Fucao Varias Variaveis
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1
Limites de Função de várias variáveis
1. Limites:
No curso de CDI-I estudamos limite de uma função real de uma variável. A definição rigorosa de
limite é dada por:
|)(| || 0 se / )( 0,)(lim LxfpxLxfpx
A seguir veremos o conceito de limites das funções de duas ou mais variáveis.
Consideremos a função ),( yxfz de domínio 2D e um ponto Dyx ),( 00 , tais que f seja
definida em pontos ),( yx bastantes próximos do ponto ),( 00 yx . Denominamos vizinhança circular de
raio do ponto ),( 00 yx ao conjunto dos pontos ),( yx , tais que:
2
0
2
0 )()(0 yyxx ou 22
0
2
0 )()(0 yyxx
que constitui o disco aberto de centro ),( 00 yx , conforme ilustra a figura a seguir.
Diremos que a constante l é o limite da função f, quando o ponto variável ),( yx tende para o
ponto ),( 00 yx , quando dado um número 0 , tão pequeno quanto desejarmos, for possível
determinarmos em correspondência com ele um outro número 0 , tal que para todo ),( yx que
satisfaça a desigualdade: 22
0
2
0 )()(0 yyxx
tenhamos
lyxfl ),( ou |),(| lyxf
Nestas condições podemos escrever:
lyxfyxyx
),(lim),(),( 00
ou lyxf
yyxx
),(lim
0
0
Lembre-se: Limites fundamentais
1) 1sen
lim0
x
x
x , 1
senlim
0
x
x
x e 1
lim
0
x
xtg
x , pois, quando 0x (em radianos) xtgxx sen
2) ex
x
x
11lim e ex x
x
1
01lim , onde: ...718182,2e
2
Cálculo de limites
No cálculo de limites de funções de várias variáveis aplicamos as mesmas propriedades estudadas em
CDI-I.
Exemplos:
1) )42(lim 323
)1,2(),(
xyyxyx
yx = ... = -4
2) yxyx
)2 ,0(),(
lim = ... = 2
3) )1ln(lim 2
)2,1(),(
xyx
yx= ... = 2 ln
4) )sen(lim)
2,0(),(
yxyx
= ... = 1
5) 2
4lim
3
)1,1(),(
yx
yx
yx= ... =
2
3
6) Calcule:22
4222lim
223
)1,2(),(
yxxy
xxxyyxx
yx
Solução: 22
4222lim
223
)1,2(),(
yxxy
xxyxyxx
yx=
= 21
2lim
)1).(2(
)2).(2(lim
)1(2)1(
)2.(2)2.(lim
2
)1,2(),(
2
)1,2(),(
22
)1,2(),(
y
xyx
yx
xyxx
yyx
xyxxyxx
yxyxyx
Observações:
1) A condição de existência do limite de uma função de uma variável é que os limites laterais, devem
existir e serem iguais, ou seja:
Lxfpx
)(lim Lxfxfpxpx
)(lim)(lim
2) Para funções de várias variáveis, como existe uma infinidade de caminhos para se aproximar do
ponto de análise, devemos provar que existe o limite usando a sua definição, salvo as situações
onde pode se empregar as propriedades.
Propriedade:
Sempre que, por dois caminhos distintos, os limites forem diferentes, o limite da função não existe.
Nota: Se tomando vários caminhos o resultado insiste em ser o mesmo, use a definição para provar
que este valor é realmente o limite de tal função.
Exemplos:
1) Calculeyx
y
yx
2lim
)0,0(),(
Solução:
1o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das abscissas, ou seja, y = 0
yx
y
yx
2lim
)0,0(),(= 00lim
0lim
00
xx x
2o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das ordenadas, ou seja, x = 0
yx
y
yx
2lim
)0,0(),(= 22lim
2lim
00
yy y
y
Portanto, como existem dois caminhos com limites diferentes, o limite não existe.
3
2) Calcule22)0,0(),(
2lim
yx
xy
yx
Solução:
1o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das abscissas, ou seja, y = 0
22)0,0(),(
2lim
yx
xy
yx = 00lim
0lim
020
xx x
2o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das ordenadas, ou seja, x = 0
22)0,0(),(
2lim
yx
xy
yx = 00lim
0lim
020
yy y
3o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando a bissetriz dos quadrantes impares, ou seja, y = x
22)0,0(),(
2lim
yx
xy
yx = 11lim
2
2lim
02
2
0
xx x
x
Portanto, como existem dois caminhos com limites diferentes, o limite não existe.
3) Mostre que42
2
)0,0(),(lim
yx
xy
yx não existe.
