma geométrica (Figura 5).

Figura 5.

Disposição das peças que compõe o kit de fatoração algébrica “KIT-2D”

Fonte: Silva (2012).


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Figura 06. Continuação da disposição das peças que compõe o kit de fatoração algébrica “KIT-2D”


MANUSEIO DO “KIT-2D” Para mostrarmos o manuseio do kit-2D iremos apresentar dois exemplos de fatoração algébrica com a utilização do kit-2D, conforme a Figura 7 (Exemplo de Fator e a expressão 2x + 2y com auxílio do kit-2D.


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Figura 7.

Manuseio do KIT-2D.


Figura 08. Exemplo de Fator e expressão 2x – 2y com auxílio do kit-2D.

Figura 08.

Manuseio do KIT-2D



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SEQÜÊNCIA DIDÁTICA

A seqüência didática contém 11 (doze) atividades, sendo divididas em 07 (sete) atividades de aprendizagem e 04 (quatro) atividades de fixação. - Atividade 01 intitulada “fator comum I” foi dividida em três partes, a primeira com os propósitos de escrever as expressões algébricas na forma de produto com o auxílio do kit-2D, a segunda parte tem como objetivo praticar a identificação do fator comum nas expressões algébricas e a terceira praticar a fatoração algébrica sem o auxílio do kit-2D. Vale ressaltar que essa atividade apresenta somente expressões com operações de adição e fator comum sendo um número. - Atividade 02 intitulada “fator comum II” foi dividida em duas partes a primeira parte com objetivo de escrever as expressões na forma de produto com o auxílio do kit-2D e a segunda, com o propósito de praticar a fatoração algébrica sem o auxílio do kit-2D. Vale destacar que essa atividade contém somente expressões algébricas envolvendo operações de adição e subtração e fator comum sendo um número. - Atividades 03 e 04 intituladas “fator comum III” e “fator comum IV” respectivamente foram divididas em duas partes a primeira com objetivo de escrever as expressões na forma de produto com auxílio do kit-2D e a segunda com propósito de praticar a fatoração algébrica sem o uso do kit-2D sendo que a atividade 03 contém somente operações de adição e o fator comum sendo uma letra ou um número e uma letra já na atividade 04 contém operações de adição e subtração com fator comum sendo uma letra ou um número e uma letra. - Atividade 05 intitulada “agrupamento” foi dividida em duas partes a primeira com intuito de escrever as expressões na forma de produto com auxílio do kit-2D e a segunda parte objetivando praticar a fatoração no caso agrupamento sem o uso do kit-2D. - Atividade 06 intitulada “diferença de dois quadrados” foi dividida da mesma maneira que a atividade 05 com os mesmos objetivos, porém utilizando o caso de diferença de dois quadrados.


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- Atividade 07 intitulada “trinômio quadrado perfeito” apresentando tanto quadrado da soma de dois termos como quadrado da diferença de dois termos. Essa atividade foi dividida em duas partes: a primeira com os propósitos de escrever as expressões na forma de produto com auxílio do kit-2D e a segunda praticar a fatoração algébrica do caso trinômio quadrado perfeito sem o auxílio do kit-2D.

As atividades de fixação foram distribuídas da seguinte forma: Atividade de fixação 01 intitulada “Baralho de fator comum”, atividade de fixação 02 intitulada “Baralho de agrupamento”, atividade de fixação 03 intitulada “Baralho de diferença de dois quadrados” e atividade de fixação 04 intitulada “Baralho de trinômio quadrado perfeito” todas as atividades com objetivo de possibilitar aos alunos associar o aspecto geométrico com a propriedade distributiva e a fatoração algébrica. CONSTRUÇÃO DAS ATIVIDADES

Para elaboração da seqüência de atividades para o ensino de fatoração algébrica, tomamos como referência o ensino de matemática por atividades, considerando as sugestões propostas por Sá (2009) e Fossa (2000; 2001). No que consiste na preparação, na estrutura e na busca dos objetivos no momento didático proposto com a atividade, Sá (2009 p.18) nos coloca que: a) As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem; b) Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções matemáticas através de três fases: a experiência, a comunicação oral das idéias apreendidas e a representação simbólica das noções construídas. c) As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles; d) As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das idéias


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matemáticas construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele; e e) De acordo com o modelo proposto por Dockweiller (1996), as atividades propostas pelo professor podem se apresentar de três maneiras: desenvolvimento, conexão e abstração, de modo que sejam seqüencialmente apresentadas e possam contribuir para a construção gradual dos conceitos matemáticos.

