ESTUDO DO COEFICIENTE DE IMPACTO EM PONTES DE CONCRETO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCINCIAS UFPE

TRABALHO DE CONCLUSO DE CURSO

DE ENGENHARIA CIVIL

ESTUDO DO COEFICIENTE DE IMPACTO EM PONTES DE

CONCRETO

Bruno Sampaio Alves

Orientador Prof. Dr. Paulo Marcelo V. Ribeiro

RECIFE

2015

BRUNO SAMPAIO ALVES

ESTUDO DO COEFICIENTE DE IMPACTO EM PONTES DE

CONCRETO

Trabalho de concluso de curso de

graduao apresentado Universidade

Federal de Pernambuco, como requisito

parcial para obteno do grau de Engenheiro

Civil.

rea de concentrao: Engenharia Civil e

Engenharia Estrutural

Orientador: Prof. Dr. Paulo Ribeiro

RECIFE

2015

Catalogao na fonte

Bibliotecria Valdica Alves, CRB-4 / 1260

A474e Alves. Bruno Sampaio

Estudo do coeficiente de impacto em pontes de Concreto. / Bruno Sampaio

Alves. - Recife: O Autor, 2015.

97folhas, Ils. e Tab.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Ribeiro.

TCC (Graduao) Universidade Federal de Pernambuco. CTG.

Programa de Graduao em Engenharia Civil, 2015.

Inclui Referncias, Apndices e Anexos.

1. Engenharia Civil. 2. Pontes. 3. Coeficiente de impacto. 4. Recalques. 5. Anlise estrutural. 6. Concreto protendido. I. Ribeiro, Paulo (Orientador). II. Ttulo.

AGRADECIMENTOS

Agradeo inicialmente a toda minha famlia, mas especialmente aos meus pais e meu

irmo por todo o apoio dado durante toda a minha vida para que alcanasse meus

objetivos e crescesse como pessoa.

A todos os amigos do curso de graduao de Engenharia Civil por sempre estarem

presentes e dispostos a ajudar e motivar uns aos outros durante todos estes anos.

A Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) por proporcionar uma formao

profissional e humana.

Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados durante estes

cinco anos de curso.

Ao professor zio da Rocha Arajo da UFPE e professora Eliane Maria Lopes Carvalho

da COPPE pela pacincia, apoio, material de apoio cedido e pelo conhecimento

repassado.

Agradecimento especial ao professor Paulo Marcelo Ribeiro, pela dedicao, pacincia,

convvio e incentivo como professor e orientador.

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo comparar a valor do coeficiente de impacto vertical

calculado para pontes rodovirias de acordo com a NBR 7188:2013, com o acrscimo de

esforos obtido quando se comparado com a anlise dinmica da estrutura. Esse

coeficiente de impacto nada mais do que uma majorao dos esforos causados pela

carga esttica do veculo tipo passando pela estrutura para simular o efeito dinmico da

carga, da massa em movimento e da suspenso dos veculos automotores, procedimento

este que largamente utilizado na pratica da Engenharia Estrutural. Para se fazer essa

comparao sero analisadas pontes com diferentes comprimentos de vo em um modelo

de elementos finitos para se obter os esforos desejados. A importncia desse tema advm

da recente atualizao da antiga norma NBR 7188:1982 para a verso 2013. Foi analisada

a influncia que a velocidade, o amortecimento e a passagem consecutiva de veculos tem

sobre o fator de amplificao dinmico da estrutura da ponte. Conclui-se ao fim das

anlises que o aumento da velocidade e o aumento de veculos passantes amplificam a

resposta dinmica da ponte, por outro lado, o aumento do amortecimento o reduz. Por

fim, concluiu-se que os fatores de amplificao dinmica (FAD) introduzidos pela nova

norma brasileira esto a favor da segurana para os casos estudados. Os casos de vos

maiores, nos quais a rigidez da estrutura menor, por outro lado, no permitem a

aplicao do coeficiente de impacto e, portanto, exigem uma anlise dinmica detalhada.

Palavras-chave: Pontes. Coeficiente de impacto. Dinmica das estruturas. Anlise

estrutural. Concreto protendido.

ABSTRACT

This study aims to compare the value of the vertical impact coefficient for bridges

according to the Brazilian code of practice, with the results found when studying the

dynamic analysis of the structure. This impact coefficient is applied to the static loads of

the vehicle type to simulate the dynamic effect of the moving load, the moving mass and

suspension of motor vehicles, a procedure that is widely used in the practice of Structural

Engineering. To make this comparison, a finite element model will be used to analyze

bridges with different lengths in span. The importance of this theme came from the recent

update of the old NBR 7188: 1982 for the 2013 version. The influence that the speed,

damping and consecutive passage of vehicles have on the dynamic amplification factor

of the bridge structure were analyzed. It was concluded, at the end of the analysis, that

the increasing in speed and in the number of vehicles passing through the structure

amplify the dynamic response of the bridge, on the other hand, increased damping reduces

this response. Finally, it was concluded that the dynamic amplification factor introduced

by the new Brazilian code of practice are on the safe side for all cases studied. The case

of long spans in which the structural stiffness is lower, on the other hand, do not allow

the application of the impact coefficient, and, therefore, require a detailed dynamics

analysis.

Keywords: Bridges. Impact coefficient. Structures dynamics. Structural analysis.

Prestressed concrete.

SUMRIO

1. INTRODUO 9

1.1. APRESENTAO DO PROBLEMA 9

1.2. JUSTIFICATIVA 9

1.3. METODOLOGIA 10

1.4. LIMITAES 11

1.5. CONTRIBUIES 11

2. ESTUDO DA ARTE 12

2.1. CONTRIBUIES DE OUTROS AUTORES 12

2.2. ASPECTOS TERICOS DA DINMICA DAS ESTRUTURAS 14

2.2.1. PRINCPIO DE DALEMBERT 14

2.2.2. EQUAO DE MOVIMENTO 15

2.2.3. FREQUNCIA NATURAL 16

2.2.4. MODOS DE VIBRAO 16

2.2.5. TIPO DE EXCITAO 17

2.2.6. AMORTECIMENTO 18

2.2.7. RESPOSTA DINMICA (ANALISE TRANSIENTE) 21

2.2.8. FATOR DE AMPLIFICAO DINMICA 23

2.2.9. RESSONNCIA 23

2.2.10. CONTROLE DE VIBRAES 24

2.2.11. FORMULAO ANALTICA PARA CARGA MVEL SOBRE VIGA 26

2.3. PRESCRIES NORMATIVAS E VECULOS DE CARGA 29

2.3.1. NBR 7187:2003 PROJETO DE PONTES DE CONCRETO ARMADO E CONCRETO PROTENDIDO 29

2.3.2. NBR 7188:2013 CARGA MVEL RODOVIRIA E DE PEDESTRES EM PONTES, VIADUTOS, PASSARELAS E

OUTRAS ESTRUTURAS 29

2.4. NORMAS ESTRANGEIRAS 34

2.4.1. NORMA AMERICANA - AASHTO 34

2.4.2. BRITISH STANDARD 34

2.4.3. EUROCODE 35

2.5. COMPARAO ENTRE NORMAS NACIONAIS E ESTRANGEIRAS 36

3. MODELAGEM NUMRICA DOS EFEITOS DINMICOS EM PONTES 38

3.1. BREVE FUNDAMENTAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) 38

3.2. MATLAB 40

3.3. SCRIPT DO MATLAB 41

4. ESTUDO DE CASO 42

4.1. MODELOS ESTUDADOS 42

4.1.1. AS SEES TRANSVERSAIS DAS PONTES 42

4.1.2. PROPRIEDADES DO MATERIAL CONSIDERADO 44

4.1.3. VELOCIDADE DIRETRIZ 45

4.1.4. MODELO DE CARREGAMENTO 45

4.2. RESULTADOS 45

4.2.1. VALIDAO DO MODELO NUMRICO E ANLISE DA INFLUNCIA DE COMBOIOS 45

4.2.2. ANLISE DE VOS MENORES 55

4.2.3. ANLISE DE VOS MAIORES 60

4.3. DISCUSSES 66

5. CONCLUSES E RECOMENDAES 70

REFERNCIAS 72

ANEXO 1: CRITRIO DO EUROCODE 1 PARTE 2 PARA DEFINIR A NECESSIDADE OU NO DE

ANLISE DINMICA EM PONTES 76

ANEXO 2: ESPECIFICAES DA AASHTO QUANTO A SEO TRANSVERSAL 80

ANEXO 3: ESPECIFICAES DA CALTRANS QUANTO A SEO TRANSVERSAL 81

ANEXO 4: ESPECIFICAES DO LEONHARDT QUANTO A SEO TRANSVERSAL 82

ANEXO 5: ESPECIFICAES DO PFEIL QUANTO A SEO TRANSVERSAL 84

ANEXO 6: SCRIPT TRADUZIDO DO MATLAB PARA CARGA MVEL SOBRE VIGA BIAPOIADA

ELABORADO POR (HGL, 2005) 85

APNDICE A: CRONOGRAMA DE ATIVIDADES 91

APNDICE B: FORMULAO ANALTICA PARA CARGA MVEL APRESENTADA NO MATHCAD

93

9

1. INTRODUO

1.1. Apresentao do problema

De acordo com o Pfeil (1979), denomina-se ponte a obra destinada a transposio de

obstculos continuidade do leito de uma via, tais como rios, braos de mar, vales

profundos, outras vias etc. Quando a ponte tem por objetivo a transposio de vales,

outras vias ou obstculos em geral no constitudos de gua , comumente, denominada

viaduto.

Esse tipo de obra de arte est muito presente nos dias de hoje em todas as partes do mundo.

Essa estrutura, entretanto, de grande complexidade e exige um grande empenho do

engenheiro projetista na sua elaborao, pois sua concepo e seu dimensionamento

exigem muita experincia, competncia e dedicao deste profissional.

No que concerne ao dimensionamento de pontes, diversos tipos de carregamento so

considerados. Entre eles, podemos citar o efeito do vento, temperatura, retrao do

concreto, protenso, entre outros. Dentre esses carregamentos, uma das principais

parcelas responsveis pelos esforos nas pontes diz respeito circulao de veculos sobre

essas estruturas. Diferentemente de outros tipos de solicitaes como a protenso e a

variao de temperatura, esse tipo de carregamento trata-se de um esforo dinmico e

deve ser analisado de forma especfica.

