Funo Logartmica

A Escala Richter mede a magnitude de um terremoto. Os terremotos originam-se do movimento das placas tectnicas. O atrito de uma placa contra outra forma ondas mecnicas. Estas ondas so responsveis pelas vibraes que causam o terremoto. O sismgrafo mede a amplitude e a freqncia dessas vibraes, utilizando uma equao logartmica, pode calcular a magnitude do terremoto. A amplitude est associada a altura (tamanho) da onda e freqncia com a quantidade de ondas num determinado intervalo de tempo. Podemos observar estes dados no grfico de distncia d em metros em funo do tempo t em segundos.

d(m)

t(s)

Durante o terremoto, o sismgrafo registra a magnitude de um terremoto durante um pequeno intervalo de tempo:

A

t

A magnitude do terremoto pode ser calculada pela equao logartmica:Ms= log10 (A . f) + 3.30

Magnitude do terremoto na escala Richter

Amplitude do movimento da onda freqncia da onda registrada no sismgrafo (em m) (em hertz)

Suponhamos que um terremoto teve como amplitude 1000 micrometros e a freqncia a 0,1Hz. Qual a magnitude deste terremoto? Ms= log10 (A . f) + 3,30 Ms= log10 (1000 . 0,1) + 3,30 Ms= log10 100 + 3,30 Ms= log10 100 + 3,30

Log10 100 = x Ms= 2 + 3,30 Ms= 5,3 na escala Richter.

10x = 100

10x = 102 x= 2

Para ser calculado a intensidade de um terremoto, foi necessrio a utilizao da funo logartmica. Alexander Graham Bell, inventor do telefone, usou a funo logartmica para calcular o nvel sonoro, o qual chamamos de decibel. Porm, calcule o nvel sonoro permitido pela BPTran aos sons dos carros, sabendo que a intensidade de 10-10W/cm2 e o limiar da percepo igual a 10-16W/cm2. Soluo: = 10.log I Io = 10.log10-10 10-16 = 10.log(10-10+16)

= 10.log106

= 10.6.log10 =1

= 60dB.

A FUNO LOGARITMICA:

Considere a funo exponencial, y= ax, onde a base a um nmero positivo e diferente de 1, definida para todo x real. Observe que nestas condies, ax um nmero positivo, para todo x R, onde R o conjunto dos nmeros reais. Denotando o conjunto dos nmeros reais positivos por R+* , poderemos escrever a funo exponencial como segue: f: R -> R+* ; y = ax , 0 < a 1 Esta funo bijetora, pois: a) injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas. b) sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomnio. Assim sendo, a funo exponencial BIJETORA e, portanto, uma funo inversvel, OU SEJA, admite uma funo inversa.uma funo inversa de G aquela que faz o processo contrrio de G

Processo algbrico para clculo da funo inversa: Exemplo: Achar a expresso que representa a inversa da funo y = x +2 1 Passo)Trocamos x por y: 2 Passo)Isolamos y: x=y+2 y=x-2

Resposta: y = x - 2 a expresso que representa a inversa da funo y = x + 2

Vamos determinar a funo inversa da funo y= ax, onde 0< a1 1: Trocando x por y temos: logax.

Pode-se observar que o inverso da funo exponencial a funo logartmica. Portanto, logaritmo o expoente a que se deve elevar um nnero constante para se obter outro nmero.

Definio de Logaritmo Dados os nmeros reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaam a relao bx= N, dizemos que x o logaritmo de N na base b. Isto expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b a base do sistema de logaritmos, N o logaritmando ou antilogaritmo e x o logaritmo.

Exemplos: a) log28 = 3 porque 23 = 8. b) log41 = 0 porque 40 = 1. c) log39 = 2 porque 32 = 9. d) log55 = 1 porque 51 = 5. Exemplo: Se a curva da figura representa o grfico da funo y= logx, com x>0, o valor da rea hachurada :

y

Soluo:

O grfico uma funo logartmica que pode

ser calculado pela soma das reas do retngulo (base x altura): 3) log 2 + log 3 log 2.3 log 6 Notas: 1 - quando a base do sistema de logaritmos igual a 10 , usamos a expresso logaritmo decimal e na representao simblica escrevemos somente logN ao invs de log10N. Assim que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N. Existe tambm um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier matemtico escocs do sculo XVI, inventor dos logaritmos), cuja base o nmero irracional + (1.log 2) + (1.log1 2 3 4

+

e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo smbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, tambm conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicao no estudo de diversos fenmenos da natureza. Exemplos: a) log100 = 2 porque 102 = 100. b) log1000 = 3 porque 103 = 1000. c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2. d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3. e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183... f) ln 7 = loge7 2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente so nmeros decimais onde a parte inteira denominada caracterstica e a parte decimal denominada mantissa . Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, onde 1 a caracterstica e 0,3010 a mantissa. As mantissas dos logaritmos decimais so tabeladas. Consultando a tbua de logaritmo (qualquer livro de Matemtica traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tbuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemtico ingls do sculo XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definio de logaritmo que 101,6532 = 45. 3) Da definio de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os nmeros reais positivos possuem logaritmo. Assim, no tm sentido as expresses log3(-9) , log20 , etc. 4) fcil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definio: P1) O logaritmo da unidade em qualquer base nulo, ou seja: logb1 = 0 porque b0 = 1 P2) O logaritmo da base sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b. P3) logbbk = k , porque bk = bk . P4) Se logbM = logbN ento podemos concluir que M = N. Esta propriedade muito utilizada na soluo de exerccios envolvendo equaes onde aparecem logaritmos (equaes logartmicas).P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b igual a M.

