ESCOAMENTO EXTERNOmecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/Grad_Eng1707/...CamadaLimite.pdf · O número de...

Angela Nieckele – PUC-Rio

1

ESCOAMENTO EXTERNO

• Analisando escoamentos externos, observa-se gradientes acentuados

de velocidade, somente em uma região muito próxima as superfícies

sólidas. Esta região é chamada de região da camada limite. Fora dessa

região, pode-se aplicar a equação de Euler.

Camada Limite

U

laminar transição turbulento

x

y

xc

L

= espessura da camada limite, região próxima à superfície sólida, onde

a velocidade varia de zero a 0,99 U


2

Como o regime de escoamento varia

ao longo da superfície. define-se

então

número de Reynolds local:

Camada Limite

U

laminar transição turbulento

x

y

xc

L

O número de Reynolds reinante na coordenada onde ocorre a transição de

regime laminar para turbulento é chamado de número de Reynolds crítico:

Se Rex Rec regime laminar

Se Rex > Rec regime turbulento

Como já visto, em geral, considera-se o número de Reynolds crítico como

Rec = 5 x 105

xUxRe

cxUcRe


EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE Em 1904, Prandtl simplificou as equações de Navier-Stokes, através

de uma análise de ordem de grandeza, derivando as equações da

camada limite

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes e constantes

3. Regime laminar

4. Regime permanente / t=0

5. Bi-dimensional w=0 ; / z=0

6. < < L

4

Vamos fazer uma análise de ordem de grandeza. Sabemos que a ordem de grandeza de:

u é U ; ● x é L ; ● y é

Continuidade: 0Vcte

0

z

w

y

v

x

u

zeroV

L

U

UL

V logo v <<< u


5

Quantidade de movimento linear

direção x

zero

z

u

U

y

u

L

U

x

u

zero

x

)5(zero

z

u

U

LU

y

u

L

UU

x

u

)4(zero

t

u

2

2

2

2

2

2

2

2

x

pgwvu

Analisando a equação acima, pode-se concluir que

2

2

2

2

yx 0

x2

2

Eq. (I)

Variação da espessura ao longo

da superfície como esperado:

x0,5

2

U

x

UU

U

x concorda com comportamento

observado

xUx

xRe

1

x

2

U

x

UU

U

x concorda com comportamento

observado

xUx

xRe

1

x


6

direção y (II)

zero

z

v

L/U

y

v

L

L/U

x

v

zero

z

v

L/U

LU

y

v

L

U

LU

x

v

zero

t

v

2

2

2

2

2

2

2

2

y

pg

wvu

Analisando a equação acima, pode-se concluir novamente que

0xyx 2

2

2

2

2

2


7

Observa-se também que os termos convectivos e viscosos da equação (II) são muito menores

do que estes termos da equação (I), isto é

eq (II) L

eq(I) isto é eq v < < eq. u

logo

maxyondeCygpg

y

p

A pressão só varia devido ao peso da coluna de fluido, pode-se então introduzir a seguinte

aproximação

zeroy

p

Esta conclusão é muito conveniente, pois se a pressão não varia com y,

então para uma determinada coordenada x, a pressão dentro da camada

limite é igual a pressão fora da camada limite


8

Px

Px+dx

U

Px Px+dx

Camada limite

Fora da camada limite, 0

CLfora

CLdentro x

p

x

p

Fora da camada limite, a equação de Bernoulli (para fluidos não viscosos) é válida

cte2

Up

2

logo xd

UdU

x

p

Esta conclusão é muito conveniente, pois se a pressão não varia

com y, então para uma determinada coordenada x, a pressão

dentro da camada limite é igual a pressão fora da camada limite

zeroy

p


Equações da Camada Limite

9

0y

v

x

u

2

2

y

u

y

u

x

u

x

p1vu

xd

UdU

x

p1


10

A solução das equações da camada limite pode ser obtida através da

integração das equações de conservação na região da camada limite.

