Universidade de Sao Paulo

Segundo Semestre de 2014

Instituto de Fsica-USP

Relatorio Experimental R1

Experimento 1 - Otica Geometrica

Disciplina: Fsica Experimental IVTurma: 2015202Professor: Nelson CarlinData: 4 de maio de 2015Grupos: N03Integrantes: Cake Crepaldi 8540585;

Rodrigo Dias Garcia 8658798;

Fsica Experimental IV: Relatorio R1 - Otica Geometrica

Resumo

O objetivo deste experimento era explorar fenomenos de reflexao e refracao do pontode vista da optica geometrica e aplica-los como forma de poder manipular raios lumino-sos. Em especial, utilizamos o fenomeno de refracao para construir uma lente espessae determinar suas caractersticas. O experimento foi dividido em tres partes, cada umarelaizada em uma semana.

Na primeira semana, estudamos um sistema de lentes acopladas e obtivemos atravesdo ajuste dos dados experimentais os valores das distancias focais de cada lente, sendofc = (+20.25 0.12) cm e fd = (9.96 0.36) cm.

Na segunda semana, estudamos a formacao de imagens com uma lente convergentee uma fonte de luz com filtros de cores diferentes. Obtivemos os valores das distanciasfocais de cada cor, sendo fazul = (+20.09 0.79) cm e fvermelho = (+19.91 0.72) cm.

Na terceira semana, estudamos o ndice de refracao do semi-disco de acrlico. Obtive-mos o valor do ndice de refracao desse semi-disco, sendo nacrilico = (1.462 0.047).

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Fsica Experimental IV: Relatorio R1 - Otica Geometrica

1 Objetivos do experimento

O objetivo deste experimento era explorar fenomenos de reflexao e refracao do ponto de vistada optica geometrica e aplica-los como forma de poder manipular raios luminosos. Em es-pecial, utilizamos o fenomeno de refracao para construir uma lente espessa e determinar suascaractersticas. O experimento foi dividido em tres partes, cada uma relaizada em uma semana.

2 Arranjo experimental

Na primeira semana, o arranjo foi montado segundo a Figura 1, utilizando um trilho otico comajustes de alinhamento, um conjunto de lentes (uma convergente biconvexa de R1 = R2 =19, 2cm e uma divergente biconcava de R1 = R2 = 11cm), uma fonte luminosa e um anteparopara projecao de imagens.

Figura 1: Esquema do arranjo experimental 1.

Ja na segunda semana, o arranjo foi montado segundo a Figura 2, utilizando os mesmoequipamentos da primeira semana, deixando apenas a lente divergente de lado. Alem disso,utilizamos 2 filtros vermelho e azul.

Figura 2: Esquema do arranjo experimental 2.

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Por fim, na terceira semana, foram utilizados um laser de helio-neonio com uma lente ci-lndrica acoplada, um semi-disco de acrlico e uma base de papel graduada. O equipamentofoi montado segundo a Figura 3, sendo que o laser encarou tanto a face plana, quanto a faceconvexa do semi-disco.

Figura 3: Esquema do arranjo experimental 3.

3 Procedimento experimental

Na primeira semana, fizemos diversas medidas de posicao de objeto e imagem, varrendo po-sicoes de objetos para imagens formadas entre 60 < i (cm)

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4 Resultados e analise grafica

Figura 4: Grafico relacionando a posicao da imagem com a posicao do objeto em um sistema de duaslentes delgadas acopladas.

Resultados do Ajuste do Grafico 4:

Equacao ajustada: f(x) = (20ab+ x(ab 20b))/(20a ab+ x(a+ b 20))(a) : (9.96 0.36)(b) : (20.25 0.12)2 : 2.81NGL : 19

Atraves dos parametros ajustados, obtemos que o valor da distancia focal da lente con-vergente, fc, equivale a (+20.25 0.12) cm, enquanto que o valor da distancia focal da lentedivergente, fd, equivale a (9.96 0.36) cm.

