Função exponencial e logarítmica- Prof. Garcia · PDF...

Função exponencial e logarítmica- Profº. Márcio

1

1. 8 FUNÇÃO EXPONENCIAL 1.8.1-POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO Definições : Para a lR e n lN , definem-se: 1) a n = a. a . a . a , para n 2 1 2 3 k n fatores

2) 1a a

3) oa 1 , para a 0

4)

nn

n

aa a

1 1 , para a 0

Exemplos com números 1.8.2-Propriedades da potenciação Para a lR , b lR , m Z e n Z , valem as seguintes propriedades:

P1) a a am n m n Exemplo :

a) 5. 5 2 = 5 1+2

P2) a a am n m n a 0

Exemplo :

b) 34 : 3 2 = 3

4-2

P3) a a amn

nm

m n

Exemplo :

c) (34)3

= 34.3

P4) a b a bn n n

Exemplo :

c) (3.4) 3

= 33

. 43

P5) a

b

a

b

n n

n

b 0

Exemplo:

d) 2

22

2

3

2

3

11. 8. 3-RAÍZES

Definição : Se a lR e n lN * , chama-se raiz n -

ésima de a o número x , tal que xn = a.

a x x an n

onde: n é o índice da raiz a é o radicando

é o radical

Exemplos: 2/12 1 44

Condição de existência : an lR

n par e a lR

ou

n impar e a lR

+

Propriedades das Raízes Sendo a IR+ , b IR+ , m Z , nIN* e pIN*, são válidas as seguintes propriedades:

R1) a anm

mn

R2) a ap mp n mn

R3) a b a bn n n

R4) a

b

a

b

n

nn ( b 0 )

R5) a a amn nm m n

R6) a nn: = a Exemplos :

322

: = 3

4 9 4 92 2 2 .

4

9

4

9

2

22 = 2/3

4 42 32 3 66..


2

EXERCÍCIOS 1- (Fuvest) Qual a metade de 222 ? 2- Calcule o valor das potências abaixo:

I) 04 , 0723,0 e 08

a) 1 , 1 e 1

b) 1 , 1 e 1 c) 0 , 0 e 0 d) 4 , 0,723 e 8

II)10 3 ,

1

2

4

e 2)2(

a) 0,001 , 16 e 0,5

b) 3

10 , 8 e 2

c) 10

3 ,

1

8 e

2

2

d) 30 , 2 e 2 2 Nas questões de 3 a 4 reduza a uma só potência :

3) 2 27 3

a) 24

b) 210

c) 221

d) 410

3

7

2

2)4

a) 210

b) 24

c) 14

d) 24

1.8.4-Função Exponencial

Definição : Uma função dada por y = a x chama-se

exponencial ( a é uma constante positiva , com a 1).

Exemplo 1 : As funções dadas por y = 2 x e

y = (1/2) x são funções exponenciais. Seus gráficos

poderão ser representados por: y= 2x

y

1 x y 1 y x x | __y -3 |__ 1/8 -2 | _ ¼ -1 | 1/2 0 | 1 1 | 2 2 | 4 3 | 8 y = (1/2)x y = 2x y= (1/2)x x | y -3 | 8 -2 | 4 -1 | 2 0 | 1 1 | 1/2 2 | 1/4


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A função exponencial y = a x será crescente se a > 1 e

decrescente se 0 < a < 1. Seu gráfico terá um dos seguintes aspectos :

0 < a < 1 função decrescente

a > 1 função crescente EXERCÍCIOS Construa os gráficos das funções exponenciais e classifique-as em crescentes ou decrescentes: a) y = 3 x b) y = (1/3) x Exemplo 2: Podemos representar graficamente uma Progressão Geométrica (P G). Considere, p. exemplo, a P G em que a

1 = 2 e q = 2 . Como na P. G. tem-se que:

a n = a 1 . q

(n -1) a n = 2 1 2

(n -1)

a n = 2 (1+ n - 1)

a n = 2n

y(M)

13.LOGARITMOS John Napier(Edimburgo,

1550 – 4 de abril de 1617) foi

um matemático, astrólogo e teólogo

escocês. Ele é mais conhecido como o

decodificador do logaritmo natural

(ou neperiano) e por ter popularizado

o ponto decimal.Originário de uma

família rica, ele mesmo barão

de Merchiston, era um defensor

da reforma protestante, tendo mesmo prevenido o rei

James VI da Escócia contra os interesses do rei católico

Felipe II de Espanha.

