Apostila 2 calculo i derivadas

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DERIVADAS PROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSO INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS DERIVADAS O que significa a palavra derivada? Como calcular as derivadas?

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  • 1. DERIVADASPROFESSORA: MARLEIDE COAN CARDOSOINTRODUO AO ESTUDO DAS DERIVADASO que significa a palavra derivada?Como calcular as derivadas?

2. Quais as aplicaes das derivadas?Vamos pensar um pouquinho!!!!!Para os curiosos acesse ao vdeo no youtubehttp://www.youtube.com/watch?v=3g9ZmAPJNGs&feature=player_embeddedNo inicio da disciplina vimos que dependendo da altura que dobramos a folha ovolume da caixa se altera, agora vamos aprender que altura devemos dobrapara ter volume mximo.x xAs dimenses da folha so 29,7 cm e 21 cm.a) Qual deve ser a altura de x para que a caixa tenha volume mximo.b) Calcular o volume mximo da caixa.Outro problema:Como traar a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos? Esse problema que desafiou os matemticos por mais de dois mil anos,s foi solucionado com o auxlio da Geometria Analtica, por meio de estudosrealizados por Descartes, Newton, Leibniz, Fermat e outros matemticos damesma poca. Tais estudos resultaram em um dos mais importantes conceitosda matemtica: a derivada de uma funo em um ponto. A partir desseconceito pode-se definir precisamente a reta tangente a uma curva qualquerpor um de seus pontos. A derivada representa a inclinao de uma curva num ponto e pode serusada para obter a equao da reta tangente a uma curva num determinadoponto. tambm utilizada para calcular taxas de variao. Nas aplicaesprticas, ela aplicada em diversos ramos da Fsica, Engenharia, Economia eetc. A Derivada representa a taxa de variao de uma funo contnuanum ponto. 3. Observando a taxa de crescimento de trs funes: 4. DERIVADAS COMO TAXA DE VARIAO Suponha que uma partcula se move sobre uma linha reta de modo que,no final de t segundos, sua distncia s em metros do ponto de partcula dadapor s = 3t2 + t. Calcule a velocidade da partcula no instante em que t = 2segundos.t0 tt t t 0 f( t 0 ) f(t) s f (t ) f (t 0 ) st25 1424 1423 1422,5 1422,2 1422.1 1422,011422,001 14 5. S = 3t2 +t ou s f (t t ) f (t )ds/dt =lim t s 0t = 6t + 1 Assim : ds = 6.2+1 = 13 m/s.Outros exemplos: 1) Calcule as derivadas abaixo utilizando a definio.a) f ( x) x 3b) f ( x) x 2 3x 11c) f (t ) 3t 12) Encontre a inclinao da reta tangente curva y x 2 5x 6 no pontoP(1,2) .3) Qual o declive da reta t tangente ao grfico de f(x) = x 2 1 no ponto deabscissa x = 2 ou seja no ponto ( 2,5). Represente esta situao graficamente. 6. DEFINIO:Dada uma funo f, a funo f definida por: f ( x x) f ( x)y f (x) = dy/dx = lim lim x 0x x 0 x chamada de derivada de f.O domnio da funo derivada f o conjunto de todos os nmeros x nodomnio de f para os quais o limite do quociente de diferena existe.No esquea que:Apenas admite derivada as funes contnuas.A notao de derivada foi criada por Isaac Newton e Leibniz no sculo sXVII. Newton usou o s para denotar a taxa de variao no tempo lim t 0 thoje escrevemos f (t) no tempo e f (x) para varivel x. Leibniz idealizou ydyque o valor numrico da derivada o limite de limescrito como, istox 0 xdx, dyy lim f( x) y A notao f para derivada da funo foi introduzida dx x 0 xpor Lagrange no sculo XVIII. f para derivada da funo e