Não tão bastantes das propostas sugeridas por Sá (2009), Fossa (2000, p. 46) resume seu pensamento a respeito do uso de atividades para o ensino de matemática nos dizendo o seguinte “[...] as atividades tem que ser significante para o aluno”. Esse caráter significante do ensino de matemática por atividade é que estamos buscando ao adotar esta tendência para o ensino de fatoração.

Concordando com Sá (2009), Fossa (2001) nos reforça que para dar significados as atividades e alcançar os objetivos, é necessário que estes estejam organizadas apropriadamente em seqüencias, sendo necessário um planejamento prévio, não devendo “[...] ser encaradas como instrumento preparatório para os professores iniciarem suas aulas expositivas, pois estas não são instrumentos de aplicação prévia, nem tampouco instrumento de ensino, elas são instrumento de aprendizagem. (FOSSA; 2000, p. 47). ATIVIDADES PARA O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA DO CASO FATOR COMUM

• Atividade 01 Título: Fator comum I Objetivo: Praticar fatoração de expressão algébrica Material: Papel, lápis ou caneta, borracha, roteiro da atividade e o kit de fatoração Procedimento: Com auxílio do kit-2D escreva as expressões na forma de produto


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a) 2x + 2y =

b) 3x + 3y = c) 4y + 4z = d) 5z + 5x = e) 2x + 2y + 2z = f) 3z + 3y + 3x = g) 4y + 4x + 4z = h) 5x + 5z + 5y = i) 2x + 4y = j) 3y + 6z =

k) 6z + 2x = l) 2x + 2 = m) 3y + 3 = n) 4z + 4 = o) 2x + 2y + 2 = p) 3y + 3z + 3 = q) 6z + 4x + 2y =

r) 8y + 6x + 4z = s) 6y + 2z + 4x = t) 8x + 6y + 2z =


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Ou seja, quando escrevemos uma expressão na forma de produto estamos fatorando a expressão. Como também na fatoração da expressão 3x + 3y o número 3 é denominado fator comum:

Identifique o fator comum em cada uma das expressões a seguir 1) 4a + 4b Fator comum: 4 2) 13x + 13y Fator comum: .......... 3) 7ya + 7xb Fator comum: ..........

4) nm

5

1

5

1−

Fator comum: ................. 5) 6xz + 6ya + 6zb Fator comum: ........ 6) – 11x – 11y Fator comum: .............. 7) 2ax + 3ay Fator comum: ................ 8) xy – xz Fator comum: .................... 9) 3ab2 + 2b Fator comum: ................ 10) – 5m2 – 7m Fator comum: .............. 11) 9mx + 9my Fator comum: .............. 12) 3ab + 3ac + 3ad Fator comum: ....... 13) 12m – 8n Fator comum: ................. 14) 24x +16y Fator comum: ................. 15) 18xy + 12xa Fator comum: .............

16) acab

3

2

3

2+

Fator comum: .................. 17) 18bc – 12ba – 8bd Fator comum: ......... 18) 3x2a + 5bx2 + 7cx2 Fator comum: ........ 19) 6ma – 8mb – 12mc Fator comum: ....... 20) – 4x2y – 6xz – 10xm Fator comum: ......


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Complete as igualdades conforme o exemplo a seguir 1) 12y + 12z = 12(y + z)

2) 8x + 8y =

3) = 10x + 10z

4) yx

3

1

3

1+

=

5) = 11(x + y + z)

6) ( )zyx ++

9

1

=

7) = 7x +7y +7z

8) zyx

5

1

5

1

5

1++

=

9) = 6(4x + 3y)

10) 12x + 6y =

11) = 20y + 8z

12) 10(z + 1) =

13) = 13x + 13

14) 14(z + x + 1) =

15) = 8x + 8y + 8

16) 8

1

8

1+x

=

17) = 4(4x + 3y + 2z)

