Exercícios resolvidos 1
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CAPÍTULO 10
PODER DE MERCADO: MONOPÓLIO E MONOPSÔNIO
4. Uma empresa defronta-se com a seguinte curva de receita média (demanda):
P = 120 - 0,02Q
onde Q é a produção semanal média e P é o preço medido em centavos por unidade. A função de custo da empresa é expressa pela equação: C = 60Q + 25.000. Supondo que a empresa maximize seus lucros:
a. Quais serão, respectivamente, em cada semana, seu nível de produção, seu preço e seu lucro total?
O nível de produção que maximiza o lucro pode ser obtido igualando-se a receita marginal ao custo marginal. Dada uma curva de demanda linear na forma inversa, P = 120 - 0,02Q, sabemos que a curva da receita marginal deve ter uma inclinação duas vezes maior que a curva da demanda. Logo, a curva da receita marginal da empresa é RMg = 120 - 0,04Q. O custo marginal é simplesmente a inclinação da curva do custo total. A inclinação de CT = 60Q + 25.000 é 60; logo, o CMg é igual a 60. Fazendo RMg = CMg, pode-se determinar a quantidade maximizadora de lucros:
120 - 0,04Q = 60, ou
Q = 1.500.
Inserindo a quantidade maximizadora de lucros na função de demanda inversa, determina-se o preço:
P = 120 - (0,02)(1.500) = 0,90.
O lucro é igual à receita total menos o custo total:
π = (90)(1.500) - (25.000 + (60)(1.500)), ou
π = $200 por semana.
b. Se o governo decide arrecadar um imposto de $0,14 por unidade de determinado produto, quais deverão ser, respectivamente, o novo nível de produção, o novo preço e o novo lucro total, em conseqüência do imposto?
Suponhamos, inicialmente, que o imposto seja pago pelos consumidores. Tendo em vista que o preço total (incluindo o imposto) que os consumidores estariam dispostos a pagar não se altera, a função de demanda é:
P* + T = 120 - 0,02Q, ou
P* = 120 - 0,02Q - T,
onde P* é o preço recebido pelos fornecedores. Dado que o imposto eleva o preço de cada unidade, a receita total do monopolista diminui em QT, e a receita marginal, que corresponde à receita obtida de cada unidade adicional, diminui em T:
RMg = 120 - 0,04Q - T
onde T = $0,14. Para determinar o nível de produção que maximiza os lucros após a cobrança do imposto, iguale a receita marginal ao custo marginal:
120 - 0,04Q - 14 = 60, ou
Q = 1.150 unidades.
Inserindo Q na função de demanda, obtém-se o preço:
P* = 120 - (0,02)(1.150) - 14 = $0,83.
O lucro é igual à receita total menos o custo total:
π = 83( ) 1,150( )− 60( ) 1,150( ) + 25,000( )= 1450 centavos, ou
$14,50 por semana.
5. A tabela a seguir mostra a curva da demanda com a qual se defronta um monopolista que produz com um custo marginal constante igual a $10.
Preço Quantidade
18 0 16 4 14 8 12 12 10 16 8 20 6 24 4 28 2 32 0 36
a. Calcule a curva da receita marginal da empresa.
Para calcular a curva da receita marginal, primeiro devemos derivar a curva da demanda inversa. A curva da demanda inversa intercepta o eixo dos preços no nível 18. A inclinação da curva da demanda inversa é dada pela variação no preço dividida pela variação na quantidade. Por exemplo, uma redução no preço de 18 para 16 gera um aumento na quantidade de 0
para 4. Portanto, a inclinação é −12
e a curva da demanda inversa é
P = 18− 0.5Q.
A curva da receita marginal associada a uma curva de demanda linear é uma linha com o mesmo intercepto da curva da demanda inversa e uma inclinação duas vezes maior. Portanto, a curva da receita marginal é
RMg = 18 - Q.
b. Quais são, respectivamente, o nível de produção e o preço capazes de maximizar o lucro da empresa? Qual é o lucro da empresa?
A produção que maximiza o lucro do monopolista é dada pelo ponto em que a receita marginal é igual ao custo marginal. O custo marginal é constante e igual a $10. Igualando a RMg ao CMg, podemos determinar a quantidade maximizadora de lucros:
18 – Q = 10, ou Q = 8.
