WEB AULAS + EXERCÍCIOS ESTATÍSTICA

WEB AULA 1

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Olá pessoal, antes de iniciarmos a nossa disciplina vou me apresentar para vocês: eu sou o Professor Marcelo Caldeira Viegas, Graduado em Engenharia Química pela UEM (1996), Mestre em Engenharia Química pela UNICAMP (1999) e Doutor em Engenharia Química pela UNICAMP (2003), atuo há mais de oito anos como pesquisador de uma empresa multinacional, onde sempre utilizei a Estatística como ferramenta fundamental para execução do meu trabalho e tomada de decisões estratégicas, além de atuar também como professor em cursos de Pós-Graduação da UNOPAR na área de Gestão da Qualidade.

Como temos muito trabalho pela frente, proponho a você muito estudo durante esta disciplina, a qual passamos a apresentar em seguida.

Estatística Aplicada à Gestão Empresarial

No moderno ambiente administrativo e econômico global, qualquer pessoa pode ter acesso a uma enorme quantidade de informações estatísticas. Os gerentes e gestores mais bem-sucedidos são aqueles capazes de entender a informação e usá-la de maneira eficaz.

A direção de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e o uso da Estatística facilitarão seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa.

Por meio de sondagens, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, pode conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou longo prazos.

A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização da estratégia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de verificação e avaliação da quantidade e de qualidade do produto e mesmo dos possíveis lucros e/ou perdas.

1. INTRODUÇÃO

Considere as seguintes notícias de jornais e revistas:

“O Comércio Varejista do país iniciou 2010 com crescimentos de 2,7% no volume de vendas e de 3,0% na receita nominal, na comparação com dezembro (ajustadas sazonalmente). Nas demais comparações, obtidas das séries originais (sem ajuste), o varejo nacional obteve, em termos de volume de vendas, acréscimos da ordem de 10,4% sobre janeiro do ano anterior e de 6,2% no acumulado dos últimos 12 meses. Para os mesmos indicadores, a receita nominal de vendas apresentou taxas de variação de 12,3% e de 10,1%, respectivamente.” (Fonte IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, 11/03/10) - http://www.ibge.gov.br/home/ (acessado em 21/03/2010)

“Em janeiro de 2010, o emprego industrial mostrou variação positiva de 0,3% frente ao mês anterior, já descontadas as influências sazonais, após queda de 0,6% em dezembro. Ainda na série com ajuste sazonal, o índice de média móvel trimestral manteve a trajetória ascendente iniciada em agosto último, ao registrar acréscimo de 0,3% entre os trimestres encerrados em dezembro e janeiro.” (Fonte IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, 11/03/10) - http://www.ibge.gov.br/home/ (acessado em 21/03/2010)

Diariamente, somos expostos a uma grande quantidade de informações numéricas, semelhantes às relatadas. Dependendo das situações, ora somos consumidores destas informações, ora precisamos produzi-las. Assim, necessitamos de capacitações para compreendermos informações numéricas produzidas por outros, bem como nos habilitarmos a construí-las. O emprego dos procedimentos, técnicas e métodos estatísticos é fundamental para nos auxiliar na execução dessas tarefas.

http://www.ibge.gov.br/home/

http://www.ibge.gov.br/home/

O QUE É A ESTATÍSTICA? Vamos desvendar esta ciência? Então, vamos lá...

ESTATÍSTICA: A estatística é a ciências dos dados. Ela nos fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. É objetivo da estatística: extrair informação de um conjunto de dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.

A Estatística é dividida basicamente em duas áreas: Estatística Descritiva e Inferencial. No nosso curso serão abrangidas estas áreas conforme veremos.

Para melhor compreendermos os propósitos da Estatística, é necessário conhecermos as algumas definições:

População: É a totalidade dos elementos, objetos ou pessoas que estão sendo considerados inicialmente.

Amostra: É todo subconjunto de unidades retiradas de uma população para obter a informação desejada. Uma amostra tem que representar e ter as mesmas características da população original, portanto, a amostra só traz informação sobre a população da qual foi retirada. Em outras palavras, a amostra é parte da população que é selecionada para análise. A preocupação central é que a amostra seja representativa da população inicial.

