Curso online disciplinas para concursos matematica funcoes e sequencias
Funcoes matematica mto bom
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MATEMÁTICA
Editora Exato 20
FUNÇÕES 1. PAR ORDENADO
É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem. 1.1 Igualdade
( ) ( ) cad,cb,a =⇔= e db =
Exemplos: E.1) ( ) ( ) 21ab,1a3,2 =+⇒+= e 3b = , logo
1a = e 3b = .
E.2) ( ) ( )
=−
=+⇒=−+
6ba
3b2a6,3ba,b2a , logo
5a = e 1b −= .
2. PRODUTO CARTESIANO
2.1 Representação O produto cartesiano será simbolizado por
AxB. 2.2 Definição
Dados os conjuntos A e B, não vazios, define-se como produto cartesiano ( )AxB o conjunto de todos os pares ordenados ( )y,x , tais que Ax ∈ e By ∈ . Em símbolos, temos:
( ){ }By e Ax/y,xAxB ∈∈=
Se A ou B forem vazios, afirmamos que φ=AxB .
Exemplos: E.1) Dados { }2,1A = e { }4,3B = , determine AxB
e BxA. Resolução:
( ) ( ) ( ) ( ){ }AxB 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4= ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4,2,3,1,4,1,3BxA =
E.2) Determine AxAA2 = , em que { }3,2,1A = . Resolução:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1AxAA2 ==
2.3 Propriedade ( ) ( ) ( )BnAnAxBn ⋅= , em que ( )AxBn , ( )An e ( )Bn re-
presentam, respectivamente, o número de elementos em AxB , A e B.
3. RELAÇÃO BINÁRIA
3.1 Definição Define-se como relação binária de A em B a
qualquer subconjunto de AxB. 3.2 Representação
A relação binária de A em B pode ser repre-sentada como:
I) Listagem dos pares ordenados envolvidos na relação.
II) Diagrama de flechas entre os conjuntos A e B.
III) Representação gráfica no plano cartesiano. Exemplo:
Considere a relação ( ){ }1xy/AxBy,xR +=∈= em que { }6,5,3,2A = e { }11,10,7,4,3B = . Represente a rela-ção R.
Resolução: I) Representação dos pares ordenados.
( ) ( ) ( ){ }7,6,4,3,3,2R = .
II) Representação com diagrama de flechas.
5
3
2
6
Ay=x+1
3
4
7
10
11
B
III) Representação no gráfico cartesiano.
32 6
3
4
7
3.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio Dada uma relação R de A em B ( )BA:R → .
Define-se como: � Contra-domínio da relação R o conjunto de
chegada da relação R, ou seja, o conjunto B.
� Domínio da relação R o conjunto formado pelos elementos relacionados pela relação R no conjunto de partida (conjunto A).
� Imagem da relação R ao conjunto formado pelos elementos relacionados pela relação
Editora Exato 21
R no conjunto de chegada (conjunto B), ou seja, os segundos elementos de todos os pa-res ordenados de R.
Exemplo:
5
A B
1
3
7
8
9
10
2
3
5
7
I) Domínio da relação R: ( ) { }8,5,3,1RD = . II) Contra-domínio da relação R (conjunto de
chegada): ( ) BRCD = . III) Imagem da relação ( ) { }10,5,3,2RIm:R = .
4. FUNÇÃO
4.1 Definição Define-se como função de A em B a toda rela-
ção binária de A em B que satisfaz as propriedades abaixo.
I) Todo elemento do domínio possui um cor-respondente no contra-domínio, ou seja, no conjunto de partida não existe elemento sem correspondente. Exemplo:
E.1)
A B
não satisfazà propriedade I
E.2)
A B
satisfaz à propriedade I
E.3)
A B
satisfaz à propriedade I
II) Cada elemento do domínio possui um único correspondente no contra-domínio. Exemplo:
E.1)
não satisfaz àpropriedade II
E.2)
satisfaz àpropriedade II
E.3)
satisfaz àpropriedade II
4.2 Função Inversa Dada uma função f de A em B, bijetora, defi-
ne-se como função inversa de f a toda função g em B em A, tal que:
( ) ( )f fog x go x x= = .
