UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA QUÍMICA

Discentes: Kaio Vinícius Dutra Souza, Jessica Resende Bussolo

Docente: Gylles Ricardo Ströher

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA

(FOX, MCDONALD, PRITCHARD, Introdução à mecânica dos fluidos, 6ª

edição). Exemplo 3.2 – Um manômetro de reservatório com tubo inclinado é

construído como mostrado a seguir. Deduza uma expressão geral para a deflexão do

líquido, L, no tubo inclinado, em termos da diferença de pressão aplicada. Obtenha,

também, uma expressão geral para a sensibilidade do manômetro e discuta os efeitos

sobre a sensibilidade exercida nos parâmetros D, d, 𝜃 e 𝑆𝑚.

Solução:

Utilizando a regra que soma as pressões de um sentido ao outro (na maioria

dos casos da esquerda para a direita), obtemos a equação a seguir:

𝑃1 − 𝛾𝑚(ℎ1 + ℎ2) − 𝑃2 = 0

Esta, pode ser reescrita para a seguinte forma, a qual chamaremos de

equação (1):

Δ𝑃 = 𝛾𝑚(ℎ1 + ℎ2) (1)

O volume do reservatório pode ser calculado da seguinte forma:

𝑉𝑟𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 =𝜋 ∗ 𝐷𝑟

2

4∗ ℎ1

Onde 𝐷𝑟 é o diâmetro do reservatório.

De forma análoga, o volume da coluna pode ser calculado pela equação a

seguir:

𝑉𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 = =π ∗ Dc

2

4∗ L

Onde 𝐷𝑐 é o diâmetro da coluna

Sabe-se que a quantidade de volume, que aumenta ou diminui, no

reservatório é o mesmo que o da coluna. Assim, ao igualarmos as duas equações de

volume, encontra-se a seguinte relação, a qual chamaremos de equação (2):"

𝑉𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 = 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜

𝜋 ∗ 𝐷𝑐2

4∗ 𝐿 =

𝜋 ∗ 𝐷𝑟2

4∗ ℎ1

ℎ1 =𝐷𝑐

2

𝐷𝑟2

∗ 𝐿

(2)

A partir da geometria do manômetro pode-se encontrar a seguinte relação, a

qual chamaremos de equação (3), que caracteriza a altura ℎ2:

𝑠𝑖𝑛(𝜃) =ℎ2

𝐿

ℎ2 = 𝑠𝑖𝑛(𝜃) ∗ 𝐿 (3)

Substituímos então as equações (2) e (3) na equação (1), obtendo:

Δ𝑃 = 𝛾𝑚 ∗ (𝐷𝑐

2

𝐷𝑟2

∗ 𝐿 + 𝑠𝑖𝑛(𝜃) ∗ 𝐿)

Isolamos L, então, para encontrar a expressão geral para a deflexão do líquido

no tubo inclinado, em termos da diferença de pressão aplicada:

Δ𝑃 = 𝛾𝑚 ∗ 𝐿 ∗ (𝐷𝑐

2

𝐷𝑟2

+ 𝑠𝑖𝑛 (𝜃))

𝐿 =Δ𝑃

𝛾𝑚 ∗ (𝐷𝑐

2

𝐷𝑟2 + 𝑠𝑖𝑛(𝜃))

Quanto à sensibilidade, já temos a seguinte equação:

Δ𝑃 = 𝛾𝑚 ∗ 𝐿 ∗ (𝐷𝑐

2

𝐷𝑟2

+ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)) (4)

A diferença de pressão na água pode ser dada por:

Δ𝑃 = 𝜌á𝑔𝑢𝑎 ∗ 𝑔 ∗ Δ𝐻á𝑔𝑢𝑎 (5)

Ao igualar as equações 4 e 5, tem-se:

𝐿

Δℎá𝑔𝑢𝑎 =

𝜌á𝑔𝑢𝑎

𝜌𝑚 ∗ ((𝐷𝑐

𝐷𝑟)

2

+ 𝑠𝑖𝑛(𝜃))

Sabe-se que:

𝑆𝑚 =𝜌á𝑔𝑢𝑎

𝜌𝑚

Como a sensibilidade pode ser calculada pela equação a seguir, conclui-se

que a expressão geral da sensibilidade, para este caso, é dada pela equação 5.

𝑆𝑒 =𝐿

Δ𝐻á𝑔𝑢𝑎

𝑆𝑒 =1

𝑆𝑚 ∗ ((𝐷𝑐

𝐷𝑟)

2

+ 𝑠𝑖𝑛(𝜃))

(5)

Para plotarmos um gráfico que demonstra a influência da razão dos diâmetros

sobre a sensibilidade, fixaremos 𝑆𝑚 = 1 e θ= 90°. A seguir encontram-se a tabela com

os valores da sensibilidade em função da razão dos diâmetros, adotada como x.