Pode-se utilizar

Um procedimento rigoroso associado a um método numérico.

Solução “exata” de Blasius

Uma análise aproximada, onde as equações de conservação são

integradas na região da camada limite.

Apesar da grande simplificação obtida, ainda temos algumas

dificuldades para resolver esta equação.

Observa-se que o perfil de velocidade é

similar, isto é, o perfil de velocidade

adimensional é o mesmo em qualquer

coordenada x.

yfunção

U

u

x

x

Re

y x

x

yRe

U

x

y

21/

Vimos que

Filmes/Filme_camadaLimite/PerfilCamadaLimite.mov

Filmes/Filme_camadaLimite/PerfilCamadaLimite.mov


11

A solução “exata” para uma placa plana obtida por Blasius em 1908.

Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius)

0xd

UdU

x

p

u

x

v

y 0 ; 2

2

y

u

y

u

x

uvu

Condições de contorno:

1. x = 0 u = U

2. y = 0 u = v = 0

3. y u = U (y = u = 0,99 U)

u u

x

U=cte

y

01

xd

UdU

x

p

Equações da Camada Limite para Placa Plana (Solução de Blasius)

0xd

UdU

x

p

u

x

v

y 0 ; 2

2

y

u

y

u

x

uvu

Condições de contorno:

1. x = 0 u = U

2. y = 0 u = v = 0

3. y u = U (y = u = 0,99 U)

u u

x

U=cte

y


12

Inicialmente, a função de corrente será utilizada, para eliminarmos uma equação, pois a

continuidade fica automaticamente satisfeita

uy

vx

,

Substituindo na equação de quantidade de mvimento obtem-se uma única equação

diferencial parcial de 3a. ordem

2

2

y

u

y

u

x

uvu

3

3

2

22

yyxyxy


13

Observa-se que o perfil de velocidade é similar, isto é, o perfil de velocidade adimensional é o

mesmo em qualquer coordenada x. Propõe-se uma mudança de variáveis, visando transformar

a equação acima numa equação diferencial ordinária.

yfunção

U

u sendo

xRe

x

Define-se

y

então xRex

y

A função de corrente é adimensionalizada com xRe

f

Introduzindo as variáveis xRex

y e

xRef

na equação de quantidade de movimento, obtêm-se

0d

fdf

d

fd2

2

2

3

3

(*)


14

Para especificar as condições de contorno para essa equação, deve-se relacionar os

componentes de velocidade u e v com f e .

fU

x

RefRe

yyu

xx

x

'fU

u

2/3x

x

x

1

2

1Uy

d

fdRe

x

1

2

1Uf

xxxv

f

d

fd

Re

U

2

1v

x

ff2

1

Re/U

v '

x

xRex

y xf Re


16

A equação pode ser resolvida por um método numérico de integração de

equações diferenciais ordinárias, como por exemplo, o método de Runge-Kutta.

ff2

1

Re/U

v '

x


17

Note que f ’ corresponde a velocidade axial adimensional.

Observa-se excelente concordância com dados experimentais para

uma grande faixa de número de Reynolds

Outros resultados importantes a serem obtidos da tabela, são: tensão

cisalhante na parede e determinação da espessura da camada limite.


18

x

Espessura da Camada Limite

A espessura da camada limite é definida como a coordenada y onde u = 0,99 U .

Pela tabela vemos que f’= u/U=0,99 quando = 5 , logo sabendo que

xRex

y xRe

x5

xRe

x5 5,0x

xUxRe

18


19

A figura ilustra o perfil dos

componentes u e v

adimensionais em função de

'fU

u

ffU

v

x

'