Para determinar o preço que maximiza os lucros, podemos usar o valor de Q obtido acima na equação de demanda:
P = 18 – (0,5)(8) = $14.
A receita total é dada pela multiplicação do preço pela quantidade:
RT = (14)(8) = $112.
O lucro da empresa é igual à receita total menos o custo total; o custo total, por sua vez, é igual ao custo médio multiplicado pelo nível de produção. Dado que o custo marginal é constante, o custo variável médio é igual ao custo marginal. Ignorando a existência de custos fixos, o custo total é 10Q ,ou 80, e o lucro é
112 – 80 = $32.
c. Quais seriam, respectivamente, o preço e a quantidade de equilíbrio em um setor competitivo?
O equilíbrio de uma indústria competitiva caracteriza-se pela igualdade entre preço e custo marginal. Igualando o preço ao custo marginal de 10:
18 0,5 10 16 10.Q Q P− = ⇒ = ⇒ = .
Observe o aumento na quantidade de equilíbrio relativo à solução de monopólio.
d. Qual seria o ganho social se esse monopolista fosse obrigado a praticar um nível de produção e preço de equilíbrio competitivo? Quem estaria ganhando e quem estaria perdendo em conseqüência disso?
O ganho social advém da eliminação do peso morto. O peso morto, nesse caso, é igual ao triângulo acima da curva do custo marginal constante, abaixo da curva da demanda, e entre as quantidades 8 e 16; ou, numericamente:
(14-10)(16-8)(0,5)=$16.
Os consumidores capturam esse peso morto, além do lucro do monopolista de $32. Os lucros do monopolista são reduzidos a zero, e o excedente do consumidor aumenta em $48.
6. Suponha que um setor possua as seguintes características:
C = 100 + 2q2 função de custo total de cada empresa
CMg = 4q função de custo marginal de cada empresa
P = 90 – 2Q curva da demanda do setor
RMg = 90 + 4Q curva da receita marginal do setor
a. Se houver apenas uma empresa no setor, qual será o preço, a quantidade e o nível de lucro desse monopólio?
Se houver apenas uma empresa no setor, ela agirá como um monopolista e produzirá até o ponto em que a receita marginal for igual ao custo marginal:
CMg=4Q=90-4Q=RMg
Q=11,25.
Para uma quantidade de 11,25, a empresa estabelecerá um preço de P=90-2*11,25=$67,50. O nível de lucro será de $67,50*11,25-100-2*11,25*11,25=$406,25.
b. Calcule o preço, a quantidade e o nível de lucro se o setor for competitivo.
Se o setor for competitivo, o preço será igual ao custo marginal, então 90-2Q=4Q, ou Q=15. Para uma quantidade de 15, a empresa estabelecerá um preço igual a 60. O nível de lucro será de $60*15-100-2*15*15=$350.
c. Ilustre graficamente a curva da demanda, a curva da receita marginal, a curva do custo marginal e a curva do custo médio. Identifique a diferença entre o nível de lucro no monopólio e o nível de lucro no setor competitivo de duas maneiras diferentes. Verifique que as duas são numericamente equivalentes.
O gráfico a seguir ilustra a curva da demanda, a curva da receita marginal e a curva do custo marginal. A curva do custo médio intercepta a curva do custo marginal em uma quantidade de aproximadamente 7, e, portanto, é crescente (isso não é demonstrado no gráfico). O lucro perdido pelo fato da empresa produzir na solução competitiva quando se compara ao monopólio é dado pela diferença de dois níveis de lucro, já calculados nos itens a e b, ou $406,25-$350=$56,25. No gráfico, essa diferença é representada pela área de lucro perdido, que é o triângulo abaixo da curva do custo marginal e acima da curva da receita marginal, entre as quantidades de 11,25 e 15. Este é o lucro perdido porque cada receita extra dessas 3,75 unidades recebida é menor do que o custo extra incorrido. Essa área pode ser calculada como 0,5*(60-45)*3,75+0,5(45-30)*3,75=$56,25. O segundo método para ilustrar graficamente a diferença entre os dois níveis de lucro consiste em deslocar a curva do custo médio e identificar as duas áreas de lucro. A área de lucro é a diferença entre a área da receita total (preço vezes quantidade) e a área do custo total (custo médio vezes quantidade). O monopolista ganhará duas áreas e perderá uma se comparado à empresa competitiva, e essas áreas resultam em $56,25.
