Lógica e Probabilidade

Fundamentos de

O pensamento lógico é utilizado em diversas áreas, como filosofia, matemática, ciências da computação. A filosofia, porém, é mãe de todas as demais por aplicar uma sistemática de avaliação do objeto que foi expandida e desenvolvida para cada necessidade posterior.

Princípios da Lógica

É todo conjunto de palavras que representam um pensamento completo.

As proposições transmitem pensamentos, isto é, algo que será declarado por meio de palavras ou de símbolos e que poderá ser considerado verdadeiro ou falso.

Ex: O Amazonas é menor que Sergipe. Buenos Aires é a capital do Brasil. Lima Duarte é um ator. Bom dia! (exemplo de não proposição)

Estrutura Lógica - Proposição

Normalmente as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s... etc)

Joaquim é padeiro. 11>50 Eu estudo bastante.

p q>r s

Representação Simbólica

A lógica matemática se apresenta em três princípios básicos:

- Princípio da não contradição:Uma proposição não poderá ser ao mesmo

tempo verdadeira e falsa - Princípio do terceiro excluído:Toda proposição é verdadeira ou é falsa; não

existe uma terceira opção; - Princípio da identidade:Se um enunciado é verdadeiro, então ele é

verdadeiro.

Princípios

Simples: É aquela que não tem nenhuma outra

como parte integrante. São representadas pelas letras minúsculas p, q, r, s;

p: Charles é alto; q: Daniela é bonita; r: 5 é par; s: O sol ilumina.

Tipos de proposição

Composta: É aquela formada pela combinação de duas

ou mais proposições. Pode-se representar pelas letras maiúsculas P, Q, R, S;

P: Três é mais que dois ou doze é ímpar;Q: Se chover amanhã, então não irei correr;R: Passarei no concurso se e somente se eu

estudar bastante;S: Fabrício é professor e engenheiro.

Tipos de proposição

Operação  Conectivo Estrutura Lógica Exemplos

Negação ¬ ou ~ Não p A bicicleta não é azul

Conjunção ^ P e q Thiago é médico e João é Engenheiro

Disjunção Inclusiva v P ou q Thiago é médico ou João é Engenheiro

Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é Médico ou João é Engenheiro

Condicional → Se p então q Se Thiago é Médico então João é Engenheiro

Bicondicional ↔ P se e somente se q Thiago é médico se e somente se João é Médico

Conectivos

(proposição) p q1 v v2 v f3 f v4 f f

Tabela-Verdade

Conceitos - conjunção (e)Para que uma conjunção seja verdadeira é preciso que toda sentença seja verdadeira.

p ^ q p qV v vF v fF f vF f f

pvq p qV v vV v fV f vF f f

Conceito – disjunção (ou)Uma disjunção só será falsa se toda sentença for falsa; caso não ocorra, toda a sentença será verdadeira.

pvq p qF v vV v fV f vF f f

Conceito – disjunção exclusiva (ou... ou...)Uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer a mútua exclusão das sentenças, ou seja, só será verdadeira se uma das sentenças for verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos a disjunção exclusiva será falsa.

p→q p qV v vF v fV f vV f f

Conceito – Condicional (Se... Então...)A única forma da proposição ser falsa será se a primeira parte for verdadeira e a segunda parte for falsa.

p↔q p qV v vF v fF f vV f f

Conceito – Bicondicional (Se e somente se)A bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem forem diferentes. Em suma, haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e consequente forem ambos verdadeiros ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos a bicondicional será falsa.

p ~p

V F

F V

Conceitos – não p

p e q ~p ou ~q

p ou q ~p e ~q

Se p então q P e ~q

P se e somente se q

[(p e ~q) ou (q e ~p)]

Conceito – negando um conectivo

A probabilidade teve sua origem por volta do século XVII, devido a curiosidade de um cavalheiro chamado Chevalier de Méré que gostava muito de jogos, e um dia discutiu com Blaise Pascal, um matemático, sobre as possibilidades de se ganhar em jogos com cartas, despertando em Pascal um imenso interesse pelo assunto.

A palavra probabilidade deriva do latim probare, que significa testar, provar. Ela é utilizada em circunstâncias onde não temos a certeza de que algo irá ocorrer e são associadas chances a cada ocorrência possível. 

O conceito de probabilidade está totalmente dentro da nossa vida cotidiana. Quando pensamos ou falamos expressões do tipo: ''Será que vai chover amanhã?", "É muito provável que o avião chegue atrasado hoje", "Existe uma pequena chance deste time ganhar este jogo!". Em cada uma destas expressões está associada a ideia de que existe uma chance de ocorrer um determinado evento, ou que existe uma probabilidade deste evento ocorrer.