As atuais normas brasileiras para dimensionamento de pontes rodovirias (NBR

7187:2003 e NBR 7188:2013) permitem o clculo dos esforos advindos deste tipo de

carregamento considerando-o de forma esttica e posteriormente majorando-se os

esforos encontrados com o chamado Coeficiente de Impacto. A razo para essa

simplificao dada visto a complexidade exigida pela anlise dinmica.

O trabalho aqui presente tem a finalidade de avaliar quo boa a aproximao feita

utilizando o coeficiente de impacto em comparao com anlise dinmica da estrutura.

Para isso, alguns modelos de pontes sero utilizados para se chegar a esta concluso.

1.2. Justificativa

O ltimo trabalho encontrado avaliando a representatividade do coeficiente de impacto

frente anlise dinmica data do ano de 2008 (FILHO, 2008). Tendo em vista que a

norma NBR 7188 utilizada na poca ainda estava na sua verso de 1982, e em 2013 a

mesma foi atualizada, ainda no h trabalhos que avaliem o novo coeficiente de impacto

nem com a norma antiga nem com o caso dinmico. A importncia deste trabalho,

portanto, advm deste fato.

10

1.3. Metodologia

Para se avaliar a significncia dos coeficientes de impacto da NBR 7188:2013 e da NBR

7187:2003 se analisar pontes biapoiadas com vos (20, 30, 40, 60, 70 e 80 metros). Essas

estruturas sero analisadas quanto a passagem de uma carga mvel equivalente a um

veculo normativo passando sobre as mesmas. Alm disso sero analisadas as influncias

da velocidade e do amortecimento sobre a deformao dessas estruturas. A figura abaixo

ilustra o modelo de estrutura analisada.

Figura 1.1 - Modelo de Ponte sobre a ao de carga mvel

Por fim, foi analisado, traduzido e comentado um cdigo computacional, de (HGL,

2005), originalmente em turco, para anlise desse tipo de estrutura de forma numrica.

Este programa usa o mtodo dos elementos finitos associado a integrao direta para

resolver problemas de dinmica das estruturas. Tal cdigo ser validado por meio de

formulao analtica, usado para o estudo de comboios trafegando sobre a estrutura e

disponibilizado para futuros trabalhos sobre anlise de carga mvel.

A tabela a seguir apresenta de forma sequencial a metodologia aplicada neste trabalho.

Tabela 1.1 - Apresentao da metodologia empregada

Etapa Descrio Objetivo

1

1. Validao do programa do autor (HGL,

2005) por meio da formulao analtica

2. Utilizao do programa para anlise da

influncia de comboios

Inferir a influncia da passagem de

cargas moveis consecutivas sobre o

Fator de Amplificao Dinmica

(FAD).

2 1. Aplicao do modelo analtico para se

calcular o FAD de pontes de pequenos vos.

Verificar a influncia da velocidade e

amortecimento sobre o FAD de

pontes de pequenos vos.

3 1. Aplicao do modelo analtico para se

calcular o FAD de pontes de maiores vos.

Verificar a influncia da velocidade e

amortecimento sobre o FAD de

pontes de pequenos vos.

11

1.4. Limitaes

Este trabalho ter as seguintes limitaes:

Se far a anlise de pontes com um nico vo biapoiado;

Restringir-se- a pontes de concreto, com duas faixas de rolamento e vos de 20,

30, 40, 60, 70 e 80 metros, como foi anteriormente dito. Evitou-se analisar pontes

de maiores vos pois, na prtica, sua execuo, mesmo que em concreto

protendido, pode se tornar antieconmica;

Considerou-se o material homogneo e isotrpico;

Considerou-se a inrcia bruta da seo, desprezando-se qualquer fissurao da

estrutura;

Restringiu-se a aplicao do veculo normativo representado apenas por uma

carga pontual;

Nossas anlises se limitaro a anlise dinmica linear da estrutura;

Sero consideradas as amplificaes produzidas apenas pelo carregamento,

desconsiderando a iterao veculo-estrutura. Deste modo, tambm no faz parte

deste trabalho analisar o efeito de irregularidades na pista;

A formulao analtica aqui apresentada se restringe ao caso de amortecimento

pequeno (valores de taxa de amortecimento muito inferiores a uma unidade);

A estrutura ser constituda apenas de vigas tipo T ou uma viga com seo

caixo a ser apresentada mais frente

Foi admitido apenas veculos com velocidades condizentes com a realidade

brasileira (no considerando assim, veculos com velocidades acima de 120km/h,

por exemplo, que no devem ocorrer em territrio nacional);

As sees transversais tambm foram definidas de acordo com as exigncias

normativas nacionais e internacionais.

1.5. Contribuies

Cdigo do MATLAB traduzido, comentado e com pequenas otimizaes e

correes;

Avaliao normativa com equaes analticas;

Avaliao normativa com solues numricas.

12

2. ESTUDO DA ARTE

2.1. Contribuies de Outros Autores

Como a introduo do coeficiente de impacto simplifica bastante os clculos de esforos

em pontes, o mesmo pode, eventualmente, no considerar certos esforos adicionais que,

para alguns casos especficos possam ser de maior importncia. Para isso, os seguintes

autores apresentam trabalhos que avaliam certos aspectos do efeito dinmico em pontes.

Filho (2008), em seu trabalho de concluso de curso, avaliou o coeficiente de impacto

utilizado no clculo de pontes isostticas de vos de 20, 30 e 40 metros rodovirias obtido

seguindo as prescries da NBR 7187:2003 com os resultados da anlise dessas pontes

via anlise dinmica de estruturas. O mesmo chegou concluso que, para aquela norma,

os resultados obtidos indicaram que, de forma geral, o clculo tradicional atravs da

adoo do coeficiente de impacto era satisfatria e produzia resultados a favor da

segurana. O mesmo afirma em seu trabalho que, exceto para os casos dos vos menores

(20, 30 e 40 metros) com velocidade do veculo de 100km/h, os Fatores de Amplificao

Dinmica (FAD) so inferiores aos coeficientes de impactos normativos. Pode-se ento

concluir que a adoo de coeficientes de impacto para baixas velocidades e vos maiores

tende a ser conservadora, uma vez que as foras inerciais envolvidas so de menor

magnitude.

Almeida (2006), em sua dissertao de mestrado, props analisar a resposta dinmica de

pontes rodovirias devido travessia de comboios de diversos tipos de veculos sobre

tabuleiros irregulares dessas obras de arte. Este autor simulou o tabuleiro das obras de

arte por uma viga modelada com base em elementos finitos de barras unidimensionais,

com massas concentradas em seus ns e flexibilidade distribuda e definiu as

irregularidades da pista por um modelo matemtico no-determinstico, com base na

densidade espectral do perfil do pavimento, obtida experimentalmente. O autor afirma

que claramente constata-se que as aes provenientes das irregularidades da pista so

substancialmente mais severas que as da mobilidade da carga, chegando, em situaes

extremas, relacionadas a pavimentos de qualidade inferior, a mais de quinze vezes os

valores admitidos de projeto. Por fim, o autor conclui seu trabalho dizendo que propor

recomendaes de projeto para atender s solicitaes dinmicas oriundas do efeito das

irregularidades superficiais seria totalmente antieconmico e fora de propsito, desse

modo, o mesmo recomenda, como soluo absolutamente inadivel para o problema, a

realizao de uma conservao permanente, preventiva e, ainda, corretiva, assegurando

superfcies de rolamento das obras de arte.

Figueiredo dos Santos (2007), na sua tese de doutorado, investigou os efeitos da interao

dinmica entre veculo, pavimento e estrutura, alm de se avaliar o desempenho de

sistemas de controle dinmico para reduo das vibraes. O autor concluiu com seus

estudos que, quando a resposta dinmica dominada por mais de um modo de vibrao,

13

a soluo adequada para reduo das amplitudes de vibrao requer, em geral, a utilizao

de mltiplos Atenuadores Dinmicos Sincronizados, com pares, ou grupos, calibrados

nas frequncias dos picos dominantes de amplitude.

Calada (2001), em sua tese de doutorado, fez uma avaliao experimental e numrica de

efeitos dinmicos de cargas de trfego em pontes rodovirias. O autor forneceu diversos

dados de experimentos e clculos envolvendo o Fator de Amplificao Dinmica para

vrias combinaes de vos, veculos e velocidades, assim como fatores adicionais

capazes de influenciar no FAD.

O relatrio final da pesquisa sobre os critrios de otimizao de projetos de pontes,

elaborado por LSE (2010), a partir de espectros de acelerao induzidas por veculos nos

tabuleiros entregue concessionria da rodovia presidente Dutra em 2010 questionou que

o coeficiente de impacto previsto na norma NBR-7187 (2003) ao concluir que os FAD

encontrados eram significantemente maiores do que o primeiro. Esse estudo tambm

indica fatores que deveriam ser includos no clculo do coeficiente de impacto, tal como

a velocidade do veculo e frequncia natural.

Lopes (2008), em sua dissertao de mestrado, analisou a influncia da velocidade, do

espaamento e do nmero de veculos sobre a resposta dinmica de pontes rodovirias de

concreto armado. O mesmo concluiu que, de modo geral, os maiores valores dos fatores

de amplificao mximos mdios, foram obtidos por meio da travessia de comboios de

poucos veculos. O mesmo tambm afirma que os valores de velocidade para os quais

esse fator maior est na faixa entre 40km/h e 70km/h, com maiores espaamentos entre

veculos. Por fim, esse autor tambm chama ateno para a ressonncia da ponte: quando

a frequncia natural do sistema veculo-viga coincidir com a frequncia das travessias.

Luchi (2006), na sua tese de doutorado, apresentou uma reavaliao do trem-tipo luz

das cargas reais nas rodovias brasileiras. Esse material foi um dos utilizados pela

comisso da ABNT ao reavaliar a antiga norma NBR 7188. Ele menciona o fato de que

pouco esforo se fez at hoje em termos de pesquisas para se ter um trem-tipo

genuinamente brasileiro, visto que o atualmente utilizado baseado na norma alem DIN

1072. O autor avaliou tanto a antiga norma brasileira, assim como a norma europeia e

americana de carga mvel e seus dados foram de fundamental importncia para a

elaborao deste trabalho.

Souza de Melo (2007) em sua dissertao de mestrado ressalta que a qualidade do

pavimento de grande influncia na resposta dinmica das estruturas, mas que a

introduo de um ressalto inicial pode conduzir a fatores de ampliao dinmicos da

ordem de 4,0. O autor tambm ressalta ao fato de que apesar de veculos mais leves

produzirem FADs maiores, os veculos maiores so os que produzem os maiores

deslocamentos dinmicos. Os resultados de seu trabalho tambm mostram que os

deslocamentos devido ao carregamento da classe 45 so maiores que os obtidos para

passagem de veculo pesado de 3 eixos. O carregamento classe 45, portanto, se apresenta

mais conservador para maiores vos.

