Estuturas Hiperestáticas Simétricas.
6
Edgard S. Almeida Neto [vers˜ ao preliminar] Mar¸ co de 2015 1 1 Estruturas Sim´ etricas Um carregamento qualquer sempre pode ser decomposto numa parte sim´ etrica e outra an- tissim´ etrica quando lidamos com estruturas sim´ etricas de comportamento linear, Fig. 1. A decomposi¸ c˜ao auxilia a compreender o comportamento da estrutura e permite reduzir signi- ficativamente o n´ umero de inc´ognitas hiperest´ aticas. Isto ocorre em virtude de analisarmos apenas uma fra¸ c˜ao da estrutura e, ao mesmo tempo, identificarmos inc´ ognitas hiperest´ aticas nulas e explicitarmos poss´ ıveis desacoplamentos das demais inc´ ognitas. Visando sistematizar a elimina¸ c˜aodasinc´ ognitas trivialmente nulas, discutiremos a sime- tria e a antissimetria dos esfor¸ cos solicitantes e examinaremos as condi¸ c˜oes de contorno que devem se observadas em se¸ c˜oes transversais (STs) localizadas nos planos de simetria. Fig. 1: Decomposi¸ c˜ao de carregamento em uma estrutura sim´ etrica trabalhando como (a) p´ ortico e (b) grelha. 1.1 Simetria e Anti-Simetria dos Esfor¸ cos Solicitantes Conforme mostrado na Fig. 2, as distribui¸ c˜oes das tens˜ oes normais e tangenciais em se¸ c˜oes transversais opostas originam esfor¸ cos resultantes sim´ etricos e antissim´ etricos, respectiva- mente. Assim a for¸ ca normal e o momento fletor s˜ ao esfor¸ cos sim´ etricos nas se¸c˜oes opos- tas como evidenciam as distribui¸ c˜oes das tens˜ oes normais na Fig. 2-a; e a for¸ ca cortante e o momento de tor¸ c˜aos˜ ao esfor¸ cos antissim´ etricos pois, exceto pelo sentido das tens˜ oes, as correspondentes distribui¸ c˜oes de tens˜ao tangencial s˜ ao iguais nas se¸ c˜oes opostas, Fig. 2-b. 2 Fig. 2: Esfor¸ cos solicitantes :(a) Simetria e (b) antissimetria Obtemos conclus˜ oes semelhantes observando os esfor¸ cos solicitantes em um trecho infinitesi- mal de barra delimitado por se¸ c˜oes junto ao plano de simetria da estrutura, Figs. 3-a e 3-b. Contudo, devemos tomar cuidado com a representa¸ c˜ao vetorial dos momentos pois a simetria desses vetores n˜ao est´ a associada a das tens˜ oes na ST, Figs. 3-c. Fig. 3: Trecho contendo o plano de simetria: (a) esfor¸ cos sim´ etricos e (b) antissim´ etricos; (c) representa¸ c˜ao vetorial dos momentos. Condi¸c˜oes de simetria ou antissimetria do carregamento permitem eliminar trˆ es dos es- for¸ cos solicitantes numa se¸c˜ao contida num plano de simetria da estrutura. Por um lado, a simetria admite apenas a existˆ encia dos esfor¸cos sim´ etricos M 1 , M 2 e N nasse¸c˜oescontidas nos planos de simetria, como exemplificado na Fig 4. Por outro lado, a antissimetria do carre- gamento admite apenas esfor¸ cos antissim´ etricos V 1 , V 2 e M T nessasse¸c˜oes,comoexemplificado na Fig 5. A presen¸ ca de for¸ cas ou momentos concentrados aplicados na se¸ c˜ao de simetria pode
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Breve resumo teórico e alguns exercícios associados. Originalmente disponibilizados pelo professor Edgard do departamento de estruturas da EPUSP.
