1. GEOMETRIADESCRITIVA I Alfredo Coelho Itabuna BA 2011Atualizao agosto de 2012

2. PRELIMINARESDEFINIO:A Descritiva um ramo da geometria que tem como objetivorepresentar objetos de trs dimenses em um plano horizontal nico.Esse mtodo de reprento deve-se ao sbio terico da GeometriaAnaltica e desenhista francs Gaspard Monge (1746 a 1818), um dosfundadores da Escola Politcnica Francesa. Monge foi tambm umagrande figura poltica do final do sculo XVIII e incio do sculo XIX.Por todos os seus feitos, ele pode ser considerado o pai da Geometria Gaspar Monge (1746 a 1818) Diferencial de curvas e superfcies do espao, e por este motivo que ageometria descritiva chamada de Geometria Mongeana ou Mtodo deMonge.PROJEES:Se entre um observador e uma parede for colocadauma caixa, quando o observador olha para a parede,justamente na direo em que a caixa se encontra, eleno v a regio da parede que fica encoberta pelacaixa. Isto acontece porque os raios luminosos que sorefletidos pela parede, nesta regio, no chegam aoolho do observador, pois so empedidos pela caixa. Oobservador v a caixa projetada sobre a parede. Nafigura a rea escura (rea encoberta pela caixa) queindica a projeo da caixa sobre a parede.PROJEO DO PONTO:Agora vamos voltar nossa ateno para o desenho abaixo:Consideremos o plano de projees, a reta r, o ponto P e a suaprojeo P1, sobre o plano ... Temos:a. A reta r que passa pelos pontos P e P1 a reta chamada de retaprojetante do ponto P ou simplesmente projetante;b. P1 projeo do ponto P sobre o plano , o local onde a retaprojetante fura (intercepta) o plano de projees.TIPOS DE PROJEES:Dependendo da posio do observador podemos considerar dois tipos de projees: cnicas ecilndricas.As projees so ditas Cnicas quando as projetantes so oblquas ao plano de projees epassam por um ponto fixo O, e Paralelas ou Cilndricas quando as projetantes soperpendiculares ao plano de projees e paralelas entre si.Fazendo uma analogia entre as projetantes e os raios luminosos emitidos por uma fonte de luz, asprojees Cnicas seriam relacionadas com uma fonte luminosa colocada numa posio finita,prxima ao plano de projees (Ex. A lmpada de uma sala). J as projees Cilndricas seriam2 3. comparadas com uma fonte de luz situada no infinito, muito distante do plano de projees (Ex.O Sol que se comporta como o desenho da direita no quadro acima).PLANOS DE PROJEES:So trs os planos de projees, os quaisdeterminam no espao Quatro Triedros(ngulos determinados por trs planosconcorrentes), orientados no sentido antihorrio.Plano Horizontal detentor das projeessuperiores.Plano Vertical , plano das projees frontais.Plano de Perfil, plano das projees lateraisou de perfil.DIEDROS:Inicialmente a geomatria descritiva no trabalhacom os triedros, somente com os diedros que songulos formados por dois planos:Neste caso o Plano Horizontal de Projees e oPlano Vertical de Projees.A interseco entre os dois planos determinamuma linha horizontal que chamada de Linhade Terra (LT) a qual divide os planosformando quatrosemiplanos econsequentemente quadro diedros:Os semiplanos:PVS Plano Vertical SuperiorPVI Plano Vertical InferiorPHA Plano Horizontal AnteriorPHP Plano Horizontal PosteriorOs didros:I Diedro formado pelos semiplanos PHA ePVSII Diedro formado pelos semiplanos PVS e PHPIII Diedro formado pelos semiplanos PHP e o PVIIV Diedro formado pelos semiplanos PVI e PHAOs pontos, as retas ou os slidos vo situar-se nestes diedros/triedros" e atravs de suasprojees cnicas ou ortogonais (cilndricas ou paralelas) vo ser representados sobre os Planosde projees: horizontal, vertical e lateral ou de perfil.NOTAS:1. Em geral os objetos sempre se situam no I Diedro/triedro;2. Sempre que se tratar de lateral vamos citar perfil.3. Na geometria Descritiva I vamos trabalhar com as projees cilndricas ou paralelas.4. Na Geometria descritiva II em Perspectiva Cnica vamos trabalhar com as projees cnicas. 3 4. REPRESENTAO ESPACIAL DOSPONTOS:Os pontos A, B, C e D esto representados noespao tridimensional, cada um ocupando um dosDiedros.Por eles passam diversas projetantes, linhasperpendiculares e inclinadas em relao aos planosde projees. Estas linhas passam pelos pontos e osprojetam sobre os planos ortogonais de projees;determinando a projeo superior sobre o planoHorizontal e a projeo frontal sobre o planoVertical.COMO DETERMINAR AS PROJEES ORTOGONAIS DE UM PONTO :Porcedemos do modo descrito abaixo:1 por traamos a primeira projetante, paralela ao plano vertical encontrando sobre o planohorizontal;2 traamos a segunda projetante, pelo ponto e paralela ao plano horizontal;3 traamos o segmento de reta , paralelo segunda projetante, com sobre a linha de terra;4 pelo ponto levantamos uma perpendicular da linha de terra at interceptar a segunda projetante;5 nesta interseco marcamos a projeo .PROJEO DOS PONTOS SOBRE OS PLANOS DE PROJEES: Pelo pontopassam as projetantes , perpendiculor ao plano horizontal anterior e a projetante , perpendicular ao plano vertical superior. O mesmo ocorrer com os outros pontos; passam duas projetantes: - uma perpendicular ao plano horizontal e a outra perpendicular ao plano vertical. Veja que de cada projeo com ndice 1parte um segmento tracejado at a linha de terra, este segmento que paralelo projetante oposta chamado de linha de chamada e uma linha parpendiculara LT.Para representar as projees usamos ndices numricos ou linhas.Ex.e , ou e. Ns iremos usar ndice numrico, mas o aluno fica livre para usarqualquer um. O indice 1ou para as projees superiores (no plano horizontal) e o ndice 2 oupara as projees frontais (no plano vertical).4 5. PURA:Para obtermos a pura de um sitema descritivo,rotacionamos o Plano Horizontal de Projees(PH) em torno da Linha de Terra