CMg
RMg
Demanda
11,25 15
Lucro perdido
Q
P
8. Uma empresa tem duas fábricas, cujos custos são expressos pelas equações a seguir:
2111 10)( :1 Fábrica QQC =
2222 20)( :2 Fábrica QQC =
A empresa se defronta com a seguinte curva da demanda:
P = 700 - 5Q
onde Q é a produção total, isto é, Q = Q1 + Q2.
a. Faça um diagrama desenhando: as curvas do custo marginal para as duas fábricas; as curvas da receita média e da receita marginal; e a curva do custo marginal total (isto é, custo marginal da produção total Q = Q1 + Q2). Indique o nível de produção que maximiza os lucros para cada fábrica, bem como a produção total e o preço.
A curva da receita média é a própria curva da demanda,
P = 700 - 5Q.
No caso de uma curva de demanda linear, a curva da receita marginal apresenta o mesmo intercepto da curva da demanda, mas uma inclinação duas vezes maior:
RMg = 700 - 10Q.
Em seguida, determine o custo marginal de se produzir Q. Para calcular o custo marginal da produção na Fábrica 1, derive a função de custo com relação a Q:
dC1 Q1( )dQ
= 20Q1.
Analogamente, o custo marginal na Fábrica 2 é
dC2 Q2( )dQ
= 40Q2.
Rearrumando as equações de custo marginal na forma inversa e somando-as horizontalmente, obtém-se o custo marginal total, CMgT:
,40
3
402021
21
TCMgCMgCMg
QQQ =+=+= ou
.3
40QCMgT =
O lucro máximo corresponde ao ponto em que CMgT = RMg. A figura a seguir apresenta os valores ótimos da produção de cada fábrica, da produção total e do preço.
Quantidade
100
200
300
400
500
600
70 140
700
Preço
800
PM
CMgT
QT
CMg1CMg2
Q2 Q1
RMg D
b. Calcule os valores de Q1, Q2, Q e P que maximizam os lucros.
Calcule a produção total que maximiza o lucro, isto é, Q tal que CMgT = RMg:
40
3700 10
QQ= − , ou Q = 30.
Em seguida, observe a relação entre CMg e RMg para um monopólio com múltiplas fábricas:
RMg = CMgT = CMg1 = CMg2.
Sabemos que, para Q = 30, RMg = 700 - (10)(30) = 400.
Portanto,
CMg1 = 400 = 20Q1, ou Q1 = 20 e
CMg2 = 400 = 40Q2, ou Q2 = 10.
Para calcularmos o preço de monopólio, PM, devemos inserir o valor de Q na equação de demanda:
PM = 700 - (5)(30), ou
PM = 550.
c. Suponha que o custo da mão-de-obra aumente na Fábrica 1, mas permaneça inalterado na Fábrica 2. De que forma a empresa deve ajustar (isto é, aumentar, reduzir ou deixar inalterado) a produção da Fábrica 1, a produção da Fábrica 2, a produção total e o preço?
Um aumento nos custos da mão-de-obra levará a um deslocamento horizontal do CMg1 para a esquerda, levando o CMgT a também se deslocar para a esquerda (dado que este é a soma horizontal de CMg1 e CMg2). A nova curva do CMgT intercepta a curva da RMg a uma quantidade menor e uma receita marginal maior. Para um nível mais elevado da receita marginal, Q2 é maior do que o nível original para RMg. Dado que QT diminui e Q2 aumenta, Q1 deve cair. Dado que QT cai, o preço deve aumentar.
*15. A empresa Dayna’s Doorstops, Inc. (DD) é monopolista no setor industrial de retentores de portas. Seu custo é C = 100 - 5Q + Q
2 e sua demanda é P = 55 - 2Q.
a. Que preço a empresa DD deveria cobrar para maximizar seus lucros? Qual a quantidade que seria então produzida? Quais seriam, respectivamente, os lucros e o excedente do consumidor gerados pela DD?