18) 20z + 16y + 12x =

19) = 12y + 9z + 6x

20) 21x + 14y + 7z =


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• Atividade 02

Título: Fator comum II Objetivo: Praticar fatoração de expressão algébrica Material: Papel, lápis ou caneta, borracha, roteiro da atividade e o kit de fatoração Procedimento: Com auxílio do kit-2D escreva as expressões na forma de produto

a) 2y – 2z =

b) 3x – 3y =

c) 4x – 4z =

d) 5x – 5y =

e) 4x – 2y – 2z =

f) 6x – 3z – 3y =

g) 8x – 4z – 4y =

h) 4x – 4 =

i) 4x – 2y =

j) 6y – 3z =

k) 4y – 2z =

l) 2y – 2 =

m) 3y – 3 =

n) 3x – 3y – 3 =

o) 4x – 4z – 4 =

p) 5x – 5z – 5 =

q) 8x – 6z – 2y =

r) 6x – 4y – 2z =

s) 2x – 2z – 2 =

t) 8x – 4z – 2y =


55

Complete as igualdades conforme o exemplo a seguir: 1) 7x – 7y = 7(x – y)

2) 13z – 13x =

3) = 14x – 14z

4) yx

3

1

3

1−

=

5) = 10(x – y – z)

6) ( )zyx −−

5

1

=

7) = 17x – 17y – 17z

8) zyx

9

1

9

1

9

1−−

=

9) = 5(2x – 3y)

10) 12y – 8z =

11) = 18x – 10y

12) 14(2x – 1) =

13) = 15x – 15

14) 4

1

4

1−x

=

15) = 7(y – x – 1)

16) 18x – 18y – 18 =

17) = 8(2x – 3y – z)

18) – 6(x + y + z) =

19) – 9x – 9y – 9z =

20) – 18z – 12y – 9x =


56

• Atividade 03 Título: Fator comum III Objetivo: Praticar fatoração de expressão algébrica Material: Papel, lápis ou caneta, borracha, roteiro da atividade e o kit de fatoração Procedimento: Com auxílio do kit-2D escreva as expressões na forma de produto, ou seja, fatore as expressões

a) xy + xz =

b) yz + yx =

c) 3yx + 3yz =

d) 2xy + 2xz =

e) 2yz + 4yx =

f) 4xz + 2yz =

g) x2 + xy =

h) z2 + zx =

i) 2x2 + 2xz =

j) 2y2 + 4yx =

k) yz + yx + 2y =

l) yz + xz + 3z =

m) z2 + z =

n) y2 + 3y =

o) z2 + zy + zx =

p) zx + zy + z =

q) 3yx + 3yz+ 3y =

r) 2zx + 4zy + 6z =

s) 4xy + 6xz + 2x2 =

t) 4yz + 2yx + 6y =


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Complete as igualdades conforme o exemplo a seguir: 1) 10xy + 10xz = 10x(y + z)

2) 9yx + 9yz =

3) = 12xy + 12xz

4) ( )zxy +

9

1

=

5) = zyzx

4

1

4

1+

6) 4x(x + 3z) =

7) = 10x2 + 5xy

8) 18z2 + 12zy =

9) = 9z(z + 1)

10) 6y2 + 6y =

11) = 8y2 + 8yz

12) y(8x + 5z + 1) =

13) = 10zx + 10zy + 10z

14) 9z(2y + 3x + 1) =

15) = 15yx + 15yz + 30y2

16) 7y(x + 2z + 3) =

17) = 8xy + 12yz + 20y

18) 2x(2y + 3z + 5x) =

19) = 10z2 + 15xy + 25zy

20) 6xz + 18xy + 24x =


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• Atividade 04

Título: Fator comum IV Objetivo: Praticar fatoração de expressão algébrica Material: Papel, lápis ou caneta, borracha, roteiro da atividade e o kit de fatoração Procedimento: Com auxílio do kit-2D escreva as expressões na forma de produto, ou seja, fatore as expressões

a) xy – yz =

b) xz – yz =

c) 2xy – 2zy =

d) 3xy – 3xz =

e) 4xy – 2yz =

f) 2xy – yz =

g) 2z2 – 2z =

h) 2x2 – 2xz =

i) 4y2 – 2y =

j) 4xz – 2yz – 2z =

k) 2y2 – y =

l) 2x2 – 4x =

m) 2xy – 2xz =

n) 3yz – 3xz =

o) 4xy – 2xz =

p) 6xz – 2yz – 2z2 =

q) 3xz – zy – z2 =

r) 4zx – 2zy – 2z2 =

s) 4xy – 2xz – 6x =

t) 6xz – 4yz – 2z2 =


59

Complete as igualdades conforme o exemplo a seguir: 1) 11yx – 11yz = 11y(x – z)