f (x) para derivadado nmero x. Tambm podemos dizer que a derivada a variao da razoincremental.A operao de calcular a derivada f de uma funo f chamada diferenciao.f ( x x) f ( x) f( x) limx 0x Dizemos que uma funo derivvel quando existe a derivada em todos ospontos de seu domnio. A funo derivada mede a inclinao da curva numponto genrico de coordenadas (x,y).Outras notaes podem ser usadas no lugar de y f( x) :1) Dx f (x) (l-se derivada de f(x) em relao a x)2) Dx y (l-se derivada de y em relao a x) dy3) (l-se derivada de y em relao a x) dxExerccios1) Calcule a derivada da seguinte funo, usando a definio: f ( x) 2 5x 2 .2) Determinar a equao da reta tangente curva f ( x) x 2 1 no ponto P(1,2)e esboce o grfico. 7. 3) Calcule o coeficiente angular ou a inclinao da tangente ao grfico dafunof ( x) x 2 4 x 4 no ponto de abscissa 1.Regra Geral de DerivaoAt agora vimos como calcular a derivada de uma funo f(x), por meioda definio. Entretanto, como esse processo longo, estudaremos algumasregras que nos permitiro calcular a derivada de uma funo.1) Derivada de uma constanteSe c uma constante e f(x) = c para todo x, ento f (x) = 0.Exemplos:a) f(x) = 5 f (x) = 0b) f(x) = -1/2 f (x) = 02) Regra da potnciaSe n um nmero inteiro positivo e f(x) = xn, ento f (x) = n . xn-1.Exemplos:a) f(x) = x5 f (x) = 5x4b) f(x) = x f (x) = 1c) f(x) = x10 f (x) = 10x9Obs.: Se q Q e f(x) = xq, ento f (x) = q . xq-1Exemplos: 4a) f(x) = x-4 f (x) = -4x-4-1 f (x) = -4x-5 f( x) x51 98 b) f ( x ) 8 f ( x ) 8 x f ( x) 9x x 1 c) f ( x) x ... f( x) 2 x2 2 d ) f ( x) x 3 ... f( x) 33 x14 e) f ( x) ... f( x) 45x5 x5 x 43) Derivada do produto de uma constante por uma funo Sejam f uma funo, c uma constante e g a funo definida por g(x) = c .f(x). Se f(x) existe, ento g(x) = c . f (x). 8. Exemplos:a) f(x) = 8x2b) g(z) = -2z74) Derivada de uma somaSejam f e g duas funes e h a funo definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f(x) e g(x) existem, ento h(x) = f (x) + g(x).Exemplos:a) f(x) = 3x4 + 8x +5 f (x) = 12x3 + 8b) g(y) = 9y5 - 4y2 + 2y +7 g(y) = 45y4 - 8y + 25) Derivada de um produtoSejam u e v funes e h a funo definida por h = u.v. Se ue vexistem,ento h(x) = uv+uv ou (uv)=uv+uv.Exemplos:a) f(x) = ( 2x3 - 1 ) . ( x4 + x2 )b) f(x) = x3 . ( 2x2 - 3x )6) Derivada de um quocienteSejam u e v funes e h a funo definida por:u hvSe ue vexistem, ento: 9. vuuv h( x) v2 (v 0)ou u vuuv 2 vv(v 0)Exemplos:2x 5a) f ( x) 4xx2b) f ( x ) x 17) Derivada da funo compostay = uv ento dy/dx = y= v.uv-1.uExemplos:a) y = (x2 + 5x + 2)7b) y 3 6x 2 5x 16 - Derivadas das funes elementares1) Derivada da funo exponencialf(x) = ax a>0 e a1A funo exponencial y = ax derivvel em todo ponto do seu domnio exy= a . lna .Em particular: Se y = ex ento dy/dx = y= ex. 10. Frmulas Gerais1) y = au(x) y= au(x). lna . u(x)2) y = eu(x) y= eu(x) . u(x)Exemplos:1) y 2 4 x 2x2) y e 4 x33) y ex4) y x. e 4 x 22) Derivada da funo logartmica1Se y = log a x (a>0, a1 e x>0) ento y log a e (a>0 e a1).xuDe modo geral: y log a u y log a eu 1Caso Particular: Se y ln x y xuDe modo geral: Se y ln u y uExemplos:a) y = ln (2x2+4x -3)b) y e x.ln xc) y log 2 (3x 2 7 x 1) 11. Derivada das funes trigonomtricasAs funes senx, cosx, tgx, cotgx, secx e cosecx so derivveis em todos os pontos do seu domnio. a) Derivada da funo seno Se y = sen(x) entody/dx= y= cos(x) De modo geral: Se y = sen u(x) ento dy/dx = y= cos u(x) . u (x) b) Derivada da funo cosseno