Podemos notar que 2 NGL, dessa forma podemos concluir que, embora o modelo teoricodescreva bem os dados experimentais, a incerteza desses dados estao superestimadas.

O modelo teorico que descreve os dados experimentais no grafico 4, ou seja, e apresentadono apendice A.1.

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Figura 5: Grafico para o calculo da distancia focal da lente convergente para um feixe de luz azul.

Resultados do Ajuste do Grafico 5:

Equacao ajustada: f(x) = ax+ b(a) : (0.966 0.069)(b) : (0.0498 0.0020)2 : 0.22NGL : 9

Atraves dos parametros ajustados, obtemos que o valor da distancia focal da lente conver-gente com o filtro azul, fazul, equivale a (+20.09 0.79) cm. Isso vem da Equacao de Gausspara lentes delgadas, onde f1 = i1 + o1.

Sendo assim, podemos afirmar que f corresponde ao coeficiente linear da reta de ajuste(parametro b).

Podemos notar que 2 NGL, dessa forma podemos concluir que, embora o modelo teoricodescreva bem os dados experimentais, a incerteza desses dados estao superestimadas.

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Figura 6: Grafico para o calculo da distancia focal da lente convergente para um feixe de luz vermelho.

Resultados do Ajuste do Grafico 6:

Equacao ajustada: f(x) = ax+ b(a) : (1.015 0.063)(b) : (0.0502 0.0018)2 : 0.62NGL : 9

Atraves dos parametros ajustados, obtemos que o valor da distancia focal da lente conver-gente com o filtro vermelho, fvermelho, equivale a (+19.91 0.72) cm. Isso vem da Equacao deGauss para lentes delgadas, onde f1 = i1 + o1.

Sendo assim, podemos afirmar que f corresponde ao coeficiente linear da reta de ajuste(parametro b).

Podemos notar que 2 NGL, dessa forma podemos concluir que, embora o modelo teoricodescreva bem os dados experimentais, a incerteza desses dados estao superestimadas.

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Figura 7: Grafico para o calculo do ndice de refracao do semi-disco de acrlico.

Resultados do Ajuste do Grafico 7:

Equacao ajustada: f(x) = ax+ b(a) : (1.462 0.047)(b) : (0.033 0.022)2 : 9.61NGL : 8

Atraves dos parametros ajustados, obtemos que o valor do ndice de refracao do semi-disco de acrlico, nacrilico, equivale a (1.462 0.047). Isso vem da Lei de Snell-Descartes, onden1 sin 1 = n2 sin 2. Sabendo que um dos meios e o ar e que nar = 1 a equacao se tornasin 1 = n2 sin 2.

Logo, o ndice de refracao do semi-disco de acrlico corresponde ao coeficiente angular dareta de ajuste (parametro a).

Podemos notar que 2 NGL, dessa forma podemos concluir que o modelo teorico descrevebem os dados experimentais e que as incertezas dos dados foram corretamente estimadas duranteo procedimento experimental.

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5 Discussao final e conclusoes

Durante a primeira parte do Experimento I, onde estudamos um arranjo de duas lentes delgadasacopladas, pudemos obter atraves dos parametros ajustados no grafico 4 (onde temos a posicaoda imagem em funcao da posicao do objeto) os valores das distancias focais de ambas as lentes,valores os quais podem ser comparados com o valor informado pelo fabricante.

Para a lente convergente, obtivemos que fc = (+20.25 0.12) cm. O valor informado pelofabricante era f fc = +20 cm. Logo, podemos concluir que ambos os valores sao compatveisdentro de um intervalo de confianca de 3.

Para a lente divergente, obtivemos que fd = (9.96 0.36) cm. O valor informado pelofabricante era f fc = 10 cm. Logo, podemos concluir que ambos os valores sao compatveisdentro de um intervalo de confianca de 3.

Durante a segunda parte do Experimento I, onde estudamos a formacao de imagens comuma lente convergente e uma fonte de luz com filtros de cores diferentes (azul e vermelho),obtivemos atraves dos parametros ajustados nos graficos 5 e 6, os valores da distancia focal dalente convergente para cada uma dessas duas cores de filtro na fonte luminosa, valores os quaispodem ser comparados entre si.