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Edgard
S.A
lmeid
aN
eto[versao
prelim
inar]
Marco
de
20151
1Estru
tura
sSim
etrica
s
Um
carregamen
toqualq
uer
sempre
pode
serdecom
posto
num
aparte
simetrica
eou
traan
-
tissimetrica
quan
do
lidam
oscom
estrutu
rassim
etricasde
comportam
ento
linear,
Fig.
1.A
decom
posicao
auxilia
acom
preen
der
ocom
portam
ento
da
estrutu
rae
perm
itered
uzir
signi-
ficativam
ente
onum
erode
incogn
itaship
erestaticas.Isto
ocorre
emvirtu
de
de
analisarm
os
apen
asum
afracao
da
estrutu
rae,
aom
esmo
tempo,
iden
tificarm
osin
cognitas
hip
erestaticas
nulas
eex
plicitarm
ospossıveis
desacop
lamen
tosdas
dem
aisin
cognitas.
Visan
do
sistematizar
aelim
inacao
das
incogn
itastriv
ialmen
tenulas,
discu
tiremos
asim
e-
triae
aan
tissimetria
dos
esforcossolicitan
tese
exam
inarem
osas
condicoes
de
contorn
oque
devem
seob
servadas
emsecoes
transversais
(ST
s)lo
calizadas
nos
plan
osde
simetria.
Fig.
1:D
ecomposicao
de
carregamen
toem
um
aestru
tura
simetrica
trabalh
ando
como
(a)portico
e(b
)grelh
a.
1.1
Sim
etria
eA
nti-S
imetria
dos
Esfo
rcos
Solic
itante
s
Con
forme
mostrad
ona
Fig.
2,as
distrib
uicoes
das
tensoes
norm
aise
tangen
ciaisem
secoes
transversais
opostas
originam
esforcosresu
ltantes
simetricos
ean
tissimetricos,
respectiva-
men
te.A
ssima
forcanorm
ale
om
omen
tofletor
saoesforcos
simetricos
nas
secoesop
os-
tascom
oev
iden
ciamas
distrib
uicoes
das
tensoes
norm
aisna
Fig.
2-a;e
aforca
cortante
e
om
omen
tode
torcaosao
esforcosan
tissimetricos
pois,
exceto
pelo
sentid
odas
tensoes,
as
correspon
den
tesdistrib
uicoes
de
tensao
tangen
cialsao
iguais
nas
secoesop
ostas,Fig.
2-b.
2
Fig.
2:E
sforcossolicitan
tes:(a)
Sim
etriae
(b)
antissim
etria
Obtem
oscon
clusoes
semelh
antes
observan
do
osesforcos
solicitantes
emum
trecho
infinitesi-
mal
de
barra
delim
itado
por
secoesju
nto
aoplan
ode
simetria
da
estrutu
ra,Figs.
3-ae
3-b.
Con
tudo,
devem
ostom
arcu
idad
ocom
arep
resentacao
vetorialdos
mom
entos
pois
asim
etria
desses
vetoresnao
estaasso
ciada
adas
tensoes
na
ST
,Figs.
3-c.
Fig.
3:Trech
ocon
tendo
oplan
ode
simetria:
(a)esforcos
simetricos
e(b
)an
tissimetricos;
(c)rep
resentacao
vetorialdos
mom
entos.
Con
dicoes
de
simetria
ouan
tissimetria
do
carregamen
toperm
itemelim
inar
tresdos
es-
forcossolicitan
tesnum
asecao
contid
anum
plan
ode
simetria
da
estrutu
ra.Por
um
lado,
a
simetria
adm
iteap
enas
aex
istencia
dos
esforcossim
etricosM
1 ,M
2e
Nnas
secoescon
tidas
nos
plan
osde
simetria,
como
exem
plifi
cado
na
Fig
4.Por
outro
lado,
aan
tissimetria
do
carre-
gamen
toad
mite
apen
asesforcos
antissim
etricosV
1 ,V
2e
MT
nessas
secoes,com
oex
emplifi
cado
na
Fig
5.A
presen
cade
forcasou
mom
entos
concen
trados
aplicad
osna
secaode
simetria
pode
Edgard
S.A
lmeid
aN
eto[versao
prelim
inar]
Marco
de
20153
sercon
tornad
adiv
idin
do
osesforcos
eap
licando
am
etade
emcad
asecao
imed
iatamen
teao
lado,
oque
satisfazo
equilıb
riode
esforcosno
trecho
delim
itado
por
essassecoes.