Re/

2

1

xx

yRe

Note que existe fluxo de massa através da linha que delimita a região da

camada limite, o componente vertical da velocidade em y = é

= 5,0 f ’= 0,9915 e f = 3,2833 8370,Re/

xU

v


20

Para água [=1000 kg/m3; =0.001 kg/(ms)] com velocidade Uo= 1 cm/s

x=0,1 m ; Rex=103 ; = 1,58 cm x=1 m ; Rex=10

4= 5 cm

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u/Uo

0.0

0.5

1.0

1.5y/d

elt

a

1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1

v/Uo

0.0

0.5

1.0

1.5

y/d

elt

a

água, Uo=1cm/s

x=0.1 m

x=1.0 m

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u/Uo

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

y

cm

1E-6 1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1

v/Uo

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

y

cm


21

x

Tensão Cisalhante ao Longo da Placa

A tensão cisalhante na superfície é definida como

0y

sy

u)x(

em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como

332,0

02

22/12

0

'

xs

d

fd

xUU

d

fd

Re/x

U)x(

x

2

s6640

2

Ux

Re

,)( 2/1x

x


A tensão cisalhante na superfície é definida como

0y

sy

u)x(

em termos nas novas coordenadas, podemos rescrever a tensão como

332,0

02

22/12

0

'

xs

d

fd

xUU

d

fd

Re/x

U)x(

x

2

s6640

2

Ux

Re

,)( 2/1x

Coeficiente de Atrito Local: tensão cisalhante adimensional 2

s

U2

1

xxCf

)()(

Para placa plana no regime laminar (Rex Rec)

xRe

664,0)x(Cf



22

Força total na placa ssss Ad)x(AF

A tensão média é sss

s Ad)x(A

1 podendo ser obtida a partir do

coeficiente local de atrito s2

ss AdU

2

1)x(Cf

A

1

para U=constante ss

2s Ad)x(Cf

A

1U

2

1

ss

Lss2

s Ad)x(CfA

1CfAd)x(Cf

A

1

U2

1

2

sL

U2

1Cf

é o Coeficiente de Atrito Médio

Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a área superficial é As = b L e o elemento

de área superficial é d As = b dx. O coeficiente de atrito médio neste caso é

L

0 xs

sL xdb

Re

664,0

Lb

1Ad)x(Cf

A

1Cf

LL

Re

328,1Cf



s Ad)x(A



ss AdU

2

1)x(Cf

A

1

para U=constante ss

2s Ad)x(Cf

A

1U

2

1

ss

Lss2

s Ad)x(CfA

1CfAd)x(Cf

A

1

U2

1

2

sL

U2

1Cf




L

0 xs

sL xdb

Re

664,0

Lb

1Ad)x(Cf

A

1Cf

LL

Re

328,1Cf



s Ad)x(A



ss AdU

2

1)x(Cf

A

1

para U=constante ss

2s Ad)x(Cf

A

1U

2

1

ss

Lss2

s Ad)x(CfA

1CfAd)x(Cf

A

1

U2

1

2

sL

U2

1Cf




L

0 xs

sL xdb

Re

664,0

Lb

1Ad)x(Cf

A

1Cf

LL

Re

328,1Cf


23

Perfil Aproximado de Velocidade

Como os resultados de Blasius encontram-se em forma de tabela, não são muito convenientes

para estimar a velocidade. Pode-se, então utilizar um perfil aproximado.

Supõe-se que o perfil de velocidade é dado por uma função arbitrária, e os coeficientes desta

função são determinados de forma a satisfazer as condições de contorno conhecidas para a

velocidade.

Por exemplo: Vamos supor que para o regime laminar de escoamento o perfil de velocidade

adimensional u/U pode ser dado por um perfil cúbico de = y/

32y

dy

cy

baU

u

Devemos determinar as constantes a, b, c e d de tal forma que o perfil acima satisfaça as seguintes condições de

contorno para a velocidade u


24

32y

dy

cy

baU

u

1. y = 0 u = 0 a = 0

2. y = u = U 1 = b + c + d (*)

3. y =

2yd3yc2b

Uy

u0

y

u b = - 2 c - 3 d (+)

