Formulação Diferencial -...

1

Formulação Diferencial

Deve ser utilizada quando desejamos detalhes

do escoamento.

O escoamento dos fluidos é determinado a

partir do conhecimento da velocidade em cada

ponto do escoamento, isto é, a partir do campo

de velocidade

O escoamento pode ser interno ou externo

PUC-Rio, Angela Nieckele

2

O comportamento do escoamento depende se o

escoamento é laminar ou turbulento

O parâmetro que mede a razão entre as forças de

inércia e viscosas é o número de Reynolds, Re

definido como

onde: r é a massa específica, m é a viscosidade

absoluta. Vc e Lc correspondem a velocidade e

dimensão característica do escoamento.

3

ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e sustentação.

4

m

r xU

xRe

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é

Re Rec = 5 × 105 laminar

Re > Rec = 5 × 105 turbulento

A dimensão característica é a distância à borda de ataque x

Para um corpo de comprimento L, o regime de escoamento é

laminar se ReL < Rec

A velocidade característica é a velocidade no infinito U∞

4 4 PUC-Rio, Angela Nieckele

5

REGIÃO DE ENTRADA DE ESCOAMENTOS

INTERNOS

• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo

comportamento que o escoamento externo. Portanto, estudaremos escoamentos

externos e depois aplicaremos os resultados obtidos para analisar a região de

entrada de uma tubulação.

5

m

r Du

D

L men 06,0

Comprimento da região de entrada:

Regime Laminar: Len/D ≈ 140

Regime turbulento: Len/D ≈ 25 a 40

6 6 6 PUC-Rio, Angela Nieckele

ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos

buscar a relação entre vazão e queda de pressão

•Em um escoamento interno, longe da região de entrada,

observa-se que o escoamento não apresenta variações

na sua própria direção, e a pressão varia linearmente ao

longo do escoamento. O escoamento é considerado

como hidrodinâmicamente desenvolvido.

7

dAuA

1

A

Qu

TTm

m

th

P

A4D

At é a área transversal do

escoamento e Pm é o perímetro

molhado, o fator 4 é introduzido por

conveniência.

m

r hm DuRe

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é

Re 2300 laminar

Re > 2300 turbulento

A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh

A velocidade característica é a velocidade média um


ESCOAMENTOS INTERNOS:

Tubulações longas, variações axiais desprezíveis

Escoamento hidro-dinamicamente

desenvolvido

Considerando

Regime permanente

Escoamento uni-

dimensional

Aceleração é nula

Exemplo 1: Qual a força necessário para deslocar um bloco com comprimento L= 5 cm e largura b = 10 cm, com velocidade U = 2 m/s, sobre uma mesa, sabendo que existe uma película de óleo (r =980 kg/m3; m = 0,01 Pa s) de espessura h = 1 mm

U

h y x

L

shyAF

hyhy y

u

m

LbAs

Diâmetro hidráulico: b

hb

P

AD

m

th

2

44 hDh 2

Verificando regime de escoamento

m

r hDURe laminar 2300392

2

m

r hU


00 dy

d

dx

dpF

yx

x

Cyx

10

211 CyCuCy

u

Cy

u

m

m

CC 1


Regime laminar

0 dx

dpmas 0

dy

d yx

11

211 / CyCuCC

Cy

u

m

m

Condição de contorno:

1) y=0 ; u=0 C2=0

2) y=h; u=U C1=U/h

h

yUu

h

U

y

umm

bLh

UAF shy

m

F = 0,01 N

u

U

h

y x

Escoamento de Couette


Regime laminar

12

Exemplo 2: Considere um escoamento laminar entre duas placas paralelas estacionárias, afastadas de 2 a. Determine a perda de carga hL, sabendo que a vazão volumétrica é Q. O fluido possui propriedades constantes r e m. Sabe-se que Dh = 4 a e que L >> Dh e b >> Dh

2 a y x

L Hipóteses:

1. Fluido newtoniano

2. Propriedades constantes

3. Regime permanente / t = 0

4. L >> h e escoamento uni-dimensional

esc. desenvolvido a = 0

5. dp/dx = constante

6. Gravidade vertical

7. Regime laminar

jgg

g

phL

r

Precisamos relacionar a queda de pressão com a vazão dAuQ

Perda de carga:


Kdy

d

dx

dp

dy

d

dx

dpF

yx

yx

x

00

Cydx

dpyx

13

21

2

12

11CyC

yuCy

x

p

x

p

y

u

mm

Cyx

p

y

u

m

m

CC 1


Regime laminar

14


1) y=0; u / y (simetria)