no sentidohorrio, de tal forma que este coincida com oPlano Vertical de Projeo (PV), ficando oPHA coicidindo com o PVI e o PHPcoicidindo com o PVS.Observe que tudo que est sobre o PHA ficarepresentado abaixo da linha de terra LT e tudoque est no PHP fica representado acima dalinha de terra.Depois do rebatidos osplanos de projees sefundem em um s plano, como se fosse um nico plano vertical, o qualvai corresponder folha de papel.Esta nova representao recebe o nome de pura.A PURA a representao da figura do espaono plano, depois dos rebatimentos de suasprojees.Quando lemos em pura visualizamos, pelopensamento, os planos ortogonais de projees:Plano Horizontal PH, Plano Vertical PV e oPlano Lateral ou de Perfil PP, e, deste modoimaginamos a figura representada.A linha de terra (LT) a interseco entre os planos Vertical eHorizontal.OBSERVAES:1 Alguns professores optam por rotacionar o plano vertical no sentido antihorrio, que o modooriginal de Monge, o resultado o mesmo. Como os quadros em sala de aulas so perpendiculares,para facilitar a viso do aluno, alguns professores, inclusive eu, usam rotacionar o plano horizontal nosentido horrio para evitar, uma possvel, segunda rotao.2 No faa estes desenhos a mo livre, pois no tem sentido fazer desenho tcnico sem o uso dosintrumentos (par de esquadros, rgua e compasso).3 Sempre que possvel use uma escala (usando a rgua) para ter trabalhos proporcionais, lgicos e defcil compreenso.ESTUDO DO PONTOPONTO: um ente geomtrico admensional, geralmente representado por uma letra maiscula do nossoalfabeto (Ex: . ponto P, . ponto R)Um ponto fica representado em pura, por suas projees ou coordenadas, sobre os planos: Horizontal PH (Vista Superior - VS) que determina o Afastamento do ponto; Vertical PV (Vista Frontal - VF) que determina a Cota do ponto; Lateral ou de Perfil PP (Vista de Perfil - VP) No representa a abscissa. A vista Lateralmostra numa mesma projeo, o afastamento e a cota.5 6. COORDENADAS DO PONTO:ABSCISSA a distncia de um ponto a um plano deperfil tomado como orgem. As abscissas so medidas daesquerda para a direita sobre a Linha de Terra, tanto empura quanto no espao, em geral positiva podendo sernegativa. Aqui em geral, ns vamos ter abscissa positiva,mas, eventualmente aparecerar dados esquerda daorigem: ponto 0 (zero) marcado sobre a LT.AFASTAMENTO a distncia do ponto ao planovertical de projees. Em pura, afastamento adistncia da projeo horizontal (VS) linha de Terra LT.COTA a distncia do ponto ao plano horizontal de projees. Em pura, cota a distncia daprojeo vertical (VF) linha de Terra LT. Diedro Abscissa AfastamentoCotaI-/+ + + II -/+ - + III -/+ - - IV - /+ + - OBSERVAO: Abscissa: a seta apontando para a esquerd indica abscissa nagativa, para direirta, positiva. Afastamento: a seta apontando para baixo representa afastamento positivo e apontando par cima representa afastamento negativo. Cota: a seta apontando para cima representa cota positiva e apontando para baixo representa cota negativa.PONTO SITUADO NOS PLANOS DE PROJEES: Anteriormente vimos um ponto em cada Diedro, agora veremos um ponto em cada semiplano. Tomando-se os pontos E, F, G e H temos: O ponto E situado no plano horizontal anterior PHA, e o ponto F situado sobre o plano horizontal posterior PHP, nestes casos temos as projees horizontais, de ndice 1, coincidindo com o Ponto e as projees verticais, de ndice 2, sobre a linha de terra. O ponto G situado no plano vertical superior PVS, e o ponto H situado no plano vertical inferior PVI, nestes casos temos as projees verticais, de ndice 2, coincidindo com o Ponto e as projees horizontais, de ndice 1, sobre a linha de terra. PURAPlanoAbscissa AfastamentoCotaHorizontal anterior-/+ + 0Vertical superior-/+ 0 + Horizontal posterior -/+ - 0Vertical inferior-/+ 0 - 6 7. PONTO SITUADO NOS PLANOS BISSETORES:- Ops!? ... Plano bisse ... bissetores?!. Hiii ... fess agora f ... pegou!- K k issssso s?! Bissetorr? Calma:Plano bissetor o plano que divide o diedro em espaosiguais, formando dois ngulos de 45.Como so quatro diedros, ento teremos dois planosbissetores, o I Bissetor que passa pelo I e III diedro,bissetor impar, e o II Bissetor que passa pelo II e IVdiedro, bissetor par.Devido ao ngulo de 45 que determina distnciasperpendiculares com medidas iguais, um ponto situadosobre um plano bissetor tem o afastamento igual cota,em mdulo (valor absoluto), mudando apenas o sinalconforme o diedro.Se o ponto pertence ao I Bissetor suas projees: o afastamento e cota ocupam posies distintas,mas se o ponto pertence ao II Bissetor o afastamento e a cota ocupam a posio coincidente.Logo a seguir veremos os pontos j rebatidos, mas sem a representao dos planos bissetorespara facilitar o entendimento e compreenso do rebatimento, claro com um menor nmero delinhas.ROTACIONAMENTO DOS PONTOS SITUADOS NOS BISSETORES: Como os planos bissetores no fazem parte do sistema projetivo normal, podemos retir-los para enxugar o sistema e melhorar a aparncia das representaes: pontos e projees. Feito isso vamos ao rebatimento das projees horizontais, os afastamentos. Depois de rebatido sistema fica com a aparncia abaixo e a esquerda, que j a prpria pura dos pontos, basta apagar as linhas que delimitam os planos e temos a aparncia final da nossa representao. Observe que, conforme j foi explicado antes, pelomotivo dos planos bissetores estarem a 45 com relao aos planos projetivos, ele determina distncias iguais para cada um deles e, desse modo, algumas projees, particularmente as do II e IV Diedros so coincidentes. Veja que as projees e so coincidentes: o ponto J est no II Diedro, bem como as projees e tambm, pois o ponto K est no IV Diedro. PURA: Apagando as linhas limitantes