Fig.
4:E
strutu
racom
carregamen
tosim
etrico:(a)
eixo
de
simetria;
(b)
EIF
;(c)
equilıb
riodos
trechos
centrais.
Fig.
5:E
strutu
racom
carregamen
toan
tissimetrico:
(a)eix
ode
antissim
etria;(b
)E
IF;
(c)eq
uilıb
riodos
trechos
centrais.
1.2
Condic
oes
de
Conto
rno
no
Pla
no
de
Sim
etria
As
condicoes
de
simetria
ean
tissimetria
do
carregamen
topodem
sertrad
uzid
asem
deslo
ca-
men
tose
rotacoesnulas
das
secoestran
sversaiscon
tidas
no
plan
ode
simetria
da
estrutu
ra,
como
ilustram
asFigs.
6e
7.Se
ocarregam
ento
forsim
etrico,o
deslo
camen
tou
norm
alao
plan
oe
asrotacoes
ϕem
torno
de
eixos
contid
osno
plan
ode
simetria
devem
sernulos.
Se
foran
tissimetrico,
odeslo
camen
tov
ea
rotacaoθ
emtorn
odo
eixo
norm
alao
plan
ode
sime-
triadevem
sernulos.
Rep
areque
existe
um
acorrelacao
direta
entre
osesforcos
solicitantes
transm
itidos
eos
deslo
camen
tosnulos
na
secao.
4
Fig.
6:C
ondicoes
de
contorn
ono
plan
ode
simetria:
carregamen
tosim
etrico.
Fig.
7:C
ondicoes
de
contorn
ono
plan
ode
simetria:
carregamen
toan
tissimetrico.
1.3
Reso
lucao
da
Estru
tura
Aresolu
caodas
estrutu
rassim
etricaship
erestaticassegu
eos
passos
descritos
na
Tab
.1,
os
quais
saoilu
strados
nos
prox
imos
exem
plos.
1.4
Exem
plo
s
Edgard
S.A
lmeid
aN
eto[versao
prelim
inar]
Marco
de
20155
Tab
ela1:
Resolu
caode
estrutu
rassim
etricas.
Passo
Descricao
1Id
entifi
que
osplan
osde
simetria
da
estrutu
ra.
2D
ivid
aos
esforcoscon
centrad
osap
licados
nas
secoesde
simetria
eap
li-que
nas
secoesim
ediatam
ente
aolad
o.
3Trace
acon
figu
racaodeform
ada
da
estrutu
rae,
sefor
ocaso,
evid
encie
atorcao
das
barras.
4U
seo
tracado
aprox
imad
oda
configu
racaodeform
ada
para
verificar
asim
etriae
aan
tissimetria
do
carregamen
to.Se
necessario,
decom
pon
ha
ocarregam
ento
etrace
ascon
figu
racoesdeform
adas
correspon
den
tes.
5O
bten
ha
um
anova
estrutu
rapor
meio
de
cortespassan
do
pelos
plan
osde
simetria.
Levan
teos
esforcossolicitan
tesnao-n
ulos
nas
secoesque
coincid
emcom
osplan
osde
simetria
ein
troduza
osvın
culos
fictıcios
associad
osas
condicoes
de
simetria
ean
tissimetria.
6D
etermin
eo
graude
hip
erestaticidad
eda
nova
estrutu
ra.