Se y = cos(x) ento y= dy/dx= -sen(x) De modo geral: Se y = cos u(x) ento y= - sen u(x) . u (x) c) Derivadas das demais funes trigonomtricas (tgx, cotgx, secx e cosecx) Como as demais funes trigonomtricas so definidas a partir do seno e do cosseno podemos usar as regras de derivao para encontrar suas derivadas. Se y = tgx y= sec2x Se y = cotgx ento y= - cossec2x Se y = secx ento y= secx . tgx Se y = cossecx ento y= - cossecx . cotgx De modo geral Se y = tg u(x) y= sec2 u(x) . u (x) Se y = cotg u(x) y= - cossec2 u(x) . u (x) Se y = sec u(x) y= sec u(x) . tg u(x) . u (x) Se y = cossec u(x) y= - cossec u(x) . cotg u(x) . u (x) Exemplos: Determinar a derivada das seguintes funes: a) y = sen x21b) y cos xc) y 3tg x cot g 3x 12. cos xd)y 1 cot gx3) Derivada das funes trigonomtricas inversasa) Funo arco senouy arcsen u y 1 u2b) Funo arco cosseno uy arccos u y 1 u2c) Funo arco tangente uy arctgu y 1 u2d) Funo arco cotangente uy arc cot gu y 1 u2e) Funo arco secante uy arc sec u y u u 2 1f) Funo arco cossecante u y arccos sec u y u u 2 1Exemplos:a) f(x) = arc sec x2b) f(x) = arc sen (e2x) 13. c) f(x) = ln (arc cosx)1 x2 d) y = arc tg 1 x2 Calcule as derivadas abaixo:1)Utilizando o formulrio calcule as derivadas abaixo:a) f(x) = 1 4x2b) f( x) =2x2 x 1 c)f(x) = xd) f(x) = 3x +2e) f (r ) r 2 f) f( w) = aw2 + bg) f(x) = 3x2 + 6x 10 1 3h) f ( x) 14 xi) f(x) = (2x + 1 ) ( 3x2 + 6) 2j) f(x) = (3x5 1) ( 2 x4) 1)l) f ( x) ( x 2 1)(3x 1)2t 4m) f( x) = 7(ax2+bx+c)n) f (t ) o) f (w) 2 w 23t 12p) f(x) = 30q) f(x) = 3xr) f(x) = 5x s) f ( x) x351 3 3 2 3t 5t 12 t) f(x) = 5 u) f(x) =x x 2xv) f(t) = x 4x 32t 12) Use as regras bsicas de derivao e encontre as seguintes derivadas.xa) f(x) = 2b) f (x) = x 5 3x 3 5xc) f (x) = x 2 12x 1 3d) f ( t ) = 4t 3 5t e) f ( x) = e 2 x 5 x sen(4 x) tf) f ( x ) = ln( x 2 2 x 2)g) f( x ) = 3h) f(x) = 2 x + x2. 14. Segunda listaa ) y 2e 3 x 6 x 72 1 1 g ) y ln 2 b) f ( x ) e x x x c) f ( x) 23 x 6 xh) y log 3 x 1 2 1i) y 2 cos x 2 .sen2 xd ) f ( x ) e 3 x 3j ) f ( x) e 2 x . cos 3x xe) f ( x) e .( x 2 5 x) 2 1l ) f ( x) cot g cos sec 3x f ) y log 2 (2 x 4) xm) y t. arccos 3t 1 1 g ) y ln 2 x x DERIVADAS SUCESSIVASProblema:Uma partcula se move ao longo de um eixo de acordo com lei de movimentoS = f(t). Encontre: ds dva) v = b) a =para as funes abaixo dt dtgt 21) s = t 3 2t 2 2) s = (t 2 1) 13) s = v o t s 0 onde g, 2vo e s so constantesNotaes de derivadas sucessivasY = f(x)Notao Leibniz OperadorsimplificadaDerivada primeira Y = f (x) dy dD x f ( x) D x yf (x)dx dxDerivada segunda Y = f (x)d2y d2D 2 x f ( x) D 2 x y 2 f ( x) dxdxDerivada terceira Y= f(x) 3d y d3D 3 x f ( x) D 3 x y 3 f ( x) dxdxDerivada n-simay n f n (x) nd y dnD n x f ( x) D n x y n f (x) dxdxExemplos: 1) Nos exerccios abaixo calcule a primeira e a segunda derivada. a) y 5x 3 4 x 2b) y x 3 ( x 2) 2 C) f (u) 7u 5 2u 4 2x2 1 d) g ( x) e) f (r ) (r )f) f (t ) t 2 2xr t3 15. 2) se f uma funo definida pela equao y 3x 2 2 x , calcule e simplifique a expresso x 2 y 2 xy 2 y3) Seja s(t) = t 3 6t 2 a funo de posio de uma partcula movendo-se ao longo de um eixo s, onde s(t) est em metros e t em segundos. Ache a acelerao instantnea a(t) e mostre o grfico da acelerao versus o tempo. 