Vamos tomar caminhos diferentes e verificar o que ocorre com o limite nesta direção.
Se 0x 42
2
)0,0(),(lim
yx
xy
yx = 00lim
)0,0(),(
yx
Se 0y 42
2
)0,0(),(lim
yx
xy
yx = 00lim
)0,0(),(
yx
Se xy 42
2
)0,0(),(lim
yx
xy
yx =...= 00lim
)0,0(),(
yx
Se xy 42
2
)0,0(),(lim
yx
xy
yx =...= 00lim
)0,0(),(
yx
Se 2yx 2
1
2
1lim
2lim
)(limlim
)04
4
0422
22
042
2
)0,0(),(
yyyyx y
y
yy
yy
yx
xy
Portanto, como por dois caminhos diferentes o limite é diferente, conclui-se que o limite não existe.
4) Mostre que24
2
)0,0(),(lim
yx
yx
yx não existe.
Vamos tomar caminhos diferentes e verificar o que ocorre com o limite nesta direção.
Se 0x 00lim)0,0(),(
yx
Se 0y 00lim)0,0(),(
yx
Se 2xy 2
1
2
1lim
2lim
)(limlim
04
4
0224
22
024
2
)0,0(),(
xxxyx x
x
xx
xx
yx
yx
Portanto, como por dois caminhos diferentes o limite é diferente, conclui-se que o limite não existe.
4
5) Seja f definida por 22
2
33
2),(
yx
yxyxf
. Determine o limite de ),( yxf quando )0 ,0(),( yx .
a) Ao longo do eixo dos x.
b) Ao longo do eixo dos y.
c) Ao longo da bissetriz dos quadrantes ímpares.
d) Ao longo da curva 4xy .
Resposta: a) y = 0 => 0 b) x = 0 => 0 c) y = x => 0 d) 4xy => 0
Nota: Não podemos concluir a partir desses elementos que o limite de tal função existe, devemos usar
a definição, ou uma propriedade, para poder provar o que suspeitamos. A seguir, provaremos que o
valor desse limite é zero, usando a seguinte propriedade.
Propriedade:
Se y)g(x, e 0),(lim),(),( 00
yxfyxyx
é uma função limitada numa bola aberta de centro em ),( 00 yx ,
então: 0y)g(x,).,(lim),(),( 00
yxfyxyx
.
Exemplos:
1) No exemplo 6, verificamos que o limite insiste em ser nulo, usando a propriedade, prove que:
033
2lim
22
2
)0,0(),(
yx
yx
yx
Solução:
22
2
22
2
.3
2
33
2
yx
xy
yx
yx
03
2lim
)0,0(),(
y
yx e 1
22
2
yx
x, para todo )0,0(),( yx , ou seja,
22
2
yx
x
é uma função limitada.
Assim, 0.3
2lim
33
2lim
22
2
)0,0(),(22
2
)0,0(),(
yx
xy
yx
yx
yxyx
Nota: A expressão 22
2
yx
x
tem como valor mínimo 0 (quando x = 0 e y 0) e como valor máximo 1
(quando y = 0 e x 0). Ainda: 1022
2
yx
x .
2) 01
sen.lim)0,0(),(
y
xyx
, pois 0lim)0,0(),(
x
yx e 1
1sen1
y, ou seja, ),( yxg é uma função limitada.
3) Calcule, caso exista, 22
3
)0,0(),(lim
yx
x
yx
Solução: 22
2
22
3
.yx
xx
yx
x
0lim)0,0(),(
x
yx e 1
22
2
yx
x, para todo )0,0(),( yx , ou seja
22
2
yx
x
é uma função limitada.
Assim,
0.limlim22
2
)0,0(),(22
3
)0,0(),(
yx
xx
yx
x
yxyx
5
4) Calcule, caso exista, 22
2
)0,0(),(lim
yx
x
yx
Solução:
1o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das abscissas, ou seja, y = 0
22
2
)0,0(),(lim
yx
x
yx = 11limlim
02
2
0
xx x
x
2o Caminho) Aproximar do ponto (0, 0) usando o eixo das ordenadas, ou seja, x = 0
22
2
)0,0(),(lim
yx
x
yx = 00lim
0lim
020
yy y
Portanto, como por dois caminhos diferentes o limite é diferente, conclui-se que o limite não existe.
Cuidado:2222
2
yx
xx
yx
x
, mas
22 yx
x
não é limitada!
Prova: 22 yx
x
não é limitada
Solução: Tome: 0y limitada é nãologo1
limlim0
lim
1limlim
0lim
02
02
0
02
02
0
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
xxx