Exame AAE_2003_2004_E1
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SECÇÃO DE ESTRUTURAS EXAME Análise Avançada de Estruturas 2004-01-19 Parte Teórica (sem consulta) Duração: 1h00 1 – Considere o elemento finito unidimensional com três nós representado na figura, sujeito à acção da carga distribuída indicada. x 1 a 1 2 ( ) 0 1 = x 3 2 a 3 a ( ) a x = 2 ( ) b x = 3 p Sem efectuar qualquer substituição de variável: a) determine as funções de forma, em função de x, de a e de b; b) calcule a segunda componente do vector solicitação F , em função de p, de a e de b. 2 – Considere o seguinte integral: ( )( ) x d x x x I ∫ + − + − = 1 1 2 2 8 3 5 a) Calcule o integral recorrendo à quadratura de Gauss com 2 e com 3 pontos. b) Algum destes resultados é exacto? Justifique a resposta. 3 – Considere um elemento finito isoparamétrico quadrilátero com 4 nós arbitrariamente dispostos. Indique quais são as vantagens do recurso à substituição de variáveis no cálculo da respectiva matriz de rigidez. 4 – Considere um sólido axissimétrico sujeito a acções também axissimétricas. a) Deduza a expressão que relaciona a extensão circunferencial com o deslocamento radial. b) Apresente a matriz que relaciona o campo de deslocamentos com o campo de deformações. Indique as expressões de todos os seus termos. 5 – Quando se aplica o método das linhas de rotura para calcular a carga de colapso de uma laje são admitidas algumas hipóteses simplificativas. Descreva-as.
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SECO DE ESTRUTURAS
EXAME
Anlise Avanada de Estruturas
2004-01-19
Parte Terica (sem consulta)
Durao: 1h00
1 Considere o elemento finito unidimensional com trs ns representado na figura, sujeito aco da carga distribuda indicada.
x
1a
1 2
( )01 =x 3
2a 3a
( )ax =2 ( )bx =3
p
Sem efectuar qualquer substituio de varivel: a) determine as funes de forma, em funo de x, de a e de b; b) calcule a segunda componente do vector solicitao F, em funo de p, de a e de b.
2 Considere o seguinte integral:
( ) ( ) xdxxxI +
+=1
1
22 835
a) Calcule o integral recorrendo quadratura de Gauss com 2 e com 3 pontos. b) Algum destes resultados exacto? Justifique a resposta.
3 Considere um elemento finito isoparamtrico quadriltero com 4 ns arbitrariamente dispostos. Indique quais so as vantagens do recurso substituio de variveis no clculo da respectiva matriz de rigidez.
4 Considere um slido axissimtrico sujeito a aces tambm axissimtricas. a) Deduza a expresso que relaciona a extenso circunferencial com o deslocamento
radial. b) Apresente a matriz que relaciona o campo de deslocamentos com o campo de
deformaes. Indique as expresses de todos os seus termos.
5 Quando se aplica o mtodo das linhas de rotura para calcular a carga de colapso de uma laje so admitidas algumas hipteses simplificativas. Descreva-as.
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SECO DE ESTRUTURAS
EXAME
Anlise Avanada de Estruturas
2004-01-19
Parte Prtica (sem consulta)
Durao: 2h00
1.
6.0m
4.0m
2.0m
z
1
2
3
A barra de ao de 6m e seco constante igual a 0.0008m2 representada na Figura est submetida ao peso prprio, tendo sido idealizada atravs do
elemento finito de 3 ns representado.
a) Sem realizar clculos, discuta a soluo obtida atravs do MEF no que respeita aproximao do campo de deslocamentos, considerando no
ser efectuada uma mudana de varivel,
b) Determine o vector das foras nodais equivalentes, efectuando mudana de varivel.
2.
1.0m
1.0m 2.0m
2x
1x
P(0;0,6)
1 2
43 E = 200 GPa = 0,3h = 0,010m
N u1(mm) u2 (mm) 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 -1
O elemento finito representado na Figura pertence a uma placa de ao de 10 mm de espessura submetida a
um estado de tenso plano, em consequncia do qual se observam os deslocamentos nodais representados na
tabela. Efectuando mudana de variveis:
a) Determine o vector deslocamento e as componentes de tenso no ponto P de coordenadas (0,0.6)m; b) Determine o coeficiente de rigidez K56 da matriz de rigidez do elemento finito considerado.
(v.s.f.f)
2
3
0.0008mrea7850kg/m=
=
P(0, 0.6) E=200 GPa
3.0= h=0.010m
3 4
-
2004-01-19
3.
1.0m
0.50
20kN
0.30
E = 30 GPa = 0,2
Idealizando a consola curta representada na Figura atravs de um elemento finito de viga de Timoshenko de dois ns e, aplicando a formulao do MEF, determine a expresso do momento flector ao longo do desenvolvimento da viga, por aplicao de uma fora concentrada na extremidade de 20kN. Comente a soluo obtida face expresso dos momentos flectores obtida por anlise das condies de equilbrio da viga.
4.
0.10
m
0.05m
f = 360MPay
L/3L/3L/3
P
2P
A viga bi-encastrada de ao macio representada na Figura, de seco rectangular 0.05x0.10m est submetida s duas cargas concentradas indicadas aplicadas de forma crescente, at atingir o colapso.
a) Calcule o momento de plastificao da seco Mp; b) Aplicando os princpios da anlise plstica limite e, analisando os mecanismos de rotura possveis,
determine a carga de colapso da viga P.
E=30 GPa 0.3=
fy= 360MPa