Símbolo: A função inversa de f é indicada por f 1− .
Editora Exato 22
Exemplo: Dada ( )f x 3x 5= + , determine sua função inver-
sa. Resolução:
Na prática, para determinarmos a função inver-sa de f, devemos trocar o x por y, o y por x e depois isolar o y.
( ){ { ( ) 3
5x
xf
y5y3x5x3xf
1yx
−=⇒+=⇒+=
−, logo
( )3
5xxf 1 −
=− .
5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
5.1 Definição Define-se como função polinomial do 1º grau
ou função afim a toda função f de R em R que asso-cia a cada número ( )x D f∈ um número ( ) ( )f x CD f∈ ,
tal que ( )f x =ax+b (com a ∈ R* e b ∈ R).
5.2 Gráficos Dada a função f: R → R, tal que ( ) baxxf +=
(com 0a ≠ ). Gráficos
a > 0
função crescente
y
xO
a < 0
função decrescente
y
xO
� Propriedades O coeficiente a é denominado de coeficiente
angular e representa a tangente do ângulo de inclina-ção.
O coeficiente b é denominado de coeficiente linear e representa o ponto de encontro da função com o eixo y, ou seja, o ponto ( )b,0 pertence ao grá-fico da função f.
6. FUNÇÃO QUADRÁTICA
Define-se como função polinomial do 2º grau a função quadrática a toda função f de R em R que as-socia a cada número ( )fx D∈ um número
( ) ( )f fx CD∈ , tal que ( ) cbxaxxf 2 ++= (com a∈R* e b,
c ∈R).
7. CONCAVIDADE E RAÍZES
A função polinomial do 2º grau possui como representação gráfica a curva denominada de parábo-la.
� concavidade
⇒<
⇒>
baixo para voltada 0a
cima para voltada0a
� raízes
⇒<∆
⇒∆
⇒>∆
reais raízes existem não0
iguais e reais raízes 2 0=
distintas e reais raízes 2 0
8. GRÁFICOS
Devemos observar que o número de possibili-dades para a construção do gráfico da função quadrá-tica é 6, levando em consideração as possibilidades da concavidade e raízes. 8.1 a>0 e ∆>0
� Concavidade voltada para cima e duas raí-zes reais distintas.
x1 x2
8.2 a>0 e ∆=0 � Concavidade voltada para cima e duas raí-
zes reais iguais.
x1 x2=
8.3 a>0 e ∆<0 � Concavidade voltada para cima e não pos-
sui raízes reais.
8.4 a<0 e ∆>0 � Concavidade voltada para baixo e duas raí-
zes reais distintas.
x1 x2
Editora Exato 23
8.5 a<0 e ∆=0 � Concavidade voltada para baixo e duas raí-
zes reais iguais.
x1= x2
8.6 a<0 e ∆<0 � Concavidade voltada para baixo e não pos-
sui raízes reais.
9. VÉRTICE DA PARÁBOLA
Dada a função ( ) 2f x =ax +bx+c (com 0a ≠ ) a
coordenada do vértice da parábola ( )vv y,xv pode ser determinada pelas relações abaixo.
a2
bxv
−= e
a4yv
∆−=
Exemplo: Dada a função 2f(x) 2x 5x 10= − − , determine a
coordenada do vértice da parábola e faça a represen-tação gráfica da função f no plano cartesiano. Resolução:
( )4
5
2.2
5xv =
−−= e ( ) ( )( )
24
10245y
2
v⋅
−⋅−−=
8
105−=
Devemos observar que 0∆ > e 0a > ; logo, a parábola possui concavidade voltada para cima e du-as raízes reais distintas.
y
x
5
4
105
8
−
8
105,
4
5vV
9.1 Valor máximo e mínimo Para uma função polinomial do 2º grau pode-
mos determinar o valor máximo ou mínimo da ima-gem determinando o valor da imagem da função no
vértice da parábola
∆−=
a4yv .
