ESTUDO PRELIMINAR DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL

EM EIXOS SUSCEPTÍVEIS À TORÇÃO

Hanne L. S. dos Reis e Rita de Cássia Silva.

Resumo – O mecanismo de torção pura é um efeito comum em eixos que se prestam à

transmissão de potência. Quando em serviço, estes eixos podem estar sob o efeito de

carregamentos que se diferenciem daqueles para os quais foram dimensionados, além de ter

suas propriedades geométricas alteradas devido aos efeitos de degradação ou mesmo

adaptações construtivas. As incertezas inerentes às duas situações acima colocadas geram

variabilidades que impedem a definição absoluta de seus valores. Neste sentido, a Teoria da

Confiabilidade vem auxiliar permitindo que estas variáveis sejam tratadas como aleatórias e,

que se estabeleça uma capacidade portanto definida a partir de uma margem de segurança

adequadamente construída. Esta última se traduz em termos de um índice de confiabilidade

ou de uma probabilidade de falha determinados, através de métodos numéricos (FORM,

SORM..) ou por simulação (Método de Monte Carlo). Neste sentido, o presente trabalho tem

por objetivo principal estabelecer uma metodologia preliminar de avaliação da capacidade

portanto de eixos de transmissão submetidos à torção pura. Para tanto, consideram-se as

variáveis envolvidas no problema como aleatórias e independentes e se estabelece uma

margem de segurança, que confronta a torção resistente da peça com um torsor aplicado.

Resultados preliminares de probabilidade de falha são obtidos, mediante aplicação do Método

de Monte Carlo em eixos de seção circular maciça e vazada.

Palavras-chaves – Torção, Monte Carlo, MATLAB, margem de segurança,

probabilidade de falha.

I. INTRODUÇÃO

As estruturas, no caso eixos, estão susceptíveis à torção e estão presentes em diversos

elementos e sistemas mecânicos em engenharia. O caso mais comum de aplicação é o de

eixos de transmissão de seção transversal maciça ou vazada, que tem, como função principal,

transferir potência de um ponto a outro como, por exemplo, na transmissão de potência de um

motor veicular a um dos eixos ou ainda, em turbinas a vapor acopladas a um gerador de

eletricidade ou na rigidez de uma mola submetida à rotação, etc. (Beer, 2010).

Classicamente se verifica que, no estudo da torção pura, manifestam-se tensões e

deformações em eixos no seu sentido longitudinal, quando estes estão submetidos, em suas

extremidades livres, a momentos que tendem a girar uma peça em torno do seu próprio eixo;

esses momentos são denominados conforme (Beer, 2010), como momentos de torção,

momentos torcionais ou torque.

No caso de seções circulares, ao serem submetidas a este tipo de esforço, estas

conservam sua seção transversal circular, ou seja, os raios se mantêm constantes, conservando

também o comprimento do eixo (Timoshenko, 1983). Na verdade, a peça apresenta o mesmo

formato, quando observada de qualquer ponto fixo e ao ser girada por certo ângulo. O mesmo

efeito só é observado em seções quadradas quando giradas a 90º e 180º (Beer, 2010).

Portanto, o eixo gira quando o torque é aplicado em uma de suas extremidades livres e a sua

seção transversal apresenta uma rotação denominada ângulo de torção, medido a partir de

uma linha fixa.

As variáveis envolvidas no fenômeno da torção em eixos são basicamente: o momento

de torção (T), o ângulo de torção (), propriedades do material (módulo de elasticidade

transversal - G) e características geométricas (L – comprimento do eixo e J0 – momento de

inércia polar). O módulo de elasticidade transversal pode ser escrito em função do módulo de

elasticidade longitudinal (E) e do coeficiente de Poison ().

