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FEP111 - Fısica I

Informacoes Gerais

Este texto contem informacoes importantes sobre a disciplina de Fısica1 para o NOTURNO. Nele estao apresentados, entre outros, o programada disciplina, a bibliografia recomendada, os criterios de avaliacao e deaprovacao, o calendario das provas, a equipe de professoras e estagiarios,assim como uma coletanea de exercıcios, que foi planejada para auxiliaro aprendizado de todo o conteudo da disciplina.

Resumo do programa

1. Sistemas de partıculas

2. Conservacao do momento linear

3. Colisoes elasticas e inelasticas em uma dimensao

4. Colisoes elasticas e inelasticas em duas dimensoes

5. Determinacao do centro de massa

6. Impulso e media temporal de uma forca

7. Rotacao de um corpo rıgido em torno de um eixo fixo

8. Torque e aceleracao angular de um corpo rıgido

9. Momento angular e energia de sistemas de partıculas e corposrıgidos

10. Momento de inercia

11. Rolamento sem deslizamento

12. Forcas inercias em referenciais acelerados

13. Oscilador harmonico simples

Ana Regina Blak e Euzi C. F. da Silva - Instituto de Fısica/2008 1

14. Oscilador amortecido e forcado

15. Ressonancia

16. Fluidos: densidade e pressao

17. Princıpios de Pascal e de Arquimedes

18. Equacao de Bernoulli

Bibliografia

A bibliografia basica do curso engloba os livros:

1. Fısica I, H. D. Young e R. A. Freedman, vol. 1, 10a edicao, EditoraAddison Wesley (Sears e Zemansky);

2. Fısica, P. A. Tipler, vol. 1, Editora Guanabara Dois;

3. Fısica, D. Halliday e F. Resnick, vol. 1, 4a Edicao, Editora LTC;

4. Fısica 1 - Mecanica e Gravitacao, R. Serway, Editora LTC;

5. Curso de Fısica Basica, H. M. Nussenzveig, vol. 1 e vol. 2, 2a

edicao, Editora Blucher Ltda.

6. Curso de Fısica de Berkeley, vol. 1

Criterio de Avaliacao

A avaliacao sera feita atraves de Provas Gerais e Provas de Exer-cıcios, ou provinhas. As provinhas terao duracao de 30 minutos e asprovas gerais de 100 minutos.

1. Provas Gerais: Serao realizadas duas Provas Gerais, PG1 ePG2, mais uma Prova Substitutiva, PS. A PS e uma prova unica,no final do semestre, versando sobre toda a materia e a nota daPS substituira obrigatoriamente a nota de uma das provasgerais ( PG1 ou PG2).


2. Nota de Exercıcios: Serao realizadas provinhas quinzenais, emum total de seis, e a Nota de Exercıcios, NE , resulta da mediaaritmetica das cinco melhores notas das provinhas. Nao haveraprovinha substitutiva e a nota das provinhas nao podera substituirqualquer nota de prova.

Outras questoes que digam respeito ao bom aproveitamento do curso eque nao se enquadram dentro das regras acima deverao ser resolvidaspela equipe de professoras de Fısica I.

Criterio de Aprovacao

A Media Final, MF, sera calculada da seguinte forma:

MF = 0,35(PG1 + PG2) + 0,3NE

de modo que

MF ≥ 5 =⇒ aprovacao3 ≤ MF < 5 =⇒ recuperacao

MF < 3 =⇒ reprovacao

O(A) aluno(a) que alcancar frequencia mınima as aulas de 70% emedia final entre 3,0 (tres) e 5,0 (cinco), podera realizar uma prova derecuperacao, PRec, a qual compreende toda a materia do semestre e serarealizada no perıodo de 10 e 25 de fevereiro de 2009, as 19:00 horas, tantopara o perıodo diurno como para o noturno, com data e local a seremdefinidos oportunamente. Neste caso, a nota final NF sera calculada daseguinte forma:

NF = (MF + 2PRec)/3

de modo que se

NF ≥ 5 =⇒ aprovacaoNF < 5 =⇒ reprovacao


Calendario das provas e feriados

• 08/Setembro a 13/Setembro - Semana da Patria (recesso escolar)

• 26/Setembro, 1a Prova Geral (PG1), sexta-feira

• 01/Dezembro, 2a Prova Geral (PG2), segunda-feira

• 08/Dezembro, Prova Substitutiva (PS), segunda-feira

Perıodo noturno: as provas PG1 e PG2 serao realizadas nas respec-tivas salas de aula e a PS sera realizada no Auditorio Abraao de Morais.

Calendario das provinhas

1a provinha: 22 de agosto, sexta-feira2a provinha: 05 de setembro, sexta-feira3a provinha: 06 de outubro, segunda-feira4a provinha: 20 de outubro, segunda-feira5a provinha: 07 de novembro, sexta-feira6a provinha: 21 de novembro, sexta-feira

Todas as provinhas serao realizadas nas respectivas salas de aula.

Apresentacao da equipe da disciplina

Professores:Antonio Martins Figueiredo Neto (turma T1)

Escritorio: Ed. Basılio Jafet, sala 210

Fone: 3091-6830 e-mail: [email protected]

Euzi Conceicao Fernandes da Silva (turma T2)Escritorio: Ed. Mario Schenberg, sala 210



Ivone Freire da Mota e Albuquerque (turma T3)Escritorio: Lab. Acelerador Linear, sala 3


Ana Regina Blak (turma T4)Escritorio: Ed. Alessandro Volta, Bloco F, sala 103


Estagiarios:A disciplina de FEP111 contara com o apoio de varios es-tagiarios, alunos de pos-graduacao do IFUSP. Os estagiariosserao responsaveis pela manutencao da pagina da disciplina nainternet e pelos plantoes para resolver duvidas. Alem disso,eles participarao, semanalmente, das aulas de exercıcios, juntocom os professores.

Rodrigo Panosso Macedo (turma T1)Escritorio: Ala Central, sala 335


Eduardo do Carmo (turma T2)Escritorio: Ala I, sala 306


Leandro Jose Beraldo e Silva (turma T3)Escritorio: Ed. Basılio Jafet, sala 108


Leandro Mariano (turma T4)Escritorio: Ed. Basılio Jafet, sala 108



Pagina da Disciplina na Internet

A disciplina contara com uma pagina na internet, onde diversasinformacoes, alem das contidas neste livreto, estarao anuncia-das, tais como alteracoes de datas de provas, notas, gabaritos,etc. Deste modo, e importante consulta-la periodicamente.Para acessa-la entre na pagina do IFUSP (www.if.usp.br), es-colha ¨Graduacao¨, depois ¨paginas de disciplinas¨ e, final-mente ¨FEP111 - Fısica I.