Está enterrado na igreja de Saint Cuthbert, em

Edimburgo.

Uma unidade utilizada em telecomunicações, o neper,

tem este nome em sua homenagem.

No início do século XVII, inventou um dispositivo

chamado Ossos de Napier que são tabelas de

multiplicação gravadas em bastão, permitindo

multiplicar e dividir de forma automática, o que evitava

a memorização da tabuada, e que trouxe grande auxílio

ao uso de logaritmos, em execução de operações

aritméticas como multiplicações e divisões

longas.Idealizou também um calculador com cartões

que permitia a realização de multiplicações, que recebeu

o nome de Estruturas de Napier.

Bibiliografia: http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Napier

Matemática Ciências e Aplicações Vol.1 Ensino Médio

(Gelson Iezzi e outros-

AtualEditora)

Briggs,Henry (1561-

1630) foi um matemático

inglês, nasceu em fevereiro

de 1561, e morreu em 26

de janeiro de1630.Foi o

homem mais responsável

pela aceitação dos LOGARITMOS

pelos

cientistas. Briggs foi educado na

Universidade de Cambridge e foi o primeiro

professor de geometria na Faculdade de

Gresham, Londres.Em 1619 ele foi

designado o professor de geometria em

Oxford.

Briggs publicou trabalhos em navegação,

astronomia, e matemática. Ele propôs os

logaritmos "comuns", com base dez, e

construiu uma tabela de logaritmos que foi

usada até o século 19.

Fontes:

http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Histo

ria/briggs.htm • http://marciocesarrocha.wordpress.com

Vallée Poussin,Charles Jean Gustave Nicolas De la (1866 1962 ) Charles De la Vallée Poussin (Nascido a: 14 de agosto de 1866 em Louvain, Bélgica Falecido a: 2

de MArço de 1962 em Louvain, Bélgica),ficou conhecido pela sua

http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Historia/briggs.htm

http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Historia/briggs.htm

http://marciocesarrocha.wordpress.com/


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demonstração do Teorema dos Números Primos, e pelo seu trabalho Cours d'analyse. O seu pai foi Professor de Geologia na Universidade de Louvain. Matriculou-o no Colégio de Jesuítas em Mons, mas cedo Vallée Poussin achou que o ensino aí era inaceitável e virou-se para as engenharias onde veio a obter o seu diploma dentro desta última área. No entanto um pouco depois, sentiu-se atraído pela matemática. Em 1891 tornou-se assistente na Universidade de Louvain, onde trabalho com Louis Claude Gilbert que tinha sido um dos seus professores. No entanto Gilbert faleceu em 1892, com apenas 26 anos de idade, e Poussin foi eleito para ocupar o seu cargo. Vallée Poussin foi eleito para a Academia Belga em 1909. Mas mais honrarias se seguiriam. Foram celebrados a permanência dos seus 35 anos e, 50 anos, na Cadeira de Matemática em Louvain. Um dos primeiros trabalhos de Vallée Poussin , de 1892, sobre equações diferenciais, foi premiado, no entanto o mais conhecido é datado de 1896, quando provou o Teorema dos Números primos, isto é, π(x) - > x/log x. Este Teorema foi demonstrado independentemente por Hadamard, no mesmo ano, de modo diferente. Vallée Poussin continuou a trabalhar dentro desta área fazendo publicações sobre a função zeta de Riemann em 1916, para além do seu trabalho na aproximação de funções por polinómios algébricos e trigonométricos, datado de 1908 a 1918. A seu maior trabalho foi no entanto Cours d'analyse. Teve várias edições, cada uma contendo novo material. A terceira edição do Volume 2 foi queimada na Alemanha quando superou Louvain. Teria contido assuntos como o integral de Lebesgue, trabalho esse que nunca foi editado. Contrariamente a muitos livros semelhantes aos do seu tempo Cours d'analyse não contém análise complexa. Depois de 1925 Vallée Poussin estudou variáveis complexas, teoria do potencial e representações conformistas. A publicação do seu trabalho Le potencial logarithimique foi retido pela guerra, sendo apenas publicado em 194

Conceito de Logaritmo Introdução - Considere o seguinte problema:

1º.) A que expoente x se deve elevar o número 3 para se obter 81?