dos planos encontramos a representao da esperada pura. Observe que os pontos I, J, K e L, mesmo estando sobre os planos no foram colocados na pura, pois eles no so projees. Realmente, eles pertencem ao espao.7 8. PONTO LOCALIZADO SOBRE A LINHA DE TERRA: Um ponto quando localizados sobre a Linha de Terra, ele no se situa em nenhum semiplano nem no espao, apesar de pertencer a qualquer um plano que passe pela linha de terra, e consequentemente ao espao. Um ponto sobre a linha de terra LT tem todas as suas coordenadas nula com exceo da abscissa, que medida sobre a LT. Diedro AbscissaAfastam.CotaTodos -/+ 0 0 PURA:Como o afastamento e a cota so nulos, a sua representao em pura de apenas um ponto sobre a linha de terra (LT), conforme a suaabscissa.Mesmo o ponto M estando sobre a LT ele no aparece na pura.E assim conclumos o estudo das 13 posies dos pontos. H quem diga que s so 9, mas euconsidero, tambm as 4 posies dos pontos sobre os planos Bissetores.EXERCCIOS sobre Pontos:Agora que j estamos craque em GD vamos aos exerccios. Use rgua, par de esquadros e compasso conformevimos em sala de aulas: desenho tcnico se faz com instrumentos.Sugiro que, antes do desenho definitivo, com o uso de papel milimetrado ou papel quadriculado, faa um croqui mo livre para ter certeza de sua construo.NOTA:Todos os exerccios, mesmo os feitos em casa, devero ser realizados em papel opaco branco com margenssegundo o padro oficial, em escala com carimbo simples e com data.1. Dado o sistema espacial, determine as projees, faa os devidos rebatimentos e construa a pura dos pontos, (observe a projetante em cada ponto, use a mesma medida):2. Pelo sinal do afastamento e da cota dos pontos dados determine o Diedro, Semiplano de Projees e Plano Bissetor, ao qual cada um deles pertence: a. A (2,0; 5,0; 2,5) b. B(7,0; 3,0; 4,0)c. C(8,0; 3,0; 3,0)8 9. d. D(0,0; 2,8; 7,0) i. I(0,0; 0,0; 0,0)m. M(5,0; 3,0; 3,0)e. E (0,8; 5,5; 5,5) j. (7,0; 0,0; 7,0) n. N(9,0; 3,8; 3,8)f. F(5,0; 4,0; 8,0) k. K(6,0; 3,0; 0,0) o. O(6,0; 2,8; 7,0).g. G(0,0; 3,5; 5,0)l. L(10,0; 2,0; 0,0)h. H(0,0; 4,0; 4,0) 3. Dados os pontos construa a pura:a. A(6,0; 3,5; 5,0) e. E(5,0; 3,0; 3,0)b. B(7,0; 0,0; 2,0)f. F(2,0; 3,0; 3,5)c. C(0,0; 5,5; 5,5)d. D(3,0; 5,0; 5,0) 4. Na questo anterior determine o Diedro ao qual cada ponto pertence ejustifique. 5. Dada a pura dos pontos de A at F, ao lado, encontre as coordenadas(Ab, Af, Co) de cada ponto, e identifique onde ele est. As medidas navertical esto proporcionais (iguais) s medidas sobre a LT.(No so colocadas medidas sobre a linha de terra, em pura, mas porefeitos didticos, aqui ns colocamos para orientao na resoluo, use argua para extrair as medidas na LT e transportar para a vertical). Exerccio 5REBATIMENTO DO PONTO:Para melhor estudar um ponto podemos fazer o seu rebatimentosobre um terceiro plano de projees: um Plano de PerfilAuxiliar (3), cujo trao uma linha perpendicular a linha deterra PPa e, sobre ele encontramos a terceira projeo doponto: a projeo de ndice 3. O trao PPa acima da LT ainterseco do plano vertical com o plano de Perfil Auxiliar eabaixo a interseco deste com o plano Horizontal.O Rebatimento de um Ponto: muito simples, basta procedermos conforme descrito abaixo: 1. Traamos uma linha perpendicular LT (trao do PPa); 2. Passamos uma linha de chamada pela projeo horizontal (P1) do ponto P at o PPa,determinando o ponto p1; 3. Com abertura do compasso igual ao afastamento do ponto e, com centro na interseco entre aLT e o PPa, descrevemos o arco 1 3 : p1 (sobre o PPa) e p3 (sobre a LT); 4. De p3 levantamos uma perpendicular LT, e depois partindo de P2 traamos uma paralela LTat cortar a reta traada anteriormente (a perpendicular LT) determinando a interseco dasduas linhas de chamadas; 5. Nesta interseco temos a projeo P3 equivalente ao rebatimento do ponto P sobre o plano deperfil.Demonstrao Grfica: 1. Para um ponto no primeiro diedro:9 10. 2. Para um ponto no segundo diedro: 3. Para um ponto no terceiro diedro: 4. Para um ponto no quarto diedro:Em todos os casos a rotao se d no sentido antihorrio a partir do PPa para a LT.Depois de rebatido o ponto tem as seguintes caractersticas:O rebatimento de um afastamento positivo fica direita do PPa e se negativo fica esquerda,quanto a cota, se essa for positiva, seu rebatimento fica acima da LT e se for negativa ficaabaixo.EXERCCIOS sobre Rebatimento do ponto: 1. Faa o rebatimento dos pontos dados na pura ao lado: 2. Dados os pontos, por suas coordenadas, construa uma pura separada de cadaponto e faa o rebatimento de cada um deles:a. A(2,0;2,0;-4,0)b. B(1,5;3,0;-3,0)c. C(3,0;2,0;2,0)d. D(2,0;3,0;0,0)e. E(3,0;0,0;0,0)f. F(3,0;-3,0;2,0)10 11. RESOLUO DOS EXERCCIOS:I - Sobre Pontos:1.2. A IV diedro, B III diedro, C I diedro, D II diedro, E I diedro, F II diedro, G III diedro, H IV diedro, I na origem, J no PVS, K no PHP, L no PHA, M no bissetor mpar III diedro, N no bissetor par II diedro, O no bissetor par II diedro.3. 11 12. 4. (A) est no II diedro: o afastamento negativo e a cota positiva; (B) est sobre PVS: o afastamento nulo ea cota positiva; (C) est no bissetor impar e no I diedro: o afastamento igual a cota e ambos positivos; (D)est no bissetor par e no II diedro: o afastamento e cota com mdulos iguais e sinais opostos, com a cotapositiva; (E) est no bissetor par e no IV diedro: o afastamento e cota com mdulos iguais e sinais opostos,com a cota negativa; (F) est no III diedro: o afastamento e a cota so ambos negativos. 5. (8,0; 5,0; 2,0) o ponto est no I diedro; (6,0; 2,0; 1,0) o ponto est no II diedro; (4,0; 3,0; 0,0) oponto est sobre o PHA; (1,0; 3,0; 3,0) o ponto est sobre o bissetor par no II diedro; (6,5; 5,5; 4,0) oponto est no I diedro; (2,5; 0,0; 0,0) o ponto est sobre a LT.II - Sobre Rebatimento do Ponto: 1. 