4. y = 0

yd6c2U

y

u0

y

u

222

2

2

2

c = 0

2

2

y

u

zero

y

u

zero

x

uvu0yem

Resolvendo as equações (*) e (+), obtemos d = -1/2 e b = 3/2, sendo o perfil aproximado

3y

2

1y

2

3

U

u

Perfil de Eckert

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

u/Uo

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y/d

elt

a

Blasius

Aproximado

Resolvendo as equações (*) e (+), obtemos

d = -1/2 e b = 3/2, sendo o perfil aproximado

3y

2

1y

2

3

U

u

Perfil de Eckert


25

ESCOAMENTO TURBULENTO

O escoamento turbulento é governado pelas mesmas

equações que o escoamento laminar. No entanto,

rigorosamente falando, este é sempre tridimensional e

transiente.

Observa-se, no entanto, que o

escoamento pode ser descrito

por um valor médio e mais uma

flutuação u’ (muitas vezes da

ordem de 1% de )

'uuu

u


26

'uuu

Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o

comportamento do valor médio.

Note que com relação ao valor médio, podemos fazer a hipótese de

regime permanente, pois

Observamos ainda que se o vetor velocidade é dado por

poderemos fazer a hipótese de 2-D com relação aos valores médios.

Dessa forma, podemos simplificar bastante o problema. Desejamos

então determinar o campo médio de velocidades. Neste caso, é

preciso obter equações de conservação para essa grandeza. A

expressão é introduzida nas equações de

conservação e uma média no tempo é realizada

resultando em

0t/u

kwj)vv(i)uu(V

t

tdequaçãot

1

0y

v

x

u

vu

yvu

2

2

y

u

y

u

x

u


27

Note que a equação obtida é semelhante a equação utilizada para obter a solução do regime

laminar, porém, temos um termo novo vu . Podemos reescrever esta equação como

ts

vuy

vuy

u

y

u

x

u

O termo vu é chamado de tensão de Reynolds ou tensão turbulenta. Como este termo

envolve flutuações, não sabemos com avaliá-lo. Introduzimos um modelo de turbulência.

Dentre os modelos mais populares, temos os modelos baseados na hipótese de Boussineq, os

quais fazem uma analogia entre a tensão laminar e turbulenta, definindo a tensão turbulenta

como

y

uvu t

onde t é a viscosidade turbulenta, a qual depende do escoamento, não é uma propriedade do fluido.


28

Próximo a parede, a viscosidade turbulenta é desprezível e a tensão cisalhante na parede é dada por

0y

sy

u

Definimos a tensão como sendo

y

u

y

uvu

y

utt

tefeft ;y

u

y

u)(

Analisando o escoamento próximo à parede, observamos

t

t

t

núcleo turbulento

camada amortecedora

sub-camada laminar


29

Para resolver as equações de conservação, precisamos definir como a viscosidade turbulenta

varia com o escoamento. Existem diversos modelos, cada um deles com um grau de

complexidade diferente, e com uma abrangência diferente. Os mais populares são:

modelo de comprimento de mistura de Prandtl: t = K y

modelo de duas equações diferenciais (energia cinética turbulenta - dissipação)

modelos anisotrópicos

modelo de tensões de Reynolds

etc.

Uma vez selecionado um modelo, a equação de conservação de quantidade de movimento linear pode ser

resolvida.

y

t


30

Para a obtenção da solução é conveniente adimensionalizar a equação de conservação.

Introduz-se uma velocidade de referência chamada de velocidade de atrito u*

s*u

A velocidade e a coordenada são adimensionalizados com

yu

y;u

uu

*

*

A equação de quantidade de movimento pode ser resolvida para a região da camada limite, resultando nas

seguintes expressões


31

sub-camada laminar 5yparayu

núcleo turbulento 50ypara0,5yln5,2u

A figura abaixo ilustra os perfis acima, juntamente com os dados experimentais. Note que na

região entre 50y5 , correspondente a região amortecedora, os pontos experimentais

não coincidem com nenhuma das duas curvas, pois é uma região de transição, mais difícil de

ser modelada.