2) y=a ; u=0

2

22

12 a

yau

x

p

m

21

2

2

1CyC

yu

x

p

m

x

pau

m2

2

max2 a

y u

x

Velocidade

máxima em

y=0

Tensão cisalhante

yx

p

y

u

m

1Cyx

p

y

umm



1) y=0; u / y (simetria) C1 = 0


1) y=0; u / y (simetria) C1 = 0

2) y=a ; u=0 C2=1/m (- p / x ) a2/2

15

Vazão volumétrica:

aa

a

dya

y

x

pabdybudAuQ

02

22

12

2m

2

32

02

32

3322

a

aa

x

pab

a

yy

x

pabQ

a

mm

x

pabQ

m

3

3

2

tm AudAuQ

maxuum3

2

baAt 2


x

pau

m2

2

max

x

paum

m

2

3

1

16

L

p

x

p

Perda de carga:

g

phL

r

bag

LQ

g

phL 32

3

r

m

r

hmmm

m

m

h

Duauau

au

u

Dx

p

fr

m

r

m

r

m

r

9624

2

1

43

2

1 222

Fator de atrito:

Re

96f


17

Exercício 1: Um viscosímetro cilíndrico é usado para medir a viscosidade de

fluidos. Supondo que: (1) o cilindro interno gira com velocidade angular

constante w, suficientemente baixa para que o escoamento seja laminar. (b) o

escoamento possui simetria angular e não varia na direção z. (c) a distância entre

os cilindro (b-a) é muito pequena. Determine a expressão para a viscosidade do

fluido em termos do torque T necessário para fazer o cilindro menor girar, da

velocidade angula w e da geometria do cilindro

L

a

b

w

w


h=b-a

18

Exercício 2: Vazamento em volta de um pistão

Um sistema hidráulico opera a uma pressão manométrica de 20 MPa e 55 C. O

fluido hidráulico é óleo SAE 10 W. Uma válvula de controle consiste em um pistão

com 25 mm de diâmetro, montado num cilindro com folga radial média de 0,005

mm. Determine a vazão em volume de vazamento se a pressão manométrica do

lado de baixa pressão do pistão for 1,0 MPa. O pistão tem 15 mm de comprimento.


2 a

Escoamento num duto circular

Hip: esc. desenvolvido

1-D

reg permanente

esc. isotérmico

x

r R

dx

r ,p

dr

r

,p

dA

dA

dA

dA

(rxAr)+

(rx Ar)

-

p-dAx p+dAx

u=(u(r),0,0)

Fx=Fp+Fm

02

2222

dr

dr

rdxddxrdxrrdrdx

dx

dpprrdp rx

rxrx

(

a=zero aceleração

0xF

ctedr

rd

rdx

dp rx )( 1

r

C

dx

dprrx

1

2

1

2

2 C

r

dx

dpr rx

dx

dprrx

2r=0, simetria, logo 0,

Válido para qualquer regime de

escoamento

PUC-Rio, Angela Nieckele 19

20

2

r

xd

pdrx

Para determinar a velocidade: substituir definição de tensão cisalhante

rd

udrx m em

2

2

4

1

2C

r

xd

pdu

r

xd

pd

rd

ud

mme integrar

Condição de contorno: r=R ; u=0 4

1 2

2R

xd

pdC

m

2

22

14 R

rR

xd

pdu

m

Laminar:

Re < 2300

u

R

r

x

u

Velocidade máxima

(centro da tubulação)

m4

2R

xd

pdu

max

Escoamento de Hagen Pouiselle


Vazão volumétrica:

RRdrr

R

r

x

pRdrrudAuQ

02

22

0

14

22m

442

4242

22

02

422 R

x

pR

R

rr

x

pRQ

R

m

m

x

pRQ

m

4

8

tm AudAuQ

x

pRum

m8

2

2RAt

2

maxuum

m4

2R

xd

pdu

max

PUC-Rio, Angela Nieckele 21

22

Perda de carga: g

phL

r

g

u

D

Lfh m

L2

2

2

2

1m

h

u

Dx

p

f

r

Fator de atrito:

Re

64f

Diâmetro hidráulico: RR

R

P

AD

m

th 2

2

44 2

DDh

DuDu

Du

mm

m

r

m

r

m 64

42

1

8

22

/


x

pRum

m8

2

23

Exercício 3: Um viscosímetro capilar mede a vazão e perda de carga num duto

capilar. Um teste para um certo líquido num determinado viscosímetro forneceu:

(1) vazão volumétrica: Q= 880 mm3/s (2) Diâmetro do tubo: D=0,50 mm

(3) comprimento do tubo: L= 1 m (4) Queda de pressão: p = 1MPa

Determine a viscosidade do líquido


24

Exemplo: Deseja-se bombear glicerina a 20 C [r=1000 Kg/(m3),

m=1,4 Kg/(ms)] em um tubo anular horizontal. O diâmetro interno é 1 in e o

externo de 2 in. A tubo possui 2 m de comprimento. Deseja-se uma vazão

de 0,15 m3/s. Qual a potência de bombeamento necessária?