2) 8xy – 8xz =

3) = 15yz – 15yx

4) ( )zxy −

5

1

=

5) = xyxz

6

1

6

1−

6) 12z(z – y) =

7) = 6x(x – 2z)

8) 15x2 – 10xy =

9) = 15y(y – 1)

10) 9x2 – 9x =

11) = – 10x(x + 2y)

12) – 16x2 – 12xz =

13) = 5y(x – 2z – 3)

14) – y(9x – 4z – 1) =

15) = 7(y – x – 1)

16) 11zy – 11zx – 11z =

17) = 10yx – 10yz – 20y2

18) – 8xy – 12xz – 20x =

19) = – 6z(2y – 3x – 1)

20) – 6xz – 18xy – 24x =


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ATIVIDADE DE FIXAÇÃO Título: BARALHO DE FATOR COMUM Objetivo: Possibilitar aos alunos associar o aspecto geométrico com a propriedade distributiva e a fatoração algébrica no caso fator comum. Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe. Material: 60 (sessenta) cartas, sendo 20 na forma geométrica, 20 na forma de expressões algébricas e 20 na forma fatorada. Regras:

• Um dos participantes será o carteador, escolhido conforme acordado em grupo, este distribui 6 (seis) cartas para cada um dos outros alunos que formaram a equipe, uma a uma.

• As cartas não usadas na distribuição são colocadas sobre a mesa com a face virada para baixo e constituíram o monte de compras. Os alunos devem avaliar as cartas recebidas e então, começando pelo aluno à esquerda do carteador, iniciaram o jogo.

• O primeiro participante sentado á esquerda do carteador compra a carta de cima do monte de compras e tem duas opções: ficará com a carta, se ela servir no seu jogo ou descartá-la, estas ficam com a face virada sobre a mesa formando o monte de descartes.

• O participante seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de compras ou poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa, apenas a última carta do monte de descartes poderá ser comprada, o jogo prossegue com todos os alunos da equipe comprando e descartando uma carta. Com a compra, os alunos da equipe tentarão montar triplas de cartas que representam o aspecto geométrico, a expressão algébrica e a forma fatorada, não necessariamente nessa ordem.

• O participante que primeiro conseguir montar 2 (duas) triplas com todas as suas cartas ganhará.


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Exemplo de cartas:

Exemplo de uma trinca (Figura 09)

Figura 09. Exemplo de uma trinca



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ATIVIDADES PARA O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA DO CASO AGRUPAMENTO

• Atividade 05 Título: Agrupamento Objetivo: Praticar fatoração de expressão algébrica Material: Papel, lápis ou caneta, borracha, roteiro da atividade e o kit de fatoração Procedimento: Com auxílio do kit-2D escreva as expressões na forma de produto, ou seja, fatore as expressões:

a) x2 + xy + xz + yz =

b) 2xz + 2xy + 2z + 2y =

c) 4 + 2y + 6x + 3xy =

d) 2yz + 2y + 4z + 4 =

e) yx + x + yz + z =

f) zx + x + z + 1 =

g) 4yz + 2yx + 6z + 3x =

h) 2x2 + xy + 4x + 2y =

i) yz + 2y2 + 3z + 6y =

j) 4xy + 2x2 + 6y + 3x =

k) xz – z + xy – y =

l) x2 – xy + xz – yz =

m) yx – y + x – 1 =

n) 2y2 + xy – 4y – 2x =

o) 2zx + zy – 4x – 2y =

p) 2yz + zx – 6y – 3x =

q) 4xy – 4x + 2y – 2 =

r) 2zy – z + 2y – 1 =


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Complete as igualdades conforme o exemplo a seguir 1) 8xz + 4xy + 12z + 6y = (2z + y)(4x + 6) 2) (x + 4)(3x + y) = 3) = 6x2 + 2xy + 15x + 5y 4) 8zy + 10xy + 12xz + 15x2 = 5) = (5y + 6)(4z + x) 6) 9xy + 9x2 + 11y + 11x = 7) = 6yz + 12y2 + 9z + 18y 8) (2z + 3x)(4y + 5x) = 9) = 40yz + 20yx + 60z + 30x 10) 10xy + 10x + 18y + 18 =