� Se a > 0, então o valor encontrado no yv se-rá mínimo.
� Se a < 0, então o valor encontrado no yv se-rá máximo.
10. FUNÇÃO MODULAR
10.1. Definição Define-se como função modular a toda função
f de R em R que associa a cada ( )x D f∈ um número
( ) ( )f x CD f∈ , tal que, ( )f x x= . Em símbolos, temos:
x, se x 0f : f(x)
-x, se x<0
≥→ =
R R .
10.2. Elementos Dada a função módulo f(x) x= .
� Domínio de f :D(f) = R . � Contra domínio de f: CD(f) = R . � Imagem de f: Im(f) += R .
10.3. Equações Modulares
x k
x k ou
x k
=
= ⇔ = −
Exemplo: E.1) Determine o valor de x na equação
x 3 5− = .
Resolução x 3 5 x 8
x 3 5 ou
x 3 5 x 2
− = → =
− = ⇒ − = − ⇒ = −
� Propriedades
nn
n n
x 0.
x y x y .
xx, para y 0.
y y
n x .
x x , para n par.
≥
⋅ = ⋅
= ≠
=
=
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Qual dos gráficos abaixo representa uma função? a)
Editora Exato 24
y
y
y
1
1
2
xx
b)
y
y
y
1
1
2
xx
c)
y
y1
1 xx
d)
y
y1
1 xx
Resolução: c) e d) Observe que a definição de função compreen-
de dar um valor x e encontrar um, e somente um, va-lor para y.
Dica: fazer uma reta vertical em qualquer pon-to do gráfico e não corresponder dois ou mais valores em y.
2 Seja a função ( ) 3 22 1f x x x x= − + + , calcular:
a) f(0) b) ( )1f −
Resolução:
a) substituir na função o valor atribuído a x
( ) ( )230 0 2 0 0 1 1f = − + + =
b)
( ) ( ) ( )3 2
1 2 1 1 1
1 2 1 1 3
− − − + − + =
/ /− − − + = −
EXERCÍCIOS
1 (FMU-SP) Seja a função f definida por
( ) 3f x 2x 1= − . Então ( ) ( )1
f 0 f 1 f2
+ − +
é:
a) 3
4− d) 19
4−
b) 15
4− e) 13
4−
c) 17
4−
2 (MACK-SP) Se ( ) 2f x 1 x− = , então o valor de
( )f 2 é:
a) 9 b) 6 c) 4 d) 1 e) 0
3 (FGV-SP) A população de uma cidade daqui a t
anos é estimada em ( )4
P t 30t
= − milhares de pes-
soas. Durante o 5º ano, o crescimento da popula-ção será de: a) 300 pessoas. b) 200 pessoas. c) 133 pessoas. d) 30 pessoas. e) 2 pessoas.
4 (UFMG) Suponha que o número f(x) de funcio-nários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função
( )300x
f x150 x
=−
. Se o número de funcionários ne-
cessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a) 30. b) 40. c) 45. d) 50. e) 55.
Editora Exato 25
5 (UEL-PR) Para que os pontos ( )1;3 e ( )3; 1− per-
tençam ao gráfico da função dada f(x) ax b= + , o valor de b a− deve ser:
a) 7. b) 5. c) 3. d) –3. e) –7.
6 (CESCEM) Se 3f(x) 2x= , então, os valores de:
f(0); ( )f 1− ; ( )f 2 ; ( )f 2− ; e 1f
2
− −
são:
a) 2, 2, 4, -4, -1/4. b) 0, -2, 16, -16, 1/4. c) 0, -6, 16, -16, 1/3. d) 2, -2, 2, -2,-1/3. e) 0, 2, 16, 16, 1/4.