3x = 81 3x = 34 x = 4 Esse valor 4 encontrado para x denomina-se logaritmo de 81 na base 3 se representa por log. 3 81 = 4

Definição de logaritmo: Apresentaremos uma definição aprimorada, da seguinte forma: “Sejam a e b dois

números reais positivos e, com b 1. Chama-se log. de

a na base b ao número c tal que bc = a”

log b a = c bc = a

A finalidade das condições apresentadas (a > 0 e 0< b

1), é garantir a existência e unicidade de log b a.

Exercícios Determine, pela definição, o logaritmo de:

log2 8 b) log2 0,5 c) log 3 x = 4

Para que valor de x se tem log4 x = 5

2 Determine, pela definição, o logaritmo de: a) Log 4 b) Log 5

0,2

8

Log 2 8 64 d) Log 16 32

Log 49 3 7 f) Log 4

22

g) Log 2 3 64

h) Log5 0,000064

4- Determine, pela definição, o logaritmo de: a) log 8 b) Log 416

2

c) Log 5 625 d) Log 0,5 0,125

e) Log 2 5 4 f) Log 9

33

g) Log 343 h) Log 0,2 0,0000128

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13.1.PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LOGARITMO P1) logaritmo de um produto


5

log b (a . c) = log b a + log b c

demonstração: sejam log b (a . c) = x ; log b a = y e log b c = z

(como : log b (a . c) = x bx = a . c )

log b (a . c) = x bx = a . c 1.eq

log b a = y by = a eq.(2)

log b c = z bz = c eq.(3)

bx = a . c ,substituindo eq.(2) e eq.(3) na 1.eq

bx = by . bz , propriedade de potenciação

bx = by + z como as bases são iguais os expoentes são =s portanto: x = y + z log b (a . c) = log b a + log b c

Exercícios: Dados log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, calcule: log10 6 b) log10 12 ( faça log10 12 = log10 2 .6) c) log10 9 d) log10 4 P2) logaritmo de um quociente

log b (a/c) = log b a - log b c (Obs. : a/c = a : c)

demonstração sejam log b (a / c) = x ; log b a = y e log b c = z

(como : log b (a / c) = x bx = a / c )

log b (a / c) = x bx = a / c

log b a = y by = a (1)

log b c = z bz = c (2) , substituindo (1) em (2)

bx = a / c

bx = by / bz , propriedade de potenciação

bx = by - z como as bases são iguais os expoentes também são iguais. portanto: x = y - z log b (a . c) = log b a - log b c

Exemplo: log 10 5 = log 10 (10 : 2) = log 10 10 - log10 2

= 1- log 10 2

P3) logaritmo de uma potência

log b a = . log b a

demonstração:

log b a = x bx = a

log b a = y by = a

subst. Eq. na Eq. , temos: bx = (by )

comparando os expoentes x = . y

log b a = . log b a

Exemplo: log 10 16 = log 10 24 = 4. log 10 2

P4) logaritmo de um radical

bnmbb anm

ann nm

a log./loglog /: :

P5 ) Uma propriedade interessante

log b a = x bx = a

Se, bx = a eq. e x = log b a eq. 1 , substituindo

l og

b a

eq. 1 na eq. 2 , temos b = a 0 < a < 1

Exemplos : 3 ( log

3 5) = 5 e 10(log10 8) = 8

13.2-Cologaritmo de um de um número Define - se cologaritmo de x na base a ao oposto do logaritmo de x na base a . Assim, colog a x = - log a x

Esta definição é utilizada para transformar subtrações em adições. Portanto: log a x/y = log a x - log a y = log a + colog a y

Colog 2 16 = - log 216, como log 216 = 4, vem:

Colog 2 16 = - 4

EXERCÍCIOS 1- Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 , o valor de


6

log l8 é : ( A) 1, 14 ( B) 1, 26 ( C) 1, 34 ( D) 1, 58 ( E) 1, 96

3 3 3log2 cbaCalcule c sendo log c a = 5 e log c b = 2 log 1,44

Dados log 2 = 0, 301 e log 3 = 0,477, calculem o valor de: log 0,018 log 14,4

c) 15log

d) 2,7log

e) log 62 f) log 3/2 log 8 log 12 TESTES 1-(Fuvest_sp) Se log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 , o valor de log l,8 é : A) 1,141 B) 1,260 C) 1,342 D) 0,255 E) N.D.A

