Ficha_9_Fluxo_S_G

7/26/2019 Ficha_9_Fluxo_S_G

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FEUP ‒ MIEIC 2013/2014

Ficha 9/1

COMPLEMENTOS de MATEMÁTICA

Aula Teórico-Prática – Ficha 9

FLUXO. TEOREMAS DE STOKES E DE GAUSS

1) Calcule o fluxo do campo vetorial ( , , ) x y z x y z= + + F i j k , de dentro para fora da superfície

cilíndrica, S , definida parametricamente pela expressão ( , ) ( cos ) ( sin )u v a u a u v= + + r i j k , com

[0,2 ]u π ∈ , [0,1]v ∈ e 0a > .

2) CalculeS

xdy dz∧∫∫ , onde S é a superfície definida parametricamente pela expressão

( , ) ( cos , sin , )u v u v u v v= r , com [0,1]u ∈ e [0, 2 ]v π ∈ .

3) Considere a função de campo vetorial ( , , ) ( , , ) x y z y z x= F e seja S a superfície definida por

2 21 z x y= − − , 0 z ≥ .

a) Calcule ( )S

dS ∇ × ⋅

∫∫ F n .

b) Calcule o integral da alínea anterior, utilizando o Teorema de Stokes.

4) Considere a função de campo vetorial 2 3( , , ) ( , 2 , ) x y z z x y= − F e seja S a superfície definida por

2 2 2 1 x y z+ + = , 0 z ≥ . Calcule ( )S

dS ∇ × ⋅∫∫ F n :

a) Por cálculo direto do integral. b) Recorrendo ao Teorema de Stokes.

5) Seja a função de campo vetorial 2 2( , , ) ( , , ) x y z xy x y z= F e seja S a superfície fechada limitada pelas

superfícies 2 2 1 x y+ = , 0 z = e 1 z = . Calcule ( )S

dS ⋅∫∫ F n :

a) Por cálculo direto do integral. b) Recorrendo ao Teorema de Gauss.




Ficha 9/2

6) Considere o volume { }3 2 2( , , ) : 1V x y z z x y= ∈ ≥ ≥ +ℝ e a função de campo vetorial

( , , ) ( , , ) x y z x y z= F . Verifique o Teorema de Gauss.

7) Calcule o fluxo do campo vetorial 2( , , ) (2 , ,3 ) x y z xy y yz= F , de dentro para fora da superfície

esférica 2 2 2 2 x y z a+ + = , 0a > :

a) Usando a definição. b) Utilizando o teorema adequado.

8) Considere a função de campo vetorial ( , , ) (2 , sin ,3 ) y xy x y z x ze y z z e= + + + F e seja S a superfície

cilíndrica fechada limitada pelas superfícies2 2

( 1) 1 x y+ + = , 0 z = e 2 z = . Determine o fluxo docampo vetorial F, de dentro para fora da superfície S .

9) Calcule o fluxo do campo vetorial ( , , ) ( , , ) x y z y x z= − F , de dentro para fora da superfície

2 2 z x y= + , 4 z ≤ .

10) Seja S a superfície 2 2 z x y= + limitada superiormente pelo plano 2 z x= .

a) Calcule o fluxo do rotacional de 2( , , ) ( ,0, 1) x y z y= − F através dessa superfície.

b) Verifique o Teorema de Stokes.

11) Considere a função de campo vetorial ( , , ) ( , , ) x y z y zx zy= F . Verifique o Teorema de Stokes sobre a

superfície { 3 2 2( , , ) : 5 ( ) 1S x y z z x y z= ∈ = − + ∧ ≥ℝ .

12) Seja V o volume limitado pelos planos 0 x = , 1 y = − , 1 y = , 0 z = e 2 x z+ = e seja a função de

campo vetorial ( , , ) (0, , 0) x y z y= F . Verifique o Teorema de Gauss.

13) Calcule o fluxo do campo vetorial 2( , , ) ( ,3 ,2 ) x y z x y y xyz= − F , de dentro para fora da superfície S

que delimita o volume { 3 2 2 2 2( , , ) : 2V x y z x y z x y= ∈ + ≤ ≤ − +ℝ :




Ficha 9/3

14) Considere a função de campo vetorial 2 2 2( , , ) ( , , ) x y z x y z= F e seja S a superfície fechada limitada

pelas superfícies 2 2 2 x y y+ = , 0 z = e 2 z = . Determine o fluxo do campo vetorial F, de dentro

para fora da superfície S .

15) Seja a função de campo vetorial 3 3 3( , , ) ( , , ) x y z x y z= F . Verifique o Teorema de Stokes sobre a

superfície { }3 2 2( , , ) : 1 [ 1,0]S x y z z x y z= ∈ + = + ∧ ∈ −ℝ .

16) Calcule ( )S

dS ⋅∫∫ F n , em que3 2 2

2 2( , , ) ,5 ,2 1

x x x x y z z

y y y

= +

F e S é a superfície fechada

definida por ( ) ( ){ }3 2 2 2 2 2( , , ) : 4 0 4 0S x y z x y z z x y z= ∈ + + = ∧ ≥ ∨ + ≤ ∧ =ℝ .

17) Seja a função de campo vetorial ( , , ) ( , , 2) x y z z x= F .

a) Determine o fluxo do rotacional de ( , , ) x y z F na superfície, S ,2 2

z x y= + , limitada por

2 22 z x y= + , indicando o sentido do fluxo.

b) Verifique o Teorema de Stokes.

Soluções:

1) 22 aπ . 2) 0 .

3) a) ( )S

dS π ∇ × ⋅ = −∫∫ F n . b) - - - -

4) a) ( ) 2S

dS π ∇ × ⋅ =∫∫ F n . b) - - - -

5) a)3

( )2S

dS π

⋅ =∫∫ F n . b) - - - -

6) ( ) ( )S V

dS dV π ⋅ = ∇ ⋅ =∫∫ ∫∫∫ F n F .

7) a) ( ) 0S

dS ⋅ =∫∫ F n . b) ( ) 0V

dV ∇ ⋅ =∫∫∫ F .




Ficha 9/4

8) 12π . 9) 128

3

π − .

10) a) ( ) 0S

dS ∇ × ⋅ =

∫∫ F n . b) - - - -

11) ( ) 0S C

dS d ∇ × ⋅ = ⋅ =∫∫ ∫ F n F r . 12) ( ) ( ) 4S V

dS dV ⋅ = ∇ ⋅ =∫∫ ∫∫∫ F n F .

13) 2π . 14) 8π .

15) ( ) 0S C

dS d ∇ × ⋅ = ⋅ =∫∫ ∫ F n F r . 16) 32

3

π .

17) a) ( ) 4S dS π ∇ × ⋅ =

∫∫ F n . b) - - - -

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