Sistema ELITE de Ensino EsPCEx 2011/2012 Matemtica1www.sistemaeliterio.com.brModelo A Modelo B Modelo C01 E B D02 C E A03 E C E04 D E C05 B C D06 E D D07 B D B08 D E B09 D E E10 D C C11 D E A12 A D B13 C B E14 A C E15 B A C16 A B E17 E B D18 D D B19 A A A20 C C D21 B B C22 A A A23 B D C24 C A B25 C D A26 A A B27 E E D28 E A A29 B A E30 A B ASistema ELITE de Ensino EsPCEx 2011/2012 Matemtica2www.sistemaeliterio.com.brGABARITO COMENTADO MODELO A01. Considere as funes Reais f(x) = 3x, de domnio [4, 8] e g(y) = 4y, de domnio [6, 9].Os valores mximo e mnimo que o quociente f(x)g(y) pode assumir so, respectivamentea)2 1e .3 2b)1 e 1.3c)4 3e .3 4d)3 1e .4 3e)11 e .3Soluo:Definimos f(x)kg(y), para que tenhamos k mximo, precisamos que o valor de f(x) seja omaior possvel eg(y) omenor possvel. Paraisso, comof(x) e g(x) sofunesestritamente crescentes, o maior valor de f(x) ser alcanado quando x = 8 e o menorvalor de g(y), quando y = 6, portanto f(8) 3.8k 1g(6) 4.6Analogamente, o k mnimo ser obtido quando f(x) for o menor possvel, x = 4 e g(x) omaior possvel, y = 9, ou seja: f(4) 3.4 1kg(9) 4.9 3Opo: E02. Seja o nmero complexo++x yiz ,3 4icom x e y reais e i2= 1.Se + 2 2x y 20, ento o mdulo de z igual a:a) 0b) 5c)2 55d) 4e) 10Soluo:++ + + ++2 22 2x yix y x yi 20 2 5z3 4i 3 4i 5 53 4Opo: CSistema ELITE de Ensino EsPCEx 2011/2012 Matemtica3www.sistemaeliterio.com.br03. O domnio da funo real +22 xf(x)x 8x 12 a) 1 ] 2,b) 1 ] 2, 6c) 1 1] ] , 6d) 1 1] ]2, 2e) 1 ] , 2Soluo:Para que um nmero real pertena ao domnio da funo, necessrio que: ' + 22 x 0x 8x 12 0Se 2 x 0 x 2 e + 2x 8x 12 0 x 2 e x 6, logo o domnio da funo ser ainterseo dessas solues que : 1 ] ,2Opo: E04. Na Fsica, as leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol.Definese como perodo de um planeta o intervalo de tempo necessrio para que esterealize uma volta completa ao redor do Sol.Segundo a terceira leide Kepler,Osquadrados dos perodos de revoluo (T) so proporcionais aos cubos das distnciasmdias (R) do Sol aos planetas, ou seja, T2= KR3, em que K a constante de propor-cionalidade.Sabese que a distncia do Sol a Jpiter 5 vezes a distncia TerraSol; assim, sedenominarmos T ao tempo necessrio para que a Terra realize uma volta em torno do Sol,ou seja, ao ano terrestre, a durao do ano de Jpiter sera) 3 5Tb) 5 3Tc) 3 5Td) 5 5Te) 3 3TSoluo:Como J TR 5 R , temos: 2 2 2 2J J R RJ T3 3 3 3J T T TT T T TT 5 5TR R 125 R ROpo: D05. Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o nmero real x, soluo da equao 5x1=150, pertence ao intervalo:a) 1 1] ] , 0b) 4, 5c) 1 ] 1, 3d) 0, 2e) + 5,Sistema ELITE de Ensino EsPCEx 2011/2012 Matemtica4www.sistemaeliterio.com.brSoluo:Sabendo que 10log5 log 1 log2 0,72 + +x 1 (x 1)5 150 log5 log150 (x 1)log5 log3 log5 log10 + + +2,88 4(x 1).0,7 0, 48 0,7 1 x 40,7 35 , logo x [4,5[Opo: B06. O Conjunto soluo do sistema'+ x y3 23 .27 92y xy 03 formado por dois pontos,cujalocalizao no plano cartesiano a) Ambos no primeiro quadrante.b) Um no quarto quadrante e o outro no eixo X.c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante.d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y.e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X.Soluo:+'+ + x y3 2x y x 3y 2 x 3y 23 .27 92y xy 033 .27 9 3 (3 ) 3 3 3 x 3y 2 x 2 3ySubstituindo x na outra equao, temos:+ + + 3 2 3 22 22 2y xy 0 y (2 3y)y 03 3y (3y 4 6y) 0 y (4 3y) 04y 0 x 2 ou y x 23Portanto o conjunto soluo possui os pontos ' o(2,0) Eixo x4( 2, ) 2 Quadrante3Opo: E07. Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrcolas, constatouse que a ao do produto sobre a populao de insetos em uma lavoura pode ser descritapela expresso ( ) kt0N t N 2 , sendo0N a populao no incio do tratamento, ( ) N t , apopulao aps t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficcia doproduto. Dados de campo mostraram que, aps dez dias de aplicao, a populao haviasido reduzida quarta parte da populao inicial. Com estes dados, podemos afirmar que ovalor da constante de eficcia deste produto igual aa)15b)15c) 10d)110e)110Sistema ELITE de Ensino EsPCEx 2011/2012 Matemtica5www.sistemaeliterio.com.brSoluo:Sabemos que ktoN(t) N .2 e para t = 10 dias, temos: 10k ooNN(10) N .24 . Portanto 10k 2 12 2 k 5 .Opo: B08. Considere a funo real( )f x , cujo grfico est representado na figura, e a funo real( )g x , definida por( ) ( ) + g x f x 1 1.O valor de _ ,1g2a) 3b) 2c) 0d) 2e) 3Soluo:f(x) uma funo do primeiro grau cujo grfico a reta mostrada, que passa pelos pontos ( 3,0) e (0,2) e possui coeficiente angular23e o coeficiente lineariguala 2,logo +2f(x) x 23.Portanto: _ _ _ + + + , , ,1 1 2 3g f 1 1 2 1 22 2 3 2Opo: D09. A inequao+ + + ++ + + +