Horario e Local dos Plantoes de Duvidas

Os plantoes para resolver duvidas serao nas tercas-feiras equintas-feiras das 13:00h as 14:00h e das 18:00h as 19:00h,na sala 202 do Edifıcio Principal, Ala Central. Entretanto,qualquer problema com este horario, sugerimos o contato, pore-mail ou telefone, com qualquer pessoa da equipe.


Coletanea de exercıcios:

1a Serie de exercıcios:Sistemas de partıculas - Conservacao do momento linear

1. Ache as coordenadas do centro de massa das figuras se-guintes:

2. As massas m1 = 10 kg e m2 = 6 kgestao ligadas por uma barra rıgidade massa desprezıvel. Inicialmenteem repouso, elas sao submetidas asforcas ~F1 = (8 N)ı e ~F2 = (−6 N),como indicado na figura.

(a) Escreva as coordenadas docentro de massa como funcaodo tempo.

(b) Expresse a quantidade demovimento total como funcaodo tempo.

3. Um aviao explode no ar e se divide em tres partes, cujasmassas e velocidades imediatamente depois da explosaosao: m1 = 4000 kg, ~v1 = (200 m/s) ı+(25 m/s) k, m2 = 2000 kg,


~v2 = −(50 m/s) ı + (50 m/s) − (25 m/s) k, m3 = 2000 kg,~v3 = −(50 m/s) ı − (25 m/s) k. Qual era a velocidade doaviao ao explodir? Qual era o seu momento linear?

4. Um corpo de 5 kg desloca-se para a direita a 5 m/s,perseguindo outro corpo de 3 kg, que se desloca tambempara a direita a 1 m/s.

(a) Determine a energia cinetica dos dois corpos nessereferencial e a velocidade do centro de massa.

(b) Determine a velocidade de cada um dos corpos emrelacao ao centro de massa.

(c) Determine a energia cinetica do movimento em relacaoao centro de massa.

5. Um corpo de 3 kg escorrega ao longo de um plano hori-zontal sem atrito com velocidade ~v = (4 m/s) ı. Num certoinstante, explode, dividindo-se em duas partes, uma demassa 2 kg e outra de massa 1 kg. Depois da explosao, opedaco de 1 kg desloca-se com velocidade ~v = (8 m/s) .

(a) Qual a velocidade do pedaco de 2 kg depois da explo-sao?

(b) Qual a velocidade do centro de massa depois da ex-plosao?

6. Um projetil de 6 kg e disparado num angulo θ = 30◦ coma horizontal, com velocidade inicial de 40 m/s. No topoda sua trajetoria, o projetil explode em dois fragmentoscom massas de 2 kg e 4 kg. Os fragmentos deslocam-se na horizontal, imediatamente depois da explosao, e ofragmento de 2 kg cai no lugar do disparo do projetil.Determine:

(a) O local onde cai o fragmento de 4 kg;

(b) A energia liberada na explosao.


7. Um homem com 70 kg e um garoto de 35 kg, estao juntossobre uma superfıcie gelada, na qual o atrito e desprezıvel.Um empurra o outro, e o homem se desloca para tras, comvelocidade de 0,3 m/s, em relacao ao gelo.

(a) Qual a separacao dos dois depois de 5 s ?

(b) A energia mecanica do sistema se conserva ?

8. Um remador de 75 kg, sentado na popa de uma canoade 150 kg e 3 m de comprimento, conseguiu traze-la parauma posicao em que esta parada perpendicularmente amargem de um lago, que nesse ponto forma um barranco,com a proa encostada numa estaca, onde o remador queramarrar a canoa. Ele se levanta e caminha ate a proa,o que leva a canoa a afastar-se da margem. Chegando aproa, ele consegue esticando o braco, alcancar ate umadistancia de 80 cm da proa. Conseguira agarrar a estaca?Caso contrario, quanto falta? Despreze a resistencia daagua e considere o centro de massa da canoa como locali-zado em seu ponto medio.

9. Um garoto de massa 30 kg, correndo a 2,5 m/s, saltasobre um carrinho de massa 10 kg, que estava parado,permanecendo sobre ele.

(a) Determine a velocidade do conjunto carrinho + garotodepois que ambos estiverem andando juntos.

(b) Em seguida, o garoto comeca a andar sobre o carrinhocom a velocidade de 0,5 m/s, relativa ao carrinho,dirigindo-se para frente do mesmo. Qual a nova ve-locidade do carinho?

(c) Quando o garoto chega na extremidade do carrinho,ele pula para frente com velocidade de 1 m/s emrelacao ao carrinho. Com que velocidade o carrinhofica depois disso?


2a Serie de exercıcios:Sistema de partıculas - Colisoes

10. Uma bala de 10 g e disparada sobre um pendulo balısticode massa 990 g.(a) Se a velocidade inicial da bala

e 300 m/s, qual a alturaatingida pelo pendulo (juntocom a bala) depois da colisao?

(b) Se a velocidade inicial da balae 200 m/s, determine a al-tura maxima atingida pelopendulo quando a bala passaatraves dele e emerge com ve-locidade de 50 m/s.

11. Um vagao de 20 toneladas esta freado no topo de umadescida. Quando o carro e solto, ele rola pela ladeira,descendo 9 m em relacao a posicao original. Na partemais baixa da ladeira, ele engata em outro vagao, de 10toneladas, que esta livre nos trilhos. Os dois, engatados,sobem ate uma altura H. Calcular H.

12. Um bloco de madeira, de 1 kg, esta ligado a uma molade constante de forca 200 N/m e repousa sobre uma su-perfıcie lisa. Uma bala de 20 g atinge o bloco e comprimea mola de 13,3 cm.

(a) Calcular a velocidade da bala antes da colisao.

(b) Que fracao da energia mecanica inicial se perde nacolisao?

13. Um corpo de 4 kg, deslocando-se a 5 m/s, efetua umacolisao perfeitamente elastica com um corpo de 1 kg, ini-cialmente em repouso. Determine a velocidade final decada corpo e a energia transferida para o corpo de 1 kg.