Amostragem: É o método de retirada de amostras de uma população. Consiste em selecionar parte de uma população, para observar, de forma que seja possível estimar algo sobre toda a população.

Estatística Descritiva:

Os objetivos da estatística descritiva envolvem coleta, organização e descrição de um conjunto de dados quantitativos ou qualitativos. Com a construção de gráficos, tabelas e com o cálculo de medidas com base em uma coleção de dados numéricos, poderemos compreender melhor o comportamento da variável expressa no conjunto de dados sob análise.

Estatística Inferencial:

È a área da estatística responsável pela análise e interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza. Nesta fase são empregados métodos que tornam possível a estimação de características de uma população baseadas nos resultados amostrais.

Por que estudarmos a amostra e não a população? Abaixo, seguem algumas razões que nos levam a trabalhar com as amostras, e não com toda a população:

• Alto custo e demora dos censos;

• Em alguns casos populações muito grandes;

• Impossibilidade física de se examinar toda a população;

• Comprovado valor cientifico das informações coletadas por meio de amostras;

A condução de uma pesquisa eleitoral ilustra o processo da inferência estatística. O pesquisador, impossibilitado de entrevistar todos os eleitores (população), seleciona uma amostra de eleitores e questiona sobre suas preferências eleitorais. Baseado nas respostas amostrais, conclui sobre todo o conjunto dos eleitores. Junto com suas conclusões, o pesquisador informa a probabilidade de confiança de que seus resultados amostrais refletem o comportamento de todos os eleitores (população).

Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro: LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2008 e leia o capítulo 1 da página 2 a 6.

Outras Definições Básicas da Estatística

Atributos: Quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo.

Variável: É uma condição ou característica das unidades da população. Por exemplo, a idade das pessoas residentes no Brasil, ou classe social são variáveis. As variáveis são classificadas em dois tipos: Qualitativas e Quantitativas

Variáveis qualitativas ou atributos: Quando os dados são distribuídos em categorias mutuamente exclusivas. Seus valores são expressos por atributos: São exemplos de variáveis qualitativas: sexo, cor da pele, cidade de nascimento, tipo sanguíneo (O, A, B, AB), etc. Estas variáveis são classificadas em dois tipos:

• Nominal (exemplo: gênero - masculino e feminino);

• Ordinal (exemplo: classe social: A, B, C, D, E).

Variáveis quantitativas ou numéricas: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica. São exemplos de variáveis quantitativas: idade, estatura, taxa de colesterol, etc. As variáveis quantitativas ou numéricas são classificadas em dois tipos:

• Variável Discreta: A variável discreta só pode assumir apenas valores inteiros. São exemplos de variáveis discretas: número de filhos (0, 1, 2, 3, etc.), número de estudantes em uma sala de aula, etc.

• Variável Contínua: A variável contínua pode assumir qualquer valor num dado intervalo. Exemplo de variável contínua: peso de uma pessoa (60,50 Kg).

Dados: São os valores da variável em estudo, obtidos por meio de uma amostragem. Os dados são do mesmo do tipo que as variáveis, por exemplo, uma variável discreta produz dados discretos.

Dados Brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados ou dados brutos.

Exemplo: 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51.

ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados brutos (de forma crescente ou decrescente).

Exemplo: 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60.

Organização de Dados Estatísticos (Fases do Método Estatístico)

A Estatística Descritiva tem por objetivos planejar uma pesquisa, coletar informações, descrever e analisar dados, retirando o maior número possível das informações nelas contidas com o objetivo de utilizá-las na tomada de decisões. Seguindo este raciocínio a Estatística divide o estudo e análise dos dados em algumas fases que são descritas a seguir:

1º Fase- Definição do Problema, Definir Objetivos: Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema inicial.

2º Fase- Planejamento da pesquisa: Como levantar informações? Que dados deverão ser obtidos? Qual levantamento a ser utilizado? Cronograma de atividades? Custos envolvidos? Etc... Segue abaixo algumas perguntas que precisam ser respondidas no planejamento de um levantamento de dados estatísticos

o O quê? – Características a serem observadas: VARIÁVEISo Quem? – Os elementos a serem pesquisados: POPULAÇÃO / AMOSTRAo Como? – O instrumento de coleta de dados: MÉTODO DE AMOSTRAGEM A

SER UTILIZADO, QUESTIONÁRIO /ENTREVISTA ESTRUTURADA, ETC...