32

As expressões anteriores são de difícil utilização, pode-se então utilizar um perfil mais

simples, obtido empiricamente para avaliar a velocidade na região da camada limite no

regime turbulento

7/1y

U

u

Infelizmente, este perfil não é adequado para avaliar a tensão cisalhante na parede, pois prevê

y/u na parede. Recomenda-se a utilização do seguinte perfil empírico

4/12

sU

U0233,0

para Rex > 5 x 10

5

A espessura da camada limite pode ser estimada a partir da seguinte correlação empírica

x5/1

x Re

27010

Re

381,0

x

para Rex > 5 x 105


33

x

x-1/5

x-1/2 turbulento

laminar

xc

O coeficiente de atrito local pode ser obtido, sendo igual a

2/U

)x()x(Cf

2

s

5/1xRe

0592,0)x(Cf para 5 x 10

5 Rex 10

7

A variação da tensão ao longo da superfície encontra-se ilustrada na figura abaixo. Para determinar a força

resultante em uma placa é preciso levar em consideração que na parte anterior da plca, x < xc o regime é laminra

e a tensão cai com x - 1/2, e em xc ocorre uma mudança de regime, a transferência de quantidade de movimento

cresce, e a tensão cisalhante cresce substancialmente, passando a cair com x - 1/5 .


34

A força sobre a placa é

sL

2L

xturb

x

0lam

2

L

0

2

sA

2

ssss

ACf2

Uxdb)x(Cfxdb)x(Cf

2

U

dxb)x(Cf2

UAd)x(Cf

2

UAd)x(AF

c

c

s

cx

0

lamturb

L

0

turbL xd)]x(Cf)x(Cf[xd)x(CfL

1Cf

L5/1

L

LRe

1740

Re

074,0Cf para 5 x 10

5 Rex 10

7

L58,2

L

LRe

1610

Relog

455,0Cf para 5 x 105 Rex 109 (**)


35

Se xc< < L , a camada limite sobre a placa é praticamente toda turbulenta, pode-se então

aproximar o coeficiente de atrito médio para

Se xc< < L então 5/1

L

LRe

074,0Cf para 5 x 10

5 Rex 10

7 (++)

Se xc< < L então 58,2

L

LRelog

455,0Cf para 5 x 10

5 Rex 10

9 (##)

(**)

(##)

(++)

LL

3281Cf

Re

,


36

Exemplo 2. Deseja-se colocar um tubo de pitot a 10 cm da extremidade

dianteira de um pequeno dirigível, na parte inferior. A velocidade do dirigível

varia entre 40 Km/h e 160 Km/h e a temperatura do ar é 0 oC. Qual deve ser o

comprimento da haste do tubo de pitot?

Solução: ar 0 oC3kg/m3 ; 1,7 × 10 -5 kg/(ms)

xUx

Re)(Re,Re

max,max, laminar10510952 55

cx

xU

410387

,Remin,

min,

xU

xmin,

maxRex

x5

mmmx

x

841108415 3

,,Re min,

max

mmhh 2 max


37

Exemplo 3. Considere ar-padrão escoando sobre uma placa plana de largura

b = 2m, com uma velocidade de corrente livre igual a U= 4,3 m/s.

1. Para x = 0,5 m determine a espessura da camada-limite.

2. Nesta mesma coordenada, estime a distância da superfície na qual u = 0,3

U.

3. Repita os cálculos para a extremidade da placa, sabendo que a mesma,

possui comprimento igual a L = 1m

4. Determine a força de arraste total devido ao atrito superficial.

5. Determine a força de arraste que atua na primeira metade da placa.

Solução: ar 2kg/m3 ; 1,8 × 10 -5 kg/(ms)

1.

2.

3.