7 (PUC) Qual dos gráficos não representa uma função? a)
x
y
b)
x
y
c)
x
y
d)
x
y
e)
x
y
8 (ESC. AERON) Determinar o campo de existên-cia da função 2y 4 x= − : a) ( )4,4−
b) [ ]2,4−
c) ( )2, 2−
d) [ ]2,2−
e) Nenhuma.
9 (PUC-RS) O domínio da função real dada por
( )2
1f x
2x 5x 3=
+ − é o conjunto:
a) 1R 3,
2
− −
b) 1R ,3
2
− −
c) 1R
2
−
d) 13,
2
−
e) 1,2
2
−
10 (FMU-SP) O domínio real da função
( )2x 4
f xx 2
−=
− é o conjunto:
a) { }x R / x 2 ou x 2∈ ≤ − ≥
b) { }x R / 2 x<2∈ − ≤
c) { }x R / 2 x 2∈ − ≤ ≤
d) { }x R / x 2 ou x>2∈ ≤ −
e) { }x R / x 2∈ >
Editora Exato 26
11 (PELOTAS) Se f e g são funções definidas em R por ( )f x x 2= + e ( )g x 3x 5= + , então ( )g f x é:
a) 3x+11 b) 3x2 + 10 c) 3x2 + 11x + 10 d) 4x+7 e) ( )f g x
12 (USP) Se ( )f x 5x= e ( ) 2g x 3x= , então ( )f g x
será igual a: a) 15x + 3x2
b) 15x2
c) 8x3
d) 15x e) 15x3
13 (PUC-SP) Sendo ( ) 3f x x 1= + e ( )g x x 2= − , então
( )gof 0 é igual a:
a) 1 b) 3 c) 0 d) 2 e) –1
14 (UFPR) Para cada valor real de x, sejam ( ) 2f x x= e ( ) ( )g x f f x = . Calcular o valor de
( )
( )
f g 3
g 3
.
a) 20. b) 21. c) 31. d) 81. e) 80.
15 Uma função do 2º grau, nos dá sempre a) uma reta. b) uma hipérbole. c) uma parábola. d) uma elipse. e) nenhuma.
16 O vértice da parábola 2y x 4x 5= − + + é: a) ( )V 2,9 .
b) ( )V 5, 1− .
c) ( )V 1, 5− − .
d) ( )V 0,0 .
e) Nenhuma.
17 A função 2y 2x x 1= − + é uma parábola que: a) corta o eixo x em dois pontos. b) passa pela origem. c) não corta o eixo x. d) tem concavidade voltada para baixo. e) nenhuma.
18 Dada a função ( )f x mx n= + , conhecendo-se
( )f 0 2= e ( )f 1 3= , então o valor de m e n é:
a) 1 e 2. b) 2 e 1. c) 3 e 1. d) 2 e 3. e) 0 e 1.
19 (PUC) Sendo m R∈ , então as raízes da equação ( )2x m 1 x m 0− − − = serão reais e iguais se, e so-
mente se, a) m 1≠ . b) m=1. c) m 1≠ − . d) m=-1. e) m=0.
20 (PUC) Para que as raízes ou zeros da função 2y x mx 4= − + sejam reais, é necessário que:
a) [ ]m R e m -4 ou m>4∈ ≤ .
b) m R e m>4∈ . c) [ ]m R e m -4 ou m 4∈ ≤ ≤ .
d) [ ]m R e -4 m 4∈ ≤ ≤ .
e) [ ]m R e -4 < m <4∈ .
21 (UFPR) O vértice da parábola 2y 2x 8x 8= − + − tem coordenadas: a) ( )0, 8− .
b) ( )1, 2− .
c) ( )2,0 .
d) ( )3,0 .
e) ( )3. 2− .
GABARITO
1 D
2 A
3 B
4 A
5 B