Para o filtro azul, obtivemos que fazul = (+20.09 0.79) cm.Para o filtro vermelho, obtivemos que fvermelho = (+19.91 0.72) cm.Por conta da grande incerteza, que vem do fato da dificuldade que tivermos em focalizar a

imagem e determinar i, as duas distancias focais sao compatveis, impedindo que verifiquemosuma diferenca entre os valores para cada um dos filtros.

Durante a terceira parte do Experimento I, onde estudamos o ndice de refracao do semi-disco de acrlico, obtivemos atraves dos parametros ajustados no grafico 7, o valor do ndice derefracao desse semi-disco, valor o qual pode ser comparado com o tabelado para o material.

Logo, o valor encontrado para o ndice de refracao do semi-disco foi de nacrilico = (1.462 0.047). O valor esperado para o ndice de refracao do acrlico e nesperadoacrilico = 1.490. Portantos,podemos perceber que ambos os valores sao compatveis no intervalo de confianca de 3.

A respeito do semi-disco de acrlico,verificamos tambem que, quando incidimos o feixe delaser no lado curvo do semi-disco, encontramos um plano principal reto para lente. Porem,quando incidimos o feixe de laser no lado plano encontramos um plano principal curvo.

O esquemas que permitiram que verificassemos essa propriedade estao dispostos na figura8. O esquema 8a mostra a refracao dos feixes do laser quando o mesmo incide no lado curvo dosemi-disco, destacando com um risco preto onde seria e qual forma tomaria o plano principalda lente nesse caso especfico. Ja o esquema 8b mostra a refracao dos feixes do laser quandoo mesmo incide no lado plano do semi-disco, destacando com um risco preto onde seria e qualforma tomaria o plano principal da lente nesse caso especfico.

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(a) Caso quando o feixe de laser incide no ladocurvo do semi-disco.

(b) Caso quando o feixe de laser incide no ladoplano do semi-disco.

Figura 8: Esquema de incidencia e refracao dos feixes com os planos principais em destaque (tracopreto).

A Atividades pre-lab

A.1 Modelo para lentes delgadas acopladas

Neste experimento, estudamos um arranjo com duas lentes delgadas acopladas, uma lente con-vergente e outra divergente (vide figura 1).

Para chegar na equacao que descreva a posicao da imagem em funcao da posicao do objeto,e de outros parametros como a distancia entre as lentes e a distancia focal de cada uma delas,utilizamos o formalismo matricial.

Usando esse formalismo, podemos montar umaLei de Gausspara essa associacao de lentesdelgadas, obtendo uma equacao matricial da forma:(

r22

)=

(1 i0 1

)(1 0

1/f2 1)(

1 d0 1

)(1 0

1/f1 1)(

1 o0 1

)

M

(r11

)(A.1)

Efetuando corretamente as multiplicacoes matriciais necessarias, obtemos que a matriz aquidenotada por M assume a seguinte forma:

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M =

(fcifc (d+i)

fd+ di

fdfc

fcoiofc

(do+io)fd

+ diofdfc

+ dfcdifc

+ id

fdfc 1

fc 1

fd

dofdfc

ofc o

fd d

fc+ 1

)(A.2)

Trabalhando com a matriz M e a substituindo novamente na equacao A.1, obtemos umsistema de 2 equacoes na forma:

r2 =(fcifc (d+i)

fd+ di

fdfc

)r1 +

(fcoio

fc (do+io)

fd+ dio

fdfc+ dfcdi

fc+ i)1

2 =(

dfdfc

1fc 1

fd

)r1 +

(dofdfc

ofc o

fd d

fc+ 1)1

(A.3)

Sabemos que r2 nao pode depender de 1, portanto temos que:(do

fdfc ofc ofd dfc

+ 1

)= 0 (A.4)

Trabalhando com a equacao A.4, obtemos a seguinte expressao:

fd(d+ o)(fc i) fc(d+ i)o+ dio+ fdfci = 0 (A.5)Isolando i em funcao das outras variaveis, obtemos finalmente a equacao:

i =dfdfc + o(fdfc dfc)

dfd fdfc + o(fd + fc d) (A.6)

Supondo uma situacao onde as lentes tenham fc = +20 cm e fd = 10 cm, a equacao preveque para um objeto com o 50 cm gere uma imagem com i 75 cm, o valor esperado para adistancia entre as lentes d seja 18.94 cm.