14. Considere o espalhamento elastico entre uma partıculaalfa de massa m1 = 4 m por um neutron em repouso, demassa m2 = m como mostra a figura.(a) Qual e o angulo maximo de

espalhamento θ1?

(b) Neste angulo, que fracao daenergia cinetica incidente vaipara o neutron?

(c) Qual e o angulo entre adirecao de recuo e a de in-cidencia?

Resolucao

Seja ~p1i o momento da partıcula incidente de massa m1.Entao o momento do sistema na configuracao inicial e ~Pi =~p1i = m1~v1i. Se ~p1f e ~p2f sao os momentos finais das duaspartıculas, o momento do sistema na configuracao final e~Pf = ~p1f + ~p2f .Por causa da conservacao do momento, ~Pi = ~Pf , teremos:

~p1i = ~p1f + ~p2f ⇒ ~p2f = ~p1i − ~p1f (1)

Como estamos supondo a colisao elatica, temos a con-servacao da energia:

p21i

2m1=

p21f

2m1+

p22f

2m2⇒ p2

2fm2

= 1m1

(p2

1i − p21f

)(2)

Elevando a expressao (1) ao quadrado obtemos:

~p2f · ~p2f = (~p1i − ~p1f) · (~p1i − ~p1f)

Esta expressao ainda pode ser desenvolvida como:

p22f = p2

1i + p21f − 2~p1i · ~p1f (3)


Por causa da conservacao do mo-mento, os vetores ~p1i, ~p1f e ~p2f

estao dispostos como no triangulorepresentado na figura ao lado. Oproduto escalar do terceiro termono lado direito da equacao (3)pode ser escrito como 2~p1i · ~p1f =2p1ip1fcos θ1. Desta forma, a ex-pressao (3) pode ser reescritacomo:

p22f = p2

1i + p21f − 2p1ip1fcosθ1 (4)

Substituindo a expressao (4) em (2) obtemos:

p21i + p2

1f − 2p1ip1fcosθ1 = λp21i − λp2

1f (5)

onde introduzimos o parametro adimensional

λ =m2

m1.

Os termos da expressao (5) podem ser reagrupados e obte-mos a equacao do segundo grau:

(1 + λ)p21f − 2p1icosθ1p1f + (1− λ)p2

1i = 0 (6)

Para que esta equacao do segundo grau tenha solucao de-vemos ter que:

∆ = 4p21icos2θ1 − 4(1 + λ)(1− λ)p2

1i ≥ 0 (7)

ou

4p21i[cos2θ1 − (1− λ2)] ≥ 0 ⇒ cos2θ1 ≥ (1− λ2) (8)

Em nosso problema, λ = m2m1

= 14 . Entao, obtemos a

condicao:

cos2θ1 ≥

(1−

(14

)2)

⇒ cos2 θ1 ≥ 0, 9375 ⇒

θ1 ≤ 14, 5◦


15. Durante a madrugada, um carro de luxo de massa igual a2.400 kg, bate na traseira de um carro de massa 1.200 kg,que estava parado. O motorista do carro de luxo alegaque o outro estava com as luzes apagadas, e que ele vinhareduzindo a marcha ao aproximar-se do sinal, estando amenos de 10 km/h quando o acidente ocorreu. A perıciaconstata que o carro de luxo arrastou o outro de umadistancia igual a 10,5 m, e estima que o coeficiente deatrito cinetico com a estrada no local do acidente era 0,6.Calcule a que velocidade o carro de luxo vinha realmentecorrendo.

16. Um caminhao carregado, M = 3 ton, viajando para o nortea 60 km/h, colide com um carro de massa total m = 1 ton,trafegando para leste a 90 km/h, num cruzamento. Cal-cule em que direcao e de que distancia o carro e arras-tado pelo caminhao, sabendo que o coeficiente de atritocinetico no local do acidente e 0,5.

17. Uma bola deslocando-se a 10 m/s, faz um colisao per-feitamente elastica, mas oblıqua, com uma outra bola demesma massa e em repouso. A bola incidente e desviadade 30◦ em relacao a direcao inicial do movimento. Deter-minar a velocidade de cada bola depois da colisao.

18. Num choque entre dois corpos de massas m1 = 0, 8 kge m2 = 1, 2 kg, o primeiro desvia 90◦ de sua trajetoriaoriginal, mantendo inalterada sua energia cinetica. Se asvelocidades iniciais dos corpos eram: ~v1 = (3, 0 m/s) ı e~v2 = (2, 0 m/s) ı− (1, 0 m/s) , respectivamente:

(a) Calcule o vetor velocidade de m2 apos a colisao.

(b) Verifique se o choque foi elastico ou inelastico.

19. Uma bala de massa igual a 4,5 g e disparada horizontal-mente num bloco de madeira de massa igual a 2,4 kg, emrepouso sobre a superfıcie horizontal. O coeficiente deatrito cinetico entre o bloco e a superfıcie vale 0,20. A


bala fica retida no bloco que sofre um deslocamento de1,8 m ate o repouso.

(a) Qual a velocidade do bloco imediatamente apos a balaparar em seu interior?

(b) Qual a velocidade inicial da bala?

20. Uma bola de massa m = 0, 5 kg e presa a um pino por umfio leve e inextensıvel de 0,8 m de comprimento. A bolae abandonada quando o fio esta na horizontal. Na partemais baixa da trajetoria a bola atinge um bloco de massaM = 2, 0 kg, inicialmente em repouso sobre uma superfıcieaspera. A colisao, entre a bola e o bloco, pode ser con-siderada como perfeitamente elastica. O coeficiente deatrito cinetico entre o bloco e a superfıcie e µc = 0, 16.(a) Qual o trabalho realizado pelas

forcas que atuam sobre a bola?

(b) Quais as velocidades dos corposapos a colisao?

(c) Ate que altura sobe a bola aposa colisao?

(d) Qual a distancia percorrida pelobloco depois da colisao?


3a Serie de exercıcios:Cinematica e dinamica do movimento de corpos rıgidos

21. Os corpos estao ligados por barras muito leves cujos mo-mentos de inercia podem ser desprezados. O sistema giraem torno do eixo y com velocidade angular ω = 2 rad/s.

(a) Determine a velocidade escalar de cada corpo. Use-aspara calcular a energia cinetica do sistema.

