FLUIDODINMICA

Conceitos e UnidadesGrandezas bsicas de referncia em sistemas dimensionais de

uso corrente : comprimento e tempo

A massa considerada tambm outra grandeza em certos sistemas; em outros a fora o .

Sistema internacional (SI): comprimento: metro (m); tempo: segundo (s) massa: quilograma (Kg)

Fora: newton (N) 1N = 1Kg.m/s2

H outras grandezas bsicas que no so de interesse nomomento. Outras unidades sero introduzidas e, oportunamente, explicadas. Normalmente, derivadas das acima descritas.

Conceitos e UnidadesMassa especfica: a massa de um determinado volume de

alguma substncia (slido, lquido ou gasoso). = m/V

Densidade de um corpo: relao entre sua massa especfica e a massa especfica de outro corpo ou substncia, normalmente a gua. grandeza adimensional.

Presso: a fora aplicada em determinada rea. p = F/A

Vazo: massa ou volume que atravessa determinada rea em determinado tempo. Q = m/t ou Q = V/t = v.l (velocidade x comprimento)

Tambm: Q = m/t, mas m = . V = A. l (rea x comprimento)

Equao da continuidadeConsidere a figura abaixo:

Dt.

A quantidade de volume de fluido que passa pela rea A , DV = A Dl . Mas, como Dl = v.Dt , temos que Dm = r .DV = r.A.v. Dt. Logo,

Mas, e se a rea A muda de uma seo para a outra? A figura abaixo mostra os novos parmetros entram em nosso clculo

Equao da continuidadeMas, e se a rea A muda de uma seo para a outra? A figura abaixo mostra os novos parmetros entram em nosso clculo.

Temos que no ponto 1 , Dm1= r1 .A 1 .v1 .Dt , e no no ponto 2, Dm2= r2 .A 2 .v2 .Dt . Logo, a massa Dm1 que flui para uma regio deve ser igual massa Dm2 que sai da regio. Isto , Dm1= Dm2 .

Assim: r1 .A 1 . v1 .Dt = r2 .A 2 .v2 . Dt , ou r1 .A 1 . v1 = r2 .A 2 .v2 , r . A . v = constante

r . A . v = constante

Equao da continuidadeNo casoem que a densidade ou massa especfica do fluido constante, tem-se:

r . A . v = constante

A . v = constante

Equao de Bernoulli

Se a fora sobre a gua na posio 1 diferente do que a fora da gua na posio 2, existe um trabalho sobre a gua medida que ela se move. A quantidade de trabalho W = F1 l1 - F2 l2. Esse trabalho deve ser igual variao da energia.

Considere as figuras abaixo, onde certa quantidade delquido se move em uma tubalao de dimetros diferentes e alturas diferentes..

Equao de Bernoulli

Variao da energia cintica de 1 para 2: m v22 - m v12

= r.V. v22 - r.V. v12Variao da energia potencial de 1 para 2: m.g.h2 - m.g.h1

= r.V.g.h2 - r.V.g.h1Trabalho (W)= W = F1 l1 - F2 l2 = p1.A1.l1 - p2.A2.l2 = p1 . V - p2 . V

p1 . V - p2 . V = r.V.g.h2 - r.V.g.h1 + r.V. v22 - r.V. v12

Equao de Bernoulli

Rearranjando e dividindo por V, tem-se:

p1 . V - p2 . V = r.V.g.h2 - r.V.g.h1 + r. V. v22 - r. V. v12

p1 + r.g.h1 + r. v12 = p2 +r.g.h2 + r. v22ou

p + r.g.h+ r. v2 = constante

Equao de Bernoulli - Aplicaes1 - Avies: A asa de um avio mais curva na parte de cima. Isto fazcom que o ar passe mais rpido na parte de cima do que na debaixo. De acordo com a equao de Bernoulli, a presso do ar emcima da asa ser menor do que na parte de baixo, criando uma forade empuxo que sustenta o avio no ar.

Equao de Bernoulli - Aplicaes2 - Vaporizadores: Uma bomba de ar faz com que o ar sejaempurrado paralelamente ao extremo de um tubo que est imersoem um lquido. A presso nesse ponto diminui, e a diferena depresso com o outro extremo do tubo empurra o fluido para cima. Oar rpido tambm divide o fluido em pequenas gotas, que soempurradas para frente.

Equao de Bernoulli - Aplicaes3 - Chamin: O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda acriar uma diferena de presso que expulsa o ar quente da lareirapara cima, atravs da chamin.

Equao de Bernoulli - Aplicaes4 - Medidores de velocidade de um fluido: Na figura (a) abaixo, seexistir ar em movimento no interior do tubo, a presso P menor doque P0, e aparecer uma diferena na coluna de fluido do medidor.Conhecendo a densidade do fluido do medidor, a diferena depresso, P-P0 determinada. Da equao de Bernoulli, a velocidadedo fluido dentro do tubo, v, pode ser determinada.