11) = 32xy + 16x2 + 48y + 24x 12) (6x + 5)(8 – 2y) = 13) = (4y – 2x)(7 + 5z) 14) 16y2 + 8xy – 32y – 16x = 15) = 24x – 12xy + 12 – 6y 16) 15x2 –15xy + 15xz – 15yz = 17) = 7y2 + 14xy – 28y – 14x 18) (3z – 5y)(4x – 2y) = 19)= 30xz – 50xy – 24yz + 40y2 20)15xz – 25xy – 12yz + 20y2 =


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ATIVIDADE DE FIXAÇÃO Título: BARALHO DE AGRUPAMENTO Objetivo: Possibilitar aos estudantes associar o aspecto geométrico com a propriedade distributiva e a fatoração algébrica no caso fator comum. Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe. Material: 80 (oitenta) cartas, sendo 20 (vinte) na forma geométrica, 20 (vinte) na forma de expressões algébricas, 20 (vinte) na forma fatoração parcial e 20 (vinte) na forma fatorada(cf. apêndice ). Regras:

• Os participantes irão utilizar a principio 60 (sessenta) cartas, sendo excluídas as 20 (vinte) cartas na forma fatoração parcial após jogarem inúmeras vezes irão substituir as 20 (vinte) cartas na forma geométrica pelas 20 (vinte) na forma de fatoração parcial e continuaram jogando.

• Um dos participante será o carteador, escolhido conforme acordado em grupo, este distribui 6 (seis) cartas para cada um dos outros alunos que formaram a equipe, uma a uma.



• O participante seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de compras ou poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa, apenas a última carta do monte de descartes poderá ser comprada, o jogo prossegue com todos os alunos da equipe comprando e descartando uma carta. Com a compra, os alunos da equipe tentarão montar triplas de cartas que representam o aspecto geométrico, a expressão algébrica e a forma fatorada, não necessariamente nessa ordem. Após a substituição das 20 (vinte) cartas na forma geométrica pelas 20 (vinte) na forma fatoração


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parcial, os alunos da equipe tentarão montar tripas de cartas que representam a expressão algébrica, a forma fatoração parcial e a forma fatorada, não necessariamente nessa ordem.


Exemplo de cartas: Antes da substituição das 20 (vinte) cartas.

Figura 10

Exemplo de uma trinca


Exemplo de cartas: Depois da substituição das 20 (vinte) cartas -

uma trinca (Figura 11).

Figura 11. Exemplo de uma trinca



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ATIVIDADES PARA O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA DO CASO DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS. Atividade 06 Título: Diferença de dois quadrados Objetivo: Descobrir uma relação entre as fatorações da diferença de dois quadrados Material: Papel, lápis ou caneta, borracha, roteiro da atividade e o kit de fatoração Procedimento: Com auxílio do kit-2D escreva as expressões na forma de produto, ou seja, fatore as expressões

a) x2 – y2 =

b) x2 – z2 =

c) y2 – z2 =

d) x2 – 22 =

e) y2 – 22 =

f) z2 – 22 =

g) x2 – 32 =

h) y2 – 32 =

i) z2 – 32 =

j) 4x2 – 32 =

k) 4y2 – 32 =

l) 4z2 – 32 =

m) 4x2 – z2 =

n) 4y2 – z2 =

o) 4x2 – y2 =

p) 4x2 – 4z2 =

q) 4x2 – 4y2 =

r) 4y2 – 4z2 =

s) 4x2 – 4 =

t) 4y2 – 4 =


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Complete as igualdades conforme o exemplo a seguir: 1) (3x + 4)(3x – 4) = 9x2 – 16 2) (6z + 2)(6z – 2) = 3) = 16z2 – 25 4) 36y2 – 64 = 5) = (7y + 1)(7y – 1) 6) 9x2 – 1 = 7) = 9y2 – 9 8) 49z2 - 81 = 9) = 64x2 – 100 10) (5x + 3y)(5x – 3y) = 11) = 25y2 – 9x2

12) (4y + 7z)(4y – 7z) = 13) = 36x2 – 16y2

14) (8x + 4y)(8x – 4y) = 15) = 49z2 – 36x2 16) 64y2 – 49z2 = 17) = 81x2 – 25y2 18) 100z2 – 64x2 = 19) = 100y2 – 25z2 20) 81x2 – 16y2 =


