1

Funções Trigonométricas: Seno, Co-seno e Tangente

As funções trigonométricas ou funções circulares apresentam umacaracterística nova em relação às funções anteriores: a periodicidade

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Estas funções ajudam a compreender fenómenos periódicos que nos rodeiam,tais como:

- movimento dos ponteiros do relógio;

- movimento de um pêndulo;

- movimento de uma roda;

- fases da lua;

- translação da terra em torno do seu eixo;

- pulsações cardíacas, etc

2

Função periódica

Considere o gráfico seguinte:

A função d é periódica de período positivo mínimo igual a 40 minutos

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

onde, d é a distância, em metros, de um teleférico que se desloca a um local Ae t é o tempo, em minutos, decorridos após as 8 horas da manhã do dia Y

Uma função f é periódica de período T (T ≠ 0) se,∀x ∈ Df: f(x + T) = f(x)

Ao menor valor de T dá-se o nome de período positivo mínimo

período positivomínimo

3

Seja f a função que a cada amplitude x (em radianos) de um ângulo nocírculo trigonométrico faz corresponder o número real senx.

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Matemática B

Função Seno

f : IR → IRx → senx

4

Observando o gráfico da função seno,

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Domínio: IRContradomínio: [-1, 1]

Paridade: Função ímpar: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ Df(representação gráfica simétrica em relação à origem do

referencial)

Função Periódica: Período positivo mínimo: 2π(sen(x + 2kπ ) = senx, k ∈ Z)

Expressão geral dos zeros: x = kπ, com k∈Z

Máximo da função: 1 quando , com k∈Z

Mínimo da função: -1 quando , com k∈Z

2kπ2πx +=

2kπ23πx +=

conclui-se que:

5

Seja g a função que a cada amplitude x (em radianos) de um ângulo nocírculo trigonométrico faz corresponder o número real cosx.

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Matemática B

Função Co-seno

g : IR → IRx → cosx

6

Observando o gráfico da função co-seno,

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Domínio: IRContradomínio: [-1, 1]

Paridade: Função par: g(-x) = g(x), ∀ x ∈ Dg(representação gráfica simétrica em relação aoeixo das

ordenadas)

Função Periódica: Período positivo mínimo: 2π(cos(x + 2kπ ) = cosx, k∈Z)

Expressão geral dos zeros: , com k∈Z

Máximo da função: 1 quando x = 2kπ, com k∈Z

Mínimo da função: -1 quando x = π + 2kπ, com k∈Z

kπ2πx +=

conclui-se que:

7

Seja h a função que a cada amplitude x (em radianos) de um ângulo nocírculo trigonométrico faz corresponder o número real tgx.

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Matemática B

Função Tangente

h : IR\ {x: , k∈Z} → IR

x → tgx

kπ2πx +=

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Observando o gráfico da função tangente,

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Domínio: IR\ {x: , k∈ Z }

Contradomínio: IRParidade: Função ímpar: h(-x) = -h(x), ∀ x ∈ Dh

Função Periódica: Período positivo mínimo: π(tg(x + kπ ) = tgx, k∈Z)

Expressão geral dos zeros: x = kπ, com k∈Z

Extremos da função: Não tem máximos nem mínimos

kπ2πx +=

conclui-se que:

9

Na figura está representado um círculo de raio 6m e centro C. [ABCD] é umrectângulo com 10m de largura e 12 m de comprimento

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Exemplo

Pretende-se fazer um jardim com a forma de umtriângulo como se indica na figura. Os pontos C e B sãovértices do triângulo, o outro vértice é o ponto P, dacircunferência, cuja posição depende do ângulo α

2. Qual é a amplitude do ângulo CPG?

1. Qual seria a área do jardim se α = 0º? α = 90º?

Se α = 0º, o jardim tem a forma do triângulo rectângulo [BCP]. A sua área é

2.

________CPCB 236

2612 m==

x

Se α = 90º, o triângulo não existe, logo a área é nula

A amplitude do ângulo CPG é igual à amplitude do ângulo α

10Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

3. A altura do triângulo é [GP]. Determine o comprimento de GP em função de α

4. Mostre que a área do triângulo é dada, em função de α , pela expressãoA(α) = 36cos α

O ângulo GCP é complementar do ângulo PCD de amplitude α, logo

απ−=

2ˆPCG

____

____

2 CP

GPsen =

−απ

62

____GPsen =

−⇔ απ

O comprimento de [GP]:

6cos

____GP

=⇔ α

αcos6____

=⇔ GP

Área do triângulo:

( )2.

________GPCBA =α ( )

2cos612 αα x

=⇔ A ( ) αα cos36=⇔ A

11

Considere a função g definida por:

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Matemática B

Exemplo

1. Determine o contradomínio de g

( )

=

2cos3 xxg

2. Mostre que 4π é o período positivo mínimo de g

12

cos1 ≤

≤−

x

32

cos33 ≤

≤−

xMultiplicando todos os membros por 3, obtém-se

( ) 33 ≤≤−⇔ xg Logo D’g=[-3, 3]

De facto,g(x + 4π) =

+

24cos3 πx

+= π2

2cos3 x

=

2cos3 x

= g(x), ∀ x ∈ Dg

3. Determine os zeros de g

02

cos3 =

⇔

xg(x) = 0 02

cos =

⇔

x Zkkx∈+=⇔ ,

22ππ Zkkx ∈+=⇔ ,2 ππ

4. Estude a paridade da função g

g(-x) =

−

2cos3 x

−=

2cos3 x

=

2cos3 x

= g(x), ∀ x ∈ Dg

g é uma função par

12

Os gráficos das funções do tipo y = Asen(Bx – C) + D podem obter-se a partirdas transformações geométricos do gráfico de y = senx

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Funções Trigonométricas na Modelação de Situações Reais

Funções do tipo y = Asen(Bx – C) + D e

y = Acos(Bx – C) + D, com A e B ≠ 0

Vejamos qual é a influência dos parâmetros A, B, C e D no gráfico dasfunções y = Asen(Bx – C) + D, com A e B ≠ 0

A influência dos parâmetros neste tipo de funções é a mesma para asfunções do tipo y = Acos(Bx – C) + D

13Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Qual a influência do parâmetro A?

