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JAIRO GOMES JAIRO GOMES

VETORES

DEFINIÇÃO

V

Vetor é uma representação gráfica de uma grandeza vetorial.

SOMA DE VETORES

Dados:

Temos dois métodos para efetuar a soma:

Método algébrico e Método gráfico

| V1 | = 10 | V2 | = 8

a) Vetores de mesma direção e sentido.

Método algébrico

S = 10 + 8

│ S │ = 18

S = V1 + V2

Método gráfico| V1 | = 10 | V2 | = 8

| V1 | | V2 |

| S | = 18

SOMA DE VETORES

b) Vetores de mesma direção e sentidos

opostos.

Dados:

| V1 | = 10 | V2 | = 6

Método algébrico

S = 10 + (-6)

│ S │ = 4

S = V1 + V2

Método gráfico

| V1 | = 10 | V2 | = 6

| V1 | = 10

| V2 | = 6

| S | = 4

ATENÇÃO:

O vetor soma S ( ou vetor Resultante R ) apresenta o

mesmo sentido do vetor de maior módulo.

c) Vetores que formam um ângulo qualquer.

SOMA DE VETORES

V2

V1

Método algébrico

S = V1 + V2

S = ( V1 )2 + ( V2 )2 + 2 V1 . V2 . cos

Se = 90o , então:

S = ( V1 )2 + ( V2 )2

Pois cos 90o = 0

Método gráfico do polígono fechado

V1 V2

S

Método gráfico do paralelogramo

V1

V1

V2

V2

S

VETOR OPOSTO

Dado o vetor V , chamaremos de

vetor oposto de V, o vetor -V que

tem a sua representação indicando a

mesma direção, mas com o sentido

oposto. Veja a representação de - V.

V - V

SUBTRAÇÃO DE VETORES

D = A - B = A + ( -B )

Considere os vetores A e B e a

operação de subtração D = A - B . O

vetor D (vetor diferença) é a diferença

entre os vetores A e B, nesta ordem.

Portanto, para subtrair A de B, deve-

se adicionar A ao oposto de B.

Vejamos:

EXEMPLO: Dados │ A │= 8 e │ B │ = 3,

o vetor D = A - B será:

D = A + ( - B )

D = 8 - 3

D = 5

A

B

D

SOMA DE VÁRIOS VETORES

BA

C D

A soma de n vetores poderá ser feita através do método do polígono fechado. Veja o exemplo abaixo:

A SOMA DESSES VETORES SERÁ:

BA

C

DS

PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR

Chama-se produto de um número real n pelo vetor V ao vetor:p = n . V de tal maneira que:1o ) módulo: │ p │ = │n│ . │ V │2o ) direção: a mesma de V.3o ) sentido: de V se n é positivo. contrário a V se n é negativo.Se n = 0 o produto p é igual a zero, ou seja, o vetor p é um vetor nulo.

EXEMPLO 1

V

n = 2 e p = 2 . V

p

EXEMPLO 2

n = - 2 e p = - 2 . V

V

p

DECOMPOSIÇÃO DE VETORES

Um vetor V pode ser decomposto em dois

vetores componentes: Vx

(componente horizontal) e Vy (componente vertical),

de modo que:

V

x

y VX = cos . V

Vy = sen . V

VY

VX

E X E R C Í C

I O

1. Um avião possui velocidade de 200 m/s a 30° acima da

direção horizontal, conforme mostra a figura. Determine as

componentes da velocidade na horizontal (eixo x) e na

vertical (eixo y). São dados: sen 30° = 0,500; cos 30° = 0,866.

Solução:

vx = ?30º

v

vx

vY

vX = cos . v

vx = 0,866 . 200

vx = 173,2 m/s

vy = ?

vy = sen . v

vy = 0,5 . 200

vy = 100 m/s

2. Uma lancha se desloca numa direção que faz um ângulo

de 60° com a direção leste–oeste, com velocidade de 50 m/s,

conforme mostra a figura. Determine as componentes da

velocidade da lancha nas direções norte-sul (eixo y) e leste-

oeste (eixo x). São dados: sen 60° = 0,866 e cos 60° = 0,500.

Solução:N

S

LOx

y v

60º vx = ?

vX = cos . v

vx = 0,5 . 50

vx = 25 m/s

Direção leste-oeste

Direção norte-sulvy = ?

vy = sen . v

vy = 0,866 . 50

vy = 43,3 m/s

3. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a:a) 4b) um valor compreendido entre 12 e 16c) 20d) 28e) um valor maior que 28

X

4. Uma pessoa caminha em um passeio, num dia de domingo, 180 m do sul para o norte. A seguir, desloca-se 240 m de oeste para leste. Qual é o valor do deslocamento final dessa pessoa?

Solução:

S

NO L

180 m

240 m ( d )2 = 1802 + 2402

d = ?

( d )2 = 32400 + 57600

( d )2 = 90 000

( d ) = √90 000

( d ) = 300 m

5. Um jogador de golfe necessita de quatro tacadas para colocar a bola no buraco. Os quatro deslocamentos estão representados na figura. Sendo d1 = 15 m, d2 = 6,0 m, d3 = 3,0 m e d4 = 1,0 m, qual era a distância inicial da bola ao buraco?

buraco

d1

d2

d3

d4

d = ?

d = ?15 - 3

6 - 1Solução:

d2 = 122 + 52

d2 = 144 + 25

d2 = 169

d = √169

d = 13 m