2.ESTUDO DAS RETAS:O espao constitudo de infinitos pontos e consequentemente, constitudo por infinitas retas eplanos.Reta o conjunto de infinitos pontos alinhados em uma nica direo, a reta um enteunidimensional. 12 13. Determinao de uma Reta:Da geometria plana e geometria analtica plana, sabemos que dois pontos determinam uma nicareta. Sendo os pontos e : a poro da reta, entre aos pontos e chamada de segmento dereta e o conjunto total de pontos alinhados numa direo, que contm o segmento a retasuporte do segmento: reta =. A representao, l-se reta AB ou reta suporte dosegmento AB.Assim como na Geometria plana as retas, em descritiva, so representadas por letras minsculasdo Alfabeto, , , etc.Teorema Um: A projeo de uma reta sobre um plano no perpendicular a esta reta uma reta.Se o plano for perpendicular a esta reta a projeo da reta um nico ponto sobre o plano.Teorema Dois: A posio de uma reta fica determinada no espao quando conhecemos asprojees desta reta.Teorema Trs: Um ponto pertence a uma reta quando as projees desse ponto esto sobre asprojees de mesmo nome da reta.Trao:Trao de uma reta o ponto em que a reta intercepta (fura) um plano de projeo, se for o planoHorizontal o trao o ponto (ponto onde a reta fura o plano horizontal), se for o plano Verticalo trao o ponto (ponto onde a reta fura o plano vertical). O trao indica a passagem de umareta de um diedro par outro diedro.Teorema Quatro: Em pura, a projeo V1 do trao vertical e a projeo H2 do trao horizontalesto obrigatoriamente sobre linha de terra LT, de onde V1= v e H2 = h. A representao dessasprojees facultativa, mas caso ela seja representada, na outra projeo deve constar os ndices1 ou 2.Visibilidade:Como podemos notar na figura ilustrativa, a parte visvel da reta o trecho que se encontra noprimeiro diedro/triedro, pois onde o observador est. Em pura, a reta nunca visvel apsultrapassar a linha de terra LT.EXERCCIOS Sobre Reta:1. Representar em puras separadas, as retas, destacando a visibilidade e indicar os diedros atravessados pela reta: a. definida por (4,0; 1,0; 3,0) e (7,0; 2,5; 1,5) b. definida por (4,0; 1,0; 3,0) e (7,0; 2,5; 1,5) 13 14. c. definida por (1,0; 4,2; 2,0) e (7,0; 1,0; 2,0)Solues:TIPOS DE RETAS:Em Geometria Descritiva podemos enumerar setes tipos diferentes de retas conforme elas seapresentam nos diedros/triedros de projees. Reta Qualquer toda reta oblqua em relao aos planos de projees: plano Horizontal e plano Vertical e, tambm oblqua em relao a um plano de perfil auxiliar. Em pura, o ngulo que faz com a linha de terra o ngulo que o plano forma com o plano Vertical de projees. O ngulo que faz com a linha de terra o ngulo que o plano forma com o plano Horizontal de projees. Como percebemos a reta qualquer no apresenta nenhum paralelismo com osplanos de projees e/ou os planos projetantes. Ela pode apresentar os dois traos H e V, ousomente um deles, depende apenas de sua posio no espao. Reta Horizontal toda reta paralela ao plano Horizontal de projees e oblqua ao plano Vertical de projees. A reta horizontal tem apenas um trao: o vertical V sobre a projeo vertical da reta e a projeo horizontal de V: v est sobre a LT. Em pura, a projeo vertical de uma reta horizontal uma reta paralela linha de Terra, sobre o Trao vertical V, do plano Horizontal que contm a reta. J a projeo horizontal de uma a reta horizontal r1 oblqua em relao linha de Terra e o ngulo que r1 forma com a LT o ngulo que a retahorizontal forma com plano Vertical de projees. 14 15. Reta Frontal toda reta paralela ao plano Vertical de projees e oblqua ao plano Horizontal de projees. A reta frontal tem apenas um trao: o horizontal H sobre a projeo horizontal da reta e projeo vertical de H: h est sobre a LT. Em pura, a projeo horizontal de uma reta frontal uma reta paralela linha de Terra, sobre o Trao horizontal H, do plano Frontal que contm a reta. J a projeo vertical de uma a reta frontal r2 oblqua em relao linha de Terra e o ngulo que r2 forma com a LT o ngulo que a reta frontal formacom plano Horizontal de projees. Reta de Perfil toda reta oblqua aos dois planos de projees: Horizontal e Vertical e paralela a qualquer plano de Perfil Auxiliar. A reta de perfil apresenta os dois traos: o trao horizontal H sobre a projeo horizontal da reta e o trao vertical V sobre a projeo vertical da reta. Sobre a LT, a projeo vertical de H, coincide com a projeo horizontal de V: h = v. Em pura a reta de perfil determinada por uma reta perpendicular linha de terra e situada sobre o Trao do plano de Perfil que a contm. Como a reta de perfil oblqua aosplanos de projees horizontal e vertical e, estes so perpendiculares entre si, ento os ngulosque a reta de perfil forma com estes planos so ngulos complementares ( + = 90). Reta Vertical toda reta perpendicular ao plano Horizontal de projees e paralela ao plano Vertical de projees, uma reta contida num dos planos da famlia dos planos verticais: Frontal, Perfil ou Vertical. A reta vertical tem apenas um trao: o horizontal H sobre a projeo horizontal da reta a projeo vertical de H: h est sobre a LT. Em pura a projeo Horizontal o prprio trao da reta que coincide com a projeo de todos os pontos da reta, ou seja, com a prpria projeo horizontal da reta. A projeo vertical uma retaperpendicular linha de Terra. 