(b) Determine o momento de inercia do sistema em tornodo eixo y e calcule a energia cinetica do sistema uti-lizando a relacao E = Iω2

2 .

22. Um cilindro de massa m = 2 kggira em torno de um eixo que passapelo seu centro. Sobre ele sao apli-cadas as forcas indicadas na figuraonde Ra = 5 cm e Rb = 12 cm.Determine o modulo, a direcao eo sentido da aceleracao do cilin-dro. Sabendo que a velocidade an-gular inicial do cilindro era ~ω◦ =−4 (rad/s)k, determine ~ω(t).Represente graficamente os vetores aceleracao e veloci-dade angular e o torque resultante.

23. Um disco uniforme de 100 kg e raio 0,60 m esta sobre umasuperfıcie de gelo lisa. Duas patinadoras gemeas enrolam


cordas em torno do disco, num mesmo sentido. Depoiscada qual puxa a sua corda e se afasta do disco, exercendosobre ele forcas constantes de 40 N e 60 N durante 5 s.(a) Determine a aceleracao, a

velocidade e a posicao docentro de massa em funcaodo tempo.

(b) Quais sao a aceleracao an-gular e a velocidade angularem funcao do tempo?

(c) Quantas voltas em torno deseu eixo o cilindro faz du-rante este tempo?

24. Dois corpos de massas m1 e m2,estao ligados a cordas que pas-sam por polias montadas numeixo comum. O momento deinercia total das duas polias e de40 kg.m2. Os raios sao R1 = 1, 2 me R2 = 0, 4 m.

(a) Se m1 = 24 kg, determine m2

de modo que o sistema fiqueem equilıbrio.

(b) Se ao corpo m1 for adi-cionado outro de 12 kg,qual sera a aceleracao angu-lar das polias e qual sera atensao nas cordas?

25. Uma bola de futebol, de massa m = 400 g e diametroD = 24 cm, rola sem deslizar sobre um plano inclinado.Ela parte do repouso e, depois de 5 s e tendo completadoexatamente 10 rotacoes, escapa pela borda do plano incli-nado. Dado: ICM = 2/3MR2


(a) Calcule o torque resultante sobre a bola relativo aoseu centro de massa, enquanto ela rola sobre o planoinclinado.

(b) Calcule a energia de rotacao da bola ao colidir com osolo.

26. Um cilindro uniforme de raio Re massa M tem um fio enroladosobre a sua superfıcie. O fiose mantem fixo e o cilindro caiverticalmente.

(a) Qual e a direcao da acel-eracao do cilindro e qual e ovalor do seu modulo?

(b) Qual e a tensao no fio?


4a Serie de exercıcios:Momento angular, sua conservacao e aplicacoes

27. Uma bolinha presa a um fio demassa desprezıvel gira em torno deum eixo vertical com velocidadeescalar constante, mantendo-se auma distancia d = 0, 5 m do eixo; oangulo θ e igual a 30◦. O fio passasem atrito atraves de um orifıcioO numa placa, e e puxado lenta-mente para cima ate que o anguloθ passa a 60◦.

(a) Que comprimento do fio foi puxado?

(b) Qual foi a variacao da velocidade de rotacao?

28. Um disco com momento de inerciaI1, esta girando, com velocidadeangular inicial ω1 em torno de umeixo sem atrito. Num certo ins-tante, este disco cai sobre outrodisco, de momento de inercia I2,que esta inicialmente em repouso,no mesmo eixo. Em virtude doatrito entre as superfıcies, os doisdiscos terminam por atingir uma velocidade angular co-mum a ambos ωf . Determine ωf . A energia cinetica dosistema se conserva?

29. Uma porta de 15 kg e 70 cm de largura, suspensa pordobradicas bem azeitadas, esta aberta de 90◦, ou seja, comseu plano perpendicular ao plano do batente. Ela leva umempurrao na beirada aberta, com impacto equivalente aode uma massa de 1 kg com velocidade de 2,5 m/s. Quanto


tempo ela leva para fechar-se?

30. Um haltere formado por dois dis-cos 1 e 2 iguais de massa m unidospor uma barra rıgida de massadesprezıvel e comprimento L=30cm repousa sobre uma mesa ho-rizontal. Um terceiro disco 3 demesma massa m desloca-se sobre amesa perpendicularmente ao hal-tere, e colide frontalmente com odisco 2, ficando colado a ele.

(a) Determine a velocidade angular do sistema depois dacolisao.

(b) Determine a fracao da energia mecanica inicial que eperdida no impacto.

31. O sistema ao lado principia amovimentar-se do repouso. Ocorpo de massa m2 = 30 kg esta doismetros acima do solo. O corpoapoiado no solo tem massa m1 =20 kg e a polia e um disco uniformecom um raio R = 10 cm e massaM = 5 kg. Determinar:

(a) A velocidade escalar do corpode massa m2 imediatamenteantes de atingir o solo e avelocidade escalar angular dapolia neste instante;

(b) As tensoes nos cabos;

(c) O tempo que o corpo demassa m2 leva para atingir onıvel do solo.


32. Uma mesa de coquetel tem um tampo giratorio, que e umatabua circular de raio R e massa M, capaz de girar comatrito desprezıvel em torno de um eixo vertical da mesa.Uma bala de massa m << M e velocidade v, disparada porum convidado, numa direcao horizontal, vai encravar-sena periferia da tabua.

(a) Qual e a velocidade angular de rotacao adquirida pelatabua?

(b) Que fracao da energia cinetica inicial e perdida noimpacto?

33. Um alcapao quadrado de lado L e massa M esta levantadoverticalmente, em equilıbrio sobre as dobradicas, quandoe levado a cair por uma ligeira trepidacao. Desprezandoo atrito, que velocidade angular tera adquirido ao baterno chao?

34. Calcule o efeito da massa M da po-lia, de raio R, sobre o sistema: amassa m1 que desliza sem atrito,esta ligada a massa suspensa m2,pelo fio que passa sobre a polia.Determine:

(a) A aceleracao do sistema e as tensoes T1 e T2 nos fiosligados a m1 e m2, respectivamente;

(b) Qual o torque externo resultante que atua sobre osistema (os dois corpos e a polia) em relacao ao centroda polia;

(c) Qual e o momento angular total do sistema em relacaoao centro da polia quando as massas deslocam-se coma velocidade escalar v?