Normalmente, na fase de projeto, essas variáveis são consideradas deterministas, ou seja,

seus valores são considerados nominais e as medidas de variância não são levadas em

consideração. Entretanto, uma vez em serviço, verificações acerca da resistência, ou da

grandeza referente ao esforço aplicado, envolvem incertezas no que diz respeito à distribuição

e à magnitude do carregamento, às propriedades mecânicas dos materiais, às variações nas

dimensões que caracterizam a geometria do elemento ou sistema, aos modelos e à análise

estrutural. Essas incertezas impossibilitam que uma estrutura apresente uma segurança

absoluta, ou seja, estas inúmeras variáveis inserindo variabilidades no processo de

determinação da resistência da estrutura, impedem que esta seja determinada de forma

fechada.

Neste sentido, o presente trabalho considera a aplicação da Teoria da Confiabilidade

como uma ferramenta capaz de auxiliar na verificação da capacidade (reserva de resistência

da estrutura ou capacidade portante) do elemento estrutural, tratando as variáveis não como

deterministas, mas como aleatórias, através do método de simulação de Monte Carlo.

Desta forma, considere um elemento que possui certa resistência (R) e uma dada

solicitação (S). Tem-se na equação M = R – S, a representação de uma margem de segurança,

em que uma falha pode ocorrer, quando M < 0; ou seja, no caso da torção pura, o torque

solicitante for maior que o torque resistente. Uma vez aplicada, a Teoria da Confiabilidade

considerando as variáveis como aleatórias, e utilizando o método de simulação de Monte

Carlo, torna-se possível verificar a probabilidade de falha de uma família de eixos de

diferentes geometrias submetidos a carregamentos diversos. Nesse contexto, estabelece-se o

objetivo do presente trabalho.

Durante o processo de simulação, amostras aleatórias das variáveis envolvidas no

problema são geradas e a razão entre o número de falhas (M < 0) com relação à amostragem

total (número total de amostras aleatórias geradas) permite a avaliação do problema.

Assim, no primeiro momento, este trabalho apresenta a margem de segurança compatível

com o problema de torção pura em eixos circulares (maciço ou vazado) e com seções

retangulares de paredes finas. Para esse efeito, as variáveis são consideradas todas aleatórias

com função densidade de probabilidade (fdp) e seus parâmetros definidos a partir da literatura

relevante. O trabalho apresenta as probabilidades de falha variando de acordo com o ângulo

de torção. Vale ressaltar que não são considerados os mecanismos de degradação (fadiga,

corrosão) e todas as variáveis são consideradas independentes.

II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste item são apresentados alguns conceitos envolvendo tanto o fenômeno da

torção pura que é a solicitação considerada, como conceitos básicos referentes à

confiabilidade estrutural.

A. Torção Pura No estudo da torção pura, algumas hipóteses básicas são necessárias, tais como: o

material estudado deve ser elástico linear; homogêneo e isotrópico; com pequenos

deslocamentos e pequenas deformações (Beer, 2010).

Os eixos circulares, maciços ou vazados, conservam sua seção transversal plana e sem

distorção, ou seja, a barra circular gira como um corpo rígido, em torno do seu eixo

longitudinal, mantendo sua seção circular, ou ainda, os raios permanecem retos e concêntricos

(Timoshenko, 1983). O mesmo não é observado em uma seção quadrada que ao ser

submetida a um momento de torção, suas várias seções transversais não se mantêm planas,

perdendo a forma inicial, como mostra a Fig. 01 abaixo. A seção quadrada só apresentará o

mesmo formato quando rotacionada a 90º e 180º (Beer, 2010).

Figura 01 – Deformação dos eixos a) circular e b) quadrado (BEER, 2010)

Segundo (Popov, 2008), o ângulo de torção deve ser pequeno o suficiente para que não

ocorra variação no comprimento e no raio da barra; essa condição é tão boa que pode ser

aplicada além do limite elástico do material. Portanto, o torque é dado por:

∫ (1)

onde é a distância de cada força elementar dF ao centro da seção circular. A integral de dF

representa a soma dos momentos das forças que ocasionem a mesma intensidade de torque,

em relação ao centro da peça.