Equao de Bernoulli - AplicaesOs medidores abaixo tambm so baseados no mesmo princpio.Todos esses tipos de medidores so conhecidos como medidores deVenturi.

Fluidos

Substncia sem resistncia que se deformam quando foras so aplicadas.

Podem ser fluidos os lquidos e os gases.

O vidro uma substncia que se comporta como os fluidos, entrando em escoamento to mais intenso quanto mais elevada seja a sua temperatura. Esta propriedade dos vidros facilita a sua modelagem.Um exemplo do escoamento lento dos vidros na temperatura ambiente pode ser observado nos vitrais das igrejas muito antigas. As placas de vidro que formam estes vitrais so mais espessas na parte inferior do que na parte superior.

Viscosidade

A viscosidade uma quantidade que descreve a resistncia de um fluido aoescoamento. Os fluidos resistem tanto aos objetos que se movem neles,como tambm ao movimento de diferentes camadas do prprio fluido..

Fluidos reais, como o ar, gua, leo, sangue, shampoo, no obedecemperfeitamente a equao de Bernoulli. Situaes reais, como o efeito datenso superficial, e da viscosidade, no podem ser descritos com aequao de Bernoulli

A viscosidade de um fluido basicamente uma medida de quanto elagruda. A gua um fluido com pequena viscosidade. Coisas como shampooou xaropes possuem densidades maiores. A viscosidade tambm dependeda temperatura.. O leo de um motor, por exemplo, muito menos viscosoa temperaturas mais altas do que quando o motor est frio.

Viscosidade

Para fluidos que se movem atravs de tubos, a viscosidade leva a umafora resistiva. Esta resistncia pode ser imaginada como uma fora deatrito agindo entre as partes de um fluido que esto se movendo avelocidades diferentes. O fluido muito perto das paredes do tubo, porexemplo, se move muito mais lentamente do que o fluido no centro domesmo.

O fluido em um tubo sofre foras de atrito. Existe atrito com as paredes do tubo, e com o prprio fluido, convertendo parte da energia cintica em calor. As foras de atrito que impedem as diferentes camadas do fluido de escorregar entre si so chamadas de viscosidade.

Viscosidade

Veja a figura abaixo. A placa superior pode se mover pela aplicao da foraF. Considere x a direo perpendicular velocidade v e fora F.

A velocidade do fluido maior prximo placa em movimento

ViscosidadeConsidere uma superfcie de rea A do bloco mostrado na figura.

Considere ainda uma fora F atuando sobre a superfcie.Quando a fora for normal superfcie ela ser denominada de fora de trao ou compresso conforme for o seu sentido.Quando a fora for tangente superfcie ela ser denominada de fora de cisalhamento.Tenso de cisalhamento a razo entre o mdulo da fora de cisalhamento e a rea da superfcie

ViscosidadeA figura mostra um fluido em deformao quando submetido a uma tenso de cisalhamento.

A substncia est no estado fluido quando submetida a uma tenso decisalhamento experimenta uma deformao contnua e irreversveldurante todo o tempo de atuao da tenso de cisalhamento.

Viscosidade

A fora de viscosidade dada pela frmula de Newton:

F = .A dv/dx ou F/A = . dv/dx

- o coeficiente de viscosidade dinmica [ Pa.s];- A a rea da placa que se move no fluido, - x a direo perpendicular a v e perpendicular a A.- v a velocidade do fluxo

Para o sangue, o coeficiente de viscosidade de cerca de 4 x 10-3 Pa s

Viscosidade e escoamentoEquao de Poiseuille

A equao que governa o movimento de um fluido dentro de um tubo conhecida como equao de Poiseuille. Ela leva em considerao aviscosidade, embora ela realmente s vlida para escoamento no-turbulento (escoamento laminar). O sangue fluindo atravs dos canaissangineos no exatamente um escoamento laminar. Mas aplicando aequao de Poiseuille para essa situaao uma aproximao razovel empremeira ordem, e leva a implicaes interessantes.A equao de Pouiseuille para a taxa de escoamento (volume por unidade derea), Q, dada por :

Q = r4 (P1-P2) / (8 L)

onde P1-P2 a diferena de presso entre os extremos do tubo, L o comprimento do tubo, r o raio do tubo, e o coeficiente de viscosidade.

Viscosidade e escoamentoQ = r4 (P1-P2) / (8 L)

Se a viscosidade de um fluido for pequena, ou o tubo possuir um grande dimetro, uma grande regio central ir fluir com velocidade uniforme. Para um fluido de alta viscosidade a transio acontece ao longo de uma grande distncia e em um tubo de pequeno dimetro a velocidade pode variar atravs do tubo.