3º Fase- Execução da Pesquisa, Coleta de Dados: Fase operacional. É o registro sistemático de dados, focando o objetivo determinado inicialmente.

o Dados primários (coleta direta): Quando são publicados pela própria

pessoa ou organização que os tenha coletados. Exemplos: Tabelas do censo demográfico do IBGE, uma empresa realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca.

o Dados secundários (coleta indireta): Quando são publicados por outra organização. Exemplo: Quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.

Observação: É mais seguro trabalhar com dados primários. O uso de dados secundários traz o grande risco de erros de transcrição.

4º Fase- Apuração dos Dados: Resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. É a condensação e tabulação de dados.

5º Fase- Análise e Apresentação dos Dados: Há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente:

o Apresentação de dados em tabelas - É uma apresentação numérica

dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, construídas segundo normas técnicas citadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE, 1993)

o Apresentação gráfica dos dados numéricos - constitui uma apresentação gráfica permitindo uma visão rápida e clara da variável estudada.

6º Fase- Interpretação dos Dados e Conclusões Obtidas a partir dos dados (estatística inferencial): A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever a variável estudada.

Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro MCCLAVE, “Estatística para Administração e Economia”, 10º Edição, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009 e leia o capítulo 1 (itens 1.1 a 1.3) da página 2 a 8.

WEB AULA 2

APRESENTAÇÃO DE DADOS EM TABELAS

Existem regulamentações para construção de tabelas estatísticas, todavia, em função dos objetivos práticos desta web aula, não serão adotadas normas rígidas para elaboração de tabelas. Temos que ter em mente que a tabela deverá ser uma forma objetiva de se demonstrar o comportamento de variáveis, o que se deve buscar são representações simples que possibilitem ao leitor a compreensão do fenômeno sem muito esforço.

Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura:

• Cabeçalho;

• Corpo;

• Rodapé;

O cabeçalho da tabela especifica o conteúdo das colunas, com palavras claras e concisas, sem abreviações. Deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões: O que está representado (fato)? Onde ocorreu (local)? Quando ocorreu (tempo)?

O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro das quais serão registrados os dados numéricos e informações.

O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para registro e identificação da fonte de dados. A fonte dos dados é a entidade responsável pelos dados numéricos, deverá ser colocada na parte inferior, por extenso, precedida da palavra Fonte ou Fontes (IBGE, 1993). As notas esclarecem aspectos relevantes do levantamento dos dados

A Tabela 01 apresenta um exemplo de tabela que obedece às normas técnicas.

Tabela 01. População residente no Brasil, segundo o sexo, de acordo com o censo demográfico de 2000

Fonte: IBGE (2003)

Conforme critério de agrupamento as tabelas, podem representar diversas séries estatísticas que são descritas a seguir.

a) Série Cronológica

É a série estatística em que todos os dados são observados segundo a época de ocorrência. Nesta série a variável é o tempo, sendo que o fato e o local permanecem fixos. A Tabela 02 apresenta um exemplo de tabela que descreve uma série cronológica.

Tabela 02. Vendas da Companhia Alfa – 2004 - 2008

Fonte: Departamento e Marketing da Companhia Alfa (Dados Fictícios)

b) Série Geográfica ou de Localização

É a série estatística em que os dados são observados segundo a localidade de ocorrência. Neste tipo de série a variável é o local e são fixos o fato e a época. Exemplo - Tabela 03.

Tabela 03. Vendas de Computadores por Empresa – 2006 (Alagoinhas – Bahia)

Fonte: Dados Fictícios

c) Série Específica

É a série estatística em que os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência, ou seja, varia o fato e permanece constante a época e o local. Exemplo (Tabela 04)

Tabela 04. Regime de Trabalho dos Professores de Química – 2010 (Londrina – Jd Piza)

Fonte: Coordenadoria de Recursos Humanos (Unopar)

d) Distribuição de Frequências

É uma série estatística em que os dados são agrupados com suas respectivas frequências absolutas.