QPuAPuFPot mtm

Rin=k Rex k=0,5

m

r hDumRe

smkR

Q

A

Qu

tm

/,)(

7961 22

)()(

)(kR

kR

kR

P

AD

m

th

12

12

144 22

laminar1790 m

r hDum

Re

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (rcte, m=cte)

3. Regime permanente / t = 0

4. 2-D (simetria angular) vq / q = 0

5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0

6. p constante

Já vimos que com as hipóteses

acima: aceleração é zero e xeruV

)(

Kdr

rd

rdx

dp

)( 1 r

u

m

L

p

L

ppK Lo

25 25

A tensão e a velocidade podem ser obtidos integrando como no exemplo anterior

2

12

1

42Cr

CrKu

r

CrK ln;

mm

Condições de contorno:

1) r=R ; u =0 0=(K/m ) R2/4 + (C1 /m ) lnR + C2

R

rC

R

rRKu ln

mm

122

14

2) r=k R ; u=0 0=(-K R2 /4m ) [1- k2] + (C1 /m ) ln (k)

k

Rrk

R

r

L

Rppu Lo

ln

/ln)(

)( 222

114 m

C2 =-(K/m ) R2/4 - (C1 /m ) lnR

C1 /m =(K R2 /4m ) [1- k2] /ln (k)

L

p

L

ppK Lo

k

k

r

R

R

rKR

ln

)(

2

1

2

2

26 26

A vazão volumétrica Q é R

kR

R

kRtm drruddrruAuQ q

2

2

0

QPuAPuFPot mtm

122

4

4 1

11

8

)/ln(

)()()(

k

kk

R

LQppP Lo

m

kWk

kk

R

LQPot 191

2501501

1

025402

2418150

1

11

8

2244

21

224

4

2

)ln(/),(),(),(

,,

)/ln(

)()(

m

)/ln(

)()(

)(

k

kk

L

RppAuQ Lo

tm1

11

8

224

4

m

27

Escoamento Turbulento em Dutos

O perfil de velocidade parabólico definido anteriormente só é válido para escoamentos laminares

O nosso objetivo ao estudar escoamentos turbulentos em tubos é determinar a perda de carga ( ou fator de atrito) quando o número de Reynolds do escoamento é maior que 2300.

No regime turbulento, a tensão cisalhante varia linearmente na seção transversal, no entanto, para determinar o perfil de velocidade médio no tempo é preciso introduzir um modelo de turbulência ou utilizar dados empíricos (experimentais)

Para determinar a perda de carga é necessário conhecer o fator de atrito:

No regime turbulento o fator de atrito depende do número de Reynolds, mas também da rugosidade e dos tubos.

)/( gphL r

g

u

D

Lfh m

L2

2

)/(Re, Dff e

2

r

xd

pdrx

28

A rugosidade relativa depende do material da tubulação e do diâmetro da

mesma

O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody

5,05,0 Re

51,2

7,3

/log0,2

1

f

D

f

eColebrook:

29

Para um tubo liso, o perfil de

velocidade pode ser aproximado pela

“lei de potências”

n

R

r

u

u/1

max

1

O expoente n varia com o número de Reynolds, Na prática, com muita

freqüência, especifica-se o expoente n = 7 independente do número de

Reynolds.

Note que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal é uma

péssima aproximação no caso de regime laminar. Já para o regime

turbulento, é uma aproximação razoável, especialmente para altos

Reynolds. PUC-Rio, Angela Nieckele

30

Exercício 5: Deseja-se bombear água a 20 C [r = 1000 kg/m3; m = 0,001 Pa s]

em um tubo circular liso. O diâmetro interno é D = 3 cm. A tubo possui L = 20

m de comprimento. Deseja-se uma vazão de = 4 kg/s. Qual a potência de

bombeamento necessária? m


QPuAPuFPot mtm m

r hDumRe

smD

m

A

mu

tm

/,6654

2

rr

DP

AD

m

th

4

Papfoodylisotubo 1708560160M169800 .;Re

turbulento 2300800169Re

22

2

2m

m

h u

D

Lfp

u

Dxpf r

r

/

)/(

HPWattQPPot 9170683 .

31

Exercício 6: Para a mesma potência disponível, no exercicio anterior, qual a

vazao obtida se a água for substiuída por óleo [r = 900 kg/m3; m = 0,1 Pa s] .


WattQPPot 683 252

28

2Q

D

Lf

u

D

Lfp m r

r mu

DQ

4

2

31

3152

352

0010

8

8

/

/,

fLf

DPotQQ

D

LfQPPot

r

r

Se f=0.02 Q=0.0037 laminar)2300142381974

(Re QD

QDu hm

m

r

m

r

Re

64flaminar

smL

DPotQQ

D

LQ

D

L

Q

DPot /,

/

3

214

24

352

00260128

1288

4

64

m

mr

r

m

laminar)230069938197 (,Re Q

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