15 16. Reta de Topo a reta paralela ao plano Horizontal de projees e em consequncia, perpendicular ao plano Vertical de projees. A reta de topo tem apenas um trao: o vertical V sobre a projeo vertical da reta e a projeo horizontal de V: v est sobre a LT. Em pura a projeo Horizontal uma reta perpendicular linha de Terra e, a projeo vertical o prprio trao da reta que coincide com a projeo de todos os pontos da reta, isto , com a prpria projeo vertical da reta. Reta Fronto-horizontal toda reta paralela linha de Terra e consequentemente paralela aos planos de projees: Vertical e Horizontal. A reta Fronto-horizontal no tem nenhum trao, nem horizontal nem vertical, suas projees so paralelas aos planos de projees. Em pura as suas projees so paralelas linha de Terra. As retas qualquer e perfil passam por trs diedros distintos, as retas horizontal, frontal, vertical e de topo passam por dois diedros, mas a reta fronto- horizontal s pode passar por um diedro:1, 2, 3 ou 4.NOTA:Estudando as retas Qualquer, Horizontal e Frontal, podemos observar o ESPAO. Mas, agora,com a Fronto-Horizontal, podemos v com mais clareza uma figura geomtrica espacial.Observe bem o Paraleleppedo ABB1A1aA2B2 b que apresenta as trs retas mais importantes narepresentao grfica: Fronto-horizontal, Vertical e De Topo, as quais determinam os planos:Horizontal ABB2 A2, Frontal ABB1A1 e De Perfil AA1aA2 e os seus paralelos.RETAS PELAS COORDENADAS:Podemos identificar uma reta pelas coordenadas de dois de seus pontos observando os dadoslistados na tabela abaixo.Reta Abscissa Afastamento Cota 1. Qualquer DiferentesDiferentes Diferentes 2. Horizontal DiferentesDiferentesIguais 3. FrontalDiferentesIguais Diferentes 4. De Perfil Iguais Diferentes Diferentes 5. VerticalIguais Iguais Diferentes 6. De Topo Iguais DiferentesIguais 7. Fronto-horizontalDiferentesIguaisIguais16 17. EXERCCIOS Sobre tipos de Retas: 1. Identificar as retas dadas, determinar os seus traos e verificar quais os diedros que elas atravessam, noscasos abaixo. 2. Identifique as retas abaixo e determine os diedros que elas atravessam: 3. Construir a pura da reta que contm os pontos dados, marcar os seus traos e verificar quais os diedros quea reta atravessa, em cada caso: a. A(4,0;1,0;3,0) e B(9,0;4,0;3,0).c. A(3,0;2,0;1,0) B(10,0;2,0;4,0). b. A(5,0;1,0;3,0) B(12,0;6,0;1,0).d. A(2,0;3,0;2,0) B(8,0;1,0;5,0).Solues: 17 18. 1. No ponto em que a projeo horizontal intercepta a LT temos projeo horizontal v do trao vertical V, no caso da projeo vertical determina a projeo vertical h do trao horizontal H. A parte da projeo horizontal que fica acima da LT ou alm do trao horizontal H, assim como a parte da projeo vertical que fica abaixo da LT ou alm do trao vertical V invisvel: represnta-se pontilhado ou tracejado curto.2. Vertical, qualquer, de topo e frontal.3.18 19. Nos casos a, b, c, e e, o procedimento o mesmo: A interseco da projeo horizontal, da reta sobre a LT, determina a abscissa em que a reta fura o plano Vertical de projees (o trao V) e a interseco da projeo vertical, da reta sobre a LT, determina a abscissa em que a reta fura o plano Horizontal de projees (o trao H). No caso da letra d o procedimento s possvel com a realizao do rebatimento. Verificamos que a projeo do rebatimento corta o PPa em V e a LT em H. Projetando o H e o V sobre as projees da reta (de perfil) (rebatimento contrrio): Encontrado V sobro PPa, projetamos esse sobre a prpria projeo vertical; Encontrando H sobre o prolongamento da LT o projetamos sobre o PPa e da at a projeo horizontal na pura.Rebatimento de Uma RetaPara o rebatimento de uma reta fazemos o rebatimento de dois de seus pontos procedendo domesmo modo que fizemos para um ponto, e temos a reta rebatida.Exemplos:1. Dada a reta de perfil definida pelos pontos A e B determine os seus traos e os ngulos que a mesma forma com os planos de projees: P. Horizontal e P. Vertical. Primeiro: rebatemos os pontos A e B; Segundo: traamos o segmento AB e o prolongamos at o PPa e at a LT, marcando a os traos V e H, respectivamente e a partir da a reta tracejada. Terceiro: rebatemos os dos traos no sentido contrrio e encontramos asprojees: Horizontal H e Vertical V dos traos da reta. 19 20. Quarto: com o transferidor medimos os ngulos e encontramos dois ngulos complementares. 2. Dados os pontos A(5,0; 8,0; 3,0) e B(5,0; 6,0; 9,0), determine os seus traos e osngulos que ela forma com os planos de projees.Procedemos como nomodo anterior, com osmesmos passos,observando que o pontoA no quarto Diedro e oponto B est no segundo.Desse modoleiaatentamente os processosde rebatimento de pontosnos respectivos diedros.Siga assetas deorientao para traar orebatimento. Apsdefinido os traos, no deixe de indicar a visibilidade da reta e observar quais os diedrosque ela atravessa.EXERCCIOS Sobre Tipos de Retas:1.Representar em pura, a reta horizontal que passa pelo ponto P(2,0; 4,0; 3,0) e fura oplano vertical na abscissa 10,0 e indique a sua visibilidade.2.Traar as retas r e s, numa mesma pura, sendo r uma reta horizontal e s uma reta frontal,que se interceptam no ponto P(2,0; 2,0; 3,0) tal que r fura o plano vertical de projeesna abscissa 12,0 e s fura o plano horizontal de projees na abscissa 8,0. No se esqueade mostrar a sua visibilidade.3.Traar numa s pura, as projees das retas r de topo e, a reta s, vertical sabendo queelas passam pelos pontos P(2,0; 4,0; 3,0) e T(6,0; 4,0; 3,0), respectivamente.4.Faa a pura, da reta que passa pelos pontos A(3,0; 1,0; 3,0) e B(6,0; 2,0; 1,0) edetermine o ponto P em que a reta fura o plano bissetor impar.5.Sendo uma reta qualquer que passa pelo ponto A(9,0; 4,5; 1,0) e fura o plano vertical noponto V de Abscissa 3,0 e cota 6,0 determine o ponto em que a reta fura o plano bissetorimpar.6.Sendo a reta de topo que contm o ponto A(5,0; 2,0; 3,0) determine o ponto P e o ponto Rem que a reta fura o plano bissetor impar e o plano bissetor par, respectivamente.7.Proceda do mesmo modo anterior para a reta vertical que passa por A(3,0; 4,0; 5,0).8.Traar a pura de uma das retas que contm o ponto A(1,0; 2,0; 2,0) e est contida no Ibissetor.9. Determinar a pura da reta paralela ao plano bissetor impar que fura um plano horizontalnum ponto de abscissa 3,0 e cota 3,0.10. Trace a pura da reta r contida no plano bissetor impar que intercepta a LT na abscissa3,0 e passa por um ponto de abscissa 5,0.11. Determinar o trao do plano que contm o ponto A(2,0; 2,0; 4,0) e paralelo ao Ibissetor.12. Determine o trao da reta frontal s que intercepta o plano bissetor impar na abscissa 5,0 eafastamento 2,0 sabendo que s fura o plano de perfil no ponto de abscissa 10,0 e cota 4,0.13. Determinar os traos do plano paralelo ao I bissetor que intercepta o plano vertical deprojees na cota 3,5.Resoluo dos exerccios de 1 a 1320 21. 