Com o objetivo de maximizar seus lucros, a DD deveria igualar a receita marginal ao custo marginal. Dada uma demanda de P = 55 - 2Q, a função
de receita total, PQ, é 55Q - 2Q2. Derivando a receita total com relação a
Q , obtém-se a receita marginal:
QdQ
dRTRMg 455−==
Analogamente, o custo marginal é obtido derivando-se a função de custo total com relação a Q:
52 −== QdQ
dCTCMg
Igualando CMg e RMg, obtém-se a quantidade maximizadora de lucros,
55 - 4Q = 2Q - 5, ou
Q = 10.
Inserindo Q = 10 na equação de demanda, obtém-se o preço ótimo:
P = 55 - (2)(10) = $35.
O lucro é igual à receita total menos o custo total:
π = (35)(10) - (100 - (5)(10) + 102) = $200.
O excedente do consumidor é dado pela multiplicação de 1/2 pela quantidade maximizadora de lucros, 10, e pela diferença entre o intercepto da demanda (o preço máximo que qualquer indivíduo está disposto ao pagar) e o preço de monopólio:
EC = (0,5)(10)(55 - 35) = $100.
b. Qual seria a quantidade produzida se a DD atuasse como um competidor total, tendo CMg = P? Que lucro e que excedente do consumidor seriam, respectivamente, gerados?
Sob competição, o lucro é máximo no ponto em que o preço é igual ao custo marginal (onde preço é dado pela curva de demanda):
55 - 2Q = -5 + 2Q, ou
Q = 15.
Inserindo Q = 15 na equação de demanda, obtém-se o preço:
P = 55 - (2)(15) = $25.
O lucro é igual à receita total menos o custo total:
π = (25)(15) - (100 - (5)(15) + 152) = $125.
O excedente do consumidor é
EC = (0,5)(55 - 25)(15) = $225.
c. Qual seria o peso morto decorrente do poder de monopólio no item a?
O peso morto é dado pela área abaixo da curva da demanda, acima da curva do custo marginal, e entre as quantidades de 10 e 15; em termos numéricos:
PM= (0,5)(35 - 15)(15 - 10) = $50.
d. Suponhamos que o governo, preocupado com o alto preço dos retentores de portas, defina um preço máximo de $27 para o produto. De que forma isso afetaria, respectivamente, o preço, a quantidade, o excedente do consumidor e o lucro da DD? Qual seria o peso morto resultante?
Com a fixação de um preço máximo, o preço máximo que a DD pode cobrar é $27,00. Note que, quando o preço máximo é fixado acima do preço competitivo, ele é igual à receita marginal para todos os níveis de produção, até o ponto correspondente ao nível de produção competitiva.
Inserindo o preço máximo de $27,00 na equação de demanda, obtém-se a quantidade de equilíbrio:
27 = 55 - 2Q, ou Q = 14.
O excedente do consumidor é de
EC = (0,5)(55 - 27)(14) = $196.
O lucro é de
π = (27)(14) - (100 - (5)(14) + 142) = $152.
O peso morto é de $2,00, que é equivalente à área de um triângulo:
(0,5)(15 - 14)(27 - 23) = $2
e. Agora suponhamos que o governo defina um preço máximo de $23. De que forma essa decisão afetaria, respectivamente, o preço, a quantidade, o excedente do consumidor, o lucro da DD e o peso morto?
Quando o preço máximo é fixado abaixo do preço competitivo, a DD deve reduzir sua produção. Igualando receita marginal e custo marginal, pode-se calcular o nível de produção que maximiza os lucros:
23 = - 5 + 2Q, ou Q = 14.
Dado um preço máximo de $23, o lucro é de
π = (23)(14) - (100 - (5)(14) + 142) = $96.
O consumidor aufere um excedente sobre 14 unidades. Logo, o excedente do consumidor é igual ao excedente obtido no item d, isto é, $196, acrescido do valor economizado em cada unidade do produto, isto é,
EC = (27 - 23)(14) = $56.
Portanto, o excedente do consumidor é de $252. O peso morto é o mesmo de antes: $2,00.
f. Finalmente, consideremos um preço máximo de $12. Como esse preço afetaria, respectivamente, a quantidade, o excedente do consumidor, o lucro e o peso morto?
