GeometriaEstudo dos Diedros e Poliedros

Estudo sobre os Diedros

• Em geometria, diedro, ângulo diedro ou ângulo diédrico é uma expansão do conceito de ângulo a um espaço tridimensional. É definido como o espaço entre dois semiplanos não contidos num mesmo plano com origem numa aresta comum.

• A origem comum dos semiplanos é a aresta do diedro e os dois semiplanos são suas faces

• Podemos estender a definição acima para termos o diedro nulo, quando suas faces são coincidentes e raso se suas faces são semiplanos opostos.

Espaço TridimensionalComo definição linguística, o espaço tridimensional é aquele que pode ser definido como tendo três dimensões (altura, profundidade e largura), o que na prática indica relevo.

Nomenclatura

Os diferentes tipos de diedros seguem nomenclatura análoga à geometria plana.

Denominação Medida graus

diedro agudo < 90º

diedro reto 90º

diedro obtuso > 90º

diedro raso 180º

Nomenclatura

• Reto: Um diedro é reto se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo reto.

• Agudo: Um diedro é agudo se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo agudo.

• Obtuso: Um diedro é obtuso se, e somente se, sua secção normal forma um ângulo obtuso.

• Adjacentes: Dois diedros são adjacentes se, e somente se, suas secções normais forem ângulos adjacentes.

• Opostos: Dois diedros são opostos pela aresta se, e somente se, as Pela Aresta secções normais forem ângulos opostos pelo vértice.

Características

• O interior de um diedro é convexo.

• Os pontos do interior de um diedro são pontos internos ao diedro.

• A reunião de um diedro com se interior é um setor diedral ou diedro completo, também conhecido por diedro convexo.

• O exterior de um diedro é côncavo.

• Os pontos do exterior de um diedro são os pontos externos ao diedro.

• A reunião de um diedro com seu exterior é também conhecida por diedro côncavo.

Secções

• Secção de um diedro é a intersecção do diedro com um plano secante à aresta.

• Duas secções paralelas de um diedro são congruentes.

• Secção Reta ou Normal é a secção cujo plano é perpendicular à aresta do diedro.

• Secções normais de um mesmo diedro são congruentes.

• Secções normais de um mesmo diedro são congruentes.

Diedros

Os planos secantes α e β estabelecem no espaço quatro semi-espaços.

O corte de dois desses semi-espaços é chamado de diedro.

Na imagem:

α e β representam as faces.

A reta a representa a aresta do diedro determinado pelo corte dos semiplanos I e I’.

Secção reta de um diedro

Chamamos de seção reta, o angulo determinado pelo corte de um diedro com um plano perpendicular a sua aresta.

Na imagem:

A superfície perpendicular à aresta a determina a secção reta definida pelo ângulo

São congruentes, todas as secções retas do mesmo diedro. A proporção de um diedro é a proporção da sua secção reta.

Dois diedros são congruentes, sempre que suas secções são congruentes. Caso o plano π não seja perpendicular à aresta a, obteremos apenas uma secção inclinada.

Estudo sobre os Poliedros

Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, cujos vértices são formados por três ou mais arestas em três dimensões (eixo dos "X", "Y", "Z",...) em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes

são as faces, as arestas e os vértices.

Poliedros

Poliedros são figuras geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes.

Elementos• A aresta que é lado de um único polígono é denominada aresta livre. • Já a aresta que é lado de dois polígonos é denominada aresta dupla.

Características

Um poliedro que tenha como faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.

Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.

De um poliedro de Platão, exige-se que:

• Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;

• Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Poliedro regular

Poliedros regulares são aqueles cujas faces e arestas são iguais entre si.

Nomenclatura: os poliedros regulares recebem nomes conforme o número de lados.

Por exemplo: tetraedro, pentaedro, hexaedro etc.

Classificação

A superfície poliédrica que tem aresta livre é denominada superfície poliédrica aberta. Já a que não possui a aresta livre é denominada superfície poliédrica fechada.

Superfície poliédrica convexa

Sempre que o plano de cada polígono deixa todos os demais polígonos num mesmo semi- espaço este é denominado superfície poliédrica convexa.

Relações de Euler

A fórmula de Euler está atribuída à relação de dependência entre os elementos de um poliedro. A expressão matemática desenvolvida por Leonhard Euler, matemático suíço, é a seguinte: V – A + F = 2. Onde:

V = vértice

A = arestas

F = Faces

Essa expressão determina o número de faces, arestas e vértices de qualquer poliedro.

Relações de Euler

1. Dada uma superfície poliédrica convexa aberta com vértices (V), arestas (A) e faces (F), teremos:

2. Dada uma superfície poliédrica convexa fechada com vértices (V), arestas (A) e faces (F), teremos:

Chamamos de poliedro Eureliano, qualquer poliedro que sacie essa relação.

Relações de Euler

Observação:

“Todo poliedro convexo é Eureliano, mas nem todo poliedro Eureliano é convexo”.

Note que o poliedro abaixo não é convexo, mas segue a relação V – A + F =2.

Soma dos ângulos das faces

Em todo poliedro convexo de vértices (V), a soma dos ângulos de todas as suas faces é dada por:

Bibliografia

Info Escola Brasil Escola Wikipédia Só Matemática UOL Educação

Colégio Estadual da Bahia CentralData: 19/12/2013Grupo: 23Turma: 3M2Disciplina: MatemáticaAlunas: Natasha Falcão, Gabriela Andrade e Maiara Santana