14

2.2. Aspectos Tericos da Dinmica das Estruturas

Este trecho deste captulo tem como objetivo apresentar os aspectos bsicos da dinmica

das estruturas para que o leitor se familiarize com o seu contedo. Para tal propsito foram

utilizados os livros presentes na lista de referncias. As equaes a seguir esto

apresentadas de forma breve e objetiva, uma vez que seu desenvolvimento foge ao escopo

deste trabalho. Caso se deseje obter mais detalhes sobre a deduo de tais formulaes,

favor consultar as referncias Chopra (2012), Clough (2003), Soriano (2014), Silva

(2013), Humar (2002) e Frba (1972) as quais foram utilizadas na elaborao deste

material e constituem um excelente material para estudo da dinmica das estruturas.

2.2.1. Princpio de DAlembert

O princpio de DAlembert um dos pilares da lei fundamental de movimento. Esse

princpio a analogia dinmica ao princpio dos trabalhos virtuais para foras estticas

em um sistema. O mesmo afirma que a soma das diferenas entre as foras atuando em

um sistema de partculas de massa e a derivada no tempo dos momentos do sistema ao

longo de qualquer deslocamento virtual condizente com as restries do sistema, zero.

Deste modo, o princpio de DAlembert escrito como se segue.

( ). = 0

(2.1)

Onde:

um inteiro usado para indicar a varivel correspondente a uma determinada partcula do sistema;

a fora total aplicada (excluindo as foras dos apoios) na partcula de ndice

a massa da partcula de ndice ; a acelerao da partcula de ndice ; Esse produto representa a derivada no tempo do momento da partcula de

ndice ; Representa o deslocamento virtual da partcula de ndice , consistente com

as restries aplicadas a mesma.

15

2.2.2. Equao de movimento

Figura 2.1- Representao de um modelo de 1 nico grau de libertada (Extrado de (CLOUGH, 2003))

A equao de movimento para um sistema simples com um nico grau de liberdade,

mostrado na figura A acima, mais facilmente formulada ao se aplicar diretamente o

princpio dAlembert. Desta forma, a equao de movimento meramente uma expresso

de equilbrio entre as essas foras, como se mostra a seguir.

() + () + () = ()

(2.2)

Cada uma das foras apresentadas do lado esquerdo da equao funo do deslocamento

(()) ou uma de suas derivadas temporais.

De acordo com o princpio dAlembert, a fora inercial dada por:

() = ()

(2.3)

Admitiu-se um amortecimento do tipo viscoso, que o mais usual, a fora de

amortecimento pode ser dada pela seguinte equao:

() = ()

(2.4)

Por ltimo, a fora elstica dada em funo da rigidez da mola e seu alongamento.

() = () (2.5) Substituindo essas frmulas na equao inicial, temos:

() + () + () = () (2.6) Que nada mais do que a equao de movimento para um sistema simples.

Para se provar esta equao, basta calcular a soma do trabalho virtual exercido por estas

foras para um deslocamento infinitesimal de uma partcula ().

(() () () + ()) = 0 (2.7)

Lembrando que o sinal negativo representa que as foras se opem ao sentido do

movimento. Como o termo no igual a zero, o termo entre parnteses que deve ser.

Deste modo, encontraremos a mesma equao anteriormente apresentada.

16

2.2.3. Frequncia natural

Figura 2.2- Sistema com um grau de Liberdade sem amortecimento

Na condio de vibrao livre, a que se entende pelo fato de no haver amortecimento

(c = 0) nem fora externa atuante (P(t) = 0). Desse modo, para um sistema com um nico

grau de liberdade tem-se a equao abaixo.

() + () = 0 (2.8)

Definindo-se um deslocamento inicial ( = (0)) e velocidade inicial ( = (0)) como

condio de contorno, tem-se que a soluo da equao anteriormente apresentada dada

por:

() = () cos() +(0)

() (2.9)

Onde:

=

(2.10)

A equao soluo da equao diferencial evidencia que o sistema executa um

movimento de vibrao (ou oscilao) em torno de sua posio de equilbrio esttico.

Alm disso, essa soluo evidencia que esse movimento se repete a cada 2/ segundos,

assim sendo, o perodo desse movimento dado por 2/ e denominado por perodo

natural de vibrao. Trata-se portanto de um movimento harmnico simples.

Deste modo, evidencia que a frequncia natural do sistema, com base na equao

anteriormente descrita dada por:

=1

=

2

(2.11)

Entretanto, de acordo com Chopra (2012), o termo frequncia natural de vibrao usado

tanto para como para .

O termo natural, tambm de acordo com Chopra (2012), utilizado para enfatizar o fato

que , e so propriedades naturais do sistema quando o mesmo pode vibrar

livremente sem excitao externa. Como o sistema linear, essas propriedades so

independentes da velocidade inicial e do deslocamento inicial.

2.2.4. Modos de vibrao

Em um sistema com mltiplos graus de liberdade, a equao de movimento similar

anteriormente descrita, com a nica diferena de que se est tratando agora de vetores.

17

() + () + () = ()

(2.12)

Mais uma vez, simplificando do caso geral para o caso de vibrao livre no amortecida,

obtm-se a equao a seguir:

() + () = 0 (2.13)

O problema de anlise dinmica consiste em determinar as condies sob as quais a

equao de equilbrio anteriormente descrita satisfeita. Utilizando-se uma analogia com

o caso de um nico grau de liberdade e utilizando a regra de Cramer, como sugerido por

(CLOUGH, 2003), obtm-se a seguinte equao que nada mais representa do que a

soluo da formulao anteriormente apresentada.

2 = 0 (2.14)

A equao apresentada, nada mais do que uma equao de autovalor, a qual, quando

solucionada, fornecer valores de frequncias naturais de vibrao.

Ao se expandir este determinante se obter uma equao algbrica de grau N, onde N o

nmero de graus de liberdade das estrutura. As N razes desta equao (12, 2

2, 32, ...

n2) representa as frequncias dos N modos de vibrao possveis no sistema. Por

definio, o modo com menor frequncia tido como o primeiro modo de vibrao, o

segundo modo de menor frequncia, como o segundo modo de vibrao, e assim

sucessivamente. O vetor com esses modos organizados em ordem crescente conhecido

como vetor de frequncias.

=

{

123}

(2.15)

Quando as matrizes de massa e rigidez definida para um sistema estvel forem simtricas

e composta por valores reais positivos sempre se obter um vetor de frequncia com razes

reais e positivas. (CLOUGH, 2003)

2.2.5. Tipo de excitao

A equao de movimento uma equao diferencial de segunda ordem e, como tal,

apresenta dificuldade de resoluo analtica em caso de foras externas determinsticas

irregulares. Alm disso, essas foras costumam oferecer dificuldade para serem

representadas matematicamente, a menos que sejam especificadas em cdigo normativo

de projeto ou em catlogos de equipamentos. Para simplificar a questo, tais foras so

classificadas, e h mtodos de determinao de resposta estrutural diferentes para cada

um destes tipos.

De acordo com (SORIANO, 2014), as foras externas podem ser classificadas em

peridicas e aperidicas. Entretanto, de forma mais detalhada, essas foras so

classificadas em quatro categorias:

18

Harmnica

o So expressas por senos ou cossenos com ou sem ngulo de fase.

Peridica arbitrria

o Atuam indefinidamente e tem configuraes que se repetem em iguais

perodos de tempo.

Impulsiva

o So de grande intensidade e curta durao (frao de segundos).

Aperidica arbitrria

o Variam de forma arbitrria no tempo, sem ser de curta durao.

Figura 2.3- Tipos de Excitao (Adaptado de Chopra (2012))

2.2.6. Amortecimento

A dissipao de energia ocorre em todos os sistemas mecnicos oscilatrios, com o

consequente decaimento da vibrao livre ou atenuao dos picos de deslocamento em

vibrao forada. Essa dissipao til quando a vibrao indesejvel, e mais

relevante quando a estrutura oscila prxima ressonncia.

19

O conjunto dos mecanismos dessa dissipao e genericamente chamado de

amortecimento e suas causas so complexas e associadas s caractersticas da estrutura,

ao meio circundante e aos elementos no estruturais agregados mesma.

Para o caso particular de vibraes livres amortecidas teremos a seguinte equao:

() + () + () = 0

(2.16)

Cuja soluo se assemelha a de uma equao do segundo grau. Usando a relao 2 =

, a soluo geral de tal equao pode ser escrita na forma:

1,2 =

2(

2)2

2

(2.17)

Nesse cenrio, podemos encontrar trs possveis tipos de razes:

1. Reais e idnticas, quando o termo dentro da raiz quadrada resultar em zero;

2. Reais e distintas, quando o termo dentro da raiz resultar em um nmero real maior

que zero;

3. Complexas, quando o termo dentro da raiz quadrada resultar em um nmero real

menor que zero.

2.2.6.1. Vibraes criticamente amortecidas

O caso de vibraes criticamente amortecidas representa o caso particular da equao

apresentada anteriormente onde se tem duas razes reais distintas. Representa

basicamente o ponto de transio entre a vibrao subamortecida e vibrao

superamortecida, que sero discutidos mais frente.

Ao se igualar o termo no interior da raiz quadrada da equao apresentada na sesso

anterior, obtm-se o valor crtico de c que produz duas razes reais de mesmo valor

numrico.

= 2

(2.18)

Deste modo as duas solues obtidas so dadas por:

1 = 2 =

2

=

(2.19)

A equao de movimento para este caso particular dada, ento, por:

() = [1 + 2](

2

)

(2.20)

Tal equao fornecer uma resposta dinmica como se mostra no grfico abaixo.

20

Figura 2.4 - Caso criticamente amortecido (Extrado de Clough (2003))

2.2.6.2. Vibraes subamortecidas

Para o caso particular que o amortecimento (c) for menor que o amortecimento crtico

(cc), se ter o caso de uma raiz de um nmero negativo. Para se avaliar a resposta da

vibrao livre para este caso particular, conveniente escrever o amortecimento em

termos de taxa de amortecimento ().

