EXECÍCIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRIA PLANA - CELSO BRASIL########
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GEOMETRIA PLANA Celso do Rosrio Brasil Gonalves
01- As circunferncias so tangentes externamente em Q e PA e PB so tangentes s
circunferncias. Determine a medida do ngulo AQB nos casos:
a) onde t tangente comum e APB = 80 t
A P
Q B
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GEOMETRIA PLANA Celso do Rosrio Brasil Gonalves
SOLUO:
t
B
A
80
P
b) Com APB = 100
B
A P
Q
a b b a
Q
Na figura ao lado observe que:
(1) PA = PQ PAQ issceles,
logo os ngulos da base so iguais ().
(2) PB = PQ PBQ issceles,
logo os ngulos da base so iguais (b)
(3) Observe, agora, o quadriltero
PAQB (sabemos que em todo
quadriltero a soma dos seus ngulos
internos vale 360). Assim:
2a + 2b + 80 = 360
2a + 2b = 280
a + b = 140
Note que a + b = AQB = 140.
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GEOMETRIA PLANA Celso do Rosrio Brasil Gonalves
Soluo:
t
Q
b b B
a a
A S P
R
02- Determine a rea da regio destacada nos casos abaixo:
a) Quadrado de lado 8 m.
100
Traamos a reta t, tangente comum pelo
ponto Q. Prolongamos BP at interceptar a
reta t em R.
Note que AS = SQ SAQ issceles.
Note que RQ = RB RQB issceles.
No quadriltero APBQ temos APB = 100.
Vamos somar os ngulos internos do
quadriltero APBQ:
2a + 2b + 100 = 360
2a + 2b = 260
a + b = 130
Note que AQB = a + b = 130.
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GEOMETRIA PLANA Celso do Rosrio Brasil Gonalves
Soluo: O lado do quadrado (L) em funo do raio (R) dado por:
Observe que a rea da regio sombreada (As) equivale a:
As =
( )
( )
[ ( )
]
[ ]
( ) .
b) Sendo ABCD um quadrado e o raio igual a 2 cm.
( ) ( )
Soluo: Na figura ao lado a rea da parte destacada (As) verde dada por: As = rea do crculo rea do quadrado As =
No esquea que
( ) .
A
B D
C
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c) O quadriltero dado um quadrado de lado a. Qual rea da parte I?
d) Quadrado de lado a. Qual a rea de I?
90
0
( )
Soluo: A rea da parte I ao lado dada por: S = rea do quadrado rea do setor circular
I
II
I
-
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( )
( )
( )
+
+
( )
Soluo: Note que a rea I acima o dobro da rea do item anterior (c):
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e) Quadrado de lado a. Calcule a rea total de I.
I I
a
I
I
.
( )
( )
( )
( )
Soluo: Note que a rea total de I equivale a 4 vezes a rea do item anterior (d). Devemos considerar na questo anterior o lado do quadrado igual a a/2. Fazendo a substituio, teremos:
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GEOMETRIA PLANA Celso do Rosrio Brasil Gonalves
3- ABCD, nas figuras abaixo um quadrado de permetro 16 cm. Determine a rea
total de I:
a)
I
I
( )
( )
( )
( )
( )
Soluo: Observe que a rea da regio I da figura acima equivale a duas vezes a rea da regio I da questo 2 letra c:
( )
(I)
Como o permetro (p) do quadrado vale 16 cm, temos: p = 16 cm 4a = 16 a = 4 cm Substituindo a em (I), temos:
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b) 4 cm
4 cm
I
( )
Soluo: Sendo o lado do quadrado igual 4 cm, podemos calcular o raio r da circunferncia: Diagonal do quadrado:
, : . A rea total I dada por:
S = rea do quadrado
S = 4 - 2
( ) .
I
-
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04- Determine o raio da circunferncia, dados: AB = 14 m, BC= 10 m e AC= 16 m.
B
A
C
+ +
+ 0+
0
( )( )( )
0( 0 )( 0 0)( 0 )
0 0
Soluo: Vamos, inicialmente, calcular o semipermetro (p) do tringulo ABC:
Vamos, agora, calcular a rea do tringulo ABC:
Para o clculo do raio da circunferncia, vamos usar uma propriedade que relaciona a rea do tringulo em funo do raio:
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GEOMETRIA PLANA Celso do Rosrio Brasil Gonalves
05- A bissetriz externa AS de um tringulo ABC determina sobre o prolongamento do
lado BC um segmento CS de medida y. Sendo os lados AB e AC, respectivamente, o
triplo e o dobro do menor segmento determinado pela bissetriz interna AP sobre o
lado BC que mede 20 cm, determine o valor de y.
Soluo:
( )
0 0
B c a A b C
A rea do tringulo em funo do raio de qualquer das circunferncias ex-inscritas (por exemplo: ex-inscrita tangente ao lado a, de raio ) dada por:
0 = (20 0)
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0+
0+
0+
0+
Vamos desenhar o tringulo: A E x t B P C y S 20 cm 20+y Suponha que AB = x, logo, de acordo com o enunciado da questo: x = 3b AC = t t = 2b Note que a reta EC paralela a AS, podemos, ento, ter a seguinte igualdade:
b
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06- Na figura, o tringulo PCD congruente ao tringulo PBA. Determine o valor de x
e y e a razo entre os permetros dos tringulos PCA e PBD.
Dados: AB= 15; AP= 2y+17; CD= x+5 e PD= 3y-2.
D C B A
P
+5 5
+ 7
Soluo: D x+5 C e B 15 A b b 3y-2 2y+17 P Note que:
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, , :
+ + +
+ + +
Clculo do lado AP: AP = 2y+17 AP = 2.19+17 AP = 55 Clculo do lado PD: PD = 3y 2 PD = 3.19 2 PD = 55 Note que: (I) Note ainda que: O ngulo B congruente ao ngulo C, logo: e CA = BD. De acordo com (I) e o fato de BC ser um lado comum, conclumos que:
Podemos ter a seguinte razo:
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07- As circunferncias da figura, de centro M, N e P, so mutuamente tangentes. A
maior tem raio 2 e as outras duas tm raio 1. Calcule a rea do tringulo MN
M
N P