Funções do tipo m(x) = Asenx, A ≠ 0

f(x) = senxg(x) = 2senx

h(x) = 0,5senxπ 2π-2π -π

1

-1

Amplitude: |A|

Alongamento vertical

Encolhimento vertical

g(x) obtém-se f(x) por:

h(x) obtém-se f(x) por:

f, g e h têm os mesmos zeros, maximizantes e minimizantes

D’f =[-1, 1], D’g =[-2, 2] e D’h =[-0,5; 0,5]

tem os mesmos zeros, maximizantes eminimizantes de f(x) = senx

contradomínio é [-A, A]

Funções m(x) = Asenx, A ≠ 0

14

π 2π-2π -π

1

-1

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Qual a influência do parâmetro B ?

Funções do tipo y = sen(Bx)

g(x) = sen(2x)

h(x) = sen(0,5x)

f(x) = senx

Período positivo mínimo de f = 2π

Período positivo mínimo: Período:Bπ2

Bπ2

5,02π

g(x) obtém-se f(x) por:

Alongamento horizontal

Encolhimento horizontal

h(x) obtém-se f(x) por:

Funções m(x) = sen(Bx)

Período positivo mínimo de g = π

Período positivo mínimo de h = 4π

f, g e h mantêm os extremos e o contradomínio

têm os mesmos extremos e contradomínio def(x) = senx

22π

15

π 2π-π

1

-1

-2π

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

f, g e h mantêm os extremos e o contradomínio

Qual a influência do parâmetro C?

Funções do tipo m(x) = sen(Bx - C)

f(x) = senx

g(x) = sen(x - π/2)

h(x) = sen(x + π/2)

Ponto de partida do ciclo:

Translação horizontal →

Translação horizontal ←

O ciclo do gráfico de f começa em (0, 0)

g(x) obtém-se f(x) por:

h(x) obtém-se f(x) por:

têm os mesmos extremos e contradomínio dafunção f(x) = senx

Ponto de partida do ciclo tem abcissa

Funções m(x) = sen(Bx - C) =

O ciclo do gráfico de g começa em (π/2, 0)O ciclo do gráfico de h começa em (-π/2, 0)

BC

BC

−

BCxBsen

16

π 2π-π

1

-1

-2π

Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

D’f = [-1, 1], D’g = [1, 3] e D’h = [-2, 0]

Qual a influência do parâmetro D?

Funções do tipo y = senx + Dg(x) = senx + 2

h(x) = senx - 1

f(x) = senx

Translação vertical ↑

Translação vertical ↓

contradomínio é [-1 + D, 1 + D]

f, g e h mantêm os maximizantes e minimizantes

g(x) obtém-se f(x) por:

h(x) obtém-se f(x) por:

têm os mesmos maximizantes e minimizantes de f(x) = senx

Funções m(x) = senx + D

17Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

Período:

contradomínio é [D - |A|, D + |A|]

y = Asen(Bx – C) + D

Bπ2

Ponto de partida do ciclo tem abcissaBC

Amplitude: |A|

18

Observe as seguintes figuras:

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Matemática B

Exemplo

Qual é a função trigonométricas representada pelo gráfico?

1. Considere-se a função do tipo f(x) = Acos(Bx – C) + D

Pois para t = 0, o gráfico tem um mínimo tal como o gráfico da função y = -cosx

2. Determinar A

A amplitude do gráfico da função é |A| = 10, pois ( ) 102

1010=

−−

Como f(0) < 0 vem que a função é do tipo y = -10cos(Bx – C) + D

19Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

3. Determinar B

Por exemplo, 1 e 3 podem definir o início e o fim dociclo, logo

período positivo mínimo = 3 – 1 = 2

4. Determinar C

O parâmetro C informa-nos sobre a translação do gráfico, na horizontal, emrelação ao gráfico da função y = cosx ou y = -cosx. Como o gráfico começano ponto (0, -10), vem

e, portanto,

5. Determinar D

Como o contradomínio da função é [-10, 10] = [D – |A|, D + |A|], vem que D = 0.

00 =⇔= CBC

6. Função que modela a situação

f(x) = -10cos(πx – 0) + D

f(x) = -10cos(πx)

⇔ B = πBπ22 =

f(x) = Acos(Bx – C) + D

20

A tabela seguinte mostra a taxa de desemprego na cidade X

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Exemplo

1. Obtenha com a calculadora gráfica um esboço para o gráfico que representeos dados da tabela

Introduzir em Stat/Edit, os valores de m em L1 e r% em L2

Seleccionar: diagrama de dispersão em StatPlot,ZoomStat e Trace

21Esc. Sec. de Viriato Teresa Dias

Matemática B

3. Considerando cíclica a taxa de desemprego na cidade, qual é a duração dociclo?

A duração do ciclo é de, aproximadamente, 16 meses

O período positivo mínimo da função

≈ 16, 1139,02π

Logo,

2. Encontre um modelo matemático que represente os dados recorrendo àregressão sinusoidal (SinReg)

Seleccionar Stat/Calc/Sinreg L1, L2, Y1 e Enter

Um modelo matemático pode ser:

f(x) =1,58sen(0,39x + 1,65) + 5,94

y =1,58sen(0,39x + 1,65) + 5,94

é