2-(UFRGS) O valor da Expressão :4log)53(

27)2(

2

0

32

é

:

A) 3

2 B) _ 11 C) 1 D)

2

13 E)

0

3-(PUC-SP) Se :512log22

valexentãox

A) 6 B) 3/2 C) 9 D) 3 E) 2/3

4-(PUC-SP) valoroentãoxSe ,0)log(log2

12 de x é:

A) ½ B) 0 C) 2 D) 1 E) 2 5-(CESGRANRIO) As indicações R 1 e R 2 na escala Richter , de dois terremotos estão relacionados pela fórmula

R 1 _ R 2 = log 10

2

1

M

M, onde M1 e M2 medem a energia

liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos:

um correpondente a R 1 = 8 e R 2 = 6. A razão

2

1

M

M é

: A) 2 B) 10 C) 4/3 D) log10 ( 4/3) E) 102

6-(Fuvest_sp) Se log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 , o valor de log 0,18 é : A) 1,141 B) 1,260 C) 1,342 D) 0,255 (E) -0,745

7-(UFRGS) O valor da Expressão :8log32

81)2(

2

43

é

A) 8

5 B) -1 C) 1 D)

2

13 E) 0

8-(PUC-SP) Se :1024log22

valexentãox

A) 6 B) 3/2 C) 9 D) 3 E) 20/3

9-(PUC-SP) valoroentãoxSe ,0)log(log 22 de x é:

A) ½ B) 0 C) 2 D) 1 E) 2 10-(CESGRANRIO) As indicações R 1 e R 2 na escala Richter , de dois terremotos estão relacionados pela

fórmula R 1 _ R 2 = log 10

2

1

M

M , onde M1 e M2 medem a

energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R 1 = 8 e R 2 = 7. A

razão

2

1

M

M é :

A) 2 B) 10 C) 4/3 D) log 10 (4/3) E) 102 13.3-Definição de Função logarítmica : Chamamos de função logarítmica a toda função

f: lR*+ lR , definida por y = log a x , onde a é uma

constante positiva e diferente de 1.


7

Se a > 1 y ________________________________________

> x

1 a > 1 , a função y = log a x é crescente

y ______________________________________________

> x

1 0 < a < 1 , a função y = log a x é decrescente

EXERCÍCIOS 1- Esboçar os gráficos das funções e classificá-las como crescente ou decrescente: y = log 2 x

y = log 3 x

y = log 1/3 x

13.4-FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

Faça um esboço dos gráficos da função y = 2x

e y = log 2 x. Compare os gráficos e procure estabelecer

uma relação entre ambos.

y

Gráfico 1 y = 2x x | y -3 | 1/8

-2 | ¼ 1 -1 | ½ 0 | 1 1 | 2 1 x 2 | 4 3 | 8 y=log2 x x = 2 y x | y 1/8 | -3 ¼ | -2 ½ | -1 1 | 0 2 | 1 4 | 2 8 | 3 Obs.: Ao que tudo indica, temos uma importante relação entre eles, são simétricos em relação a bissetriz1º e 3º Quadrantes * EXERCÍCIOS 1- Esboçar os gráficos das funções e classificá-las como crescente ou decrescente: y = log 2 x

y = log 3 x

y = log 1/3 x

13.5- LOGARITMOS DECIMAIS Detenhamos um pouco na análise de algumas particularidades do sistema de logaritmos na base 10 . Iniciaremos com os seguintes exemplos: EXEMPLOS: Sabendo que log 2841 = 3,45347. Vamos calcular log 284,1 ; temos :

10log2841log10

2841log1,284log 10

3,45347 - 1 e, portanto log 284,1 = 2,45347 b) Calculemos agora log 28,41 ; temos :

100log2841log100

2841log41,28log 10

= 3,45347 - 2 = 1, 45347 e, portanto log 28,41 = 1, 45347 c) Calculemos agora log 2,841 = log 2841 = 1000