)(Re,Re laminar10510431 55 cx

xU

m

x

x

3106065 ,Re

3

2

1

2

3

U

ummy 3212020

2

1

2

330 3

,,,,

)(Re,Re laminar10510872 55 cL

LU

m

L

L

3103495 ,Re

3

2

1

2

3

U

ummy 8712020

2

1

2

330 3

,,,,

y


Exemplo 3. Considere ar-padrão escoando sobre uma placa plana de largura

b = 2m, com uma velocidade de corrente livre igual a U= 4,3 m/s.

1. Para x = 0,5 m determine a espessura da camada-limite.

2. Nesta mesma coordenada, estime a distância da superfície na qual u = 0,3

U.

3. Repita os cálculos para a extremidade da placa, sabendo que a mesma,

possui comprimento igual a L = 1m

4. Determine a força de arraste total devido ao atrito superficial.

5. Determine a força de arraste que atua na primeira metade da placa.

Solução:

4.

5.

3104823281 ,Re

,

LLCf

sss AdAxF )( )(; LbFUCf sLs 2

2

1

)(Re,Re laminar10510872 55 cL

LU

NLbFPaUCf sLs 055010752342

2110482

2

1 2232,)(,,

,,

3

22 10513

3281 ,Re

,

//

LLCf)()( ///

22

1 2222

LbUCfAdAxF LsLssL

3838

PaUCfLLs

2222

108932

1,//

NL

bFLsL 0390

222 ,)(//

Note que a força que atua na 1ª.

metade da placa é mais do que

a metade da força que atua na

placa inteira.


39

Exemplo 4. Qual a velocidade mínima do ar soprando sobre um papel para

arrastá-lo sobre uma mesa, sabendo que o mesmo encontra-se no centro da

mesa. Sabe-se que o papel possui dimensões iguais a: largura b= 20 cm,

comprimento L = 30 cm e espessura t= 0,5 mm. As propriedades do ar são:

massa específica = 1,2 Kg/m3; e viscosidade absoluta = 1,5 10-5 Kg/(m s). A

massa do papel é 2 g e o coeficiente de atrito entre o papel e a mesa é =0,2.

A mesa possui 2,0 m de comprimento.

Solução: gmPesoFF a )( bLVCfF papel2

2

1

505022

22

50

2222

32811

50

166401,,

, ,

,

, LL

VLx

VLCf

L

Lpapel

ℓ

L

22

22

5022

22

22

22

66401664011

L

L

L

L x

L

Lpapel dxx

VLdx

LdxxCf

LCf

,,

Re

,)(

)( bL

gmVCf papel

22


40

Exemplo 4. Qual a velocidade mínima do ar soprando sobre um papel para

arrastá-lo sobre uma mesa, sabendo que o mesmo encontra-se no centro da

mesa. Sabe-se que o papel possui dimensões iguais a: largura b= 20 cm,

comprimento L = 30 cm e espessura t= 0,5 mm. As propriedades do ar são:

massa específica = 1,2 Kg/m3; e viscosidade absoluta = 1,8 10-5 Kg/(m s). A

massa do papel é 2 g e o coeficiente de atrito entre o papel e a mesa é =0,2.

A mesa possui 2,0 m de comprimento.

Solução:

ℓ

L

5050

23

2222

3281

2

,,

/ ,

LL

b

gm

V

)( bL

gmVCf papel

22

m/s579,V

Verificando regime de

escoamento)(Re,Re laminar105109842 55

2

c

L

L

V


41

Exemplo 5. Deseja-se instalar um cata-vento para gerar energia elétrica em um

platô, o qual recebe um vento de 30 Km/h. Determine a altura do suporte das pás

do cata-vento, de forma a obter o rendimento máximo. Sabe-se que as pás

possuem 3 m de comprimento e que o cata-vento está localizado a 1000 m do

início de um platô.

xUx

Re )(Re,Re turbulentoxU

cx57 10510885

mHmHm 10549546 ,,

maxmax HHH

x=1000

Ar: =1,2 kg/m3 ; = 1,7 x 10-5 kg/(ms)

x5/1

x Re

27010

Re

381,0

x


42

Exemplo 6. Um novo trem aerodinâmico viaja a uma velocidade média de 172

Km/h. Calcule a potência necessária para vencer a resistência superficial ao

longo do teto e lados de um trem de 10 vagões. Os vagões possuem 25 m de

comprimento, 3,4 m de largura e 4,5 m de altura. O ar está a 5 oC.