Viscosidade e escoamento

Se um fluido estiver fluindo suavemente atravs de um tubo, elaest em um estado de escoamento laminar. A velocidade em umdado ponto no muda no valor absoluto e na direo e sentido.Dizemos que a gua est fluindo em um estado de fluxo contnuo.Um pequeno volume do fluido se movimenta ao longo de umalinha de fluxo, e diferentes linhas de fluxo no se cruzam. Noescoamento laminar a equao de Bernoulli nos diz que nasregies em que a velocidade maior a presso menor. Se aslinhas de fluxo so comprimidas em uma regio, a presso menor naquela regio.

Viscosidade e escoamento

Se um fluido com escoamento laminar flui em torno de um obstculo, eleexerce uma fora de arraste sobre o obstculo. As foras de fricoaceleram o fluido para trs (contra a direo do escoamento) e oobstculo para frente (na direo do fluido).

A figura abaixo pode ser vista como um fluido passando por umaesfera em um sistema de referncia, ou uma esfera movendo-seatravs de um fluido em outro sistema de referncia.

Laminar x Turbulento

Nem todo o escoamento laminar. Em um escoamento turbulento,a gua gira erraticamente. A velocidade em um dado ponto podemudar em valor e direo. O surgimento de um escoamentoturbulento depende da velocidade do fluido, sua viscosidade, suadensidade, e o tamanho do obstculo que ela encontra.

Se o registro pouco aberto, proporcionando uma vazo baixa,observa-se um filete contnuo e regular, sem perturbaestransversais. Ver (a) da figura. Pode-se dizer que, nessa situao, asveias do fluxos (ou lminas, se considerado o aspectotridimensional) escoam de maneira uniforme, sem mistura com asdemais. H ento a situao de escoamento laminar.

Se a vazo gradualmente aumentada, observa-se que, a partir dedeterminado valor, o filete de tinta deixa de ser regular, mostrandoclaras perturbaes laterais como em (b) da figura. Isso significa quea velocidade superou algum valor crtico, provocando instabilidadesnas linhas de fluxo. Essa condio denominada escoamento

turbulento.

Laminar x Turbulento

Um nico nmero, chamado de nmero de Reynolds, pode serusado para prever o surgimento de turbulncia. Para o escoamentoem torno de um cilindro de dimetro D, temos que :

nmero de Reynolds = densidade . D . velocidade / viscosidade

ou Re = . D . v /

v

Viscosidade cintica:

Laminar x TurbulentoO nmero de Reynolds no possui unidades. As

unidades no lado direito da equao se cancelam. Eleaumenta com a velocidade e decresce com aviscosidade. A turbulncia surge quando o nmero deReynolds maior do que cerca de 2300. Normalmente,considera-se entre 2000 e 3000 a faixa de transio.Quando h turbulncia a equao de Bernoulli no vlida. Ela foi deduzida igualando-se as foras depresso necessrias para mudar a energia potencial e aenergia cintica ordenada do fluido. Sob turbulncia ofluido ganha energia cintica desordenada. Maistrabalho necessrio, e uma maior diferena de pressotambm necessria, para se mover um fluido a umadeterminada velocidade.

Nmero de Reynolds

Velocidade crtica

Vcrtica=2000./D

Exemplo: para gua a 25C pode-se considerar viscosidade cinemtica 1 cSt ( = centistokes = 102 stokes = 106 m2/s). Um leo SAE-10 tem viscosidadecinemtica 100 cSt. Considera-se um tubo de dimetro 25 mm. As velocidades crticas sero:

vgua = 2000 106 / 25 103 = 0,08 m/s. vleo = 2000 100 10

6 / 25 103 = 8 m/s.Conclu-se, portanto, que escoamentos usuais de gua so turbulentos e queescoamentos prticos de leos lubrificantes podem ser laminares.

Laminar x TurbulentoAspectos do escoamento em um tubo de vidro:

Nmero de Reynolds

A figura abaixo mostra o fluxo de arpassando por um cilindro a medidaque a velocidade do ar aumenta, eportanto o nmero de Reynoldsaumenta. Nas figuras 1 - 3 onmero de Reynolds menor que2000, na figura 4 aproximadamente 10000, e nafigura 5 acima de 100000. Asprimeiras duas figuras mostram oescoamento laminar em pequenasvelocidades. O ar diretamenteantes e atrs do cilindro param. Apresso maior nesse ponto. Mas,a fora resultante sobre o cilindrodevido a diferena de presso nocilindro aproximadamente zero.No existe presso de arraste.