8

log 2841 - log 1000 = 3, 45347 - 3 = 0,45 347 Observe que : os logaritmos 2841 ; 284,1 ; 28,41 e 2,841 (que diferem entre si quanto `a posição da vírgula) , têm mesma porte decimal. Continuaremos então com os nossos exemplos : *d) log 0,2841; temos :

log 0,2841 000.10

2941log log 2841 - log 10.000 =

3, 45 347 - 4 = - 0,54653 e, portanto log 0,2841 =0, 54653

e) log 0,02841 = 000.100

2941log log 2841 - log 100.000 =

000.1000log2841log000.000.1

2841log002841,0log)f

3, 45 347 - 6 = - 2, 54653 e, portanto log 0,02841 = -2, 54653 Log a = C + m ; 0 < m < 1 parte inteira parte decimal C- é a característica (parte inteira) m - é a mantissa (parte decimal)- mantissa do latim significa “excesso” , quebra, excedente. Note que: nos exemplos a ,b e c, a parte decimal do logaritmo vinha se mantendo, o que deixou de acontecer quanto passamos para o exemplo d. log 2841 = 3, 45 347 = 3 + 0, 45 347 log 284,1 = 2, 45 347 = 2 + 0, 45 347 log 28,41 = 1, 45 347 = 1 + 0, 45 347 log 2,841 = 0, 45 347 = 0 + 0, 45 347 Com a finalidade de conservar a parte decimal que vinha aparecendo, vamos escrever: -

log 0,2841 = -0,54653(+1-1) = -1 + 0,4537 =1, 45 347

-

log 0,02841 = -1,54653(+2-2) = -2 + 0,4537 = 2, 45 347

log 0,002841 = -2,54653(+3-3) = -3 + 0,4537 =3, 45 347 Obs.: Todos possuem a mesma parte decimal (mantissa). -

log 0,2841 = -0,54653(+1-1) = -1 + 0,4537 =1, 45 347

log 0,02841 = -1,54653(+2-2) = -2 + 0,4537 = 2, 45 347

-

log 0,002841 = -2,54653(+3-3) = -3 + 0,4537 =3, 45 347 Obs.: Todos possuem a mesma parte decimal (mantissa). Exemplos; a) Qual a característica c de log 573.218, 62 ?

105 < 573.218, 62 < 10 6 5 < log 573218, 62 < 6 6 algarismos C = 5

(10 6 = 1000.000)

(105 = 100.000) Qual a característica c de log327 ?

100 < 8, 521 < 10 1 0 < log 8,521< 1 C=0

1 algarismo Qual a característica c de log 0,751 ?

10-1 < 0, 751 < 10 0 -1 < log 8,521< 0 C= -1

1 zero que precede o 1.º algarismo significativo e) Qual a característica c de log 0,01

log 0,01 = x log 1 = x log10 10-2 = x

100

10x = 10-2 x = -2 log 0,001 = -2

102 < 327 < 10 3 2 < log 327 < 3 C=2 3 algarismos c) Qual a característica c de log 8,521 ?

f) log 0,00001 = -5 ( pois 10-5 = 0,00001 Regra prática : Para algarismos maiores que 1 : “A característica do logaritmo decimal de um n.º maior que um é encontrado contando os algarismos da parte inteira do n.º e subtraindo uma unidade (exemplos a e b )” Para algarismos menores que 1 : “A característica do logaritmo decimal de um n.º menor que um é encontrado contando a quantidade de


9

zeros antes do algarismo significativo e dando um sinal negativo (exemplos d , e e f )” Exemplo :

Com o auxílio da tabela, calcule: 612032

Resolução:

Para calcular 612032 vamos calcular o log decimal

X = 612032 log X = log 612032

log X = log (6 120)1/32 = 1/3 2. log (6 120) log X = 3,78675 32

log X = 0,11833 X = 0,11833 Olhando a tabela da direita para esquerda vemos que mantissa 0,11833 corresponde aproximadamente ao

número 1313. Como a característica de log 612032 é

zero, concluímos que a parte inteira (característica tem um algarismo )

prova : ( 1,313)32

= 6087,9 MUDANÇA DE BASE Propriedade:

Qualquer que seja a , b, c com a > 0 , 0 < b 1 e

0 < c 1, temos :

log c a = c log

a log

b

b

Vamos utilizá - los para obter, por exemplo, log 3 2 ,

consultando a tábua

6309,047712,0

30102,0

3log

2log2log

2

10

3

Demonstração (1): Queremos calcular log c a

empregando log em uma base b . Considerando

log c a= x c x = a , mas log b a = log b a

log b c x = log ba

x. log b c = log ba

c log

a log

b

bx , como x = log c a

Demonstração (2): Sejam log c a = x ; log b a = y e log b c = z ;

bz = c

então cx = a ; by = a e

que significa que : by = a = cx = (b z )x = bx z

mas by = bx z y = x z como y = x . z

log b a = log c a . log b c

log c a = c log

a log

b

b

EXERCÍCIOS Se log 15 3 = a , obtenha log 5 15 em função de a .