Nas tabelas de distribuição de frequências, é usual fornecer a proporção (frequência relativa) de unidades que caem em cada categoria. A frequência relativa é dada por:

Apresentação de Dados Qualitativos: Quando observamos dados qualitativos, classificamos cada unidade da amostra em uma dada categoria. A idéia é resumir as informações na forma de uma tabela que mostre as contagens (frequências) em cada categoria, obtendo, então, uma tabela de distribuição de frequência. A Tabela 05 apresenta um exemplo de distribuição de frequência de dados qualitativos.

Tabela 05. Opinião dos consumidores sobre determinado produto

Fonte: Dados Fictícios

Apresentação de Dados Quantitativos: Os dados numéricos são apresentados na ordem em que são coletados. Dados numéricos podem ser apresentados em tabelas de distribuição de frequências (com ou sem intervalos de classe) conforme veremos a seguir.

Distribuição de frequência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Exemplo - Tabela 06.

Tabela 06. Distribuição do número de faltas de 30 empregados de uma determinada empresa no semestre.

Para uma amostra de tamanho razoável esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. Tabelas com grande número de dados não oferecem ao leitor visão rápida e global do fenômeno. Por esta razão, tanto dados discretos quanto contínuos, desde que em grande número, devem ser apresentados em tabelas de distribuição de frequência com intervalos de classes, conforme veremos a seguir.

Distribuição de frequência com intervalos de classe: Quando o tamanho da amostra é elevado, é mais indicado efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. Para construir uma tabela de distribuição de frequência com intervalos de classe siga os procedimentos a seguir.

1º Passo) Organize os dados brutos em um ROL;

2º Passo) Encontre o valor máximo e mínimo do conjunto de dados e calcule a Amplitude Total (A), que é a diferença entre os valores máximo e mínimo, portanto: A = Maior Medida – Menor Medida;

3º Passo) Calcule o número de classes (K): O número de classes de uma representação será um número inteiro próximo de K, que pode ser obtido por vários métodos, sendo os mais usuais:

Onde: K é o número de classes, e n é o número de dados (tamanho da amostra).

O indicado é sempre o arredondamento do valor de K obtido para um valor mais alto. Observação: O cálculo de K por meio de fórmulas pode servir como referência, mas não deve ser entendido como obrigatório.

4º Passo) Decidido o número de classes, calcule então o tamanho do intervalo de classe (h). Que é definido por:

Assim como no caso do número de classes (K), a amplitude das classes (h) deve ser aproximada para o maior valor inteiro. Assim, se K=6,4, usa-se K=7; e h=1,7, usa-se h=2

5º Passo) Organize as classes, de maneira que a primeira contenha o menor valor observado. O primeiro elemento das classes seguintes sempre será formado pelo último elemento da classe anterior.

Exemplo (Construção de uma tabela de distribuição de frequência com intervalos de classe): Vamos construir uma tabela de distribuição de frequências das idades dos funcionários de uma amostra de 50 elementos selecionados de uma empresa.

Dados Brutos:

1º Passo) A partir dos dados brutos construir o ROL (ordenação dos dados em ordem crescente)

2º Passo) Determinar a Amplitude Total (A):

A - Maior Valor - Menor Valor

A = 65 - 18 = 47

3º Passo) Como os dados serão agrupados em classes, é preciso escolher o número de classes (K):

Pela Regra de Sturges temos que: , sendo que n=50, portanto:

4º Passos) Cálculo do Tamanho do intervalo de classe (h):

Quanto aos limites das classes, utilizaremos o seguinte critério a |— b (incluiremos nesta classe todos os elementos maiores ou iguais a a e menores do que b). A Tabela 07 mostra um exemplo de uma tabela de distribuição de frequência para variável contínua.

Tabela 07. Distribuição de frequências que representa a idade dos funcionários de certa empresa (n=50)

Aprofundando o conhecimento: Agora, sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson Education do Brasil, 2009, e leia o capítulo 2 da página 33 a 40.

APRESENTAÇÃO DE DADOS EM GRÁFICOS

Gráficos ajudam a visualizar a distribuição das variáveis. Nesta etapa, trataremos das formas de apresentar dados em gráficos, seguindo as normas nacionais, ditadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

Todo gráfico deve apresentar título e escala. O título deve ser colocado abaixo do gráfico. As escalas devem ser crescentes da esquerda para a direita e de baixo para cima.