(d) A aceleracao do sistema a partir dos resultados dositens (b) e (c) fazendo o torque resultante igual a taxade variacao do momento angular do sistema.

35. Um bloco de massa m1, que podedeslizar com atrito desprezıvel so-bre um plano inclinado de in-clinacao θ em relacao a horizon-tal, esta ligado por um fio, quepassa sobre uma polia de raio Re massa M, a uma massa suspensam2 (m2 > m1). O sistema e soltoem repouso. Calcule, por con-servacao da energia, a velocidadev de m2 apos cair de uma altura h.

36. Uma roda cilındrica de raio R e massa M, rola sem deslizarsobre um plano horizontal, deslocando-se com velocidadev, e sobe sobre um plano inclinado de inclinacao θ, con-tinuando a rolar sem deslizamento. Ate que altura h ocentro da roda subira sobre o plano inclinado?

37. Uma bola de boliche esferica de massa M e raio R elancada com velocidade horizontal v = 5m/s e nao temqualquer rotacao. O coeficiente de atrito cinetico entre abola e a pista e µc = 0, 3.

(a) Achar o tempo que a bola escorrega ate atingir acondicao de rolamento sem deslizamento.


(b) A distancia que a bola percorre antes de principiar arolar sem escorregar.

38. Uma bola homogenea de raio r rola sem deslizar desde otopo de um domo hemisferico de raio R.

(a) Depois de percorrer que angulo θ em relacao a verticala bola deixara a superfıcie?

(b) Com que velocidade v isso acontece?

39. Uma bola de bilhar de raioR, inicialmente em repouso,recebe uma tacada seca. Oimpulso do taco e horizontale aplicado a distancia 2R/3abaixo da linha horizontal docentro. A velocidade linear dabola e v◦.

(a) Qual a velocidade angular inicial ω◦?

(b) Qual a velocidade da bola uma vez iniciado o rola-mento sem escorregamento?

(c) Qual a energia cinetica inicial da bola?

(d) Qual o trabalho da forca de atrito sobre a bola quandoela escorrega pela mesa?


5a Serie de exercıcios:Corpo rıgido em equilıbrio

40. Na figura abaixo, a barra cujo peso e 20 N, esta submetidaa acao de varias forcas. Determine a tensao no fio quesustenta a barra e o modulo da forca exercida sobre abarra pela articulacao A.

(a) Se o fio que sustenta a barrafor cortado junto com o fioque sustenta o peixe, qual ea aceleracao angular da barraexatamente no instante docorte.

(b) Qual e a velocidade angularda barra quando esta atingea posicao horizontal.

41. Uma tabua de 90 N e 12 m de comprimento apoia-se emdois cavaletes, cada qual colocado a 1 m da extremidadeda tabua. Um bloco 360 N e colocado sobre a tabua, a3 m de uma extremidade. Determinar as forcas exercidassobre a tabua.

42. Uma escada de comprimento L = 4, 0 m e massa m = 15 kgrepousa apoiada numa parede. Sua extremidade superior


esta a uma altura H = 3, 0 m do chao. O centro de gravi-dade da escada esta situado a um terco do comprimentoda escada, a partir da extremidade inferior. Um macacode massa m = 7 kg sobe ate um ponto situado na metadeda escada. Supondo que nao exista atrito entre a escadae a parede, mas que exista atrito entre a escada e o chao,determine as forcas exercidas na escada pela parede e pelochao.

(a) Considere, agora, que o coefi-ciente de atrito estatico entrea escada e o piso seja igual a0,53. Determine a fracao docomprimento da escada que omacaco podera subir sem quea escada comece a deslizar.

43. Na figura abaixo, considerando que a massa da barra ho-rizontal e desprezıvel, determinar:

(a) Qual e o modulo das tres forcas que atuam na barra.

(b) Qual e a forca exercida pela barra sobre a articulacao.


6a Serie de exercıcios:Trabalhando com referenciais acelerados

Nos exercıcios de 44-46, o eventoocorre num carro cuja veloci-dade inicial era v0 = 0 e a acele-racao ~a = (5m/s2)ı, conforme afigura ao lado. Faca os exercıciosnum referencial ligado ao carro,utilizando forcas inerciais, e numoutro inercial.

44. Um corpo de 2 kg escorrega sobre o assoalho liso do carrocom velocidade inicial ~vc = (10m/s)ı.

(a) Escreva as equacoes que decrevem o movimento docorpo x(t), v(t) e a(t) .

(b) Determine em que instante o corpo atinge a sua posicaoinicial em relacao ao assoalho.

45. Um corpo de 2 kg e lancado sobre o assoalho aspero(µc = 0.30) com velocidade inicial transversal ~vc = (10m/s)ı.Descrever o movimento do corpo. Admitir que o coefi-ciente de atrito estatico e maior do que 0,5.

46. Um corpo esta suspenso do teto por um fio sem massa einextensıvel.

(a) Indique todas as forcas que agem sobre o corpo emcada um dos referenciais.

(b) Que angulo faz o fio com a vertical?

47. Um bloco de massa M = 2 kge forma indicada na figura podedeslizar sem atrito sobre uma su-perfıcie horizontal. O bloco demassa m = 1 kg tambem podedeslizar sem atrito sobre M. Em


um dado instante o bloco de massa M e submetido a umaforca horizontal de 6000 dinas de intensidade.

(a) Qual e a aceleracao de M em relacao ao solo?

(b) Qual e a aceleracao de m em relacao ao solo? Qual aforca resultante em m?

(c) Qual a aceleracao de m em relacao a M?

(d) Do ponto de vista do referencial fixo em M, qual aforca resultante em m?

(e) Se a distancia inicial entre m e a barreira (na suaparte superior a esquerda de M) for de 6 cm, quantotempo leva ate a colisao?Suponha agora que exista um pequeno atrito entreas superfıcies dos blocos com µc = µe = 10−3. Volte aresponder as questoes de (a) ate (e).

(f) Qual deveria ser a intensidade da forca F, abaixo daqual os blocos se deslocariam com a mesma acelera-cao?

48. Um caminhao, inicialmente parado em uma pista hori-zontal, tem um caixote de massa m = 1000 kg encostadona parte dianteira de sua carroceria. Em um dado ins-tante, o caminhao passa a sofrer uma aceleracao uniformede 2 m/s2, quando entao o caixote comeca a deslizar, co-lidindo com a parte posterior da carroceria 4 segundosdepois.