4) Um balo meteorolgico solto e sobe verticalmente de modo que suadistncia s(t) do solo durante os 10 primeiros segundos de vo dada pors(t) = 6 + 2t + t2, na qual s(t) contada em metros e t em segundos. Determinea velocidade do balo quando:a)t = 1; t = 4 , t = 8APLICAES DA DERIVADAREGRA DE LHOPITAL 0 Para as formas de indeterminao; , pode-se aplicar a regra de 0 LHopital que consiste na igualdade: f ( x)f( x) f ( x0 ) g ( x0 ) 0lim lim sex x0 g ( x )x x0 g( x )f ( x0 ) g ( x0 ) Exemplos:Calcule os limites abaixo:x2 4ln x1x7 1a) lim b) lim 3c) lim (1 ) xd) lim e) x 2 x 2 x xx x x 1 x 15x 4 2 x 1x3 x 2 25 lim f) lim g) limh)x 4 x 3 3 x 2x e x x 2 2x 5 x5 3x 1 x 2 2x 5lim i) limx x5 x x2 2OBS.: No esquecer que a regra de LHopital s pode ser aplicada para os0 casos de indeterminao ;0 16. FUNO MONTONA Teorema 1Considere que a funo f seja definida e contnua no intervalo I e que f sejadiferencivel em todo o ponto do intervalo em I, no necessariamente nospontos extremos de I. a) Se f (x) > 0 para todo x em I, ento f CRESCENTE em I; b) Se f (x) < 0 para todo x em I, ento f DECRESCENTE em I.Exemplos: 1) Determine as intervalos crescentes e decrescentes das funes abaixo e represente graficamente a) f(x) = x 3 3x 1 b) f(x) = x 2 2 x 3 CONCAVIDADE DO GRFICO DE UMA FUNO Seja a funo f duas vezes diferencivel num intervalo I aberto a) se f (x) > 0 para todo x em I ento o grfico de f possui concavidadepara cima em I; b) se f (x) < 0 pata todo x em I ento o grfico de f possui concavidadepara baixo em I; Concluso: f (x) > 0 concavidade para cimaf (x) < 0 - concavidade para baixo Exemplos: 1) Dado a funo f(x) = x 3 9 x 2 24 x 20 , determine os intervalos emque o grfico tem concavidade para cima e para baixo, esboce o grfico. x2 2) Dado a funo f(x) = 2 x 3 7 x 2 , determine: 2 a) Os intervalos crescente e decrescentes; b) Estude a concavidade da parbola.VALORES MXIMOS E VALORES MNIMOS RELATIVOS 17. A figura acima nos mostra o grfico de uma funo y = f(x), ondeassinalamos os pontos de abscissas x1, x2, x3, x4.Esses pontos so chamados pontos extremos da funo. f(x1) e f(x3)so chamados mximos relativos e f(x2) e f(x4) so chamados mnimosrelativos.Diz-se que uma funo y = f(x) tem um mximo relativo ou mximolocal em x = a se f(a) maior do que qualquer valor de f(x) para x, dentro deum intervalo em torno de a.Diz-se que uma funo y = f(x) tem um mnimo relativo ou mnimolocal em x = a se f(a) menor do que qualquer valor de f(x) para x, dentrode um intervalo em torno de a.Observe que um mximo ou mnimo relativo de uma funo o seumximo ou mnimo para um dado intervalo; o mximo ou mnimo absolutosde uma funo em um intervalo maior pode ocorrer num ponto extremo dointervalo, ao invs de ocorrer em qualquer mximo ou mnimo relativo.Observaes:a) Os mximos e os mnimos relativos de uma funo denominam-se extremos;b) Um mximo relativo pode ser menor que um mnimo relativo;c) Em um intervalo podem existir vrios valores para os quais a funo tem valores extremos;d) A abscissa x0 onde a funo tem um extremo denomina-se extremante.MXIMO RELATIVO:Uma funo f possui o mximo relativo ( o mximo local), em um pontoc, se existe um intervalo aberto I contendo c tal que f seja definida em I e f( c) f ( x) seja verdadeira para todo x em I.MNIMO RELATIVO;Uma funo f possui um mnimo relativo ( ou mnimo local) em umponto c, tal que f seja definida em I e f(c ) f(x), seja verdadeira para todo xem I.TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOSSeja a funo f diferencivel no intervalo aberto I e suponha que c seja um ponto em Ital quef ( c) =0 e f ( c) exista. 