7/25/2019 Exercicios Calculo 2

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Universidade Estadual de Maringa-CCE-DMA

7250-CalculoII-Engenharia de Producao

Lista de Exerc cios

Professor: Saulo Rodrigo Medrado

4 Equacoes Diferenciais Ordinarias

4.1 Definicao, ordem e conceito de solucao

35. Determine a ordem de cada uma das equacoes diferenciais que seguem e diga se a equacao e ou naolinear.

(a) x2d2y

dx2+x

dy

dx+2y = sin(x)

(b) (1+y2)d2y

dx2+x

d2y

dx+y= ex

(c) d4y

dx4+

d3y

dx3+

d2y

dx2+

dy

dx+y=

1

(d) dy

dx+ xy2 = 0

(e) d2y

dx2+ sin(x+y) = sin(x)

(f) d3y

dx3+x

dy

dx+cos2(x)y= x3

36. Verifique, em cada caso, se a funcao (ou funcoes) dada e solucao da equacao diferencial.

(a) y + 4y + 3y= x;

y1(x) = x

3; y2(x) =e

x +x

3

(b) 2x2y + 3xy y = 0;y1(x) =x

1/2; y2(x) =x1

(c) y y= 0; y1(x) =ex; y2(x) = cosh(x)

(d) y + 2y 3y= 0;y1(x) =e

3x; y2(x) =ex

(e) x2y + 5xy + 4y= 0;

y1(x) =x2; y2(x) =x

2 ln(x)

(f) y +y = sec(x); 0< x < 2

;y(x) = cos(x) ln(cos(x)) +x sin(x)

(g) y 2xy= 1;

y(x) =ex2

x0

et2

dt+ex2

37. Determine para quais valores de r as equacoes lineares que seguem tem solucoes do tipo y = xr para

x >0.

(a) x2y + 4xy + 2y = 0 (b) x2y 4xy + 4y= 0

4.2 Tipos de solucoes

4.3 Equacao diferencial ordinaria de primeira ordem

4.3.1 Existencia e unicidade de solucoes

4.3.2 Equacoes de Variaveis Separaveis

38. Ache a solucao do problema de valor inicial dado na forma expl cita.

(a) sin(2x)dx+cos(3x)dy= 0;y

2

=

3

(b) xdx+yexdy= 0;

y(0) = 1

(c) dr

d =r, r(0) = 2

(d) dy

dx =xy3(1 +x2)

1

2 ;

y(0) = 1

(e) dy

dx=

2x

1 + 2y, y(2) = 0

(f) dy

dx=

2x

y+x2y, y(0) = 2

4.3.3 Equacao Homogenea

39. Mostre que as equacoes a seguir sao homogeneas e encontre suas solucoes.8

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(a) x+y

x(b) 2ydx xdy= 0

(c) dy

dx=

x2 +xy+y2

x2

(d) dy

dx=

x2 + 3y2

2xy

(e) dy

dx =

4y 3x2x y

(f) dy

dx =

x+ 3y

x y

(g) (x2+3xy +y2)dxx2dy=0

(h) dy

dx=

2y x2x y

(i) dy

dx=

2y x+ 52x y 4

(j) dy

dx=

4x+ 3y+ 15

2x+y+ 7

4.3.4 Equacao Exata

40. Determine se cada uma das equacoes a seguir e exata. Se for exata, encontre a solucao.

(a) (2x+ 3) + (2y 2)y = 0

(b) dy

dx=

ax bybx cy

(c) (2x + 4y)+(2x2y)y = 0

(d) (9x2+y1)(4yx)y = 0

(e) (2xy2)+(2x2y + 2x)y = 0

(f) dy

dx=

ax+by

bx+cy

(g) (ex sin(y) 2ysin(x))dx + (ex cos(y) +2cos(x))dy= 0

(h)y

x+ 6x

dx+ (ln(x) 2)dy= 0, x >0

41. Ache o valor deb que torna cada uma das seguintes equacoes exatas e entao resolva, usando este valorde b.

(a) (xy2 +bx2y)dx+ (x+y)x2dy= 0 (b) (ye2xy +x)dx+bxe2xydy= 0

Bibliografia

(a) Boyce, W.E.;DiPrima, R.C.;Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de valores de Con-torno. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. 3a Ed.

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4.3.5 Fatores integrantes

42. Mostre qua as equacoes a seguir nao sao exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fatorintegrante dado. Entao resolva as equacoes:

(a) x2y3 +x(1 +y2)y = 0; (x, y) = 1xy3

(b) ydx+ (2x yey)dy= 0; (x, y) =y

(c)

sin y

y 2ex sin x

dx+

cos y+ 2ex cos x

y

dy= 0; (x, y) =yex

43. Ache um fator integrante e resolva a equacao dada.

(a) (3x2 + 2xy+y3)dx+ (x2 +y2)dy= 0

(b) y =e2x +y

1

(c) ydx+ (2xy e2y)dy= 0

(d) dx+

xy sin y

dy= 0

(e)

3x+ 6y

+

x2

y + 3 yxdydx = 0

44. Mostre que se Nx My

M =Q, onde Q e funcao apenas de y, entao a equacao diferencial:

M+ N y = 0

tem um fator integrante da forma:

(y) = exp

Q(y)dy

45. Mostre que, se

Nx

My

xM yN =R, onde R depende apenas do produto xy, entao a equacao diferencial:

M+ N y = 0

tem um fator integrante da forma (xy). Encontre a formula geral deste fator integrante.

4.3.6 Equacao Linear

46. Resolva a equacao diferencial dada.

(a) y = sin2x

(b) y + 3y= x +e2x

(c) y 2y= x2e2x

(d) y + 1xy= 3cos 2x, x >0

(e) xy + 2y= sin x, x >0

(f) dydx

= 1ey x

47. Ache a solucao do problema de valor inicial

(a) y y = 2xe2x, y(0) = 1 (b) y + 2xy = cosx

x2 , y() = 0,

x >0(c) xy + 2y= sin x, y(

2) = 1

48. Se y= y1(x) e uma solucao de y +p(x)y= 0, e y= y2(x) e solucao de y

+p(x)y= g(x). Mostre que

y= y1(x) +y2(x) tambem e solucao de y +p(x)y= g(x).

4.3.7 Equacao de Bernoulli

49. Resolva a equacao de Bernoulli10

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(a) xdydx + y = 1

y2 (b) dydx y = e

xy2 (c) 3(1 +x2) dydx = 2xy(y3 1)

4.3.8 Equacao de Riccati

50. Resolva a equacao de Riccati

(a) dydx = 2y+y2,y1(x) = 0 (b)

dydx = 1 x y + xy

2,

y1(x) = 1

(c) dydx = 6 + 5y+y2

4.3.9 Equacao de Clairaut

51. Resolva a equacao de Clairaut

(a) y= xy + 1 ln y (b) y= xy + (y)2 (c) xy y= ey

Bibliografia

(a) Boyce, W.E.;DiPrima, R.C.;Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de valores de Con-torno. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. 3a Ed.

(b) Zill, D.G.; Cullen, M.R. R.C.;Equacoes Diferenciais, Volume 1. Sao Paulo: Pearson MakronBooks, 2001 3a Ed.

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