(a) Qual o coeficiente de atrito cinetico entre o caixote ea carroceria do caminhao?

(b) Qual a velocidade do caixote, em relacao ao solo, noinstante imediatamente anterior a colisao?

49. O motorista de um caminhao, de 800 kg, resolve fazeralguns testes de seguranca com sua carga, um caixote de200 kg. Partindo sempre do repouso, e imprimindo varias


aceleracoes, ele percebe que o caixote comeca a escor-regar se sua velocidade crescer uniformemente de 0 km/ha 36 km/h em 10 s. Nestas condicoes:

(a) Qual a aceleracao do caminhao?

(b) Qual a intensidade da forca de atrito que o caminhaoaplica no solo?

(c) Qual o coeficiente de atrito estatico entre o caixote ea carroceria?

(d) Suponha que µc = µe = 0, 1, e que o caminhao partado repouso com a aceleracao de 2 m/s2, calcule a ace-leracao do caixote em relacao ao chao.

(e) Se a carroceria tiver comprimento D = 24 m qual seraa distancia percorrida pelo caminhao ate o caixotecair da carroceria?

50. Na figura ao lado, os blocos estaoligados por fio e roldana ideais,sendo que m1 = m2 = m podemdeslizar sem atrito sobre as pare-des do carrinho (de massa M).Qual o valor da forca que apli-cada ao carrinho, faz com que m1

fique parado em relacao ao car-rinho?

51. Uma massa m = 1 kg esta presa ao teto de um elevadorpor um fio de comprimento L = 1, 99 m acima do piso. Oelevador, que esta descendo na razao de 2 m/s, passa entaoa ser freado, parando apos percorrer 2 m.

(a) Qual a tensao sofrida pelo fio enquanto o elevadoresta sendo freado?

(b) Se no instante em que o elevador comeca a ser freadoo fio arrebentar, quanto tempo leva para a massa co-lidir com o piso do elevador?


52. Uma forca F atua sobre um su-porte liso de massa m1. Dois cor-pos de massa m2 e m3 estao sus-pensos por um fio leve que passapelo suporte, conforme esta nafigura. Admitindo que F sejamaior que 2T:

(a) Determine a aceleracao decada um dos corpos e atensao no fio se m1 = m2 =m3.

(b) Determine a aceleracao decada corpo se m1 = m2 em3 = 2m1.

53. Uma haste vertical AB gira com uma velocidade angularω. Um fio leve e de comprimento L tem uma extremidadepresa ao ponto O da haste, enquanto a outra extremidadeesta presa a uma massa m.

(a) Determine a tensao no fio.

(b) Determine o angulo que o fio faz com a vertical quandoas condicoes de equilıbrio prevalecem.

54. Viajando na traseira de um caminhao aberto que estauniformemente acelerado com a = 3 m/s2 numa estrada ho-rizontal, um estudante resolve aplicar seus conhecimentosde fısica, lancando uma bola para o ar de tal forma quepossa voltar a apanha-la sem sair de seu lugar. Em queangulo com a vertical a bola deve ser lancada?


7a Serie de exercıcios:O oscilador harmonico

55. Um bloco de massa M, capaz de deslizar com atrito des-prezıvel sobre um trilho de ar horizontal, esta preso a umaextremidade do trilho por uma mola de massa desprezı-vel e constante elastica k, inicialmente relaxada. Umabolinha de chiclete de massa m, lancada em direcao aobloco com velocidade horizoltal v, atinge-o no instantet=0 e fica grudada nele. Ache a expressao do desloca-mento x(t) do sistema para t > 0.

56. Uma partıcula cuja massa e 0,50 kg move-se em um movi-mento harmonico simples. O perıodo de oscilacao e de0,10 s e a amplitude do movimento e 0,10 m. Quando apartıcula esta a 0,050 m da posicao de equilıbrio:

(a) Qual e a magnitude da forca que age sobre a partıcula?

(b) Qual a sua energia cinetica?

57. O pendulo fısico e constituıdopor uma esfera de raio r emassa m suspensa por um fio decomprimento L-r. A distanciaentre o centro da esfera e oponto de suspensao O e iguala L. Muitas vezes, quandor e muito menor do que L,pode-se tratar o sistema comoum pendulo simples de compri-mento L.

(a) Utilizando o teorema dos eixos paralelos, calcular omomento de inercia em relacao ao ponto de suspensao.

(b) Escreva a equacao de movimento do sistema e mostre


que o perıodo pode ser escrito como:

T = 2π

√Lg

(1 +

2r2

5L2

)= T◦

√1 +

2r2

5L2

onde T◦ e o perıodo de um pendulo simples de com-primento L.

(c) Usando a aproximacao (1 + x)α ≈ 1 + αx, valida parax << 1, mostre que no caso r << L o perıodo pode seraproximado por:

T = T◦

√1 +

2r2

5L2

(d) Para L=1 m e r=0,2 m, calcule o perıodo do pendulo.

58. Um oscilador, com massa de 50 g e perıodo 2,0 s, tem umaamplitude que decresce 5% em cada ciclo. Determine:

(a) A constante de amortecimento;

(b) A fracao da energia dissipada em cada ciclo;

(c) O tempo necessario para que a amplitude de oscilacaocaia a metade do valor inicial.

59. Um corpo de massa m=50 g esta preso a uma mola eoscila livremente com uma frequencia angular de 20 rad/s.Este oscilador e posteriormemte colocado num meio cujocoeficiente de atrito viscoso e ρcirc = 0, 25 kg/s. Nestascondicoes o oscilador e mantido em regime estacionario,devido a uma forca externa F = F◦cosωt onde F◦ = 0, 25 Ne ω = 20 rad/s. Determine para esta ultima situacao:

(a) A equacao diferencial que descreve o movimento. Es-creva a equacao explicitando os valores numericosdos coeficientes indicando, tambem, suas respectivasunidades.

(b) Calcule a amplitude do movimento.


(c) Em que instantes a elongacao e maxima em modulo?Subitamente, a forca externa e desligada, num ins-tante em que a elongacao e maxima. Determine paraa nova situacao:

(d) A equacao diferencial que descreve o movimento, ex-plicitando os valores numericos dos coeficientes bemcomo suas respecitvas unidades;

(e) A frequencia angular de oscilacao.

