PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática Matemática - Turma 135 - Profa Gertrudes Regina T. Hoffmann

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FUNÇÃO CUSTO TOTAL, FUNÇÃO RECEITA TOTAL E FUNÇÃO LUCRO TOTAL FUNÇÃO CUSTO TOTAL

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf).À parcela de custos que depende de x chamamos custo variável (e indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever:

Ct(x) = Cf + Cv(x)

Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo total dividido pela quantidade, isto é:

x(x)C

(x)C tm =

FUNÇÃO RECEITA TOTAL

Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p = f(x). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como:

R(x) = p.x = f(x)x.

FUNÇÃO LUCRO TOTAL

Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é:

L(x) = R(x) − Ct(x)

Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de nivelamento. Então, o ponto de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo é denominado ponto de nivelamento. Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 20 grau, será suficiente determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o ponto de máximo (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice será o lucro máximo.

x

y Receita Total

a - pontos de nivelamento - b

Custo Total

x

y

a b

Lucro Máximo

Exemplos e Exercícios: 1)

Tendo em vista o gráfico acima, responda as questões abaixo:

a) Qual a equação da função Vendas ? b) Qual o intervalo onde observamos o ponto de equilíbrio ? c) O que significa o fato da função Custo total não iniciar do ponto (0,0)? d) Supondo que o Custo Fixo seja R$ 75.000,00 e que um ponto do gráfico da função Custo Total seja (30.000, 225.000), qual será a equação da função Custo Total ?

2) Considerar as funções custo total C(x) = 2x + 39 e a função receita R(x) = - x2 + 18 x relativas à produção e venda de x unidades de um mesmo produto, 18x0 ≤≤ , representadas no gráfico abaixo. Determinar a função Lucro e observando o gráfico responda: a) Quais os pontos de nivelamento. b) Qual o intervalo onde o temos Lucro (L(x)>0). c) Qual o intervalo onde temos Prejuízo (L(x)<0).

3) O custo fixo de uma empresa é 500u.m. sendo o custo variável .2021)( 2 xxxCv −= A função demanda é

dada pela expressão 40x21p +−= . Determine:

0

C C(x) / R(x)

39

R (x) 65

45

13 3 18 x

a) as funções: receita, custo total e lucro total b) o intervalo onde o lucro total é positivo c) o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro. 4) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de 600u.m. e, em material, gasta 25u.m. por unidade produzida. Cada unidade será vendida por 175u.m.. Determine: a) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter o nivelamento b) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de 450u.m.

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5) Supondo que o custo total para fabricar “x” unidades de um certo produto seja dado por: Ct (x) = x2 + 8, determina: a) o custo fixo; b) o custo variável; c) o custo de fabricação de quatro unidades; d) o custo de fabricação da quarta unidade;

d) a função do custo médio; e)o custo médio de produção das quatro primeiras unidades. 6) O custo total para um fabricante consiste de uma quantia fixa 200 μ m somado ao custo de produção que é de 50 μ m por unidade. Expressa o custo total como função do número de unidades produzidas e constrói o gráfico. 7) Se o preço de venda de um certo produto é 70 μ m e “x” representa a quantidade vendida, determina:

a) a função receita total; b) o gráfico da função receita total.

8) Considera a função custo total do exercício (6) e a função receita total do exercício (7). Determina:

a) a função lucro total; b) o ponto crítico (de nivelamento); c) os valores de “x” para os quais o lucro é negativo; d) os valores de “x” para os quais o lucro é positivo; e) os gráficos das funções custo, receita e lucro no mesmo sistema de eixos.

9) Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro total em cada caso:

a) Rt (x) = 4x e Ct (x) = 20 + 0,25x b) Rt (x) = 0,5x e Ct (x) = 50 + 2x

10) Uma editora vende certo livro por 60 μ m a unidade. Seu custo fixo é 10.000 μ m e o custo variável por unidade é 40 μ m.

a) Qual o ponto de nivelamento? b) Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a 8.000μm? c) Esboça os gráficos da receita, custo e lucro no mesmo sistema de eixos.

11) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e demanda diária são: p = 20 + 5x e p = 110 – 4x, respectivamente. Determina:

a) o preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50; b) a quantidade vendida quando o preço é 10 μ m; c) o ponto de equilíbrio do mercado; d) os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos; e) interpreta o resultado obtido em (c).

12) O aluguel de um carro numa agência é de 14000 μ m mais 150 μm por quilômetro rodado. Uma segunda agência cobra 20.000 μm mais 50 μ m por quilômetro rodado. Qual a agência que oferece o melhor preço de aluguel? Faze o gráfico como auxílio. Respostas:

5) a) Cf = 8; b) Cv(x) = x2; c) 24; d) 7; e) Cm(x) = x

x 8+ ; f) 6.

6) Ct (x) = 50x + 200 7) a) Rt (x) = 70x b)

4

400

200

Ct

280

4

Rt Ct

Rt

x

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8) a) Lt (x) = 20x – 200; b) (10,700); c) x < 10 ; d) x > 10 e) Rt

700

10

Ct

x

200

-200

Lt

9) a)(25,100) “Lt (x) = 2x – 50” b) (80,40) Lt (x) = 0,25x – 20”

Rt

40

80

Ct

x

20

-20

Lt

Rt

100

25

Ct

x

50

-50

Lt

Rt

30000

500

Ct

10000

-10000

Lt x

10) a) (500, 30 000)

b) 900 unidades c)

11) a) 270 μ m 12) Para distâncias menores que 60 Km, a primeira e para

b) 25 e) x < 10 lucro negativo maiores a segunda.

60

Ag1

x

1400

20002300

Ag2

x > 10 lucro positivo c) (10,70) d))

110

10

x

20

70

demanda

oferta

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