1. Tratando-se de uma reta horizontal s temoso trao vertical V, pois a reta horizontal spode passar por diedros simtricos em relaoao plano vertical, I e II, ou III e IV.A projeo vertical dessa reta paralela LT,marcamos as projees do ponto A e aabscissa do trao V, ligamos A1 projeo dotrao sobre a LT v, da levantamos a linhade chamada vV com a cota de V igual acota de A. A parte da projeo horizontalacima da LT no visvel ficando tracejada,juntamente com a projeo vertical a partir deV. 2. Tratando-se das retas horizontal e frontal,ambas s apresentam um trao.O traado da reta horizontal est descritoacima, quanto a reta frontal semelhante,mas agora quem paralela a LT a projeohorizontal.Marcam-se as projees do ponto P e aabscissa do trao horizontal v sobre a LTbaixa-se uma linha de chamada at a projeohorizontal, determinando H com mesmoafastamento de P.A reta frontal s pode passar por diedrossimtricos ao plano horizontal de projees: Ie IV ou II e III.3.As retas tm comportamentos simtricos emrelao s projees: vertical e horizontal. Na reta de topo a projeo horizontal perpendicular LT e a projeo vertical um ponto representado por seu traoV, ou seja, todos os pontos da projeocoincidem com V. J a reta vertical o contrrio: aprojeo horizontal um ponto e aprojeo vertical uma retaperpendicular LT. Neste caso o traohorizontal H coincide com todos osoutros pontos da projeo.4. 9Traamos a pura normal da reta e emseguida determinamos um plano de perfilauxiliar, pelo seu trao PPa procedemos orebatimento da reta e da parte do trao doplano bissetor impar, que ocupa o I diedro.Observe que o afastamento e a cota do pontoP so simtricas em relao a LT, pois ospontos sobre o plano bissetor Impar tmafastamentos e cotas iguais, devido ao ngulode 45.21 22. 5.Traamos normalmente a pura da reta e,em seguida rebatemos a reta e a parte dotrao do plano bissetor impar que ocupa oprimeiro diedro, sobre um plano de perfilrepresentado pelo seu trao PPa. A projeoP3 o prprio ponto que estamosprocurando.Procedendo-se o contra rebatimentoencontramos as projees P1 e P2 do ponto P.Pelo motivo j explicado as projees P1 e P2so simtricas em relao LT.6.A reta de topo fura tanto o plano bissetorimpar no I diedro com o plano bissetor par noII diedro.Traamos a pura da reta normalmente e, emseguida rebatemos as partes do planobissetores, adequadas para a resoluo doexerccio, e nos pontos em que a retarepresentada em perfil, intercepta osbissetores temos P3 e R3, respectivamente no Ie II diedro.Veja que R2 coincide com todos os pontos daprojeo vertical da reta.7.A reta vertical fura tanto o plano bissetorimpar no I diedro com o plano bissetor par noIV diedro.Traamos a pura da reta normalmente e, emseguida rebatemos as partes do planobissetores, adequadas para a resoluo doexerccio, e nos pontos em que a retarepresentada em perfil, intercepta osbissetores temos R3 e P3, respectivamente no Ie IV diedro.Veja que P1 coincide com todos os pontos daprojeo horizontal da reta. 8. Como no foi dada uma abscissa na qual nareta intercepta a LT temos vrias solues.Adotamos esta soluo que resulta abscissapositiva igual a 3.0.A outra soluo teria abscissa igual a 3,0 e aabertura angular voltada para a direita. 22 23. 9. 1 - Traamos em pura o trao do planohorizontal na cota 3,0;2 - Tomamos o rebatimento do plano Bissetorimpar no I triedro;3 - Marcamos V sobre , na abscissa dada e,por ele traamos a projeo r2 paralela projeo rebatida do plano bissetor;4 - Prolongamos r2 at a LT indicando aprojeo (h) do traos horizontal H sobre aLT;5 - Rebatemos H, o qual deve coincidir sobreo trao do plano Horizontal, e ligamos H a V,e prolongamos;6 - Finalmente, estudamos a visibilidade etemos a soluo do problema.10. Marcamos a abscissa do trao verticalcoincidindo com o trao horizontal H=V e,em seguida marcamos a projeo vertical dareta, a qual forma um ngulo de 45 com aLT, ngulo equivalente ao ngulo do bissetor.Marcamos a abscissa do ponto Adeterminando a projeo vertical A2 e dabaixamos uma linha de chamada at A1 com amesma distncia de A2 at a LT.Ligamos H=V a A1 e temos a soluo doproblema.11. Marcamos a pura do ponto A e sobre aabscissa deste ponto tomamos o plano deperfil auxiliar, PPa.Traamos uma reta paralela ao plano bissetorimpar passando pela cota do ponto A, atinterceptar a LT determinando (h), abscissado trao horizontal H.Rebatendo o trao H sobre o PPaencontramos=que so os traos,coincidentes, do plano pedido.12. Como a reta fura o plano bissetor impar naabscissa 5,0 e afastamento 2,0 marcamos oponto P(5,0; 2,0; 2,0), pois no plano bissetorimpar o afastamento igual a cota. Marcandoa cota 4,0 na abscissa 10,0 temos a projeovertical definida, a qual prolongada toca oeixo das abscissas na origem, determinando otrao horizontal H.