60. Um corpo de massa m=50 kg esta suspenso por uma molade constante elastica k = 1, 125 × 104 N/m. Uma forcaharmonica de amplitude fmax = 45 N atua sobre o corpoao longo da direcao vertical. Considerando-se a existenciade atrito viscoso com o coeficiente ρcirc = 100, 0 N.s/m de-termine para o regime estacionario:

(a) A frequencia de ressonancia;

(b) A amplitude maxima de ressonancia;

(c) A defasagem entre o maximo da forca harmonica e omaximo da amplitude.

61. Mostre que o valor medio da variacao da energia no tempode um oscilador amortecido forcado e nulo, ou seja, mostreque dE

dt = 0.

62. Determine a potencia media fornecida ao sistema massa-mola imerso em um meio viscoso numa oscilacao harmonicaforcada. Calcule tambem a potencia fornecida ao sistemaquando ha ressonancia.

63. Uma partıcula oscila em movimento harmonico simplescom perıodo T = 2 s. Inicialmente esta na posicao deequilıbrio com velocidade escalar de 4 m/s no sentido de xcrescente. Escrever as expressoes da sua posicao x(t), dasua velocidade v(t) e da sua aceleracao a(t). Representegraficamente essas funcoes.


64. A posicao de uma partıcula e dada por x(t) = sen2t, ondex esta em metros e t em segundos.

(a) Qual e o valor maximo de x? Qual e o primeiro ins-tante depois de t = 0 s em que ocorre esse maximo?

(b) Determine v(t). Qual e a velocidade em t = 0 s?

(c) Determine a(t). Qual e a aceleracao em t = 0 s?

(d) Qual e o valor maximo da aceleracao?

65. Um corpo de massa 500 g executa um movimento harmonicosimples com um perıodo de 0,5 s. A sua energia total ede 5 J.

(a) Qual e a amplitude das oscilacoes?

(b) Qual e a velocidade maxima?

(c) Qual e a aceleracao maxima?

66. Uma partıcula de 200 g esta presa a uma mola de cons-tante k = 5 N/m e pode oscilar livremente sobre uma su-perfıcie horizontal sem atrito. Se a massa for deslocadade 5 cm da sua posicao de equilıbrio determine:

(a) O perıodo do seu movimento;

(b) A maxima velocidade da partıcula;

(c) A maxima aceleracao da partıcula.

(d) Expresse o deslocamento, a velocidade e a aceleracaoda partıcula como funcao do tempo.

(e) Qual e a energia total do sistema?

67. Uma partıcula descreve um movimento circular uniformede raio R = 2 m. A aceleracao centrıpeta da partıcula e18 m/s2. Considere um sistema de coordenadas Oxy comorigem no centro da circunferencia. Para t = 0 s, o anguloformado entre o eixo Ox e o vetor posicao da partıcula eigual a zero.


(a) Escreva a equacao do deslocamento para o movimentoharmonico simples que ocorre no eixo Ox;

(b) Ache a equacao do deslocamento para o movimentoharmonico simples ao longo do eixo Oy;

(c) Determine a frequencia, o perıodo, a amplitude e afrequencia angular destes movimentos.

68. A uma mola de massa desprezıvel e constante k = 20 N/m,que se encontra presa ao teto, e pendurada uma massade 300 g amarrada a sua extremidade e abandonada soba acao do seu peso e da forca da mola.

(a) Qual e a distancia vertical entre o ponto de equilıbrioda mola sem a massa e do ponto ate aonde a massapode descer?

(b) Qual e a frequencia das oscilacoes? E a amplitude dasoscilacoes? Suponha que o movimento seja harmonicosimples.

(c) Escreva a equacao do movimento.

69. Um corpo de massa m, oscila sob a acao de uma molade constante elastica k e de uma forca amortecedora F =−bdx/dt. Sabendo-se que em t = 0 s o corpo e abandonadoa uma distancia x0 da posicao de equilıbrio,

(a) Determine x(t).

(b) Sabendo que k = 50, 5 N/m, m = 0, 5 kg e b = 1 kg/s,calcule a variacao percentual de energia durante oprimeiro ciclo de oscilacao.

70. Uma barra homogenea de massa M e comprimento L, sus-pensa por uma de suas extremidades, e deslocada da suaposicao de equilıbrio, de um angulo inicial θ0 e abandona-da.

(a) Determine a velocidade angular da barra ao passarpela posicao de equilıbrio em funcao de M, L, g e θ0.


(b) Determine a posicao angular do pendulo assim for-mado em funcao do tempo, θt. Considere, θ0 = 0, 1 rad,M = 100 g, L = 15 cm e ICM = ML2/12 (barra).

71. Um disco pode oscilar em torno de um eixo que passapela sua borda. Determine seu perıodo para pequenasoscilacoes e o comprimento do pendulo simples equiva-lente.

72. Imagine um cilindro macico, ligado a uma mola horizontalde massa nula, que pode rolar sem deslizar sobre umasuperfıcie. A constante elastica da mola e k = 3, 0 N/m.Desloca-se o cilindro ate a posicao em que a mola distende0,25 m, soltando-o em seguida.

(a) Calcule as energias cineticas de translacao e de rotacaodo cilindro, quando ele passa pela posicao de equilıbrio.

(b) Mostre que, nessas condicoes, o centro de massa docilindro executa movimento harmonico simples comperıodo T = 2π(3M/2k)1/2.

73. Suponhamos que um sistema massa/mola (k,m) estejasubmetido a duas forcas adicionais: uma forca viscosa, dotipo -bdx/dt e outra oscilante, F0cos(ωft) que oscila comfrequencia ωf , levando todo o sistema a oscilar junto.

(a) Escreva todas as forcas que atuam no sistema.

(b) Escreva a equacao diferencial (2a lei de Newton) quegoverna o movimento. Faca γ = b/2m e ω0 = k/m.

(c) Como a oscilacao e forcada, mesmo considerando queexiste uma forca viscosa, o sistema nao amortecerasuas oscilacoes gracas ao agente externo responsavelpor drenar energia para o sistema massa/mola. As-sim sendo, e razoavel propor como solucao da equacaodiferencial, x(t) = Asen(ωft− α) onde ωf e a frequenciada forca externa e α a defasagem dependente dascondicoes iniciais. Tente ver se esta e uma boa solucao:


encontre v(t) e a(t) e substitua na equacao do ıtem(b) acima.