=

(2.21)

Deste modo, a soluo da equao de movimento dada por:

1,2 = (2.22) Onde:

= 1 2

(2.23)

a frequncia de vibrao livre do sistema amortecido. Adotando-se a equao

exponencial como soluo do sistema e utilizando-se os dois valores de s encontrados,

encontra-se a seguinte equao para a equao de movimento desse sistema em vibrao

livre:

() = [1

+ 2]

(2.24)

Essa equao tambm pode ser expressa na forma:

() = [() + ()]

(2.25)

O movimento descrito por esta equao mostrado na figura abaixo.

21

Figura 2.5 - Caso subamortecido (Extrado de Clough (2003))

2.2.6.3. Vibraes superamortecidas

De acordo com (CLOUGH, 2003), esse tipo de vibrao o menos usual, entretanto o

mesmo ocorre em sistemas mecnicos eventualmente, o que justifica sua anlise. Deste

modo, quando se tem o valor de maior do que uma unidade, conveniente se escrever

a soluo da equao de apresentada no incio desta sesso como:

1,2 = 2 1

(2.26)

Quando se usa essas duas solues para se desenvolver a equao de movimento para o

caso de superamortecimento, obtem-se:

() = { [(2 1) ] + [(2 1) ]}

(2.27)

Onde as constantes reais A e B podem ser calculadas com base nas condies de

contorno, como as condies iniciais de velocidade e de deslocamento, por exemplo.

A resposta dinmica do caso superamortecido se assemelha ao caso criticamente

amortecido, entretanto, a funo demora mais para convergir a zero devido ao excesso de

amortecimento. Quanto mais amortecido, mais lentamente a funo retornar a zero.

2.2.7. Resposta dinmica (analise transiente)

Usando o caso de carregamento harmnico como caso base, pois o que mais se

assemelha a passagem de veculos por uma ponte, pode-se escrever a equao de

movimento do sistema com um grau de liberdade, considerando amortecimento, como:

() + () + () = 0()

(2.28)

22

Adotando-se condies iniciais de posio e velocidade, a soluo particular desta

equao diferencial dada por:

= (0) = (0)

(2.29)

() = () + ()

(2.30)

Onde:

=

0

1 ()

[1 ()

2

]2

+ [2 ()]2

(2.31)

=

0

2 ()

[1 ()

2

]2

+ [2 ()]2

(2.32)

A soluo homognea da equao diferencial anteriormente descrita dada por:

() =

{ [(1 2) ] + [(1 2) ]}

(2.33)

Deste modo a soluo completa para a equao diferencial dada pela soma da soluo

particular com a soluo complementar.

() = () + ()

(2.34)

Usando-se os valores a seguir, obtm-se o seguinte grfico.

= 0,2 = 0,05 (0) = 0,5

0

(2.35)

Figura 2.6 Resposta dinmica total de um sistema excitado em funo do tempo (Adaptado de Chopra (2012))

23

A diferena entre as duas respostas mostradas no grfico dada pelo termo up, o qual

decai exponencialmente em funo da frequncia do carregamento, da frequncia natural

na estrutura e da taxa de amortecimento, at que o ponto em que essa parcela se torna

desprezvel. Por isso essa fase inicial chamada de resposta transiente ou resposta

dinmica. Aps certo tempo apenas a resposta forada continua, por isso se chama esta

parcela estado estacionrio. Deve-se ter em mente que, quando se analisa o estado

estacionrio, as maiores deformaes provavelmente j ocorreram antes desse estado ter

sido alcanado.

2.2.8. Fator de amplificao dinmica

Chopra (2012) define que o Fator de Amplificao Dinmica o nmero adimensional o

qual descreve quantas vezes a deformao ou tenso causada pelo carregamento esttico

deve ser multiplicada para representar os valores de deformao e tenso causados

quando a carga dinmica aplicada estrutura.

Seguindo-se a formulao deste mesmo autor, tem-se que, para o estado estacionrio, a

deformao de um sistema devido a foras harmnicas pode ser descrita pela seguinte

equao:

() = 0( ) (2.36) Onde:

0 Representa a amplitude do movimento descrito pelo sistema; Representa a frequncia do movimento descrito pelo sistema; Representa o ngulo de fase do movimento descrito pelo sistema.

Calculando-se a razo entre a amplitude do deslocamento dinmico (0) e a do

deslocamento esttico, tem-se o valor de FAD.

=

0(0)

(2.37)

A formulao mais elaborada para o clculo do FAD, considerando-se a frequncia da

aplicao de carga e o amortecimento ser abordada na sesso seguinte.

2.2.9. Ressonncia

Soriano (2014) define que ressonncia a condio de um sistema em vibrao forada

em que qualquer pequena alterao na frequncia da excitao provoca diminuio

significativa nas amplitudes de deslocamento.

O autor Clough (2003), define como parmetro de avaliao varivel , que representa

a relao entre a frequncia natural da estrutura e a frequncia do carregamento aplicado.

24

=

(2.38)

A resposta dinmica de um sistema sem amortecimento para quando o valor de tende

a uma unidade apresenta uma amplitude que aumenta a cada perodo e tende a infinito

com o tempo. Esse mesmo comportamento ocorre para sistemas com baixas taxas de

amortecimento ().

A condio de um sistema descrito por Soriano (2014), portanto, dada quando o valor

de igual a uma unidade.

Para encontrar o valor mximo do fator de amplificao dinmica, Clough (2003)

desenvolve uma formulao matemtica levando em conta o amortecimento do sistema e

encontra a seguinte relao.

= 1 22

(2.39)

Onde o valor de pico representa o valor de que resultar em um maior fator de

amplificao dinmica, o qual ser calculado com a frmula que se segue.

=

1

21 2

(2.40)

Para maiores detalhes de como se chegar a essas formulaes, consultar a Clough (2003).

2.2.10. Controle de vibraes

De acordo com Soriano (2014): estruturas podem ser excitadas atravs de movimento de

suas bases ou suportes, como, por exemplo, devido a terremotos, exploses subterrneas

e trfego, assim como estruturas veiculares so excitadas ao se deslocarem em pisos

irregulares. De forma inversa, vibraes provenientes de equipamentos instalados em

estruturas podem ser transmitidas s correspondentes bases e se propagar no meio

exterior. Em ambas as circunstancias, as vibraes devem ser controladas para se evitar

danos nas estruturas e correspondentes bases, como tambm para no afetar a utilizao

das mesmas, que o caso do conforto de seus usurios e/ou do desgaste de peas e mau

funcionamento de equipamentos sensveis e vibraes. Em resumo, esse controle objetiva

reduzir a transmisso, eliminando-se efeitos indesejveis. E isso pode ser feito atravs de

modificao da fonte excitadora, de alteraes na estrutura, como tambm atravs de

isoladores de base ou com a adio de dispositivos especiais que absorvam vibraes.

Os isoladores de vibrao so usualmente molas metlicas, suportes constitudos de

elastmeros ou dispositivos metlicos com partes que se deslocam entre si. Esses

isoladores so classificados como passivos ou ativos. Os primeiros convertem energia

cintica em calor, absorvem vibraes ou transferem energia entre modos naturais de

vibrao. J os dispositivos ativos so os de atuao em tempo real, constitudos de

sensores e controle digital, que ativam equipamentos hidrulicos que movimentam

25

massas que contra balanceiam as oscilaes da estrutura. Dessa forma, o estudo do

controle de transmisso de vibrao tem diversas vertentes.

Analisaremos a seguir como prevenir danos nos

suportes de estruturas devido a foras oscilatrias

produzidas por um equipamento rotativo operando

desbalanceado produzindo uma fora vertical dada por

p0sen(t). Se a mquina estiver montada sobre uma

mola com um grau de liberdade (como mostrado na

figura ao lado), o deslocamento relativo em regime

permanente da mesma pode ser escrito da seguinte

forma:

() =

0( )

(2.41)

Onde:

= [(1 2)2 + (2)2]0,5

(2.42)

Esse resultado assume que o deslocamento do apoio induzido pela fora de reao

negligencivel em comparao com o movimento do sistema em relao ao suporte.

Usando-se a formulao apresentada em Clough (2003), pode-se obter as reaes na

mola(fs) e no sistema de amortecimento(fd) com as seguintes formulaes:

() = 0( )

(2.43)

() = 20( )

(2.44)

Como as duas foras esto defasadas de 90 graus, evidente que a amplitude total da

reao na base dada pela soma vetorial destes valores, assim sendo, tem-se:

() = 0[1 + (2)

2]0,5

(2.45)

Deste modo, a taxa entre a fora mxima atuante na base e a fora p0 aplicada no sistema,

taxa essa conhecida como transmissibilidade do sistema de suporte, tida como:

= [1 + (2)2]0,5

(2.46)

Um segundo tipo de situao quando o

controle de vibraes importante pode ser

visto quando se deseja evitar que

instrumentos sensveis vibrao sejam

afetados quando se tem o deslocamento do

suporte da estrutura. O esquema para este

caso est ilustrado ao lado.

Figura 2.7 - Esquema de um

equipamento rotativo desbalanceado com amortecimento (Extrado de

Clough (2003))

Figura 2.8 - Esquema ilustrando o caso de deslocamento do suporte da estrutura (Extrado de (CLOUGH, 2003))

26

Para tal caso, Clough (2003) descreve que o deslocamento da base (vg(t)) fora, em

regime permanente, a seguinte resposta em termos de deslocamento relativo.

() = 0( )

(2.47)

Ao se somar vetorialmente esta parcela com a parcela vg(t), a resposta total em estado

permanente para a massa m dada por:

() = 01 + (2)2( )

(2.48)

Se, neste caso, a transmissibilidade for definida como a razo entre o deslocamento

mximo total da massa m em relao correspondente amplitude do deslocamento da

base, obtm-se a mesma frmula de transmissibilidade que o caso anterior.

= [1 + (2)2]0,5

(2.49)

Ao se analisar o grfico descrito por esta equao (ver grfico abaixo), verifica-se que

todas as curvas passam pelo mesmo ponto = 2. Por este motivo, conclui-se que

aumentar o amortecimento, quando < 2, melhora a eficincia do controle de vibrao,

por outro lado, quando > 2, essa eficincia decai.

Figura 2.9 - Transmissibilidade em funo de (Extrado de Clough (2003))

2.2.11. Formulao Analtica para Carga Mvel sobre Viga

Frba (1972) apresenta toda a formulao numrica no que diz respeito vibrao de

slidos e estruturas sobre a ao de cargas mveis. Deste modo, foge ao escopo deste

trabalho apresentar a formulao e a resoluo das equaes diferenciais envolvidas para

esse problema. Ser apenas apresentado a formulao final utilizada para o caso de vigas

biapoiadas com e sem amortecimento.