O torque T, quando aplicado à extremidade livre, gira o eixo, e a seção transversal

apresenta uma rotação denominada ângulo de torção ( ) e uma deformação por cisalhamento

, ambos em radianos. Consequentemente, a taxa de variação do ângulo de torção será

constante ao longo do comprimento dx da barra. Essa constante é o ângulo de torção por

unidade de comprimento representado por , onde

, e L é o comprimento da barra

(Timoshenko, 1983).

No estudo de tensões no regime elástico, deve-se considerar a Lei de Hooke e as

deformações como não permanentes. Portanto, desenvolvendo a Eq. 1 e colocando em função

da deformação de cisalhamento e utilizando a Lei de Hooke, esta pode ser reescrita como:

(2)

onde G é o módulo de elasticidade transversal, dado por:

(3)

e E é o módulo de elasticidade longitudinal e é o coeficiente de Poisson. Para o presente

trabalho, os valores do módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson foram

retirado da tabela abaixo.

Tabela 01 – Valores dos coeficientes elásticos de alguns metais. (Moura Branco, 1994)

Segundo (Beer, 2010), a tração e a compressão são equivalentes ao estado de

cisalhamento em um elemento de 45º. Portanto, os materiais dúcteis, geralmente, se rompem

por cisalhamento, e quando submetidos a torção se rompem em um plano perpendicular ao

eixo longitudinal, como mostrado na Fig. 02. Enquanto que os materiais frágeis são menos

resistentes à tração que ao cisalhamento, rompendo-se em um plano a 45º do eixo

longitudinal, como mostra a Fig. 03.

Figura 02 – Ruptura de materiais dúcteis submetidos a torção (Beer, 2010)

Figura 03 – Rompimento de uma material frágil submetido a torção (Beer, 2010)

Partindo da Eq. 02 e fazendo algumas análises, a resultante das tensões de cisalhamento

deve ser estaticamente igual ao torque total T, então:

(4)

onde

∫ (5)

que é o momento de inércia polar. Para as seções circulares maciças e vazadas, r é o raio da

seção circular maciça e r2 e r1 são os raios externo e interno, respectivamente da seção

circular vazada; os momentos de inércia são apresentados na Tab. 02 abaixo.

Tabela 02 – Momento de inércia polar da seção transversal circular.

Seção circular

maciça

Seção circular vazada

Momento de inércia

polar

(

)

Pela Eq. 4, sabe-se que o ângulo de torção por unidade de comprimento, , é diretamente

proporcional ao torque T aplicado no eixo circular e inversamente proporcional ao produto

GJ, e como o ângulo de torção, , é igual a , então (Timoshenko, 1983):

(6)

Fazendo as devidas modificações, chega-se às equações dos torques para as seções

circulares maciça e vazada mostradas na Tab. 3.

Tabela 03 – Torque da seção transversal circular.

Seção circular maciça Seção circular vazada

Torque

Para seções de paredes finas, chega-se a conclusão que para uma espessura uniforme, a

tensão é constante ao redor do eixo, enquanto que em um ponto de espessura máxima,

ocorrerá a menor tensão de cisalhamento e vice-versa (Timoshenko, 1983). A tensão de

cisalhamento será dada por:

(7)

onde Am é a área limitada pela linha média da parede do tubo que na Fig. 04 abaixo é dada

pelo comprimento ‘D’.

Figura 04 – Vista frontal de um tubo de paredes finas com espessura constante (Beer, 2010).

Caso a espessura, ‘e’, seja constante como indica a Fig. 04 acima, a equação do ângulo

de torção será:

∮

(8)

onde a integral é calculada ao longo da linha central da parede.

Figura 05 – Seção retangular de paredes finas

Para um seção retangular vazada de paredes finas, como mostra a Fig. 05, o torque é

dado pela Eq. 09.