Gráficos de Linhas/Dispersão

Os gráficos de linhas e dispersão exibem uma série como um conjunto de pontos conectados por uma única linha. As linhas dos gráficos são usadas para representar grandes quantidades de dados que ocorrem em um período de tempo contínuo. É o gráfico que melhor representa a evolução conjunta de duas variáveis quantitativas, sendo que X é considerada a variável independente e Y a variável dependente.

A Figura 01 mostra um gráfico de linhas que contém três séries.

Figura 01: Gráfico de Linhas (Exemplo)

Gráficos de Colunas / Barras

No gráfico de colunas as barras são apresentadas na posição vertical. Para ilustrar o gráfico de colunas, serão utilizados os dados apresentados na Tabela 05, originando assim a Figura 02 (gráfico de colunas com linhas auxiliares – grades e rótulos).

Figura 02. Opinião dos consumidores sobre determinado produto (Gráfico de Colunas)

No gráfico de barras, as barras são apresentadas na posição horizontal, como apresentado na Figura 03.

Figura 03. Opinião dos consumidores sobre determinado produto (Gráfico de Barras)

Gráficos de Setores

É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. É utilizado quando se pretende comparar cada valor da série com o total.

A partir dos dados apresentados na Tabela 02, foi obtido o gráfico de setores apresentado na Figura 04.

Figura 04. Vendas da Companhia Alfa – 2004 - 2008 (Gráfico se setores)

Histograma

É o gráfico que melhor apresenta as frequências de uma variável quantitativa

contínua agrupada em classes. Quando os dados são contínuos e a amostra é grande é mais conveniente condensar os dados, isto é, organizar uma tabela de distribuição de frequências, agrupar os dados em classes e a partir desta desenhar um histograma.

O histograma é a representação gráfica de uma distribuição de frequência, formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.

Para ilustrar o histograma serão utilizados os dados apresentados na Tabela 07, obtendo-se assim a Figura 05.

Figura 05. Histograma para idade de 50 funcionários de certa empresa

O histograma dispõe de informações de modo que seja possível a visualização da forma de distribuição do conjunto de dados e também a percepção do valor central e da dispersão dos dados em torno deste valor central. Pelos dados da Figura 04, fica fácil perceber que a maior quantidade de funcionários tem idade entre 32 e 38 anos.

Observar: O histograma contém as mesmas informações da tabela de distribuição de frequências. São representações que buscam a organização e sintetizarão de grupos de dados quantitativos.

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Como o próprio título sugere, nosso objetivo aqui é a determinação de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar.

São os cálculos estatísticos que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de frequência (histograma). As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana.

Média Aritmética ( )

A medida de tendência central mais comum para um conjunto de dados é a média aritmética. A média aritmética amostral de um conjunto de dados é o quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.

Onde: xi são os valores da variável e n o número de valores.

Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para um conjunto de observações: 5, 1, 6, 2, 4.

Solução: Temos cinco observações: n=5, então:

Quando a amostra é muito grande e os dados são discretos, podem ocorrer valores repetidos. Nesse caso como vimos anteriormente (web aula 2), é razoável organizar os dados em uma tabela de distribuição de frequências e trabalharmos com dados agrupados.

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência, usaremos a média aritmética dos valores x1, x2, x3,....xn, ponderados pelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3,..., Fn, Assim:

Exemplo (Cálculo da média sem intervalos de classe): Dada a seguinte distribuição de frequência, determinar a média.

Uma maneira prática para resolvermos este problema é a composição da seguinte tabela (lembre-se que ΣFi=n):

Aplicando a equação acima, obtemos:

Exemplo (Cálculo da média com intervalos de classe): Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula anterior, onde xi é o ponto médio da classe. Dada a seguinte distribuição de frequência:

Aplicando a equação anterior temos que:

Mediana (Md)

A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de dados ordenados (ROL), portanto está localizada na posição central, tal que 50% dos valores são menores que a mediana, e os demais 50% são maiores.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente):

Quando o número de elementos (n) da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. Neste caso existirá um único valor de posição central, e esse valor será a mediana.