- A representao do Pl. Bis. Impar, neste problemaseria dispensado.13. Traamos qualquer plano de perfil auxiliarPPa e tomamos o Plano Bissetor Imparrebatido sobre ele e, pela cota 3,5 do PPatraamos o rebatimento do plano solicitado, oqual na interseco com a LT determina a suaprojeo horizontal . Rebatendotemosa pura de 23 24. ESTUDO DOS PLANOS:Determinao:Um plano constitudo por infinitas retas e consequentemente por infinitos pontos, deste modoum plano, no espao pode ser determinado por: 1. Trs pontos no colineares; 2. Duas retas paralelas; 3. Duas retas concorrentes; 4. Uma reta e um ponto no pertencente a esta reta.Observa-se que, segundo os Postulados de Euclides, os quatro casos se resumem ao primeiro,pois se uma reta fica determinada por dois pontos A e B, um terceiro ponto C, teramos: Em 1 o tringulo formado pelos segmentos de retas ,e , concorrentesnos vrtices A, B e C. Em 2 a reta definida pelo segmento de reta tem uma reta paralela que passa por umponto C. Passando segmentos de retas pelos pontos temos a possibilidade de construir otringulo. Em 3 a reta definida pelo segmento de retatem uma reta concorrente que passa peloponto C. Se procedermos como no caso anterior, ainda temos a possibilidade de construiro tringulo. Em 4 este caso est resume aos casos 1, 2 e 3.O espao constitudo por infinitos planos, mas particularmente, dependendo da posio que umplano ocupa em relao aos planos de projees, eles podem ser denominados como:Qualquer ou oblquo aos planos de projees; Horizontal ou de nvel; Frontal ou de frente; dePerfil ou lateral, Vertical, de Topo, Paralelo Linha de Terra ou de Rampa e Plano que Passapela LT.Planos Projetantes:Os planos dividem-se em dois tipos de planos: os Projetantes e os no Projetantes.Projetante todo plano que , pelo menos, perpendicular a um dos planos de projees:- O plano horizontal, o plano frontal, o plano de topo, o plano vertical e o plano de perfil, soplanos projetantes. O Plano qualquer o plano paralelo linha de terra e o plano que passa pelalinha de terra so planos no projetantes.Teorema cinco: Trao:A linha que representa a interseco do plano com os planos de projees denominada de traodo plano. Sobre o plano horizontal Trao de ndice 1 e sobre o plano vertical Trao de ndice2.Plano Qualquer um plano oblquo aos planoshorizontal e vertical de projees, maisprecisamente, obliquo a qualquer outro planoprojetante no espao. Em pura os traos desteplano formam ngulos com a linha de terra. Ongulo formado pelo trao horizontal e a LT o ngulo formado pelo plano Qualquer e oplano vertical de projees, o ngulo formadopelo trao verticale a LT o ngulo formadopelo plano Qualquer e plano horizontal deprojees.Mesmo no sendo um plano projetante,podemos, sobre ele ter projees em verdadeiragrandeza VG.24 25. Plano Horizontal um plano perpendicular ao plano Vertical de projees e paralelo ao plano Horizontal de projees. Por ser um plano perpendicular ao plano Vertical de projees, um plano projetante. Em pura o plano Horizontal s apresenta do trao vertical , paralelo linha de terra. Todos os pontos de uma figura que estiver sobre um plano horizontal tero a projeo vertical sobre o trao vertical . Isto quer dizer que: o trao vertical o lugar geomtrico de todos os pontos sobre um plano horizontal, e a projeo horizontal de qualquer figura estar em verdadeira grandeza VG. Plano Frontal um plano perpendicular ao plano Horizontal e paralelo ao plano Vertical, deste modo um plano da famlia vertical. Por ser um plano perpendicular ao plano Horizontal de projees um plano projetante. Em pura o plano Frontal s apresenta a projeo sobre o plano Horizontal de projees: o trao horizontal paralelo linha de terra. Todos os pontos de uma figura que estiver sobre um plano frontal tero a projeo horizontal sobre o trao horizontal, isto , o trao horizontal o lugar geomtrico de todos os pontos sobre um plano frontal, e a projeo vertical estar em verdadeira grandeza VG.Plano de Perfil um plano da famlia vertical simultaneamente perpendicular ao planoHorizontal e ao plano Vertical de projees. Porser um plano perpendicular a ambos os planosde projees um plano projetante: seus traosso o lugar geomtrico das projees de umobjeto sobre este plano.Em pura, o plano de perfil apresenta as duasprojees sobre uma mesma perpendicular linha de terra: trao Horizontal e traoVertical .Todos os pontos de uma figura que estiver sobreum plano de perfil tero a projeo horizontal ea projeo vertical sobre o trao de mesmo nomee , isto , os traos vertical e horizontalso o lugar geomtrico de todos os pontos sobre um plano de perfil, j a sua verdadeiragrandeza VG, se d apenas quando for efetuado o rebatimento da projeo sobre o plano verticalde projees.NOTA;A projeo de perfil est relacionada a uma terceira projeo, na qual representada emverdadeira grandeza.25 26. Plano Vertical um plano perpendicular aoplano horizontal de projees e oblquo emrelao ao plano vertical de projees, umplano da famlia vertical e por ser perpendicularao plano horizontal um plano projetante.Em pura apresentam duas projees: o traoHorizontal formando um ngulo com a linhade terra e o trao Verticalperpendicular linha de terra LT.Todo ponto de uma figura sobre o planoVertical tem sua projeo horizontal sobre o seutrao horizontal, isto , o trao horizontal olugar geomtrico de todos os pontos sobre umplano vertical,. Quanto projeo vertical doponto, esta no se apresenta verdadeira devido a inclinao do plano Vertical em relao aoplano Vertical de projees.Plano de Topo um plano perpendicular aoplano Vertical de projees e oblquo emrelao ao plano Horizontal de projees, assimcomo o plano vertical, o plano de Topo umplano projetante, por ser perpendicular, nestecaso, ao plano Vertical de projees.Em pura o ngulo que o trao Verticalforma com a linha de terra o mesmo nguloque o plano ngulo forma com o planoHorizontal. A projeo e do trao Horizontaldetermina o nguloque perpendicular alinha de Terra LT.Todo ponto de uma figura sobre o plano