Resolver a equação log 2 ( 2x + 3) + log ½ 2x = 1.

Coloque na base 10 .

log 2 5 b ) log 3 2 c) log1/10 x Dados log 2 = 0,3010, calcule: log 2 10 b) log 4 1000 c) log5 2 d) log 5 10 Resolva as equações : a) log 8 x - 2 log 2x = 5 b) (log 3 x) 2 - l0 log 9 x + 4 = 0 Exercícios de revisão sobre Juros Compostos 1-Uma pessoa emprega uma quantia de R$ 10.000,00 a juros compostos de 12% ao ano. Se esta pessoa resolver retirar seu dinheiro passados dois anos e 197 dias, quanto deverá receber? M = Montante M = C ( 1 + i ) n C = Capital e n = tempo i = taxa

M = C. ( 1,12) n

360

917

360

197

360

720,

360

1972

temosanosn


10

log)(.)12,1(000.10 360

917

M

360

917

)12,1(000.10loglog M =

360

917

)12,1(log000.10loglog M

12,1log360

917000.10loglog M

)04922,0.(360

917000.10loglog M , pois log 1,12 =0 ,04922

log M = 4 + 2,547222.(0,04922) Como log M = 4,12537, então olhando na tabela da direita para esquerda 125480 é a mantissa mais próxima que corresponde à 1335. Como a característica é igual a

4 o n.º deverá ter 5 algarismos 13350 , concluímos

M R $ 13.350,00 2-Faça a mesma aplicação para n= 2,5 anos.

12,1log.5,2000.10loglog M )04922,0).(5,2(000.10loglog M , pois

log 1,12 =0 ,04922 log M= log 10.000 +(2,5)0,04922 = 4+ 0,12305 ≡ 4,1231 indica que M (logaritmando) possui 4+1 algarismos ou 5 algarismos. Como a característica 0,1231 não aparece na tabua vamos determinar o Logaritmando por interpolação linear. (menor) Diferença = 0,1206 .........................132 Diferença = 1 0,0033 0,1239.....................133 n.ºdado Como : 0,1206(menor) _ 0,1231(não aparece na tábua) = 0,0025 Temos: 0, 0033 --------- 1 0,0025----------- x 0,0033.x = 0,0025 X= 0,0025 0,0033

X= 0,757575 ≡ 0,7576 ou seja o n.º procurado é 132+0,7576 = 132,7576 O logaritmando M = 1 3 2 7 5,76 ( 5 algarismos na parte inteira). 3-Um capital inicial de R$ 120.000,00 é colocado a juros compostos à taxa de 8% ao ano capitalizado anualmente. Determine o montante(M) para n= 12 anos. 4- Um capital inicial de R$ 60.000,00 é colocado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados anualmente . Determine o montante (M) para n= 10 anos. Calcule o tempo necessário para duplicar um capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos de 6% ao ano, capitalizados anualmente. Um capital inicial de R$ 30.000,00 é colocado a juros compostos de 8% ao ano, capitalizadosanualmente . Determine o montante (M) para n= 9 anos. 7-Calcule o tempo necessário para duplicar um capital de R$ 15.000,00, colocado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados anualmente. 8-Um capital de R$ 10.000,00 é colocado a juros compostos à taxa de 3% ao mês. Pergunta-se: Qual o montante daqui a 10 meses? Em quanto tempo dobrará o montante? 9-Qual o capital que aplicado a juros compostos à taxa de 3% ao dia produz em 5 dias um Montante de R$ 231,85. Dados log 1,03 = 0,01282 e log 1,l6 = 0,0642. 10-Um capital C é empregado à taxa de 10% ao ano, com juros capitalizados ao final de cada ano, após t anos produzirá um montante M dado por M = Cx(1,1)t Após quantos anos o capital terá sido dobrado, ou seja, M = 2C ? Dados log 2 = 0,3010 e log 11 = 1,0414. 11- Você está com o saldo negativo no seu cheque especial de R$ 1.000,00 O banco cobra 10% ao mês de juros. Depois de quanto tempo você vai para o banco aproximadamente o dobro que deve agora? 12-(UFV-MG-2007) Gastão resolveu fazer uma

aplicação junto ao banco onde possui conta. O gerente

os informou que estão possíveis as seguintes opções de

investimentos a juros compostos:

I. taxa de rendimento de 20% ao ano, para aplicação

mínima de R$500,00

II. taxa de rendimento de 30% ao ano, para aplicações

maior ou igual a R$4500,00


11

Sabendo que Gastão vai iniciar seu investimento com R$

3125,00, o tempo MÍNIMO, em anos, necessário para

que alcance o valor de R$58500,00 é: (Considere log

1,3=0,1.)

a)15

b)11

c)13

d)09

Teremos que considerar 2 períodos para taxa (I) de 20%

e taxa II de 30% (n1 e n2)

Como se trata de juros compostos a fórmula é :

M = C (1+i)n

M1 = 4500,00 i1 = 20% = 0,20 e C (inicial) = 3125

1ºperíodo

M1 = C (1+i)n1

4500 = 3125 .(1,2) n1

( x log)

Log 4500 = log 3125.(1,2)n1

( Obs. log .(1,2)n1

n1.(log12/10) = n1(log22 +log3-log10)

2log2+log3-1 = 0,602+0,477-1 log1,2= 0,079)

4.500 fatorando = 22+3

2+5

3) e log 4500=

2.log2+2.log3+3.log5=

log 4500= 2(0,301)

+2.(0,477)+3.(0,699)log4500=3,653

Como fatorando, temos 3125= 35 log3125= 5.log3

5.(0,699) = 3,495

3,653 = 3,495 + n1(0,0791)

3,653-3,495 = n1 (0,079)

0,158/0,079 = n1 n1 = 2 anos

2º periodo

M2 (montante) = 5850 C = 4500,00 e i 2= 30% = 0,30

58500 = 4500(1+0,20) n

(x log)

Log 58500 = log4500. (1,30)n2

Log 58500 = log 4500+ log 1,30n2

Log 58500 = log 4500+ n (log 1,30) como log4500 =

3,65 e log 5850 = 3,7671

3,7671 = 3,65 + n (0,1)

(4,7671 – 3,65) / 0,1 = n n = 1,1171/0,1 = 11 n2 =

11

Tempo total n = n1 + n2 =11+2= 13 anos. Resposta :

Alternativa C)

FATORAÇÃO 4500 = 22.3

2.5

3 . É claro que devemos

saber que o log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 sempre

pedimos aos alunos que memorizem este dois e por

propriedade de log dá para achar log 5 = 0,699. A

fatoração de 58500 = 22.3

2.5

3.13. No caso a

característica de 13 é 0,1 a mesma de log 1,3 que é

dado. Lembrando que usando propriedade: log 4500 =

log22.3

2.5

3= 2.log2+2.log3 + 3.log5= 2(0,301)+ 2(0,477)

+ 3(0,699) = 0,602+ 0,954 +2,097 = 3,653

4500 2

2250 2

1125 3

375 3

125 5

25 5

5 5

1 “Medo de errar é que é minha paciência. Pudesse tirar de si esse medo_de_errar, a gente estava salva .(J. Guimarães Rosa)”. Mestre! Hoje é dia, sim hoje é dia... de mergulhar no fundo, lá dentro, Buscar as motivações, trazer as explicações; Fazer nascer aqui nesse momento um sentimento puro, belo e só seu, que traga ao seu coração a beleza de uma amizade sincera! A partida de alguém não significa o fim de tudo, mas sim o início de uma grande amizade. Sua amizade ficou marcada para sempre, e tanto quem o viu sorrir, jamais imagina na sua face rolando um pranto. Na caminhada infinita dos seus passos, ficaram as marcas, difíceis esquecê-las eu não diria, mas impossível apagá-las. Mestre, que sejam estas palavras lembrança eterna dessa sua aluna que muito admira; E se tudo aqui tiver que passar, que permaneça comigo, a sua lembrança. (autora: Nídia Lúcia Rodrigues) Colégio Monte Alverne - Penha - S.Paulo

Função exponencial e logarítmica- Prof. Garcia · PDF...

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