Por exemplo, o conjunto de dados {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}, O valor que divide a esta série em duas partes iguais é igual a 9, logo a mediana é 9.

Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série de dados. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série de dados. Por exemplo, o conjunto de dados {0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6}, a mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série. Portanto, a mediana será = (2+3) / 2, ou seja, m = 2,50.Em algumas circunstâncias, a medida melhor descreve a tendência central dos dados. É o caso de conjuntos com dados discrepantes, isto é, dados que têm um ou mais valores bem maiores ou menores que os demais. Por exemplo:

Em {5, 7, 10, 13, 15} a média = 10 e a mediana = 10

Em {5, 7, 10, 13, 65} a média = 20 e a mediana = 10

A média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

Cálculo da mediana em dados agrupados e sem intervalos de classe (variável discreta): Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável (x) que corresponde a tal frequência acumulada.

• Quando o somatório das frequências (n) for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula:

Onde: n= nº. total de elementos; fi=frequência acumulada

• Quando o somatório das frequências (n) for par a mediana será a média entre os

elementos de ordem

Exemplo (n = impar): Dada a distribuição de frequência:

Neste caso, n=11 é impar, logo a mediana (m) será o elemento de ordem , ou

seja, . Por meio das frequências acumuladas, encontra-se o valor de xi correspondente a mediana. Neste exemplo, será o valor 3, portanto, a mediana =3. Observe: será o xi correspondente à classe que contiver a ordem calculada.

Exemplo (n = par): Dada a distribuição de frequência:

Neste caso n=8, é par, logo a mediana (m) será a média entre os valores de ordem

, ou seja: . Assim, a mediana corresponde à média: (4º elemento + 5º elemento) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

Cálculo da mediana em dados agrupados e com intervalos de classe (variável contínua):

Devemos seguir os seguintes passos:

1º Passo) Determinamos as frequências acumuladas (∑fi = n);

2º Passo) Calculamos ; como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar.3º Passo) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à ∑fi/2 . Tal classe será a classe mediana (classe Md); 4º Passo) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:

Onde:lMd = limite inferior da classe mediana;n = tamanho da amostra ou número de elementos;FAA = é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana.

h = é a amplitude do intervalo da classe mediana.FMd = é a frequência da classe mediana.

Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana.

1º Passo: Calcula-se . Como n=58, temos que 2º Passo: Identifica-se a classe mediana (Md) pela frequência acumulada. Neste caso a classe mediana é a 3º.3º Passo: Aplica-se a fórmula:

Neste caso: lMd = 55; n = 58; FAA= 17; h = 10, FMd = 18; Logo:

Moda (Mo)

Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor da amostra que mais se repete, ou seja, valor que ocorre com maior frequência.

A Moda quando os dados não estão agrupados: A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. Por exemplo, no conjunto de dados {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda é igual a 10.

Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Por exemplo, o conjunto de dados {3, 5, 8, 10, 12} não apresenta moda. A série é amodal.

Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Por exemplo, o conjunto de dados {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7. Neste caso a série é bimodal.

Distribuições Simples: Quando uma tabela de distribuição de frequência apresenta grande quantidade de dados. É importante destacar a classe de maior frequência, a

chamada classe modal. Essa classe mostra a área em que os dados estão concentrados. Assim, para a distribuição:

A moda será 248 (maior frequência). Indica-se Mo=248 (moda)

Valores Agrupados com intervalos de classe: A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Um dos métodos para determinação da moda é a aplicação da fórmula de CZUBER:

1º Passo) Identifique a classe modal (aquela que possuir maior frequência).

2º Passo) Aplicar a fórmula:

Onde:l = limite inferior da classe modald1 = frequência da classe modal - frequência da classe anterior à da classe modald2 = frequência da classe modal - frequência da classe posterior à da classe modalh = amplitude da classe modalExemplo: Determinar a moda para a seguinte distribuição de frequência:

1º Passo) Identifica-se a classe modal. Neste caso, trata-se da 3¿ classe 2 I- 3.2º Passo) Sabendo que: l = 2; d1 = 17-10=7; d2 = 17-8=9; h = 1. Aplica-se a fórmula dada acima:

Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro: LARSON, R.; FARBER, B. Estatística Aplicada. 2ª Edição. São Paulo: Editora Pearson, 2008 e leia o capítulo 2 da página 47 a 57.