27

2.2.11.1. Formulao Sem Amortecimento

Figura 2.10 - Modelo de ponte submetida ao de carga mvel

Para uma dada viga biapoiada sob a ao de uma carga pontual P deslocando-se sobre

a estrutura com uma velocidade v, Humar (2002) apresenta a seguinte formulao para

a deformada dessa estrutura em funo do tempo.

(, ) =2

1

( )

2

2

=1

{

sin () sin (

)} sin (

)

(2.50)

Essa equao vlida apenas para quando

. Quando

= , a parcela do

somatrio dada por:

(, ) =

2{sin() ()}sin (

)

(2.51)

Onde:

Representa a deformada da viga para um dado tempo t e posio x; Representa a ensima frequncia natural da viga; Representa o valor da carga mvel; Representa a massa por unidade de comprimento da viga; Representa o vo; Representa a velocidade da carga mvel.

2.2.11.2. Formulao Com Amortecimento Leve ( 1)

O autor Frba (1972) em sua obra apresenta a formulao para o deslocamento em uma

viga biapoiada com amortecimento submetida a ao de uma carga mvel se deslocando

a uma velocidade constante sobre a mesma. Para isso o mesmo define os seguintes

variveis:

=

(2.52)

() =22

2

(2.53)

28

=

(1)=

2(1)=(1)

2=

(2.54)

=

(1)

(2.55)

= 2(1)

(2.56)

0 =3

4823

4

(2.57)

Com base nessas variveis, escreve-se a equao da deformada da viga em funo destas

para o caso em que j.

(, ) 0(

)

1

2(2 2)

=1

(()

sin (()))

(2.58)

Quando se tem que = n, tem-se que:

=

(1)

(2.59)

(, ) 01

24[ sin()

2

cos() (1 )] (

)

+ 0 (

)

1

2(2 2)

=1

(()

sin (()))

(2.60)

Onde:

, , , , So os mesmos que definidos anteriormente; denominada velocidade crtica (aquela qual provocar a

ressonncia da estrutura);

Representa o valor da carga mvel; Representa a massa por unidade de comprimento da viga; Representa o vo; Representa a velocidade da carga mvel; Representa a frequncia do carregamento aplicado.

29

2.3. PRESCRIES NORMATIVAS E VECULOS DE CARGA

Esta sesso visa apresentar ao leitor o que as normas nacionais e internacionais vigentes

falam sobre pontes rodovirias, coeficiente de impacto e seus veculos de carga.

2.3.1. NBR 7187:2003 Projeto de pontes de concreto armado e concreto protendido

A NBR 7187:2003 fixa os requisitos que devem ser obedecidos no projeto, na execuo

e no controle das pontes de concreto armado e de concreto protendido, excludas aquelas

em que se empregue concreto leve ou outros concretos especiais.

Vale salientar que alm das condies desta Norma, devem ser obedecidas as de outras

normas especficas e as exigncias peculiares a cada caso, principalmente quando se tratar

de estruturas com caractersticas excepcionais, onde as verificaes de segurana

necessitam de consideraes adicionais, no previstas nesta Norma.

2.3.1.1. Coeficiente de Impacto

Esta norma afirma que o efeito dinmico das cargas mveis deve ser analisado pela teoria

da dinmica das estruturas. Porm, permitido assimilar as cargas mveis a cargas

estticas, atravs de sua multiplicao pelos coeficientes de impacto definidos a seguir:

= 1,4 0,007 1 (2.61) Onde:

o comprimento de cada vo terico do elemento carregado, qualquer que seja o sistema estrutural, em metros. No caso de vos desiguais, em que o

menor vo seja igual ou superior a 70% do maior, permite-se considerar um

vo ideal equivalente mdia aritmtica dos vos tericos.

2.3.2. NBR 7188:2013 Carga mvel rodoviria e de pedestres em pontes, viadutos,

passarelas e outras estruturas

A NBR 7188:2013 define os valores caractersticos bsicos das cargas mveis rodovirias

de veculos sobre pneus e aes de pedestres, em projeto de pontes, viadutos, galerias,

passarelas e edifcios-garagem.

2.3.2.1. Trem tipo brasileiro

No que diz respeito ao trem tipo brasileiro (definido como TB), esta norma afirma que a

carga mvel rodoviria padro TB-450 definida por um veculo de 450 kN, com seis

rodas, representadas, cada uma, por uma carga pontual P = 75 kN, trs eixos de cargas

30

afastados entre si em 1,5 m, com rea de ocupao de 18 m, circundada por uma carga

uniformemente distribuda p = 5 kN/m, conforme pode ser visto nas figuras abaixo.

Figura 2.11 - Modelo esquemtico do TB-450 (adaptado da NBR 7188:1982)

Figura 2.12 - Modelo esquemtico de carga uniformemente distribuda para um trem-tipo normativo (extrado da

NBR 7188:1982)

Essa carga mvel assume posio qualquer em toda a pista rodoviria com as rodas na

posio mais desfavorvel, inclusive acostamento e faixas de segurana. A carga

distribuda deve ser aplicada na posio mais desfavorvel, independentemente das faixas

31

rodovirias. Admite-se a distribuio espacial da carga concentrada no elemento

estrutural a partir da sua superfcie de contato em um ngulo de 45.

Para obras em estradas vicinais e municipais, a NBR 7188:2013 restringe que o trem tipo

mnimo a ser utilizado seria um TB-240. Porm, este caso foge ao escopo deste trabalho,

merecendo apenas sua citao.

2.3.2.2. Coeficientes de impacto

No que abrange as cargas mveis, esta norma define trs diferentes coeficientes de

impacto.

CIV o coeficiente de impacto vertical. Esse coeficiente amplifica a ao da carga

esttica simulando o efeito dinmico de carga em movimento e a suspenso dos

veculos automotores. O CIV no simula e/ou elimina a necessidade de anlise

dinmica nas estruturas sensveis e/ou de baixa rigidez, em especial estruturas

de ao e estaiadas.

CNF o coeficiente do nmero de faixas. Representa a possibilidade da carga mvel

ocorrer em funo do nmero de faixas.

CIA o coeficiente de impacto adicional. Consiste em um coeficiente destinado a

majorao da carga mvel caracterstica devido imperfeio e/ou

descontinuidade da pista de rolamento, no caso de juntas de dilatao e nas

extremidades das obras, estruturas de transio e acessos.

A NBR 7188:2013 aponta que as cargas mveis verticais caractersticas definidas

anteriormente devem ser majoradas para o dimensionamento de todos os elementos

estruturais pelo Coeficiente de Impacto Vertical (CIV).

= 1,35

Para estruturas com vo menor do que 10

metros.

(2.62)

= 1 + 1,06 (20

+ 50)

Para estruturas com vos entre 10 e 200

metros.

(2.63)

Onde:

Liv o vo em metros para clculo de CIV, conforme o tipo de estrutura. Sendo:

Liv Usado para estruturas de vos isostticos. Liv: mdia aritmtica dos vos nos

casos de vos contnuos.

Liv o comprimento do prprio balano para estruturas em balano.

Para estruturas com vos acima de 200,0 m, deve ser realizado o estudo especfico para

considerao da amplificao dinmica do coeficiente de impacto.

32

O Coeficiente de Nmero de Faixas (CNF), por outro lado, tem funo de ajustar as

cargas mveis caractersticas definidas anteriormente. O mesmo calculado como se

segue.

= 1 0,05 ( 2) > 0,9 (2.64) Onde:

o nmero (inteiro) de faixas de trfego rodovirio a serem carregadas sobre um tabuleiro transversalmente contnuo. Acostamentos e faixas de segurana no so

faixas de trfego da rodovia.

Este coeficiente no se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais transversais

ao sentido do trfego (laje, transversinas, etc.).

Esta norma tambm define o Coeficiente de Impacto Adicional (CIA), que atua nas

regies das juntas estruturais a extremidades da obra. Todas as sees dos elementos a

uma distncia horizontal, normal a junta, inferior a 5,0 m para cada lado da junta ou

descontinuidade estrutural, devem ser dimensionadas com os esforos das cargas mveis

majorados pelo coeficiente de impacto adicional, definido abaixo:

= 1,25

Para obras em concreto ou mistas; (2.65)

= 1,15 Para obras em ao. (2.66)

A aplicao destes coeficientes s cargas mveis feita como se segue:

= (2.67) = (2.68)

Onde:

Refere-se a carga em cada roda do veculo tipo (ex.: Para o TB-450, = 75) Refere-se a carga distribuda ao redor do veculo tipo (ex.: Para o TB-450, =

5/)

O grfico apresentado na pgina a seguir compara os valores do antigo Coeficiente de

Impacto com o novo Coeficiente de Impacto Vertical e com este ltimo associado com o

Coeficiente de Nmero de Faixas. Como o Coeficiente de Impacto Adicional s vlido

para pontos localizados ao longo da ponte, este coeficiente no foi includo no grfico.

33

Figura 2.13- Comparao entre Coeficientes de Impactos apresentados pelas normas nacionais

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

5 20 35 50 65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

Co

efic

ien

te d

e Im

pac

to

Vo (m)

Comparao entre Coeficientes de Impacto das Normas Brasileira

CI (NBR 7187:2003) CIV CIV*CNF (N = 1) CIV*CNF (N = 2) CIV*CNF (N = 3) CIV*CNF (N = 4)

34

Com base neste grfico, os novos valores para coeficiente de impacto (CIV*CNF)

parecem, de modo geral, quando o nmero de faixas (N) menor que 4, ser mais

conservadores para vos maiores, uma vez que estes valores nunca convergem para 1

enquanto, de acordo com a antiga norma, este valor era alcanado quando se tem um vo

de aproximadamente 57 m. Por outro lado, considerar o nmero de faixas igual a uma

unidade resulta em valores de coeficientes de impacto ainda mais conservadores do que

quando no se considerar o Coeficiente de Nmero de Faixas.

Um importante detalhe que vale ser salientado aqui, que, para pontes com quatro ou

mais faixas, pode-se encontrar, eventualmente, valores de Coeficientes de Impacto

inferiores a uma unidade, uma vez que a nova norma no restringe o valor destes

coeficientes para ser maiores ou iguais a uma unidade. Isso corresponde a dizer que a

considerao do efeito dinmico provocar esforos inferiores ao caso esttico de carga,

o que no parece ser muito lgico.

Vale ressaltar aqui que os valores encontrados para o Coeficiente de Impacto Vertical

sozinho e o mesmo multiplicado pelo Coeficiente do Nmero de Faixas, quando o nmero

de faixas igual a duas unidades, so exatamente os mesmos. O que mostra que quando

no se considera este ltimo coeficiente, para pontes com nmeros de faixas de rolamento

superior a 2, geralmente se obtm resultados mais conservadores.