7Se
elafor
isostatica,ob
tenha
asreacoes
eos
esforcossolicitan
tespor
equilıb
rio.
8Se
elafor
hip
erestatica,resolva
pelo
pro
cessodos
esforcosou
dos
des-
locam
entos.
6Exem
plo
1Para
ocarregam
ento
indi-
cado
eem
pregan
do
todas
asprop
riedad
es
de
simetria
ean
tissimetria
possıveis,
a)in
diq
ue
aE
IFcom
om
enor
num
erode
incogn
itaship
erestaticase
aseq
uacoes
de
compatib
ilidad
ecorresp
onden
tes;
b)
traceo
diagram
ade
mom
entos
fletores.
Con
sidere
EI
=con
st,b
=a
edesp
rezeos
efeitosda
deform
acaopor
forcanorm
al.Fig.
E1:
Portico.
Edgard
S.A
lmeid
aN
eto[versao
prelim
inar]
Marco
de
20157
Exem
plo
2Trace
odiagram
ade
mom
entos
fletores
para
aviga
contın
ua
da
figu
ra.C
onsid
ere
EI
=con
st.
Fig.
E2:
Viga
contın
ua.
8Exem
plo
3Trace
osdiagram
asde
mom
entos
para
aviga
balcao
aolad
o.C
onsid
ereE
I=
const
eG
IT
=E
I.
Fig.
E3:
Viga
balcao.
Decom
posicao
do
carregamen
tonas
partes
simetrica
ean
tissimetrica.
Edgard
S.A
lmeid
aN
eto[versao
prelim
inar]
Marco
de
20159
10Exem
plo
4Para
agrelh
ada
figu
ra,
traceos
diagram
asde
mom
entos
ecal-
cule
arotacao
θx
na
secaodo
meio
da
barra
central.
Con
sidere
EI
=con
ste
GIT
=E
I.
Os
apoios
resistema
forca
verticalF
ze
aom
omen
tode
torcaoM
y .
Fig.
E4:
Grelh
a.
Fig.
E4-1:
Configuracao
Deform
ada.
Da
simetria
daestrutura
indicadana
Fig.
E4-1,
podemos
concluirque
om
omento
Pa/3
nao
solicitaa
vigacentral
aflexao
enem
asvigas
lateraisa
torcao.E
mvirtude
dodesacoplam
entode
Me
MT ,
todosos
esforcossolicitantes
podemser
determinados
estaticamente.
Fig.
E4-2:
Representacao
parcialda
estrutura.
Nota
1E
mbora
abarra
centraldagrelha
estejasobre
umplano
desim
etriada
estrutura,lembram
os
queas
propriedadesde
simetria
eantissim
etriaso
valempara
secoescujo
planocoincide
como
de
simetria.
Nesse
exemplo,
aindafoi
possıvelsubdividir
aestrutura
etrabalhar
comum
trechoda
barracentral
submetido
am
etadedas
forcasexternas.
Edgard
S.A
lmeid
aN
eto[versao
prelim
inar]
Marco
de
201511
Fig.
E4-3:
Diagram
ade
corpolivre
ediagram
ade
mom
entos.
Aseguir,
porcuriosidade,
consideraremos
ascondicoes
desim
etriae
resolveremos
aestrutura
hiperestaticaparcial
ignorandoo
desacoplamento
entreM
eM
T .
Rotacao,
θC
x=
θC
1+
θC
2=
Pa
2
12EI
+P
a2
36EI
=P
a2
9E
I.
12Exem
plo
5E
mpregan
do
todas
asprop
riedad
esde
simetria
ean
tissimetria
possıveis,
indiq
ue
aE
IFcom
om
enor
num
erode
incogn
itaship
erestaticase
aseq
uacoes
de
compatib
ilidad
e
correspon
den
tes.C
onsid
ereE
I=
const
eG
IT
=E
I.
Fig.
E5:
Grelh
aap
oiada
nos
cantos.
