Funções deriváveisFunções deriváveis

Infinito 11 / 2Volume Pg. 89

RECORDA!...RECORDA!...

Derivada de uma função num pontoDerivada de uma função num ponto

x

y

O

25

16

1

t

ttt 204 2

6m

8m

smvmtvm /615,2

15,2... 5,2;1

smvmtvm /812

12... 2;1

21,5

smvmtvm /1015,1

15,1... 5,1;1

12 ti mv

12 m/s

hhv

hi11lim

0

121

2,5

10m

Definição:

A derivada, ou variação instantânea, de uma função f num ponto , se existir, é o limite da quando .

Ou seja,

ou

Se num ponto não existir derivada finita diz-se que a função não é derivável nesse ponto.

Geometricamente, a derivada da função f no ponto , é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto .

h

xfhxfxfh

0000 lim

0

00

0lim

xxxfxfxf

xx

fDx 0 hxxTmv 00 , 0h

o 0x , f x0x

x

y

t

sy = f(x)

f(x0+h) - f(x0)

hf(x0)

f(x0+h)

x0+hx0

M

O

A

5

-20

m=-20m=20

Função derivadaFunção derivada

x

y

O 0,5 1 2 2,5 3 3,5 41,5 4,5 5

m=16

m=12

m=8

m=4

m=0

m=-4

m=-8

m=-12

m=-16

x

y

O

20

2,5

16

0,5

-16

4,5

12

1

8

1,5 -43

-8

3,5

-12

4 4

2

ttt 204 2

ttt 204 2

GSP

208 t t

Derivadas LateraisDerivadas Laterais

Derivadas Laterais IDerivadas Laterais I

-2 2 x

y

O

24 xxg

42 g

42 g

Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem derivada no ponto -2.

A derivada à direita de g no ponto -2 é o declive da semitangente direita ao gráfico nesse ponto.

A derivada à esquerda de g no ponto -2 é o declive da semitangente esquerda ao gráfico nesse ponto.

42 g

42 g

A derivada à esquerda de g no ponto 2 é o declive da semitangente esquerda ao gráfico nesse ponto.

A derivada à direita de g no ponto 2 é o declive da semitangente direita ao gráfico nesse ponto.

Como as derivadas laterais são diferentes, a função não tem derivada no ponto 2.

Derivadas Laterais IIDerivadas Laterais II

x

y

O

3 xxh

Geometricamente, este resultado significa que a tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 0 é uma recta vertical que, neste caso, é o eixo das ordenadas.

0h

Podemos constatar que a função, embora seja contínua no ponto 0, tem derivada infinita. Não é derivável no ponto.

Derivadas Laterais IIIDerivadas Laterais III

x

y

O

Neste caso a função nem é contínua nem derivável no ponto estudado.

Não existe derivada de f no ponto –1.

Graficamente pode ver-se que a semitangente esquerda é vertical e que a semitangente direita tem declive negativo.

121

2 xsexxsex

xf

1f

1 2f

-1 1

-2

1

Derivadas Laterais IVDerivadas Laterais IV

x

y

O

Graficamente vê-se que a semitangente esquerda é uma recta vertical.

Também a semitangente direita é uma recta vertical.

Podemos ainda constatar que também neste caso a função nem é contínua nem derivável no ponto estudado.

2r 2r

2222

xsexxsex

xr

2

4

Maria José Vaz da Costa