69

ATIVIDADE DE FIXAÇÃO Título: BARALHO DE DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Objetivo: Possibilitar aos estudantes associar o aspecto geométrico com a propriedade distributiva e a fatoração algébrica no caso diferença de dois quadrados. Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe. Material: 60 (sessenta) cartas, sendo 20 (vinte) na forma geométrica, 20 (vinte) na forma de expressões algébricas, 20 (vinte) na forma fatorada (cf. apêndice ). Regras:


• As cartas não usadas na distribuição são colocadas sobre a mesa com a face virada para baixo e constituíram o monte de compras. Os alunos devem avaliar as cartas recebidas e então, começando pelo estudante à esquerda do carteador, iniciaram o jogo.


• O participante seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de compras ou poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa, apenas a última carta do monte de descartes poderá ser comprada, o jogo prossegue com todos os alunos da equipe comprando e descartando uma carta. Com a compra, os alunos da equipe tentarão montar triplas de cartas que representam o aspecto geométrico, a expressão algébrica e a forma fatorada, não necessariamente nessa ordem.



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Exemplo de cartas - uma trinca (Figura 12).

Figura 12

Exemplo de trinca

Fonte: Silva (2012)


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ATIVIDADES PARA O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA DO CASO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.

• Atividade 07 Título: Trinômio quadrado perfeito. Objetivo: Descobrir uma relação entre as fatorações do trinômio perfeito Material: Papel, lápis ou caneta, borracha, roteiro da atividade e o kit de fatoração Procedimento: Com auxílio do kit-2D escreva as expressões na forma de produto, ou seja, fatore as expressões

a) x2 + 2xy + y2 =

b) y2 + 2yz + z2 =

c) z2 + 2z + 1 =

d) x2 + 2x + 1 =

e) x2 + 4x + 4 =

f) z2 + 4z + 4=

g) 4y2 + 8y + 4 =

h) 4x2 + 4xz + z2 =

i) 4x2 + 4x + 1 =

j) 4y2 + 4yz + z2 =

k) x2 – 2xy + y2 =

l) y2 – 2yz + z2 =

m) z2 – 2z + 1 =

n) x2 – 2x + 1 =

o) x2 – 4x + 4 =

p) z2 – 4z + 4 =

q) 4y2 – 8y + 4 =

r) 4x2 – 4xz + z2 =

s) 4x2 – 4x + 1 =

t) 4y2 – 4yz + z2 =


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Complete as igualdades conforme o exemplo a seguir sem utilizar o kit-2D. 1) (x + 3)(x + 3) = x2 + 6x + 9 2) (y + 4).(y + 4) = 3) = x2 + 10x + 25 4) y2 – 14y + 49 = 5) = z2 + 16z + 64 6) (2z – 6)(2z – 6) = 7) = x2 + 20x + 10 8) 9x2 – 12x + 16 = 9) = 16y2 + 20y + 25

10) 49z2 – 42z + 36 = 11) = (3z + 2x)(3z + 2x) 12) 25x2 – 20xy + 16y2 = 13) = 64y2 + 56yz + 49z2 14) (4x – 3y)(4x – 3y) = 15) = 81z2 + 32zx + 16x2 16) 81x2 – 45xy + 25y2 =

17) = (5y + 2z)(5y + 2z) 18) 100y2 – 60yx + 36x2 = 19) = 100z2 + 80zy + 64y2

20) 100x2 – 30xz + 9z2

ATIVIDADE DE FIXAÇÃO Título: BARALHO DE TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO. Objetivo: Possibilitar aos estudantes associar o aspecto geométrico com a propriedade distributiva e a fatoração algébrica no caso trinômio quadrado perfeito. Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe. Material: 60 (sessenta) cartas, sendo 20 (vinte) na forma geométrica, 20 (vinte) na forma de expressões algébricas, 20 (vinte) na forma fatorada (cf. apêndice). Regras:




• O participante seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de compras ou poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa, apenas a última carta do monte de descartes poderá ser comprada, o jogo prossegue com todos os alunos da equipe comprando e descartando uma carta. Com a compra, os alunos da equipe tentarão montar triplas de cartas que representam o aspecto geométrico, a expressão algébrica e a forma fatorada equivalentes, não necessariamente nessa ordem.


Coleção VI - Educação Matemática na Amazônia - V. 11

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Exemplo de cartas - uma trinca (Figura 13).

Figura 13. Exemplo de trinca.