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MEDIDAS ESTATÍSTICAS

Por causa da variabilidade as medidas de tendência central, ainda que consideradas como números que têm a faculdade de representar uma série de dados, não podem por si mesma destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto e, portanto, não bastam para descrever um conjunto de dados. As medidas de tendência central são tanto mais descritivas de um conjunto de dados quanto menor for a variabilidade. Então, quando apresentamos medidas de tendência central para descrever um conjunto de dados, devemos indicar também uma medida de variabilidade ou dispersão.

MEDIDAS DE DISPERSÃO

São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da média.

Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:

X = {70, 70, 70, 70, 70} Y = {68, 69, 70, 71, 72} Z = {5, 15, 50, 120, 160}

Podemos observar que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética = 350/5 = 70

Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, já que todos os valores são iguais à média. O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa. Portanto, concluímos então que o conjunto X apresenta DISPERSÃO NULA e que o conjunto Y apresenta uma DISPERSÃO MENOR que o conjunto Z.A seguir, são apresentadas as principais medidas de dispersão da estatística: amplitude, desvio-médio, desvio-padrão e variância.

Medidas de Dispersão Absoluta:

Amplitude Total (A)

É a diferença entre o maior e o menor valor observado no conjunto de dados, conforme segue:

Amplitude = Valor máximo — Valor mínimo

Exemplo:

Para a série: 10,12,20,22,25,33,38, a amplitude total é dada por:

Amplitude = 38 — 10 = 28

Observação: A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito limitada, pois, sendo uma medida que depende apenas dos valores externos, é instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores internos.

Desvio-Médio (DM)

Quando desejamos medir a dispersão dos dados em relação à média, é interessante a análise dos desvios em torno da média. Isto é:

Portanto, pela fórmula acima podemos perceber que o desvio em relação à média (di) é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.

Mas a soma de todos os desvios é igual a zero. Isto é:

O desvio médio (DM) é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação à média.

Onde: n= número de elementos; x = média amostral; Fi = frequência.

Veja que os desvios foram considerados em módulo, evitando-se assim que a soma fosse nula.

Variância populacional (σ2) e amostral (S2)

A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva. Porém, é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras. A definição de variância populacional (σ2) é dada por:

Observações:

1. σ2 indica variância populacional e lê-se sigma ao quadrado;2. X= média da população (populacional)3. Fi = frequência4. N = tamanho da população

Para o caso do cálculo da variância amostral (S2), é conveniente o uso da seguinte fórmula:

Onde: x = média amostral, n = tamanho da amostra.

Desvio Padrão populacional (σ) e amostral (S)

O desvio padrão é a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável.

Observando-se a fórmula original para o cálculo da variância, nota-se que a é uma soma de quadrado. Dessa forma, se a unidade da variável for, por exemplo, metro (m) teremos como resultado metro ao quadrado (m2). Para se ter a unidade original, necessita-se definir outra medida de dispersão, que é a raiz quadrada da variância – o desvio padrão. Assim temos:

Resumindo: para o cálculo do desvio-padrão deve-se primeiramente determinar o valor da variância e, em seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado.

OBS.: O desvio padrão tem a mesma dimensão de unidades dos valores da média.

O desvio padrão possui algumas propriedades, dentre as quais destacamos:

• Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.

• Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.

Exemplo: Calcular o desvio-médio (DM), a variância (S2) e o desvio-padrão (S) da seguinte distribuição amostral.

Resolução:

Primeiramente, precisamos do valor da média, conforme vimos anteriormente na web aula 3, temos que:

1º) Cálculo do Desvio-Médio (DM)

Para o cálculo do DM deverão ser abertas novas colunas, conforme segue:

2º) Cálculo da Variância Amostral (S2)

Para calcularmos a variância amostral (S2), é preciso encontrar o valor de ∑di2Fi. Para tanto, uma nova coluna deverá ser considerada na tabela anterior:

3º) Cálculo desvio-padrão Amostral (S)

Como

Resumindo: A distribuição possui média 8,06. Isto é, seus valores estão em torno de 8,06 e seu grau de dispersão é de 1,20, medido pelo desvio-médio, e de 1,69, medido pelo desvio-padrão.