Se o preço máximo for fixado em $12, a produção cairá ainda mais:
12 = 0,5 + 2Q, ou Q = 8,5.
O lucro é de
π = (12)(8.5) - (100 - (5)(8,5) + 8,52) = -$27,75.
O consumidor aufere um excedente sobre 8,5 unidades, que é equivalente ao excedente do consumidor associado ao preço de $38 (38 = 55 - 2(8,5)), isto é,
(0,5)(55 - 38)(8,5) = $72,25
acrescido do valor economizado em cada unidade do produto, isto é,
(38 - 12)(8,5) = $221.
Portanto, o excedente do consumidor é de $293,25. O excedente total é de $265,50, e o peso morto é de $84,50.
18. Um monopolista defronta-se com a seguinte curva da demanda:
Q = 144/P2
onde Q é a quantidade demandada e P é o preço. O custo variável médio é:
CVMe = Q1/2
,
e seu custo fixo é 5.
a. Quais são, respectivamente, seu preço e quantidade que maximizam os lucros? Qual é o lucro resultante?
Com o objetivo de maximizar seu lucro, o monopolista escolhe o nível de produção para o qual a receita marginal seja igual ao custo marginal. Reescrevendo a função de demanda como uma função de Q, podemos expressar a receita total em função de Q e, então, calcular a receita marginal:
QQQ
RRMg
QQQ
QPR
QQP
QP
PQ
612*5,0
12*12
*
12144144144 22
==∆∆=
===
==⇒=⇒=
O custo marginal é obtido a partir da função de custo total, dada pela soma dos custos fixos e variáveis. Sabemos que o custo fixo é 5 e o custo variável é igual ao custo variável médio multiplicado por Q; logo, o custo total e o custo marginal são dados por:
2
3
5*5 23
21
Q
Q
CTCMg
QQQCT
=∆
∆=
+=+=
Igualando receita e custo marginal, podemos determinar o nível de produção que maximiza os lucros:
6
Q=
3 Q
2 ⇒ Q = 4.
e, por fim, calcular o preço e o lucro:
11$)45(4*6*
6$4
1212
23
=+−=−=Π
===
CTQP
QP
b. Suponhamos que o governo regulamente o preço de modo que não possa ultrapassar $4 a unidade. Qual será a quantidade produzida pelo monopolista? E qual será o lucro do monopolista?
O preço máximo causa um truncamento da curva da demanda com que o
monopolista se defronta ao nível de P=4 ou Q = =144
169 . Portanto, se o
monopolista produz 9 unidades ou menos, o preço deve ser $4. Com a imposição do preço máximo, a curva da demanda apresenta duas partes:
>≤
= − 9Q se ,12
9Q se ,4$ 2/1Q
P
Logo, a receita total e a receita marginal também devem ser consideradas em duas partes:
>≤
=9Q se ,12
9Q se ,4 2/1Q
QRT e
>≤
= − 9Q se ,6
9Q se ,4$ 2/1Q
RMg
Para calcular o nível de produção que maximiza os lucros, iguale a receita marginal ao custo marginal, de modo que, para P = 4,
43
2= Q , ou Q = 8
3, ou Q = 7,11.
Se o monopolista produz um número inteiro de unidades, o nível de produção maximizador de lucros é 7 unidades, o preço é $4, a receita é $28, o custo total é $23,52, e o lucro é $4,48. Há uma escassez de duas unidades, dado que a quantidade demandada ao preço de $4 é 9 unidades.
c. Suponhamos que o governo queira definir um preço máximo que seja capaz de induzir o monopolista a produzir a maior quantidade possível. Qual seria o preço para atingir essa meta?
Se o objetivo é maximizar a produção, o preço máximo deve ser fixado de modo que a demanda seja igual ao custo marginal:
24,4$ e 82
312 ==⇒= PQQ
Q
A curva da receita marginal do monopolista é dada por uma linha horizontal com intercepto no nível do preço máximo. Visando maximizar seu lucro, a empresa deve produzir no ponto em que o custo marginal é igual à receita marginal, o que resulta em uma quantidade de 8 unidades.