L = 10 x 25 m

H= 3,4 mU= 172 km/h

para 5 x 105 Rex 109

)(Re,Re turbulentoLU

cx58 10510569

Ar: =1,2 kg/m3

= 1,5 x 10-5 kg/(ms)

Pot = FA U )]([ WHLUCfF LA 22

1 2

00158010681001580

16104550 6582

,,,ReRelog

,

,

LLLCf

HPWPotNFA 4301021310716 53 ,,

Note que xc =Rec /( U) = 0,131m=13,1cm <<< L (região laminar desprezível)


Espessura de Deslocamento, *

A região da camada limite, é a região onde a velocidade apresenta

gradientes acentuados, variando de zero a 99% de U. Como a

velocidade tende assintoticamente para U é difícil avaliar

experimentalmente a espessura . Uma outra grandeza

relacionada com a camada limite, mais fácil de ser avaliada

experimentalmente é a espessura de deslocamento *.

Sabemos que o efeito das forças viscosas na camada limite é

retardar o escoamento. A vazão em massa adjacente a uma

superfície sólida é inferior à aquela que passaria pela mesma região

na ausência da camada limite. Se as forças viscosas estivessem

ausentes, a velocidade numa seção seria U. A espessura de

deslocamento * é a distância da qual a fronteira sólida teria que

ser deslocada num escoamento sem atrito para fornecer o mesmo

déficit de vazão em massa que existe na camada limite. Deslocando

a fronteira de uma distância *, resultaria em uma deficiência de

vazão em massa de U * b, onde b é a largura da superfície.

43


Queremos que a vazão real seja igual a vazão na ausência da

camada limite, dessa forma, conforme a figura abaixo

44

deficit

*

*

m

000

ydbUydbUydbUydbum

onde

zero

00

*deficit ydb)uU(ydb)uU(ydb)uU(bUm

então

0

* ydU

u1


Espessura de Quantidade de Movimento, q De forma análoga ao déficit de vazão em massa devido ao efeito

viscoso na camada limite, existe uma redução do fluxo de

quantidade de movimento numa seção em comparação a um

escoamento não viscoso.

A espessura de quantidade de movimento q é definida com a

espessura da camada de fluido com velocidade U, para a qual o

fluxo de quantidade de movimento é igual ao déficit do fluxo de

quantidade de movimento através da camada. Desta forma

45

q

0

ydU

u1

U

u


Exemplo . Um túnel de vento de laboratório tem seção de teste quadrada, com

305 mm de lado. Os perfis de velocidade de camada limite são medidos em duas

seções, e as espessuras de deslocamento são avaliadas a partir dos perfis

medidos. Na seção (1), onde a velocidade de corrente livre é U1= 26 m./s, a

espessura de deslocamento é *1=1,5 mm. Na seção (2), localizada a jusante da

seção (1), *2=2,1 mm.. Calcule a variação da pressão estática entre as seções

(1) e (2). Expresse o resultado como uma fração da pressão dinâmica de

corrente livre na seção (1). Admita condições atmosféricas-padrão.

Solução: Na região central, onde não existe gradiente de velocidade, pode-se

aplicar a equação de Bernoulli

1 2 L - 2*

L - 2*

1U

U

2/U

ppzg

2

Upzg

2

Up2

1

221

212

222

1

211

Como a massa deve se conservar, pode-se aplicar a equação da continuidade

2*22

2*11 )2L(U)2L(U 0161,01

2L

2L

2/U

pp4

*2

*1

21

21

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