Geometria Analítica 1

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO A geometria analítica foi

desenvolvida durante o século XVII por René Descartes (1596-1650),

filósofo, físico, advogado e matemático francês, autor da máxima “penso, logo existo”. Sua obra foi exposta em seu livro La Geometria, que introduziu a álgebra no estudo da geometria e vice-versa criando a geometria com coordenadas. Seus

estudos foram tão significativos que a palavra cartesiano é uma homenagem ao seu nome, pois Descartes, em latim, é cartesius. DEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃODEFINIÇÃO

Um dos objetivos da geometria analítica é determinar a reta que representa uma certa equação ou obter a equação de uma reta dada, estabelecendo uma relação entre a geometria e a álgebra.

SISTEMA CARTESIANOSISTEMA CARTESIANOSISTEMA CARTESIANOSISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ORTOGONAL ORTOGONAL ORTOGONAL Existe uma correspondência biunívoca entre

os pontos de um plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais, isto é, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado (x,y) e a

cada par ordenado (x,y) está associado um único ponto do plano. A relação biunívoca não é única, depende do sistema de eixos ortogonais adotado. Para estabelecer uma dessas correspondências biunívoca são usados dois eixos ortogonais (eixo ‘x’ e eixo ‘y’) que formam o sistema cartesiano

ortogonal. A intersecção dos eixos x e y é o ponto O, chamado de origem do sistema. Exemplo: Ao par ordenado de números reais: ➢ (0,0) está associado o ponto 0(origem)

➢ (3,2) está associado o ponto A; ➢ (1,4) está associado o ponto B;

➢ (-2,-3) está associado o ponto C; ➢ (2, -1) está associado o ponto D.

Considerando o ponto A(3,2), dizemos que o

número 3 é coordenada X ou a abscissa do ponto A e o número 2 é a coordenada Y ou a ordenada do ponto A.

Observações: 1º) Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes, cuja identificação é feita conforme a figura abaixo.

O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante. 2º) Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a,0) com a ∈ ℝ.

3º) Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0,b), com b ∈ ℝ.

Prof. Ricardo Augusto

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos A e B, a distância entre eles, que será indicada por d(A,B), é a medida do segmento de extremidades A e B. Exemplos:

1º)

2º)

3º)

4º)

5º)

6º)

Podemos determinar uma expressão que

indica a distância entre A e B, quaisquer que sejam A(x1,y1) e B(x2,y2).

Na figura abaixo o triângulo ABC é retângulo em C, logo podemos usar a relação de Pitágoras:

[d(A,B)]2= (x2 – x1)2+(y2 – y1)2

D(A,B)= 2

12

2

12)()( yyxx −+−

Concluimos, então, que a distância entre

dois pontos A e B quaisquer do plano tal que A(x1,y1) e B(x2,y2), é dada por:

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

1º) Um ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontos A(3,1) e B(2,4). Calcular a abscissa do ponto P.

2º) Demonstre que o triângulo com vértices A(-2,4), B(-5,1), C(-6,5) é isósceles.

3º) Considerando os vértices A(- 1,- 3), B(6,1) e C(2,-5), verifique se o triângulo ABC é retângulo. 4º) Considere um ponto P(x,y) tal que a sua distância ao ponto A(3,2) é sempre duas vezes a sua distância

ao ponto B(-4,1). Nessas condições, encontre uma equação que seja satisfeita com as coordenadas do ponto P.

5º) Calcule a distância entre os pontos dados: a) A(3,7) e B(1,4) b) E( 3,-1) e F(3,5) c) H(-2,-5) e O(0,0) d) M(0,-2) e N(√5,-2)

e) P(3,-3) e Q(-3,3) f) C(-4,0) e D(0,3)

6º) considere um ponto P(x,y) cuja distância ao ponto A(5,3) é sempre duas vezes a distância de P ao ponto B(-4,-2). Nessas condições, escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P.

7º) Encontre uma equação que seja satisfeita com as coordenadas de qualquer ponto P(x,y) cuja distância ao ponto A(2,3) é sempre igual a 3.

8º) Calcule o perímetro do triângulo ABC sabendo que A(1,3), B(7,3) e C(7,11).

9º) Determine as coordenadas do ponto P pertencente a bissetriz dos quadrantes ímpares e que é eqüidistante dos pontos A(7,2) e B(-2,1). 10º) (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1), B(5,-7) e

C(x,2), determine x. Sabendo que o ponto C é eqüidistante dos pontos A e B. 11º) Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices

são A(-1,-3), B(6,1) e C(2,-5) e verificar se esse triângulo é retângulo. 12º) Sabendo-se que o ponto P(a,3) é eqüidistante dos pontos A(2,5) e B(3,4), obter a abscissa aaaa do

ponto P. 13º) Determine a distância entre os pontos A(5,11) e B(2,7)

14º) Calcular a distância d entre os pontos A(2,-5) e B(7,7).