2.4. Normas Estrangeiras

2.4.1. Norma Americana - AASHTO

A norma americana (AASHTO) define o Fator de Impacto, o qual dado por:

=

50

125 + 3,28084 < 30%

(2.69)

Onde:

L o vo, expresso em metros (m).

O valor encontrado por esta frmula ir ser somado a uma unidade e multiplicado pelos

esforos calculados com o trem-tipo de forma esttica.

2.4.2. British Standard

A norma britnica (BS5400-2:2006) prev as seguintes frmulas para o que eles

denominavam de fator dinmico quando se est analisando o trem tipo mais pesado

definido nesta norma.

35

Tabela 2.1 - Coeficiente de impacto para o BS5400-2

Dimenso L

(Metros)

Fator Dinmico

Para Momento Fletor Para Esforo Cortante

At 3,6 2,00 1,67

De 3,6 at 67 0,73 +

2,16

0,2 0,82 +

1,44

0,2

Acima de 67 1,00 1,00

2.4.3. Eurocode

O Fator de Impacto, definido de acordo com o Eurocode 2 Parte 1 para momento fletor

exatamente o mesmo que aparece no British Standard.

Vale a pena aqui se destacar que o Eurocode apresenta o que parece ser um critrio muito

sensato no que diz respeito necessidade da anlise dinmica de uma ponte ou no, tal

critrio leva em considerao, por exemplo:

A velocidade do veculo;

A frequncia natural da ponte;

Continuidade da estrutura;

O vo da ponte;

O nvel de complexidade da estrutura;

Por este motivo, o presente trabalho recomenda a adoo da metodologia desta norma

para a definio da obrigatoriedade ou no da anlise dinmica para uma dada estrutura.

Esses critrios podem ser vistos em mais detalhe no Anexo 1: Critrio do Eurocode 1

Parte 2 para definir a necessidade ou no de anlise dinmica em pontes, ou ainda

diretamente no prprio Eurocode 1 Parte 2.

Inicia-se a verificao avaliando-se se a velocidade permitida na pista menor ou igual a

200 km/h e a partir da compara-se alguns parmetros da estrutura com os valores limite

para estes parmetros definidos nesta norma. Por fim, esta norma alm de definir a

necessidade ou no da anlise dinmica, a mesma ainda especifica que tipo de anlise

dinmica deve ser feita. De um modo geral, o fluxograma presente no anexo

autoexplicativo.

No que diz respeito ao denominado Fator Dinmico, esta norma prope o seguinte

critrio.

1) Para pontes com boa manuteno

2 =

1,44

0,2+ 0,82

(2.70)

1,00 2 1,67

(2.71)

36

2) Para pontes com manuteno padro

2 =

2,16

0,2+ 0,73

(2.72)

1,00 2 2,00

(2.73)

2.5. Comparao entre normas nacionais e estrangeiras

A figura na pgina seguinte apresenta um grfico comparando os valores de coeficiente

de impacto para todas as normas aqui apresentadas. Neste grfico fica evidente a

semelhana do novo coeficiente de impacto inserido pena NBR 7188:2013 e aquele

definido pela AASHTO. Ressaltando-se aqui que os valores definidos pela NBR so

sempre superiores aos definidos por esta norma americana.

37

Figura 2.14 - Grfico comparando os coeficientes de impacto de diversas normas

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Co

efic

ien

te d

e Im

pac

to

Vo (m)

Comparao entre Normas

AASHTO BS 5400-2 (Momento Fletor) BS 5400-2 (Esforo Cortante) EC1 parte 2 NBR 7187:2003 NBR 7188:2013

38

3. MODELAGEM NUMRICA DOS EFEITOS DINMICOS EM

PONTES

Este captulo tem como objetivo apresentar brevemente o cdigo computacional utilizado

neste trabalho. Se far uma breve apresentao de como este programa funciona e que

mtodo de clculo ele utiliza para analisar estruturas. Esse cdigo foi elaborado por Hgl

(2005) e foi traduzido pelo autor do presente trabalho.

Como o software em questo utiliza-se internamente do mtodo dos elementos finitos

para se encontrar os valores, tal mtodo ser apresentado inicialmente para melhor

compreenso.

O cdigo utilizado para anlise neste trabalho encontra-se exposto no Anexo 6 deste

trabalho.

3.1. Breve fundamentao do mtodo dos elementos finitos (MEF)

Antes do aparecimento do Mtodo dos

Elementos Finitos, a anlise dos problemas

de meios contnuos em geral era efetuada

por resoluo direta dos sistemas de

equaes de derivadas parciais que regem o

fenmeno, tendo em considerao as

necessrias condies de contorno. Devido

sua complexidade, estes procedimentos s

eram aplicveis a meios contnuos

homogneos e de geometria simples

(AZEVEDO, 2003).

Para tentar superar algumas destas

limitaes, frequentemente se substitua

estas derivadas por derivadas aproximadas,

atravs do Mtodo dos Elementos Finitos. Estas solues, entretanto, possuam alguns

limitadores e inconvenientes como a necessidade de se simplificar a geometria do

problema real e de resolver grandes sistemas de equaes, visto que o desenvolvimento

dos computadores ainda no era suficiente para produzir algoritmos que tivessem

condies de efetuar e acelerar o processo de clculo.

Junto com desenvolvimento tecnolgico a partir da dcada de 60, ganhou tambm cenrio

o Mtodo dos Elementos Finitos, quando, segundo Azevedo (2003), passou a ser prtica

corrente a anlise de estruturas de geometria arbitrria, constitudas por materiais variados

e sujeitas a qualquer tipo de carregamento. Este avano foi to expressivo que os outros

mtodos anteriormente referidos praticamente deixaram de ser utilizados.

Figura 3.1- A figura representativa do mtodo dos

elementos finitos aplicado a problemas estruturais

39

O ento chamado Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) consiste em um mtodo

numrico que aproxima a soluo dos problemas de clculo de esforos em estruturas

diversas, descritos por equaes diferenciais parciais, atravs da subdiviso da geometria

do problema em elementos menores, chamados elementos finitos, que so elementos de

geometria simplificada.

Sendo assim, o contnuo das placas que representam a laje e vigas, juntamente com as

barras que representam os pilares da ponte so substitudos por um conjunto de elementos

finitos interconectados pelos seus pontos nodais. Deve-se ento fazer a associao dos

deslocamentos em todos os pontos nodais destes elementos finitos, garantindo a

continuidade de deslocamentos entre eles.

Basicamente, no Mtodo dos Elementos Finitos, tem-se que a soluo das equaes

diferenciais que governam o problema podem ser determinadas por funes de

aproximao que satisfazem condies descritas por equaes integrais no domnio do

problema. Geralmente para estas funes de aproximao utilizam-se funes

polinomiais de grau elevado que satisfaam as equaes integrais em cada elemento

finito.

Vale aqui salientar que, o Mtodo dos Elementos Finitos no requer a utilizao de malhas

regulares, com intervalos entre ns adjacentes constantes. Isso permite a discretizao em

elementos com dimenses diferenciadas. Isto viabiliza a resoluo de problemas de placas

de geometria irregular, por exemplo, alm de oferecer uma melhor aproximao em

regies onde h maior concentrao de tenses.

Ao invs de utilizar uma funo em todo o domnio para aproximar cada componente do

campo de deslocamentos, uma alternativa consiste em dividir o domnio em subdomnios

e utilizar uma funo linear separada em cada um dos elementos (elementos finitos). Tem-

se, ento, que a metodologia do Mtodo dos Elementos Finitos baseia-se nesta

aproximao das equaes das funes dos campos de deslocamentos por funes que

podem ser facilmente integradas, como no caso, funes polinomiais. Os deslocamentos

correspondentes a cada um dos pontos nodais da malha de elementos so assim obtidos

por interpolao polinomial.

De um modo geral, quanto melhor o refinamento da malha, isto , quando se aumenta o

nmero de elementos de um determinado tipo ou quando se aumenta o grau de elementos,

o erro da aproximao diminui. Como consequncia natural disto, opta-se por refinar a

malha de elementos em reas onde h maior concentrao de tenses de forma a obter

resultados com melhores aproximaes nas reas crticas.

Para maiores informaes sobre toda a formulao matemtica que envolve o Mtodo dos

Elementos Finitos, como interpolao dos deslocamentos, clculo das matrizes de rigidez,

montagem dos sistemas de equaes, solues e exemplificaes, podem ser encontradas

em literaturas como Pereira (2005) e Szilard (2004).

40

Szilard (2004) afirma que podemos usar o Mtodo dos Elementos Finitos de trs

maneiras: a primeira seria uma soluo manual com a ajuda de calculadora cientfica, o

que iria demandar um enorme trabalho e iria se limitar a solues simples. A outra

utilizao atravs da gerao de algoritmos e rotinas utilizando uma linguagem de

programao. A terceira maneira seria atravs da utilizao de um programa

computacional comercial que utilize mtodo dos elementos finitos, como por exemplo, o

SAP2000. natural que seja de senso comum a utilizao de programas computacionais

para a soluo dos problemas, j que o processo de clculo fica totalmente automatizado.

Contudo, deve-se ressalvar que um bom engenheiro deve ter sempre o conhecimento dos

fundamentos tericos do mtodo de clculo utilizado para resoluo do problema, para

que assim possa realizar uma simulao correta e analisar e interpretar os resultados

corretamente. Esta ressalva no vlida somente para este caso especfico, mas para

qualquer tipo de forma de resoluo de problemas quando se tratar da utilizao de

programas computacionais automatizados.

3.2. MATLAB

MATLAB, cujo nome deriva de MATrix LABoratory, trata-se de um software interativo

de alta performance voltado para o clculo numrico. O MATLAB integra clculo com

matrizes, construo de grficos, anlise numrica e processamento de sinais uma

interface fcil de usar onde problemas e solues so expressos muito similares a como

eles so escritos matematicamente, ao contrrio do que ocorre na programao

tradicional.

O programa MATLAB um sistema interativo cujo elemento bsico de informao

uma matriz que no requer dimensionamento e que pode ter tanto nmeros reais como

complexos. Esse sistema permite a resoluo de muitos problemas numricos em apenas

uma frao do tempo que se gastaria para escrever um programa semelhante em alguma

linguagem computacional.