Fonte: Silva (2012)


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REFERÊNCIAS

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CAMARGO, Rosangela Perussi de. Tarefas investigativas de matemática: uma análise de três alunas de 8ª série do ensino fundamental. 2006. 128 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Pós-Graduação do Centro de ciências exatas da Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2006. CARDIA, L.S.F. Integrando a geometria com a álgebra na construção de expressões algébricas. Dissertação (Mestrado em educação matemática). 162p. PUC-SP 2007. CASTRUCCI, B; JR, J. R. G. A conquista da Matemática. 8º ano – Ed. Renovada – São Paulo: FTD, 2009. Diretrizes curriculares nacionais gerais para o ensino básico, resolução nº 4 de 2010.Acesso em novembro de 2012. http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12992 236 EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução: Higino H. Domingues. São Paulo, Campinas: Editora da UNICAMP, 2004. FANTI, E.L.C; KODAMA, H. M. Y.; MARTINS, A. C. C.; CUNHA, A. F. S. Ensinando Fatoração e Funções Quadráticas com o Apoio de Material Concreto e Informática. São Paulo: UNESP-2006. FOSSA, J. A. Características de atividades para o ensino de matemática. In: Ferreira G. P. (Org.). Educação Básica. Ceará, CE: URCA. 2000. FOSSA, J. A. Ensaios Sobre a Educação Matemática. Pará: EDUEPA, 2001. GIL, K. H. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de álgebra Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Fac. De Física, PUCRS- 2008. IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6ª edição. São Paulo: Atual, 2009.


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2007. Dissertação (mestrado acadêmico em educação matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009. PRATT, G. V. História da Álgebra. In: Tópicos de História da Matemática: para uso em sala de aula. Trad. Hygino H. Domingues. 1ª Ed. São Paulo. Atual, 1993. Volume 4. Capítulo 13. RIBEIRO, A. J. Analisando o desempenho de alunos do ensino fundamental em álgebra, com base em dados do SARESP. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pós – graduação em Educação Matemática.106p. Pontifícia Universidade Católica/SP, 2001. RODRIGUES, S. Uma análise da aprendizagem de produtos notáveis com o auxílio do programa Aplusix. Dissertação (Mestrado Profissional em ensino de matemática). 164p. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008. SÁ, P. F. de. Atividades para o ensino de matemática no nível fundamental. Belém, editora EDUEPA, 2009. SALGADO, R. C. da S. O ensino de números inteiros por meio de atividades com calculadora e jogos. 2011. 272 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011. SAMORA, G. Conceitos Algébricos Iniciais Um estudo com alunos de um curso pré-vestibular. Trabalho de graduação da Ufscar, 2003. SANTOS, L. M. Concepções do Professor de Matemática sobre o ensino de álgebra. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Pós – graduação em Educação Matemática. 100p. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005. SILVA, P. R. S. O ensino de fatoração algébrica por atividades. 2012.

235f. Dissertação (Mestrado em educação) – Universidade do Estado do

Pará, Belém, 2012.

TARDIF, Maurice. Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis, RJ: Vozes, 2002.


77

VALENTINO, Rosalina L. M.; GRANDO, Regina C. O conhecimento algébrico que os alunos apresentam no início do curso de licenciatura em matemática. Anais In: VIII Encontro Nacional


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79

SOBRE OS AUTORES

laucianny Amorim Noronha Possui graduação em Licenciatura Plena em

Pedagogia, Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela

Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2012) e Doutora pelo

Programa de Educação em Ciências e Matemática da Universidade Federal

do Pará - UFPA (2018). Tem experiência na área de coordenação

Pedagógica, orientação educacional, ensino polivalente e ensino superior

na área de Educação Matemática, com ênfase em Formação de professores

que ensinam Matemática. Foi bolsista de pós-graduação (Mestrado) pela

CAPES. Atualmente atua como professora Adjunto I da Universidade da

Amazônia - UNAMA e Coordenadora dos Cursos de Licenciatura em

Matemática e de Licenciatura em Pedagogia da UNAMA, é membro da

comissão ENADE, membro do Conselho do Curso e membro do Núcleo

Docente Estruturante, ambos do curso de Licenciatura em Matemática da

UNAMA. Faz parte do Conselho Pedagógico do CONTAR Jornal da escola.