Probabilidade - conceito

O conceito de probabilidade está totalmente dentro da nossa vida cotidiana. Quando pensamos ou falamos expressões do tipo: ''Será que vai chover amanhã?", "É muito provável que o avião chegue atrasado hoje", "Existe uma pequena chance deste time ganhar este jogo!". Em cada uma destas expressões está associada a ideia de que existe uma chance de ocorrer um determinado evento, ou que existe uma probabilidade deste evento ocorrer.

Existem três diferentes interpretações de probabilidades: interpretação de frequência de probabilidade, a interpretação clássica de probabilidade e a interpretação subjetiva de probabilidade. Cada uma dessas interpretações pode ser muito útil na aplicação da teoria das probabilidades em problemas práticos, especialmente quando se lidam com valores específicos, em um banco por exemplo, ou alguma outra empresa.

Probabilidade - conceito

Ao jogarmos uma moeda para o ar, de um modo geral, não podemos afirmar se vai sair cara ou coroa, da mesma forma, quando lançamos um dado não sabemos quais das faces 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 ficará voltada para cima. Há vários exemplos de tais situações nos campos da engenharia, da computação, da administração e dos negócios em geral. A previsão da aceitação de um produto novo, o cálculo dos custos de produção, a opinião pública sobre determinado assunto, a contratação de um novo empregado, o desempenho de um candidato a um determinado cargo eletivo – tudo isso contém algum elemento do acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Em muitos casos, pode ser impossível afirmar com antecipação o que ocorrerá; mas é possível dizer o que pode ocorrer. O ponto central em todas essas situações é a possibilidade de se quantificar o quão provável é a ocorrência de determinado evento.

Probabilidade - conceito

É aquele fenômeno onde o processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais e conduz a resultados incertos. É o fenômeno que mesmo repetido várias vezes sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis. O resultado final do experimento depende do acaso.

Exemplos: E1: Joga-se uma moeda cinco vezes e observa-se o número

de coroas obtidas; E2: Lança-se um dado e observa-se o número mostrado na

face superior; E3: Retira-se uma carta de um baralho e observa-se seu

“naipe”. E4: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo

decorrido até queimar.

Probabilidade – Experimento aleatório

Características dos experimentos aleatórios:a) Cada experimento poderá ser repetido um grande

número de vezes sob as mesmas condições; b) Não podemos afirmar que resultado particular

ocorrerá, porém, podemos descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento, ou seja, as possibilidades de resultado;

c) Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é que torna possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento.

Probabilidade – Experimento aleatório

É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Assim, o espaço amostral representa o universo de todos os possíveis eventos.

Exemplos: Definir os espaços amostrais com base nos seguintes experimentos:

a- Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. Os dois resultados possíveis são: cara e coroa: S = {Cara, Coroa}.

b- Jogar um dado e observar o número da face superior. Os seis resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c- Jogar duas moedas e observar as faces voltadas para cima. Os quatro resultados possíveis são: cara e cara, cara e coroa, coroa e cara, coroa e coroa: S = {kk, kc, ck , cc}.

Probabilidade – espaço amostral

Dado um espaço amostral S, associado a um experimento E qualquer, definimos como evento, qualquer subconjunto desse espaço amostral.

Exemplo: Considerando o experimento: E: lançamento de um dado. alguns possíveis eventos associados a esse experimento seriam os seguintes:

A: Sair o número 3; B: Sair um número menor ou igual a 6; C: Sair um número ímpar; D: Sair um número maior do que 4; E: Sair um número maior do que 6.

Probabilidade - eventos

Seja o Experimento Aleatório: lançamento de um dado não viciado e observação da face voltada para cima: o seu espaço amostral será S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Definindo três eventos:

A = {1, 2, 4, 6}, B ={3, 4, 5, 6} e C ={1, 3} serão apresentadas as combinações de eventos: - Evento união ou reunião de A com B ou A soma B ou

(AUB): evento que ocorre se A ou B ou ambos ocorrem. Composto por todos os resultados que pertencem a um ou ao outro, ou a ambos.

Probabilidade – combinação de eventos

- Evento interseção de A com B ou A produto B ou (A∩B): evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente. Composto por todos os resultados que pertencem a ambos.

- Evento diferença de A e B ou A menos B ou (A-B): é a diferença entre o evento A e B. Composto pelos resultados que pertencem a A e não pertencem a B.

Probabilidade – combinação de eventos

Se o espaço de resultados S é constituído por um número finito de n elementos – resultando, assim em n acontecimentos elementares, todos eles igualmente possíveis ou prováveis, define-se Probabilidade de um acontecimento A e representa-se por P(A) como sendo a razão entre o número de resultados favoráveis a A e o número de resultados possíveis.

Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no espaço amostral S) o número real P(A), tal que:

P (A)=

Probabilidade – teoria clássica