Embora na sua verso bsica o MATLAB j possua um vasto conjunto de funes de

carcter genrico, existem vrias bibliotecas com funes adicionais (chamadas de

toolboxes) que expandem as suas capacidades em domnios de aplicao mais

especficos.

Os comandos executados pelo programa podem ser guardados em um arquivo de texto,

tipicamente utilizando o MATLAB Editor, como um script (como o caso que do

programa apresentado mais adiante). Quando tal arquivo aberto pelo programa, o

MATLAB ir ler as linhas do arquivo e executar os comandos correspondentes, sendo,

portanto, o Script um modo muito eficiente de se criar um programa.

41

3.3. Script do MATLAB

Para a anlise numrica de alguns modelos apresentados no prximo captulo foram foi

utilizado um cdigo elaborado por Hgl (2005) na sua dissertao de mestrado.

Esse cdigo usa o mtodo dos elementos finitos integrado com o mtodo de Newmark

para integrao direta para encontrar os deslocamentos mximos de uma viga biapoiada

submetida a uma carga pontual mvel e o coeficiente de amplificao dinmica para o

caso em anlise. O cdigo, originalmente escrito e comentado em turco foi traduzido e

novos comentrios foram adicionados ao mesmo para torna-lo mais didtico, sendo esta

uma das contribuies do presente trabalho.

Esse script foi testado e validado com a formulao matemtica apresentada por Humar

(2002) e Frba (1972).

Por fim, este cdigo foi modificado para se analisar o efeito de comboios de carga sobre

a estrutura das pontes.

Para maiores detalhes sobre o procedimento utilizado pelo cdigo turco para resoluo

do problema de carga mvel sobre viga biapoiada vide o cdigo traduzido no final deste

trabalho e a prpria dissertao de mestrado que aparece nas referncias deste trabalho.

Um breve fluxograma deste script est mostrado na Figura 3.2 - Fluxograma de

funcionamento do script do MATLAB.

Este cdigo foi aqui traduzido para que futuros trabalhos possam utiliz-lo para anlise

de problemas mais complexos, alm daqueles de vigas biapoiadas.

Figura 3.2 - Fluxograma de funcionamento do script do MATLAB

Entrada de dados inicial

Propriedades mecnicas e geomtricas da estrutura;

Discretizao da estrutura;

Definio do parmetro de velocidade adimensional () (Consultar Hgl (2005));

Definio do valor da fora aplicada.

Processamento

Calculo das matrizes de massa, rigidez, amortecimento, frequncias, etc;

Utiliza-se o mtodo de integrao direta de Newmark;

Encontra-se a matriz de deslocamentos em funo do tempo.

Ps-processamento

Exibe-se as frequncias naturais da estrutura;

Exibe-se as taxas de amortecimento para cada modo de vibrao da estrutura;

Exibe-se a maior deflexo da estura durante a passagem da carga;

Calcula-se e exibe a deflexo mxima para o caso esttico;

Cacula-se o FAD;

Exibe-se o grfico do deslocamento do meio do vo da ponte em funo do tempo;

Exibe-se o tempo de processamento.

42

4. ESTUDO DE CASO

Esta seo tem como objetivo apresentar os modelos utilizados para o estudo de caso

assim como os resultados obtidos e a discusso dos mesmos.

4.1. Modelos estudados

Este trabalho focou na anlise de trs casos:

1. Validao do cdigo computacional escrito em MATLAB por meio da

formulao analtica apresentada anteriormente aplicada para pontes de vos 20,

30 e 40 metros e posterior aplicao do cdigo para anlise de comboios de cargas

mveis trafegando sobre essas estruturas e as de maiores vos;

2. Verificao do FAD e da influncia da velocidade e do amortecimento para pontes

de vos menores (20, 30 e 40 metros);

3. Verificao do FAD e da influncia da velocidade e do amortecimento para pontes

de vos maiores (60, 70 e 80 metros). Note que para estes casos a utilizao da

formulao do coeficiente de impacto da NBR 7187:2003 implicaria em valores

unitrios (ou seja, o efeito dinmico seria desprezvel).

Para todos os modelos analisados, foi adotado um fck de 35 MPa.

4.1.1. As sees transversais das pontes

Para se definir as sees transversais a serem utilizadas foram consultados AASHTO

(2012), Caltrans (2003), Pfeil (1979) (que faz referncia ao DNIT) e Leonhardt (1979).

Por fim, notou-se que o perfil definido por Pfeil (1979) atende s demais normas com

folga, porm, o mesmo no faz nenhuma referncia relao entre altura da viga e o vo

da ponte (H/L). Por esta razo, adotou-se o critrio apresentado em Leonhardt (1979) e

em AASHTO (2012) para definir a altura de pontes de concreto protendido. Adotou-se

as especificaes de pontes de concreto protendido visto que o mesmo permite sees

mais esbeltas e, portanto, susceptveis a maiores deformaes.

As sees para vos menores esto apresentadas a seguir.

a) Vo de 20 metros

Figura 4.1 - Seo transversal da ponte de 20 metros de vo

43

b) Vo de 30 metros


c) Vo de 40 metros


A partir de 40 metros de vo, as normas passavam a exigir alturas de viga muito altas para

sees tipo T. Entretanto, como se deseja analisar ainda os valores do FAD para os vos

que a NBR 7187:2003 afirma que o coeficiente de impacto pode ser considerado como

uma unidade, optou-se por adotar sees caixes, cuja altura mnima exigida para essas

vigas inferior s das vigas T. Para tais sees, para se atender as restries da

AASHTO foi necessrio se adicionar uma viga intermediria. Desta forma, se obteve as

sees apresentadas a seguir.

a) Vo de 60 metros


44

b) Vo de 70 metros


c) Vo de 80 metros


Para tais sees transversais, tem-se as seguintes propriedades geomtricas.

Tabela 4.1 - Resumo das propriedades geomtricas das pontes analisadas

Vo

(m)

rea

(m)

Momento de Inrcia

(m4)

20 4,41 0,698

30 5,05 2,299

40 5,69 5,239

60 7,46 7,539

70 8,00 10,989

80 8,54 15,233

4.1.2. Propriedades do material considerado

Para a anlise destes modelos foi admitido um fck de 35 MPa, e, portanto, o mdulo de

elasticidade secante foi calculado de acordo com NBR 6118:2014. Como o tipo de

agregado mais utilizado na regio nordeste do Brasil o granito e a gnaisse (E = 1,0),

pode-se calcular o mdulo de elasticidade da seguinte forma.

= 1,0 5600 = 1 560035

(4.1)

45

33130

(4.2)

= 0,8 + 0,280

= 0,8 + 0,235

80= 0,8875

(4.3)

= = 0,8875 33130

(4.4)

29400

(4.5)

4.1.3. Velocidade diretriz

A norma do DNIT (1973) no seu artigo 2, define que velocidade diretriz a velocidade

bsica para a deduo das caractersticas do projeto. No seu artigo 7, esta norma fixa que

a maior velocidade diretriz a se considerar nos projetos de estradas de rodagem

100km/h. Entretanto, este trabalho extrapola um pouco este valor em algumas de suas

anlises apenas para verificar a influncia de uma velocidade ligeiramente maior sobre o

FAD.

4.1.4. Modelo de carregamento

Para o nosso modelo, o trem tipo TB-450, definido em NBR 7188:2013, ser representado

por uma carga pontual com a carga total do veculo (450 kN) atravessando a ponte com

uma velocidade constante. Isso acarretar em um pequeno acrscimo nos deslocamentos

quando comparado com o caso de trs cargas mveis defasadas passando pela estrutura.

O modelo estrutural da estrutura considerada est ilustrado perfeitamente na Figura 1.1 -

Modelo de Ponte sobre a ao de carga mvel.

4.2. Resultados

4.2.1. Validao do Modelo Numrico e Anlise da Influncia de Comboios

Para se fazer a validao do script mencionado no captulo 3, foram analisadas as pontes

com 20, 30 e 40 metros, com e sem amortecimento, no prprio MATLAB. Por fim,

comparou-se os resultados obtidos com a formulao analtica apresentada no item

2.2.11. Formulao Analtica para Carga Mvel sobre Viga, a qual foi introduzida no

MathCAD, que um software de fcil utilizao para realizar operaes de clculo. Feita

essa verificao, modificou-se o cdigo para se analisar o efeito de comboios nas pontes

mencionadas. Os resultados obtidos esto expostos a seguir.

46

4.2.1.1. Modelo analtico sem amortecimento

Para encontrar os resultados sem amortecimento foi utilizada a formulao apresentada

em (HUMAR, 2002), a qual confere perfeitamente com a apresentada por (FRBA,

1972). Os resultados obtidos com a aplicao desta formulao esto apresentados a

seguir.

Tabela 4.2- Resultados do modelo analtico sem amortecimento

Vo

(m)

esttico

(mm)

dinmico

(mm) FAD

20 3,653 4,148 1,136

30 3,746 4,042 1,079

40 3,896 4,195 1,077

4.2.1.2. Modelo Analtico com Amortecimento

Foi utilizada a formulao apresentada na seo 2.2.11.2. deste trabalho para computar a

deflexo das vigas sob a ao de uma carga mvel quando se considera o amortecimento.

Admitiu-se para este caso uma taxa de amortecimento de 5%.

Tabela 4.3 - Resultados do modelo analtico com amortecimento

Vo

(m)

esttico

(mm)

dinmico

(mm) FAD

20 0,05 3,6548 3,9497 1,081

30 0,05 3,7450 3,8694 1,033

40 0,05 3,8954 3,9743 1,020

4.2.1.3. Modelo Numrico sem Amortecimento

Para o modelo do MATLAB (Mtodo dos Elementos Finitos) as vigas foram divididas

em N trechos de igual comprimento. A discretizao adotada, tal como os

deslocamentos obtidos e o FAD calculado esto apresentados na tabela que se segue.

Tabela 4.4 - Resultados do modelo numrico sem amortecimento

Vo

(m) N

esttico

(mm)

dinmico

(mm) FAD

20 60 3,6548 4,1492 1,135

30 60 3,7450 4,0396 1,079

40 60 3,8954 4,1944 1,077

47

4.2.1.4. Modelo Numrico com Amortecimento

Para o modelo numrico com amortecimento as vigas foram discretizadas exatamente

como no caso anterior e foi adotado uma taxa de amortecimento () de 5% para o primeiro

e segundo modo de vibrao, ksi1 e ksi2, respectivamente. Para tal caso os valores obtidos

aparecem na tabela a seguir.