(9)

onde b é a base de menor lado da seção e h é a altura (maior lado).

B. Teoria da Confiabilidade A Teoria da Confiabilidade é definida conforme apresentado por (Cremona, 2002;

Melchers, 1999) como um conjunto de técnicas numéricas e matemáticas que tem por

finalidade estimar a probabilidade de falha de uma determinada estrutura ou elemento

estrutural em funcionamento. No caso deste trabalho, em eixos circulares de seções maciças

ou vazadas, além de eixos retangulares de paredes finas. Neste caso, as variáveis envolvidas

no problema serão tratadas como aleatórias, ou seja, modeladas a partir de funções densidade

de probabilidade (fdp) adequadas. Cabe ressaltar, entretanto, que nem todas as variáveis

envolvidas em um problema de confiabilidade serão aleatórias, visto que um estudo de

sensibilidade será importante na confirmação da modelagem adotada.

O estudo de confiabilidade estrutural se mostra extremamente sensível à definição da fdp

e parâmetros estatísticos pertinentes. Em um problema básico de confiabilidade, no qual se

envolvam apenas duas variáveis; R (resistência) e S (solicitação), a equação do estado limite

ou a margem de segurança é dado por:

(10)

As variáveis são consideradas gaussianas (fdp normal) e independentes (correlação

nula), ou seja, N (μR,σR) e, N (μS, σS) , respectivamente. Desta forma, a variável resultante M

também é uma variável normal, de acordo com a regra de adição e subtração de variáveis

aleatórias normais:

(11)

√

(12)

Assim, a probabilidade de falha pode ser calculada:

∫ ∫

(13)

onde e são funções densidade de probabilidade representativas da resistência e da

solicitação, respectivamente. Entretanto, a integral ∫

define a função

distribuição cumulativa (CDF) da variável aleatória R e representa a probabilidade de R ser

menor ou igual a S. A equação pode ser reescrita, como:

∫

(14)

essa integral é conhecida como “integral de convolução ” e é representada pela figura abaixo,

no qual a área hachurada é a falha.

Figura 06 – Representação da “integral de convolução” – Melchers (2002)

A Figura 07 apresenta a probabilidade de falha e o índice de confiabilidade para o

problema acima. No qual o é a distância entre o valor médio de M e o ponto zero (estado de

falha) em unidades de desvios padrões.

Figura 07 – Probabilidade de Falha – Melchers (2002)

Consequentemente, a probabilidade de falha também pode ser calculada de acordo

com a Eq. (15) e (16) abaixo.

√ ∫

(15)

√ ∫

⁄

(

) (16)

Assim, o índice de confiabilidade é dado por:

√

(17)

Retomando a Eq. (16), a probabilidade de falha é calculada em função do índice de

confiabilidade:

(18)

onde é a função de distribuição acumulada da variável padrão, para média zero e desvio

padrão unitário.

Fazendo uma interpretação geométrica, a função densidade de probabilidade normal é

dada por:

(19)

no qual, a variável X será a variável R, quando calculada a função densidade de probabilidade

normal para a resistência, com média e desvio padrão ( ; o mesmo será feito para a

solicitação.

Assim, as curvas que possuem densidade de probabilidade iguais formam a equação

da elipse, como mostra a Fig. 08, que possui as coordenadas ( para o centro C.

(20)

Figura 08- interpretação geométrica do índice de confiabilidade (Calgaro, 1997)

Fazendo a transformação das variáveis,

(21)

(22)

obtém-se a equação do circulo,

(

) (

)

(23)

onde as novas coordenadas do centro C são:

(24)

Figura 09 - interpretação geométrica do índice de confiabilidade (Calgaro, 1997)

Segundo a Fig. 09, e considerando que , então a distância do centro C ao

ponto P é:

| |

√

√

(25)

O índice de confiabilidade, ß, no sistema de coordenadas reduzida, é a distância do

ponto correspondente ao estado mais provável de falha da estrutura (ponto sobre a reta, P) ao

centro C.