1) Se f ( c) > 0, ento f possui um mnimo relativo em c; 2) Se f ( c) < 0, ento f possui um mximo relativo em c.Exemplos:Encontre os mximos e os mnimos relativos de f aplicando o critrio daderivada segunda.a) f(x) = 18x + 3x2 - 4x3PONTO CRTICODiz-se que um ponto c um ponto crtico para a funo f quando f definidaem c, mas no diferencivel em c, ou f (c) = 0Exemplo: 18. x31) Determine os pontos crticos da funo f ( x) 2 x 2 3x 10 3PONTO DE INFLEXO: f (x) = 0Um ponto ( c, f ( c) ) num intervalo denominado ponto de inflexo do grficode uma funo f se o grfico tiver uma reta tangente nesse ponto e se houverum intervalo aberto I contendo o ponto c, tal que, para todo par de nmerosreais a e b em I com a < c < b, f (a) e f ( b) existem e possuem sinaisalgbricos diferentes.Exemplos:Dado a funo f(x) = x 3 3x 2 5 , encontre:a) Intervalos crescentes e decrescentes;b) Concavidade do grfico;c) Ponto mximo e ponto mnimo;d) Ponto de inflexo;e) Construa o grfico.3) Dado as funes abaixo determine todos os itens do exemplo anterior.a) f(x) = x 3 6 x 2 9 xb) g(x) = x 2 2 x c) g(x) =3x 4 x 12 x 4 32APLICAO DE MXIMOS E MNIMOSA teoria de mximos e mnimos permite resolver vrios problemas concretos deFsica, Geometria, Estatstica em que se procuram: o menor custo, a maiorrea, o maior volume, a mxima altura, etc.DESAFIO:Vamos resolver o nosso problema da primeira aula:Tome uma folha de papel sulfite e intuitivamente ( por tentativa) dobre as laterais de modo quevoc obtenha uma caixa. Que altura deve ser dobrado para obter volume mximo? Com oprofessor mediante o clculo pelas derivadas verifique quem conseguiu a maior aproximao.Agora vamos resolver o problema aplicando os conhecimentos da integral.Outros exemplos:1) Quadrados iguais so cortados de cada canto de um pedao retangular de papelomedindo 8 cm de largura por 15 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa construdavirando os lados para cima. Determine o comprimento x dos lados que devem ser cortadospara confeco de uma caixa de volume mximo.1) Uma lata cilndrica de estanho sem tampa, tem volume de 5 cm 3. Determine as dimenses se a quantidade de estanho para a fabricao da lata mnima. 19. 2) Quais as dimenses de um retngulo de permetro 48 cm que tem maiorrea?3) Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa demximo volume possvel, cortando um quadrado em cada canto, conformeindica a figura: x xAs dimenses da folha so 60 cm e 40 cm. a) calcular x b) calcular o volume mximo da caixa4) Considere todos os retngulos de 80 cm de permetro. Determine asdimenses daquele que tem rea mxima. 20. DERIVAO IMPLCITASupondo que a relao F ( x, y) = 0 verificada para y = f ( x) , onde f derivvel, pode se achar f (x ) em funo de f ( x) derivando a expresso F( x, f(x )) = 0. Na prtica escreve-se y em lugar de f(x).Dada uma equao na qual se estabelece y implicitamente como uma funodiferencivel de x, calcula-se dy/dx do seguinte modo:Passo 1 :Diferencie ambos os membros da equao em relao a x, isto, aplique o operador d/dx aos dois membros da equao termo a termo. Aofaz-lo tenha em mente que y encarado como uma funo de x e use aregra da cadeia quando necessrio para diferenciar a expresso nas quaisfigure y.Passo 2 : O resultado do passo 1 ser uma equao onde figure nosomente x e y, mas tambm dy/dx. Resolva tal equao para obter a derivadadesejada.Exemplo:a) Use a diferenciao implcita para encontrar y :1 ) x 3 3x 2 y 4 4 y 3 6 x 12) x 2 y 2 1 0 x2 y23) 1 4 94) x 4 y 4 x 2 y 2 x2 y25) 1 a2 b2