A equacao ajustada no grafico 4 e a equacao A.6 com d = 20 cm fixado. Dessa forma, aequacao assume a forma:

i =20fdfc + o(fdfc 20fc)

20fd fdfc + o(fd + fc 20) (A.7)

A.2 Valores esperados para as distancias focais da lente convergentepara feixes luminosos de cores diferentes

Como parte de uma das atividades pre-lab, calculamos os valores esperados da distancia focalpara feixes luminosos de cores diferentes (azul, vermelho, amarelo e verde). O raio R = 19.2 cmcorresponde ao raio da lente convergente que trabalhamos. Ja o raio R = 11 cm correspondeao raio da lente divergente.

Esses valores presentes nas tabelas foram calculados usando os valores tabelados do ndicede refracao do tipo de vidro HOYA-C (Crown) em funcao do comprimento de onda e a equacaode Sellmeier.1

Para fins praticos, a tabela importante e apenas a tabela 1, pois trabalhamos apenas com alente convergente no estudo da dispersao otica.

1Esses valores do ndice de refracao podem ser encontrados no site: http://refractiveindex.info/?shelf=glass&book=HOYA-C&page=E-C3.

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Tabela 1: Tabela para R=19.2 cm

n f (cm)

Vermelho 1,570 16,852Amarelo 1,519 18,509Verde 1,521 18,424Azul 1,525 18,301

Tabela 2: Tabela para R=11 cm

n f(cm)

Vermelho 1,570 9,654Amarelo 1,519 18,509

Verde 1,521 18,424Azul 1,525 18,301

A.3 Grafico do angulo de incidencia em funcao do angulo de refracaosupondo que nacrilico = 1.5

Figura 9: Angulo de incidencia em funcao do angulo de refracao.

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B Comparacao dos nossos resultados com os obtidos por

outros grupos

Tabela 3: Comparacao entre grupos experimentais.

Media dos grupos Incerteza Grupo N03 Incerteza Teste Z

fd -9.95 cm 0.29 cm -9.96 cm 0.36 cm 0.016fc 18.63 cm 0.48 cm 20.25 cm 0.12 cm 3.3fazul 19.96 cm 0.37 cm 21.06 cm 0.72 cm 1.4fvermelho 20.23 cm 0.36 cm 19.91 cm 0.79 cm 0.4nacrilico 1.48 0.02 1.462 0.047 0.3

Podemos notar na tabela 3 que os dados obtidos por nos (grupo experimental N03) e emgrande parte compartvel com os dados obtidos pelos outros grupos, aqui representados pelovalor medio da amostra de dados. Para tanto e apenas necessario verificar os valores do teste-zpara cada parametro analisado.

Referencias

[1] Professor Dr. Suaide, Alexandre.Notas de Aula, disponvel em http://sampa.if.usp.br/~suaide/blog/?e=280. Aces-sado em 4 de maio de 2015.

[2] Moodle da disciplina de Fsica Experimental IV.Roteiro do Experimento 1, disponvel em http://disciplinas.stoa.usp.br/course/view.php?id=5189&section=2. Acessado em 4 de maio de 2015.

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Objetivos do experimentoArranjo experimentalProcedimento experimentalResultados e anlise grficaDiscusso final e conclusesAtividades pr-labModelo para lentes delgadas acopladasValores esperados para as distncias focais da lente convergente para feixes luminosos de cores diferentesGrfico do ngulo de incidncia em funo do ngulo de refrao supondo que nacrilico = 1.5

Comparao dos nossos resultados com os obtidos por outros grupos