B.1. Método de Monte Carlo

O presente trabalho utiliza o método de simulação de Monte Carlo como proposta para a

aplicação da Teoria da Confiabilidade. Esse método avalia iterativamente um modelo

utilizando-se de um conjunto de números aleatórios como entrada para cada uma das

variáveis envolvidas.

Portanto, de forma geral, devem-se transformar as variáveis do espaço de base (média

e desvio padrão aleatório) em variáveis do espaço padrão (média zero e desvio padrão

unitário), portanto:

(26)

onde X são as variáveis aleatórias do problema. Então a probabilidade de falha é dada por:

(27)

onde z é o número total de iterações, enquanto que é o números de eventos nos quais M <

0. Assim, o índice de confiabilidade é dado por:

(28)

onde é a inversa da função de distribuição acumulada da variável normal padrão, N(0,1).

No presente trabalho, considerando o estudo da confiabilidade na torção, a Eq. (10)

deve ser reescrita considerando duas variáveis: o Torque resistente (TR) e o Torque aplicado

(TA), portanto:

(29)

A parcela de TR envolve algumas variáveis que são descritas nas Tab. 4, 5 e 6 para os

diferentes tipos de seções estudadas. Deve-se ressaltar que o estudo é preliminar e foi

verificado considerando situações apresentadas nas literaturas (Beer, 2010) e (Schneider,

1997).

III. ROTINAS DESENVOLVIDAS EM MATLAB

A. Fluxograma do programa

A Figura 10 apresenta o fluxograma de funcionamento da rotina Monte Carlo,

desenvolvida no programa computacional MATLAB, para o estudo da confiabilidade em

eixos sob o efeito de torção pura. A modelagem apresentada para as variáveis envolvidas, em

parte segue o proposto em (Highways, 2001), isto porque não se dispõe de resultados

experimentais suficientes para proposição de modelagem mais adequada para as variáveis.

Figura 10 – Fluxograma de funcionamento da rotina MATLAB para o método de Monte Carlo

A função ‘Torção.m’ tem como finalidade interligar as demais funções do programa,

também é nessa função que o usuário deverá inserir o número de iterações, o tipo de seção

estudada, os limites inferior e superior de variação do ângulo de torção em graus e o

incremento adotado para a variação, através de uma interface com o usuário que será

apresentada detalhadamente a seguir.

Com os dados de entrada fornecidos pelo usuário, primeiramente, a função

‘Torção.m’ armazenará os valores do número de iteração e dará origem a três matrizes

aleatórias distintas, de ordem (N x número de variáveis), depois irá fazer a transformação do

ângulo de torção em graus para radianos e; como saída principal da rotina, gerará o gráfico Pf

x ângulo de torção.

A função ‘Dados.m’ é onde todas as variáveis são declaradas em forma de estrutura

com 4 informações básicas: nome da variável, tipo de fdp que a modela, parâmetro 1 que

pode ser a média e parâmetro 2 que pode ser o desvio padrão. Ressalta-se que dependendo da

modelagem da variável os parâmetros 1 e 2 podem ser outros que não a média ou desvio

padrão. A Fig. 11 mostra a variável comprimento (em metros) cuja a fonte é o programa

MATLAB.

Figura 11 – Modelo de declaração das variáveis no MATLAB

Nas Tab. 4, 5 e 6, o quociente entre a média, , e o valor nominal da variável dá uma

medida de tendência (Bias em inglês). O coeficiente de variação (CoV) exprime a razão entre

o desvio padrão, , e a média, .