Nmero de Reynolds

Na figura 4 vrtices deturbulncia se formaram.O ar atrs do cilindro nodiminui de velocidade e apresso decresce atrs docilindro. Devido altapresso na frente docilindro, ele sofre umapresso de arraste. Istoacontece para um nmerode Reynoldsde aproximadamente2000 a 100000.

Laminar x TurbulentoTabelas de Viscosidade Dinmica

Gases Viscosidade (Pas)

xennio 21,2 10 6

ar 17,4 10 6

hidrognio 8,4 10 6

Lquidos a 20C Viscosidade (Pas)

cido sulfrico 30 10 3

mercrio 17,0 10 3

gua 1,0030 10 3

benzeno 0,64 10 3

metanol 0,597 10 3

acetona 0,326 10 3

lcool etlico 0,248 103

Perda de Carga DistribudaDente as propriedades dos fludos, a viscosidade a mais importante nadissipao da energia. Alm de ser proporcional perda de carga, sua relaocom as foras de inrcia do escoamento fornece um nmero adimensional, onmero de Reynolds, que o parmetro que indica o regime de escoamento.

Rugosidade absoluta: indica a qualidade superficial de determinado material (,mm)

Rugosidade relativa: expressa pelo quociente entre o dimetro da tubulao e a rugosidade absoluta (/d)

A rugosidade relativa determina qual curva utilizar-se- no Diagrama de Moody.

Perda de Carga DistribudaMaterial Rugosidade absoluta (,mm)

Ao comercial novo 0,045Ao laminado novo 0,04 a 0,1Ao soldado novo 0,05 a 0,1Ao soldado limpo, usado 0,15 0,2Ao soldado moderadamente oxidado 0,4Ao soldado revestido de cimento centrifugado 0,1Ao laminado revestido de asfalto 0,05Ao rebitado novo 1 a 3Ao rebitado em uso 6Ao galvanizado, com costura 0,15Ao galvanizado , sem costura 0,06Ferro forjado 0,05Ferro fundido novo 0,25 a 0,5Ferro fundido com leve oxidao 0,3Ferro fundido velho 3 a 5Ferro fundido centrifugado 0,05Ferro fundido em uso com cimento centrifugado 0,1Ferro fundido com revestimento asfltico 0,12Ferro fundido oxidado 1 a 1,5Cimento amianto novo 0,025Concreto centrifugado novo 0,16Concreto armado liso, vrios anos de uso 0,2 a 0,3Concreto com acabamento normal 1 a 3Concreto protendido Freyssinet 0,04Cobre, lato, ao revestido de epoxi, PVC, plsticos em geral, tubos extrudados 0,0015

Perda de Carga Distribuda

Uma vazo de 0,03 m3/s de gua a 15C ocorre em umduto de ferro fundido de 10 cm de dimetro e com 30 mde comprimento. Determine a perda de carga estimadapara essa condio.

baco de Moody

0,022

Equao de Bernoulli e Perda de Carga

g1

p + r.g.h+ r. v2 = constante

constante 2

2

gUpz

p - presso - massa especficag - gravidadeh = z desnvel peso especficov = U - velocidade

Equao de Bernoulli para Fluidos Ideais

Equao de Bernoulli e Perda de Carga

Aplicando a Equao de Bernoulli entre pontos quaisquer da corrente fluida:

gUp

gUpz

2z

2

222

22

111

(1)

(2)

P1

P2

z1

Z2

- Dimenso de cada termo da Equao de Bernoulli: [m]- As grandezas so como cargas devido elevao, presso e velocidade- Indicam as possveis converses diretas entre as formas de energia mecnica

Equao de Bernoulli e Perda de Carga

perdas -viscosidade-contato do fluido com a parede interna do duto

dissipao -calor-turbilhes

Perda de carga: parte da carga perdida no fluido real.

.

B C D

Reservatrio Fechado

Equilbrio Esttico (vasos comunicantes) no h movimento do fluido

no h perda de carga

Equao de Bernoulli e Perda de Carga.

B C D

Reservatrio Aberto

Linha de Carga

Perda de Carga M1

M2

gUpz

gUpzhp 22

222

22

111

phgUpz

gUpz

22

222

22

111 Equao de Bernoulli para os Fluidos Reais

hp Perda de carga. Trabalho resistente diferena ou perda de energia que a unidade de peso do fluido experimenta quando escoa de 1 para 2

Equao de Bernoulli e Perda de Carga

ENERGIA FORNECIDA POR UMA BOMBA

1

2

S.L.

Z1

Z2

Bomba

Plano de Referncia

pB hgUpzH

gUpz

22

222

22

111

Potncia da Bomba:

skgf.m BB QHN

CVQHN BB 75

1 CV = 736 W = 75 kgf.m/s