Tabela 1 - Valores de sensibilidade em função da razão dos diâmetros

𝑫𝒄

𝑫𝒓

Sensibildade

0 1

0,1 0,9901

0,2 0,9615

0,3 0,9174

0,4 0,8621

0,5 0,8

0,6 0,7353

0,7 0,6711

0,8 0,6098

0,9 0,5525

1 0,5

A partir da tabela 1, plotou-se o gráfico 1, ilustrando como se dá esta

influência.

Figura 1 - Gráfico da sensibilidade versus razão dos diâmetros

Posteriormente, para plotarmos um gráfico que demonstre a influência do

ângulo theta sobre a sensibilidade, fixaremos 𝑆𝑚 = 1 e 𝐷𝑐

𝐷𝑟= 1. A tabela a seguir

apresenta os valores obtidos para diferentes ângulos theta.

Tabela 2 - Valores de sensibilidade em função do ângulo theta

𝜽 (graus) Sensibilidade

10 5,759

13,33 4,336

16,67 3,487

20 2,924

23,33 2,525

26,67 2,228

30 2

33,33 1,82

36,67 1,675

40 1,556

43,33 1,457

46,67 1,375

50 1,305

53,33 1,247

56,67 1,197

60 1,155

63,33 1,119

66,67 1,089

70 1,064

73,33 1,044

76,67 1,028

80 1,015

83,33 1,007

86,67 1,002

90 1

A partir da tabela 2 plotou-se também um segundo gráfico, apresentado a

seguir.

Figura 2 - Gráfico da sensibilidade versus ângulo theta

Para gerar as tabelas e plotar tais gráficos utilizou-se do software EES. O

código utilizado é apresentado a seguir.

"A)" "Utilizando a regra que soma as pressões de um sentido ao outro (na maioria dos casos da esquerda para a direita), obtemos a equação a seguir:" P_1-gamma_m*(h_1+h_2)-P_2=0 "Que pode ser reescrita para a seguinte forma, a qual chamaremos de equação (1):" DELTAP=gamma_m*(h_1+h_2) "O volume do reservatório pode ser calculado da seguinte forma:" V_reservatório=((pi*D_r^2)/4)*h_1 "Onde D_r é o diâmetro do reservatório" "Enquanto que o volume da coluna pode ser calculado pela equação a seguir:" V_coluna=((pi*D_c^2)/4)*L

"Onde D_c é o diâmetro da coluna" "Sabe-se que a quantidade de volume, que aumenta ou diminui, no reservatório é o mesmo que o da coluna. Assim, ao igualarmos as duas equações de volume, encontra-se a seguinte relação, a qual chamaremos de equação (2):" V_coluna=V_reservatório ((pi*D_c^2)/4)*L=((pi*D_r^2)/4)*h_1 h_1=D_c^2/D_r^2*L "A partir da geometria do manômetro pode-se encontrar a seguinte relação, a qual chamaremos de equação (3), que caracteriza a altura h_2:" sin(theta)=h_2/L h_2=sin(theta)*L "Substituímos então as equações (2) e (3) na equação (1), obtendo:" DELTAP=gamma_m*(D_c^2/D_r*L+sin(theta)*L) "Isolamos L, então, para encontrar a expressão geral para a deflexão do líquido no tubo inclinado, em termos da diferença de pressão aplicada:" DELTAP=gamma_m*L*(D_c^2/D_r^2+sin(theta)) L=DELTAP/(gamma_m*(D_c^2/D_r^2+sin(theta))) "B)" "Da letra A, temos:" DELTAP=gamma_m*L*(D_c^2/D_r^2+sin(theta)) "Equação 4" "A diferença de pressão da água pode ser dada por:" DELTAP= rho_água*g*DELTAH_água "Equação 5" "Igualando a equação 4 e 5, tem-se:" L/DELTAh_água = rho_água/(rho_m*((D_c/D_r)^2+ sin(theta))) "Sabe-se que:" S_m=rho_água/rho_m "Como a sensibilidade é igual a:" Se = L/DELTAH_água "Conclui-se que a expressão geral da sensibilidade é dada por:" Se=1/(S_m *((D_c/D_r)^2 + sin(theta))) "Podemos chamar de x a razão entre os diâmetros" Se=1/(S_m *((x)^2 + sin(theta))) "Para plotarmos gráficos que demonstra a influência do ângulo theta e da razão dos diâmetros na sensibilidade, fixaremos S_m=1 e theta=90°" theta=90 S_m=1

No entanto, o código acima apresentou conflitos entre as funções. Para que a

criação das tabelas fosse possível, primeiramente, somente digitando a equação de

sensibilidade e fixando os valores, gerou-se as tabelas e plotou-se os gráficos. Em

seguida todas as outras funções foram inseridas e comentadas.