Tabela 4 – Variáveis envolvidas no TR para seção circular maciça

Variáveis Distribuição CoV

Ângulo de

torção

normal 1,22

0,10

Comprimento

da barra

normal – 1,5m 0,075m 0,05

Raio da seção normal – 0,03m m 0,05

Módulo de

elasticidade

longitudinal (E)

lognormal

–

Pa

Pa

0,05

Coeficiente de

Poisson

determinista – 0.26 0 0

Torque

Aplicado (TA)

normal – 1500 150 0,10

Tabela 5 – Variáveis envolvidas no TR para seção circular vazada

Variáveis Distribuição Bias Média ( Desvio-

padrão

CoV

Ângulo de

torção

normal 1,22

0,10

Comprimento

da barra

normal – 1,5m 0,075m 0,05

Raio externo normal – 0,03m m 0,05

Raio interno normal – 0,02m m 0,05

Módulo de

elasticidade

longitudinal (E)

lognormal

–

Pa

Pa

0,05

Coeficiente de

Poisson

determinista – 0.26 0 0

Torque

Aplicado (TA)

normal – 1500 150 0,10

Tabela 6 – Variáveis envolvidas no TR para seção retangular de paredes finas

Variáveis Distribuição Bias Média ( Desvio-

padrão

CoV

Ângulo de

torção

normal 1,22

0,10

Comprimento

da barra

normal – 1,5m 0,075m 0,05

Base – menor

lado

normal – 0,06m m 0,05

Altura – maior

lado

normal – 0,1m m 0,04

Espessura (e) determinista – 0,004 0 0

Módulo de

elasticidade

longitudinal (E)

lognormal

–

Pa

Pa

0,05

Coeficiente de

Poisson

determinista – 0.26 0 0

Torque

Aplicado (TA)

normal – 1500 150 0,10

A função ‘Rosemblatt.m’ irá transformar uma variável qualquer do espaço padrão

(média e desvio padrão qualquer) para uma variável do espaço de base (média zero e desvio

padrão unitário). Para tanto, esta função se utiliza de uma matriz de variáveis randômicas para

o cálculo (matriz (:,i) ).

nominalvalor

Figura 12 – Exemplo de transformação de uma variável do espaço base para o espaço padrão

– variável gaussiana

A função ‘MonteCarlo.m’ faz o cálculo da probabilidade de falha a partir do método

de Monte Carlo utilizando a função inversa de distribuição acumulada da variável normal

padrão, N (0,1); ( fp1 ), disponível no MATLAB (norminv), para se obter o índice

de confiabilidade ().

B. Interface com o usuário

A rotina MATLAB apresenta em um primeiro momento a interface com o usuário

como apresentado abaixo.

Figura 13 – Janela de interface com o usuário – demanda

do número de iterações

Por opção do estudante/pesquisador, no primeiro contato, o usuário fornece 3 valores

de iterações, por exemplo, 1000; 5000 e 10000; esclarece-se, entretanto, que mais valores

poderiam ser dados, sendo também valores diferentes do especificado no exemplo. Cabe

ressaltar que o método de Monte Carlo exige uma grande quantidade de iterações e isso pode

acarretar em um tempo de processamento computacional maior.

O segundo contato é apresentado pela Fig. 14 no qual o usuário deve escolher o tipo

de seção que irá trabalhar. Para cada tipo de seção um novo Torque resistente (TR) é

calculado.

Figura 14 – Interface de escolha do tipo de seção

O cálculo efetuado visa à verificação da probabilidade de falha de uma dada

geometria submetida à torção pura considerando um intervalo de variação do ângulo de

torção. Neste contexto, segue o que apresenta a Fig. 15, onde o usuário deve fornecer os

limites inferior e superior de variação do ângulo de torção em graus e o incremento a ser

respeitado. Caso ele deseje fazer o estudo para apenas um ângulo de torção, este deverá

indicar o limite inferior igual ao limite superior e o incremento igual a 0,1. Apesar dos dados

fornecidos pelo usuário serem em graus, os cálculos são feitos com o ângulo de torção em

radianos.

Figura 15 – Interface de entrada do intervalo de variação do ângulo de torção.