PROPRIEDADES OPERATRIAS DOS LOGARITMOS P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja: logb(M.N) = logbM + logbN Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base no foi especificada, sabemos que ela igual a 10.

Funo Exponencial am.

Funo Logartmica loga(A.B) = logaA + logaB

a =a

n

m+n

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE O logaritmo de uma frao ordinria igual a diferena entre os logaritmos do numerador da frao e do denominador, ou seja: logb(M/N) = logbM - logbN Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 ento 10-1,6990 = 0,02. Da mesma forma podemos exemplificar: log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Funo Exponencial a =a anm m-n

Funo Logartmica loga(A/B) = logaA - logaB

Observao: a no indicao da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10). Nota: Chamamos de cologaritmo de um nmero positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, tambm na base b. Ou seja: cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN. (menos log de N na base b). Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA Temos a seguinte frmula, facilmente demonstrvel: logbMk = k.logbM. Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.

Funo Exponencial (a . b) = a . bn n n

Funo Logartmica logaAn = n. logaA

P4 - MUDANA DE BASE s vezes, para a soluo de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudana de base, muito importante na soluo de exerccios, poder ser feita de acordo com a frmula a seguir, cuja demonstrao no apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos: a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2) b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3) c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos ento que 251,5 = 125. Notas: 1 - na resoluo de problemas, sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os clculos. 2 - Duas conseqncias importantes da frmula de mudana de base so as seguintes: a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que no precisa ser indicada). b) logba . logab = 1 Exemplos: a) log37 . log73 = 1 b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

Grficos da funo logartmica Para se obter o grfico de funes logartmicas, atribuem-se valores varivel independente x. Exemplo1: Dada a funo logartmica: y= f(x) = log2x, construa o grfico desta funo.

x

Y= log2x

1 2 4 8

Exemplo 2: Dada a funo logartmica: y= f(x)= log1/2x, construa o grfico desta funo.

x

Y= log1/2x

1 2 4 8 O que voc pode observar nos dois grficos anteriores? Existe alguma relao importante? Ento voc percebeu que a funo logartmica y= f(x)= logax, pode ser crescente ou decrescente. Mas, qual informao nos mostra a caracterstica do grfico? Conseguimos obter essas informaes analisando a base da funo logartmica: logax, a base desta funo est representada pela letra a. Logo, quando a base for maior do que um (a>1) ser uma funo crescente, e quando a base for maior do que zero e menor do que um (01) ser uma funo decrescente. Assim, podemos analisar os grficos das funes exponencial (y= ax) e logaritmica (y= logax), para os casos a>1 e 0< a1. Observe que, sendo as funes, inversas, os seus grficos so curvas simtricas em relao bissetriz do primeiro e terceiro quadrante, ou seja, simtricos em relao a reta y= x.

Da simples observao dos grficos anteriores, podemos concluir que: 1 - para a > 1, as funes exponencial e logartmica so CRESCENTES. 2 - para 0 < a 1, elas so DECRESCENTES. 3 - o domnio da funo y = logax o conjunto R+* . 4 - o conjunto imagem da funo y = logax o conjunto R dos nmeros reais. 5 - o domnio da funo y = ax o conjunto R dos nmeros reais. 6 - o conjunto imagem da funo y = ax o conjunto R+* . 7 - observe que o domnio da funo exponencial igual ao conjunto imagem da funo logartmica e que o domnio da funo logartmica igual ao conjunto imagem da funo exponencial. Isto ocorre porque as funes so inversas entre si.

Alguns exemplos de funes crescentes e decrescentes 1) y = log2x , y = log4x , y = log8x , y = log10xPara y = log2x Para y = log4x Para y = log8x Para y = log10x X Y X Y X Y X Y 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 4 1 8 1 10 1 4 2 16 2 64 2 100 2 8 3 64 3 512 3 1000 3

2) y = log(1/2)x , y = log(1/4)x , y = log(1/8)x , y = log(1/10)xPara y = log(1/2)x Para y = log(1/4)x Para y = log(1/8)x Para y = log(1/10)x X Y X Y X Y X 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1/8 1 1/10 1/4 2 1/16 2 1/64 2 1/100 1/8 3 1/64 3 1/512 3 1/1000

Y

0

1

2

3

Podemos perceber nos grficos acima que a funo logaritmo sempre passa pelo ponto (1,0) Podemos concluir ento que : A funo logax crescente quando a>1 (veja o grfico) A funo logax decrescente quando 0