Medida de Dispersão Relativa:

Coeficiente de Variação (CV)

Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para comparação em termos relativos do grau de dispersão em torno da média de séries distintas. É dado por:

Onde:σ = desvio-padrão populacional; S= desvio-padrão amostralX = média populacional; x = média amostral

Exemplo: Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4000,00 com desvio-padrão de R$ 1500,00, e os das mulheres é em média de R$ 3000,00 com desvio-padrão de R$ 1200,00. Então:

Logo, podemos concluir que nesta empresa os salários das mulheres apresentam maior dispersão relativa que os dos homens.

Questão 1Nota Excelente

Uma parte ou subconjunto da população selecionada para análise denomina-se:Sua resposta

Amostra.Resposta gabarito

Amostra. Comentário do gabarito

Conforme vimos anteriormente, a amostra é uma parte ou subconjunto da população, que é selecionada para análise estatística (Estatística Descritiva).


O número de funcionários de uma empresa é uma variável:Sua resposta

Quantitativa Discreta.Resposta gabarito

Quantitativa Discreta. Comentário do gabarito

O número de funcionários de uma empresa trata-se de uma variável que só pode assumir apenas valores inteiros, portanto, uma variável quantitativa discreta.


Considerando a pesquisa de opinião dos consumidores de certo produto, representada pela tabela abaixo, determine a porcentagem de consumidores que preferem o produto “C”.

Sua resposta21,85 %.

Resposta gabarito21,85 %.

Comentário do gabarito

Cálculo da porcentagem de consumidores que preferem o produto C = (Frequência Relativa) *100%: (600/2745)*100 = 21,85 %


A gerência industrial de certa empresa coletou uma amostra formada 64 produtos produzidos. A quantidade de defeitos contidas em cada produto foi contada, e variaram de 3 a 51 defeitos. Os resultados obtidos foram tabulados em classes de frequências, construídas conforme os procedimentos formais da estatística, sendo que o número de classes foi obtido segundo a regra de Sturges. Calcule o tamanho do intervalo de cada classe (h).

Sua resposta7

Resposta gabarito7

Comentário do gabaritoAmplitude total (A)= 51 - 3 = 48; número de classes (K): K= 1 + 3,3*log (64) = 6,96 ~ 7 classes (arredondar para o maior valor inteiro); tamanho do intervalo das classes (h) é dado por: h=A/K, ou seja, h=48/7=6,85 ~ 7(arredondar para o maior valor inteiro). Portanto, h=7.


Assinale a alternativa que melhor apresenta gráfico usualmente empregado para representar a evolução conjunta de duas variáveis quantitativas, sendo que X é considerada a variável independente e Y a variável dependente.

Sua respostaGráfico de Dispersão.

Resposta gabaritoGráfico de Dispersão.

Comentário do gabaritoO gráfico que é usualmente empregado para representar a evolução conjunta de duas variáveis quantitativas, sendo que X é considerada a variável independente e Y a variável dependente é o gráfico de dispersão.

Questão 1Nota Não gerada

Dados os conjuntos de valores: A = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 9, 10}. B = {6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12}. C = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 5, 8, 9, 9, 9, 9, 10}. Em relação à moda, afirmamos que: I) A é unimodal, e a moda é 10. II) B é unimodal, e a moda é 9. III) C é bimodal, e as modas são 4 e 9. Então, em relação às afirmativas, é CORRETO afirmar que:

Sua respostaSomente II e III são verdadeiras.


Durante cinco meses consecutivos, os rendimentos da bolsa de valores foram iguais a 4%, (-1%), 5%, (-2%) e 6%, respectivamente. Com base, nestes cinco meses, foram calculados o rendimento médio (retomo esperado) e o risco, dado pelo desvio padrão amostral (s). Os resultados obtidos foram:

Sua respostaMédia = 2,40% e desvio padrão = 3,65%.


Dada a distribuição de frequência, qual o valor da mediana:

Sua resposta21,85


Calcular a média para distribuição de frequência:

Sua resposta10,61


Dadas as receitas mensais de certa empresa, em US$ milhões, a receita média mensal do ano e o desvio-padrão amostral respectivamente são:

Sua resposta8,80 e 3,66

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