IV. RESULTADOS PRELIMINARES OBTIDOS COM O ESTUDO

Segundo o fluxograma apresentado na Fig. 10, avaliações de eixos submetidos à

torção pura são realizadas. Estas funções foram geradas utilizando as variáveis envolvidas de

acordo com as Tab. 4 (seção circular maciça), Tab. 5 (seção circular vazada) ou Tab. 6 (seção

retangular de paredes finas). Como resultado, o usuário obterá um gráfico com a variação da

probabilidade de falha em função do parâmetro de entrada, que para o caso estudado é o

ângulo de torção.

A Figura 16 apresenta o gráfico probabilidade de falha x ângulo de torção da seção

circular maciça de raio 0,03m e com o ângulo de torção variando de 1,7º a 2,3º. Estes mesmos

valores do ângulo de torção foram utilizados para gerar o gráfico da Fig. 17 para a seção

circular vazada de raio externo e raio interno de 0,03m e 0,02m, respectivamente.

Figura 16 – Probabilidade de falha x ângulo de torção para seção circular maciça

Figura 17 – Probabilidade de falha x ângulo de torção para seção circular vazada

Nota-se que as Fig. 16 e 17 apresentam gráficos decrescentes, quanto maior o ângulo de

torção, menor a probabilidade de falha. Sabe-se que o torque resistente (TR) é diretamente

proporcional ao ângulo de torção, portanto, quanto maior o ângulo, maior o TR e,

consequentemente, menor a probabilidade de falha. Essa análise representa o quanto o eixo

pode sofrer torção na faixa de ângulo estudada, ou seja, o quanto aquele eixo resiste em

termos de torção.

A probabilidade de falha normalmente é da ordem de 10-5

, o que mostra que, para muitos

casos, não há a possibilidade de compreensão de uma probabilidade de falha tão pequena, ou

seja, esse valor tem pouco significado em termos absolutos (Cremona, 2002), por isso sua

avaliação deve ser sempre em termos relativos considerando-se uma família de estruturas.

Entretanto, esses valores não foram observados nas Fig. 16 e 17 que tem as probabilidades de

falha variando de 0,002 a 0,012 e 0,02 a 0,15 para seção circular maciça e vazada,

respectivamente; devido ao fato das peças terem sido bastante penalizadas com um torque

solicitante alto. Isso confirma a necessidade do estudo de sensibilidade das variáveis.

Cabe ressaltar, que métodos de simulação como Monte Carlo fornecem probabilidade de

falha, entretanto utilizando-se a função inversa de distribuição acumulada da variável normal

padrão, N (0,1); ( fp1 ), é obtido o índice de confiabilidade (). Este funciona como

uma forma de “zoom” na região de falha e, portanto, na probabilidade de falha. Assim, para

as seções circulares maciça e vazada serão gerados os gráficos do índice de confiabilidade

pelo ângulo de torção.

Figura 18 – Índice de confiabilidade x ângulo de torção para seção circular maciça

Figura 19 – Índice de confiabilidade x ângulo de torção para seção circular vazada

V. CONCLUSÃO

O presente trabalho alcançou o objetivo proposto, qual seja a proposição de uma

metodologia de avaliação de eixos submetidos à torção pura utilizando-se o método de

simulação de Monte Carlo. Os resultados obtidos, apesar de preliminares, demonstram que a

metodologia está bem estruturada e a mesma pode ser ampliada para a avaliação de uma

família de eixos sob diferentes geometrias, condições de carregamento e propriedades de

material.

Os resultados levam a inferir que as correlações entre o módulo de elasticidade

transversal e o ângulo de torção, assim como o comprimento do eixo e o ângulo de torção

devem ser consideradas. As margens de segurança devem ser ampliadas para que se

considerem os efeitos combinados entre torção e flexão. Além disto métodos numéricos

podem ser utilizados de modo a obter os valores dos índices de confiabilidade ().

VI. BIBLIOGRAFIA

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