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CURSO ________________________________________________________________

DISCIPLINA: GOMETRIA ANALÍTICA

ALUNO (A): ______________________________________________________________

PROFESSOR(A)__________________________________________________________

LISTA DE EXERCÍCIOS – Mudança de coordenadas e Cônicas

1. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para

a nova origem indicada a seguir:

a) x2 + y

2 + 2x – 6y + 6 = 0 ; O’ (–1,3)

b) xy – 3x + 4y – 13 = 0 ; O’ (–4,3)

2. Em cada um dos itens, por uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação

dada em outra desprovida de termos do 1º grau, se possível:

a) x2 + y

2 – 2x + 4y – 4 = 0

b) x2 + y

2 + 6x – 8y = 0

c) 3x2 + 2y

2 + 18x – 8y +29 = 0

d) y2 – 4x + 2y + 9 = 0

e) x2 – 4y

2 – 4x – 24y – 36 = 0

3. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos

elementos dados:

a) foco F(3,4) e diretriz d: x – 1 = 0;

b) vértice V(1,2), eixo focal paralelo a Ox e P(-1,6) é ponto do seu gráfico;

c) eixo focal e.f. : y – 5 = 0, diretriz l : x – 3 = 0 e vértice sobre a reta r : y = 2x + 3;

d) vértice V(1,2), eixo focal paralelo a Ox e P(-1,6) é ponto do seu gráfico;

4. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância

ao ponto P(-2, 3) é igual à sua distância à reta r: x + 6 = 0. Em seguida a equação desse

lugar geométrico.

5. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da elipse, a partir dos elementos

dados:

a) focos F1(3, 8) e F2(3, 2), e comprimento do eixo maior 10;

b) vértices V1(5, -1) e V2(-3, -1), e excentricidade e = ¾;

c) centro C(-1, -1), vértice V(5, -1) e excentricidade e = 3

2 ;

d) centro C(1, 2), focos F(6, 2) e P(4, 6) é ponto de seu gráfico;

2

6. Um ponto P(x, y) se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontos A(3, 1)

e B(-5, 1) é 10. Diga a natureza da curva descrita pelo ponto P e em seguida determine

sua equação.

7. Em cada uma dos seguintes itens, determine a equação da hipérbole, a partir dos

elementos dados:

a) focos F1(-1, 3) e F2(-7, 3) e comprimento do eixo transverso igual a 4;

b) vértices V1(5, 4) e V2(1, 4) e comprimento do latus rectum igual a 5;;

c) focos F1(2, 13) e F2(2, -13) e comprimento do eixo não transverso igual a 24;

d) assíntotas r: 4x + y – 11 = 0 e s: 4x – y – 13 = 0 e um dos vértices V(3, 1);

8. Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de

modo que a diferença de suas distâncias aos pontos P1(–6,–4) e P2(2,–4) é igual a 6.

9. Reduza as equações das cônicas a seguir, através de translação, para uma forma padrão,

identificando os seguintes elementos:

I) As coordenadas do(s) vértice(s) e foco(s);

II) As equações do eixo focal, e eixo normal (elipse e hipérbole) ou diretriz (parábola);

III) Comprimento do Latus rectum e excentricidade;

IV) Comprimento dos eixos: maior e menor (elipse) / transverso e conjugado

(hipérbole).

a) x2 + 4y

2 + 2x – 24y + 33 = 0

b) 4y2 – 48x – 20y –71 = 0

c) 4x2 – 9y

2 – 36x – 18y + 63 = 0

10. Os focos de uma elipse coincidem com os vértices da hipérbole

H : 16x2 – 9y

2 – 64x – 18y + 199 = 0. Sabendo-se que a excentricidade da elipse é igual a

1/3, escreva sua equação.

11. O vértice de uma parábola coincide com o centro da hipérbole

H : 2x2 – 7y

2 – 4x + 14y – 19 = 0 , e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse

E : 11

)2y(

4

)1x( 22

. Determine a equação dessa parábola.

RESPOSTAS:

1. a) x’2 + y’

2 = 4 b) x’ y’ = 1

2. a) x’2 + y’

2 = 9 b) x’

2 + y’

2 = 25 c) 3x’

2 + 2y’

2 = 6

d) y’2 – 4x’ = 0 e) x’

2 – 4y’

2 = 4

3. a) 4(x – 2) = (y – 4)2

b) – 8(x – 1) = (y – 2)2 c) – 8(x – 1) = (y – 5)

2

3

d) – 8(x – 1) = (y – 2)2

4. y2

– 6y – 8x – 23 = 0 ; parábola

5. a) 125

)5y(

16

)3x( 22

b) 17

)1y(

16

)1x( 22

c) 120

)1y(

36

)1x( 22

d) 120

)2y(

45

)1x( 22

6. 9x2 + 25y

2 + 18x – 50y – 191 = 0 ; elipse

7. a)

15

3y

4

4x22

b)

15

4y

4

3x22

c) 114y2 – 25(x – 2)

2 = 3600

d)

1

41

3

4

122

xy

8.

17

4y

9

2x22

; hipérbole

9. a) I) V1(1, 3) , V2(-3, 3); F1(-1 + 3 , 3) , F1(-1 – 3 , 3)

II) E.F.: y = 3 ; E.N.: x = – 1

III) |LR| = 1 ; e = 3 /2

IV) |EM| = 4 ; |Em| = 2

b) I) V(-2, 5/2) ; F(1, 5/2)

II) d : x = -5 ; E.F.: 2y – 5 = 0

III) |LR| = 12 ; e = 1

c) I) V1 (3,6) e V2 (3,2) ; F1(3,4 + 13 ) e F2 (3,4 – 13 )

II) E.F.: x = 3 ; E.N.: y = 4

III) |LR| = 9 ; e = 13 / 2

IV) |ET| = 4 ; |EC| = 6

10. 1144

)1y(

128

)2x( 22

11. (x – 1)2 = 12(y – 1)