(d) Determine a amplitude A(ωf) e α. Para que freqenciaωA, a amplitude sera maxima? Isto caracteriza a res-sonancia em amplitude. Determine a A(0). Inter-prete o significado de α comparando dx/dt com F(t).

(e) Verifique para que frequencia ωf a amplitude de v(t),v0, e maxima. Para esta frequencia a energia cineticasera maxima, caracterizando a ressonancia em ener-gia. O que ocorre com α?

74. Um pendulo simples e formado por uma massa de 12 kg,puntiforme, suspensa no teto por um fio ideal de L = 2, 5 mde comprimento. O pendulo esta inicialmente paradoquando em t = 1 s, a massa recebe um impulso inicial(horizontal) lateral, que lhe confere uma velocidade de1 cm/s para o lado direito. Determine a posicao angularθ(t), onde θ e o angulo que o fio faz com a direcao vertical.Sugestao: utilize θ(t) = θ0sen(ωt + φ).


8a Serie de exercıcios:Fluidos

75. Uma represa retangular, de largura L suporta uma massade agua com altura H.

(a) Desprezando a pressao atmosferica, determine a forcatotal devida a pressao da agua atuando num elementoinfinitesimal retangular de altura dy, situado a umaprofundidade y.

(b) Integre o resultado obtido em (a) para calcular a forcahorizontal total exercida pela agua sobre a represa.Por que e razoavel desprezar a pressao atmosferica?

76. Um tubo em U, vertical, tem area de seccao reta igual a1, 4 cm2 e contem 75 ml de mercurio. Calcule a diferencaentre as interfaces agua-ar e mercurio-ar quando 25 ml deagua sao derramados em um dos bracos do tubo.

77. Um cilindro de area de seccao transversal A esta ligadopor um tubo a um dos lados de um manometro de mercurio.Qual e a diferenca de altura das duas colunas do manometroquando uma massa M e colocada sobre o pistao do cilin-dro.

78. Num poco de 30 m de profundidade, com a superfıcie daagua a 10 m do fundo, foi derramada por acidente gasolinaate a boca.

(a) Sabendo que a pressao atmosferica local e de 105 N/m2,determine a pressao absoluta em funcao da profundi-dade z do poco. Represente o resultado num graficode pabs(N/m2)×z(m). Considere o eixo z positivo apon-tando para baixo.

(b) Um boia cilındrica de 1 m de comprimento e seccaotransversal de 1 cm2, foi fabricada com plastico dedensidade 0, 3 g/cm3. Um lastro de 50 g e volume des-prezıvel foi colocado na extremidade inferior da boia,


para que a mesma permanecesse na posicao vertical.Se a boia for solta dentro do poco, em que posicaoela vai parar. Calcule a porcao da boia que fica mer-gulhada na agua.

79. Um pistao e constituıdo por um tubo oco cilındrico dediametro d que se adapta a um recipiente tambem cilın-drico de diametro D (d < D). A massa do pistao com otubo e M e ele esta inicialmente no fundo do recipiente.Despeja-se entao pelo tubo, uma massa m de lıquido dedensidade ρ e em consequencia o pistao se eleva de umaaltura H. Calcule H.

80. Quando um peso P e pendurado em agua por uma cordapresa a um dinamometro, este marca P’. Mostre que adensidade do objeto pendurado e: ρ = [P/(P − P′)]ρagua.Quando se pendura uma pedra de 6 kg a um dinamometroe se mergulha a pedra em agua, a leitura da balanca e40 N.

(a) Qual a densidade da pedra?

(b) Qual o volume da pedra?

81. Um bloco cubico de aco, de 5 cm de aresta e densidade7, 8 g/cm3, esta mergulhado num recipiente com agua, sus-penso de uma balanca de molas graduada. A massa totaldo recipiente e da agua e de 1 kg e ele esta sobre o pratode outra balanca, equilibrado por um peso de massa mque se encontra no outro prato da balanca.

(a) Qual a leitura da balanca de molas?

(b) Qual e o valor de m?


Apendice:Momentos de inercia


Respostas

1a Serie de exercıcios

1. (a) ~RCM = 1615 ı + 20

15 (m);

(b) ~RCM = 56 ı + 3

6 + +16 k (m);

(c) ~RCM = −14 ı (m).

2. (a) ~RCM(t) =(

t2

4 + 32

)ı +(−3t2

16 + 158

) (m);

(b) ~P = 8tı +−6t (m).

3. (a) ~Vaviao = ~VCM = 75ı + 12, 5 (m/s);

(b) ~P = 6× 105ı + 1× 105 (kg ·m/s).

4. (a) Ec = 64, 0 J, ~VCM = 72 ı (m/s);

(b) ~u1 = 1, 5 ı (m/s), ~u2 = −2, 5 ı (m/s);

(c) Erel = 15, 0 J.

5. (a) ~v2 = 6, 0 ı− 4, 0 (m/s);

(b) ~VCM = 4, 0 ı (m/s).

6. (a) x2 = 120√

3 m;

(b) ∆E = +7200, 0 J.

7. (a) D = 4, 5 m;

(b) A energia mecanica nao se conserva pois a energiacinetica inicial era nula e a energia cinetica final ediferente de zero, e a energia potencial nao se altera.A energia cinetica final e igual a 9,45 J.

8. O remador nao consegue alcancar a estaca. Faltam 20 cm.

9. (a) ~v = +1, 88ı (m/s);

(b) ~vc = +1, 50ı (m/s);


(c) ~vc = +1, 13ı (m/s);

2a Serie de exercıcios

10. (a) H = 0, 45 m.

(b) H = 0, 11 m.

11. H = 4 m.

12. (a) H ≈ 95 m.

(b) Aproximadamente 98 % da energia mecanica inicialse perde na colisao.

13. (a) v1f = 3 m/s e v2f = 8 m/s.

(b) A energia tranferida e de 32 J.

14. Resolucao na apostila.

15. vf ≈ 60, 6 km/h.

16. (a) ~vf = 22, 5ı+45 (km/k). O carro foi arrastando em umadirecao que faz um angulo θ ≈ 63, 4◦ com o eixo x.

(b) D = 19, 53 m.

17. v1f = 5√

3 m/s e v2f = 5 m/s, θ2 = 60◦.

18. (a) ~v2f = (4 m/s)ı− (3 m/s).

(b) Choque inelastico. A variacao da energia cinetica foide ∆Ec = +12 J.


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