Tabela 4.5 - Resultados do modelo numrico com amortecimento

Vo

(m) N

esttico

(mm)

dinmico

(mm) FAD

20 60 0,05 3,6548 3,9500 1,081

30 60 0,05 3,745 3,8670 1,033

40 60 0,05 3,8954 3,9735 1,020

4.2.1.5. Resumo dos FADs

A tabela abaixo apresenta os valores dos FADs calculados usando o modelo analtico e o

modelo numrico.

Tabela 4.6- Resumo dos FADs para a validao do script

Vo

(m)

Analtico

( = 0,00)

Numrico

( = 0,00)

Analtico

( = 0,05)

Numrico

( = 0,05)

20 1,136 1,135 1,081 1,081

30 1,079 1,079 1,033 1,033

40 1,077 1,077 1,020 1,020

Os valores obtidos nesta anlise so suficientemente prximos e indicam que o script do

MATLAB confivel. O cdigo numrico ento est validado, entretanto, vale aqui

ressaltar que o usurio deve estudar o programa com cuidado antes de utiliz-lo para que

possa se ter um maior entendimento do mesmo e evitar erros grosseiros.

4.2.1.6. Estudo da Influncia de Comboios de carga

Foi estudado aqui a influncia da passagem de vrias cargas consecutivas teria sobre o

FAD das estruturas de pontes. Para isso, fixou-se o amortecimento em 5% (como foi

mencionado anteriormente), a velocidade em 100 km/h e diminuiu-se a discretizao para

no se prejudicar tanto o tempo de processamento. Os resultados obtidos esto

apresentados a seguir.

Para o caso de duas cargas consecutivas apenas, os resultados so os que se seguem.

48

Tabela 4.7 Resumo dos FAD parra passagem de duas cargas mveis consecutivas

Vo

(m) N

(%)

esttico

(mm)

dinmico

(mm) FAD

20 30

5

3,6548 4,2722 1,1689

30 40 3,7450 4,0468 1,0806

40 60 3,8954 4,0964 1,0516

60 70 9,1362 11,001 1,2041

70 80 9,9531 11,978 1,2035

80 90 10,7179 12,9216 1,2056

a) 20 metros

Figura 4.7 - Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 20 metros

49

b) 30 metros


c) 40 metros


50

d) 60 metros


e) 70 metros


51

f) 80 metros

Figura 4.12- Influncia da passagem de duas cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 80 metros

Para o caso de trs cargas consecutivas apenas, o resumo dos resultados esto

apresentados na tabela que se segue.

Tabela 4.8 Resumo dos FAD parra passagem de trs cargas mveis consecutivas

Vo

(m) N

(%)

esttico

(mm)

dinmico

(mm) FAD

20 30

5

3,6548 4,3330 1,1856

30 40 3,7450 4,0468 1,0806

40 60 3,8954 4,0964 1,0516

60 70 9,1362 11,0224 1,2065

70 80 9,9531 12,0045 1,2061

80 90 10,7179 12,9778 1,2109

52

a) 20 metros

Figura 4.13- Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 20 metros

b) 30 metros

Figura 4.14 - Influncia da passagem de trs cargas mveis consecutivas sobre a ponte de 30 metros

53

c) 40 metros


d) 60 metros


54

e) 70 metros


f) 80 metros


55

4.2.2. Anlise de vos menores

Esta seo tem como objetivo inferir a influncia que a velocidade e o amortecimento tm

sobre o FAD quando se est analisando vos relativamente pequenos de pontes, como 20,

30 e 40 metros. Para tal anlise, foi implementada as formulaes (2.50) e (2.58) no

EXCEL devido a facilidade de modificao e gerao de grficos diversos dessa

ferramenta.

4.2.2.1. Influncia da Velocidade no FAD

Foram aqui analisadas as trs pontes j discutidas anteriormente, s que agora com quatro

velocidades distintas: 60, 80, 100 e 120 km/h. Admitiu-se, neste ponto, que o

amortecimento () fosse igual a zero pois se desejava obter os maiores valores de FAD

possveis para comparao com a norma brasileira.

Os resultados a seguir apresentam o deslocamento vertical de um ponto situado no meio

do vo das pontes em funo do tempo.

Para o vo de 20 metros, obteve-se os seguintes resultados:

Figura 4.19 - Influncia da velocidade no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 20 metros

Para o vo de 30 metros, obteve-se os dados a seguir.

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Des

loca

men

to (

mm

)

t*v/L

Influncia da Velocidade

L = 20 m | v = 120 km/h | = 0 L = 20 m | v = 100 km/h | = 0

L = 20 m | v = 80 km/h | = 0 L = 20 m | v = 60 km/h | = 0

56


Para o vo de 40 metros, os resultados obtidos esto mostrados no grfico abaixo.


A tabela a seguir apresenta os maiores deslocamentos e os FADs calculados para as

estruturas anteriormente mencionadas. Alm disso, pode-se verificar os valores dos

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Des

loca

men

to (

mm

)

t*v/L


L = 30 m | v = 120 km/h | = 0 L = 30 m | v = 100 km/h | = 0

L = 30 m | v = 80 km/h | = 0 L = 30 m | v = 60 km/h | = 0

-5,00

-4,00

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Des

loca

men

to (

mm

)

t*v/L


L = 40 m | v = 120 km/h | = 0 L = 40 m | v = 100 km/h | = 0

L = 40 m | v = 80 km/h | = 0 L = 40 m | v = 60 km/h | = 0

57

coeficientes de impactos sugeridos pelas NBR 7187 e 7188. Note que o deslocamento

dinmico mximo no meio do vo est representado por umax e o deslocamento no meio

do vo para o caso esttico u0.

Tabela 4.9 - Tabela resumo da influncia da velocidade da carga mvel para pontes de pequenos vos

L

(m)

V

(km/h)

1

(%)

umax

(mm)

u0

(mm) FAD

NBR

7187:2003

NBR

7188:2013

20

120

0

4,279

3,655

1,171

1,260 1,303 100 4,144 1,134

80 3,975 1,088

60 3,859 1,056

30

120 4,323

3,745

1,154

1,190 1,265 100 4,039 1,078

80 4,111 1,098

60 4,008 1,070

40

120 4,404

3,895

1,131

1,120 1,236 100 4,194 1,077

80 4,225 1,085

60 4,150 1,065

Nota-se que os valores do FAD obtidos para todos os vos aumentam conforme se

aumenta a velocidade da carga, entretanto, de modo geral, esses valores so inferiores aos

coeficientes de impacto normativos, o que era de se esperar pois os valores de norma

devem estar sempre a favor da segurana. Contudo, vale aqui salientar que, conforme o

vo aumenta, os valores do FAD obtidos para velocidades maiores tende a se aproximar

dos valores das NBR. Por essa perspectiva, pode-se concluir que as formulaes da norma

brasileira esto a favor da segurana no que diz respeito anlise dinmica de uma carga

mvel sobre uma ponte de pequeno vo. Vale aqui, contudo, apresentar a Tabela 4.10 -

Comparao entre a massa do veculo a massa total das pontes menores.

Nesta ltima tabela, a varivel M representa a massa total da ponte e a varivel m

representa a massa total do veculo (a qual foi desprezada na anlise). Os valores do

coeficiente de impacto maiores que os FAD calculados possivelmente indicam que uma

anlise dinmica incluindo a participao da massa do veculo no sistema deveria ser

efetuada. Essa ideia corroborada pelo fato de que a massa do veculo, em comparao

com a da ponte de 20 metros, representa mais de 20% da massa da mesma, sendo,

portanto, uma parcela que no deveria ser negligenciada na anlise.

Tabela 4.10 - Comparao entre a massa do veculo a massa total das pontes menores

L (m) M (kg) m (kg) m/M

20 220500

45872

20,8%

30 378750 12,1%

40 569000 8,1%

1 Cenrio hipottico desprezando-se o amortecimento estrutural

58

4.2.2.2. Influncia do Amortecimento

Para se analisar a influncia do amortecimento sobre pontes com vos de 20, 30 e 40

metros, foi-se fixada a velocidade da carga como sendo igual a velocidade diretriz

mxima definida pelo DNIT (100 km/h) e estudou-se trs casos de amortecimento

distintos de taxa de amortecimento:

= 0%

= 5%

= 10%

Tais valores permitem verificar a influncia que essa taxa tem sobre o FAD pois esses

valores de amortecimento atendem ao critrio exigido pela formulao apresentada em

2.2.11.2. Formulao Com Amortecimento Leve ( 1).

Para o vo de 20 metros, os resultados obtidos esto apresentados no grfico abaixo.

Figura 4.22 - Influncia do amortecimento no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 20 metros

Para o vo de 30 metros, os valores de deslocamento para um ponto situado no meio do

vo da ponte esto apresentados a seguir.

-4,500

-4,000

-3,500

-3,000

-2,500

-2,000

-1,500

-1,000

-0,500

0,000

0,500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Des

loca

men

to (

mm

)

t*v/L

Influncia do Amortecimento

L = 20 m | v = 100 km/h | = 0,1 L = 20 m | v = 100 km/h | = 0,05

L = 20 m | v = 100 km/h | = 0

59

Figura 4.23 - Influncia do amortecimento no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 30

metros

Para o vo de 40 metros, os resultados obtidos esto mostrados no grfico abaixo.

Figura 4.24 - Influncia do amortecimento no deslocamento de um ponto situado no meio do vo da ponte de 40

metros

-4,500

-4,000

-3,500

-3,000

-2,500

-2,000

-1,500

-1,000

-0,500

0,000

0,500

1,000

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Des

loca

men

to (

mm

)

t*v/L


L = 30 m | v = 100 km/h | = 0,1 L = 30 m | v = 100 km/h | = 0,05

L = 30 m | v = 100 km/h | = 0

-4,500

-4,000

-3,500

-3,000

-2,500

-2,000

-1,500

-1,000

-0,500

0,000

0,500

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Des

oca

men

to (

mm

)

t*v/L


L = 40 m | v = 100 km/h | = 0,1 L = 40 m | v = 100 km/h | = 0,05

L = 40 m | v = 100 km/h | = 0

60

A tabela a seguir apresenta o resumo dos trs grficos anteriormente apresentados,

explicitando-se o deslocamento dinmico mximo no meio do vo (u.max) e o

deslocamento no meio do vo para o caso esttico (u.0).

Tabela 4.11 - Tabela resumo da influncia do amortecimento da estrutura para pontes de pequenos vos

L

(m)

v

(km/h)

u.max

(mm)

u.0

(mm)

ESTUDO DO COEFICIENTE DE IMPACTO EM PONTES DE CONCRETO

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