Faz parte dos grupos de Estudos “CONTAR” que está inserido no projeto

“Leitura e escrita: recortes inter e multidisciplinares no ensino de

matemática e português”, financiado pelo Observatório da Educação

(CAPES/INEP) da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, faz parte

do Grupo de Estudos e Pesquisas em História da Educação Matemática -

GEHEM, vinculado ao Programa de Pós-graduação em Educação em

Ciências e Matemáticas da Universidade Federal do Pará e do Grupo de

Estudos em História da Educação Matemática no Brasil - GHEMAT,

cadastrado no Diretório de Grupos de Pesquisas do CNPq, o GHEMAT

desenvolve projetos de pesquisas que têm como objetivo produzir história

da educação matemática.

G


80

edro Roberto Sousa da Silva é Licenciado em Matemática, Especialista em

Educação Matemática pela UFPA e mestre em Educação pela UEPA.

Foi professor efetivo da rede pública municipal de Ananindeua, foi

professor da universidade Vale do Acaraú (UVA), foi professor e

coordenador do curso de matemática da Faculdade Integrada Ipiranga, foi

professor da escola Tenente Rêgo Barros, foi professor da rede privada nas

escolas CEARENSE, CESEP e MADRE CELESTE. É professor da

universidade da Amazônia (UNAMA), é professor Orientador do projeto

Residência Pedagógica pela CAPES, coordenador do curso de

especialização “Ensino de Matemática” da Escola superior da Amazônia

(ESAMAZ) e professor da rede pública estadual de educação do Pará. Tem

experiência na área de Matemática, Educação Matemática com ênfase em

Ensino de Matemática por Atividades e Resolução de Problemas.

edro Franco de Sá é Licenciado em Ciências do 1º grau, Licenciado em

Matemática, Especialista em Ensino de Ciências, Especialista em

Matemática e Mestre em Matemática pela UFPA e Doutor em Educação

pela UFRN. Foi professor da rede pública estadual de Educação do Pará.

Foi professor fundador do CESUPA e da UNAMA. É professor Titular do

Departamento de Matemática, Estatística e Informática da UEPA, onde foi

Diretor do Centro de Ciências Sociais e Educação de 2012 a 2016. É

professor fundador do mestrado e doutorado em Educação da UEPA,

professor fundador do Mestrado em ensino de Matemática da UEPA e

professor fundador da REAMEC. Em 1994 foi eleito o primeiro chefe do

Departamento de Matemática, Estatística e Informática da UEPA, neste

mesmo ano coordenou o curso de aperfeiçoamento em matemática do

Programa Pró-Ciências, financiado pela CAPES/SECTAM, nos municípios

de Belém, Conceição do Araguaia e Bragança. Curso este que deu origem a

primeira turma do curso de especialização em Educação Matemática da

P

P


81

UEPA em 1998, sob a coordenação do docente em questão. Em 1999 como

coordenador do curso de licenciatura em matemática da UEPA interiorizou

o referido curso implantando-o nos municípios de Altamira, Conceição do

Araguaia, Moju, Paragominas e São Miguel do Guamá. Ainda em 1999 foi o

coordenador geral do I Encontro Paraense de Educação Matemática. Em

2005 implantou o curso de licenciatura em Matemática na modalidade a

distancia da UEPA, que foi o primeiro curso superior da instituição nesta

modalidade, nos municípios de Conceição do Araguaia, Moju,

Paragominas, São Miguel do Guamá e Salvaterra. Tem experiência na área

de Educação Matemática com ênfase em Ensino de Matemática por

Atividades, Resolução de Problemas, Uso de Tecnologia em Aulas de

matemática, em particular no uso da calculadora como recurso didático.

Atualmente é líder do Grupo de Pesquisa em Cognição e Educação

matemática da UEPA e coordenador do Seminário de Cognição em

Educação Matemática que neste ano terá a sua décima consecutiva edição.


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83

Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI

Volume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.

Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.

Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a partir

da teoria antropológica do didático.

Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana Nunes.

Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e

solo geométrico.

Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.

Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.

Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.

Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.

Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.

Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.

Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.

Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.

Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.

Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do

professor.

Autor: Iran Abreu Mendes.

Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.

Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.

Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensino

Autores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.

Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.

Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.

Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.

Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice

dos Santos Fortaleza.

O ENSINO DE FATORAÇÃO ALGÉBRICA POR ATIVIDADE · delimitar e acentuar as discussões sobre a...

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