Turma: 81116 - D - Geometria analıtica

P1 12/04/2016

• O tempo a disposicao e de 2 horas.• Nao usar as nocoes de determinante e posto de uma matriz. Usar as tecnicas da

primeira parte do curso.• Escrever o nome e o RA em cada folha.

Exercıcio 1

Resolver o seguinte sistema linear, usando o metodo de escalonamento de Gauss:x− y + z + w = 12x + z − w = −1x + y + z − w = −1x + y + 2z = 0.

Exercıcio 2

Usando o metodo de escalonamento de Gauss, estabelecer quantas solucoes tem o se-guinte sistema linear, dependendo do valor do parametro k ∈ R: kx− y − z = 0

y + z = 1x + ky + z = 2.

Exercıcio 3

Estabelecer para quais valores do parametro k ∈ R o vetor v e combinacao linear dafamılia A em R4:

v =

1004

A =

11k1

,

121−2

,

001k

.

Exercıcio 4

Mostrar que a famılia

A =

1

11

,

011

,

001

e independente e escrever explicitamente o vetor v = (2, 1, 0) como combinacao linear deA.

1

2

Exercıcio 5

Para cada um dos seguintes sub-conjuntos de R4, estabelecer se e um sub-espaco veto-rial.

(1) V1 = {(a, b, c, d) : a− c + 2d = 0};(2) V2 = {(a, b, c, d) : a− b = 1};(3) V3 = {(a, b, c, d) : |a| = |c|}.

Exercıcio 6

Provar que todo vetor de R3 e combinacao linear da famılia

A =

1

01

,

011

,

123

,

1−11

.

Exercıcio 7

Provar que, se {v, w} ⊂ Rn for uma famılia independente, entao tambem {v, w + kv} eindependente para qualquer valor de k ∈ R.

Pontuacao de cada exercıcio

1)1.5 2)2 3)1.5 4)1 5)2 6)1.5 7)1 Total: 10.5