deTopo tem sua projeo vertical sobre o seu trao vertical, isto , o trao vertical o lugargeomtrico de todos os pontos sobre um plano de topo. Quanto projeo horizontal, esta nose apresenta verdadeira devido a inclinao do plano de Topo em relao ao plano Horizontal deprojees. Plano Paralelo linha de Terra ou Plano de Rampa o plano que forma ngulo com os planos de projees e disposto frontalmente ao plano Vertical de projees.O plano Paralelo Linha de Terra ou plano deRampa chamado de plano dos ngulosComplementares, pelo fato de que, o ngulo queele faz com o plano Horizontal de projees( ), somado com o ngulo que ele faz com oplano Vertical de projees ( ) ser igual a 90,ou seja: + = 90.Se o plano paralelo a LT formar ngulos iguaiscom os planos Horizontal e Vertical deprojees (45), ele ser perpendicular a um dos planos Bissetores e paralelo ao outro.Quanto s projees, tanto horizontais quanto verticais, no esto em verdadeira grandeza. 26 27. Plano que passa pela linha de Terra todo plano que contm a linha de terra. Em pura os traos do plano que Passa Pela Linha de Terra, coincidem com a linha de terra e desse modo os traos no so suficientes par determinarmos o plano. Num mesmo plano que passa pela linha de terra, a relao entre o afastamento e a cota uma( ) constante,ou seja:= , sendo ) ( ( ) e ( ), . Se o ngulo entre o plano Que Passa Pela LT e os planos de projees Horizontal e Vertical forigual a 45, esse plano um plano Bissetor.RETAS PERTENCENTES A UM PLANOObserve nas demonstraes grficas a comprovao do seguinte teorema: Teorema 5: condio necessria e suficiente para que uma reta pertena a um plano que os traos da reta estejam sobre os traos de mesmo nome do plano, isto , trao horizontal da reta sobre o trao horizontal do plano e o trao vertical da reta sobre o trao vertical do plano.. No se aplica reta Paralela a linha de terra: reta Fronto- horizontal. 1. Retas que pertencem ao plano QUALQUER O Plano Qualquer o plano que contm o maior nmero de retas de tipos diferentes, quatro: reta horizontal, reta frontal, reta de perfil e reta qualquer. Qualquer outro plano s contm trs tipos diferentes de retas.27 28. 2. Retas que pertencem ao plano HORIZONTAL3. Retas que pertencem ao plano FRONTAL 28 29. 4. Retas que pertencem ao plano de PERFIL5. Retas que pertencem ao plano VERTICAL29 30. 6. Retas que pertencem ao plano de TOPO7. Retas que pertencem ao plano PARALELO A LINHA DE TERRA30 31. 8. Retas que pertencem ao plano QUE PASSA PELA LINHA DE TERRAPONTO PERTENCENTE A UM PLANOTeorema seis: A condio para que um ponto pertena a uma reta que ele pertena a uma retado plano. Ou seja: se o ponto pertence retae uma reta do plano ento,pertence a .NOTA: (Veja o teorema trs)EXERCCIOS1. Determinar, em pura, o plano Paralelo linha de terra ao qual a reta definida pelos pontos(3,0; 2,0; 1,0) e (6,0; 1,0; 2,0) pertence.2. Determine os ngulos que o plano da questo anterior forma com os planos de projees.3. Determinar, em pura os traos do plano qualquer, que passa pela origem, ao qual a reta pertence sabendo que (4,0; 1,0; 1,5) e (7,0; 3,0; 1,5).4. Trace a pura de plano Paralelo linha de terra que determina ngulos iguais com os plano de projees, e intercepta o plano horizontal de projees no afastamento 5,0 unidades.5. Verifique se o ponto (5,0; 2,0; 3,0) pertence ao plano da questo anterior. Resoluo dos exerccios de 1 a 51Traamos as projees da reta normalmente e, em seguida; traamos as projees dos traos do plano, pelos traos da reta: - O trao vertical por V e o trao horizontal por H. Como o plano paralelo a linha de terra, seus traos tambm so. 31 32. 2 Traando o plano de perfil auxiliar(PPa) encontramos o ponto V3sobre o PPa que indica orebatimento do trao vertical doplano.Rebatendo otrao1determinamos o ponto h3 sobre aLT.Ligando h3 a V3 encontramos aprojeo rebatida do plano ,paralelo linha de terra.Com o auxlio de um transferidormedimos os ngulos partindo dalinha de terra e do PPaencontrando os ngulos de 48 e42, respectivamente.Como o plano paralelo LT chamado de plano dos nguloscomplementares:temos48+42=90.3 Traamos as projees da reta,normalmente e em seguidadeterminamos os traos, com setrata de uma horizontal s existe otrao vertical V.Ligamos o ponto V origem, poispelo enunciado o plano passa pelaorigem.Como a reta dada uma retafrontal, s temos o trao: o traovertical na reta.Neste caso a projeo do traohorizontal do plano paralelo aotrao horizontal de reta.4 Marcamos o trao horizontal doplano paralelo linha de terra noafastamento igual a 5,0 unidades.Em seguida traamos um plano deperfil auxiliar (PPa) interceptandoo trao, do plano procurado, noponto H.Rebatemos o ponto H sobre a linhade terra (LT) e com vrtice nesteponto (e com um transferidor),marcamos o ngulo de 45 emrelao LT encontrando o pontoV sobre o PPa.Pelo ponto V determinamos otrao vertical do plano paralelo LT. 32 33. 5Tomamos a pura do plano e nela marcamos as projees do ponto A. Rebatemos o plano e em seguida fazemos o rebatimento do ponto A. Verificamos que a projeo A3, rebatimento do ponto A, coincide com a projeo rebatida do plano. Quando a projeo rebatida de um plano coincide com o rebatimento de um plano, ento este ponto pertence ao plano. No caso em questo o ponto A pertence o plano dado.PURA DE PEAS EM TRS DIMENSES:Toda figura em trs dimenses tm suas representaes geomtricas espaciais: projeo Horizontal Vista Superior; projeo Vertical Vista Frontal; projeo Lateral Vista de Perfil. Estas projeesdeterminam o espao tridimensional.Como determinar asvistas:Tomamos o objeto noprimeiro Triedro e porcada uma de suasarestas traamos umavisual projetante que a projetarperpendicularmente noplano de projees asua frente. O conjuntode pontos projetadosdefinir a pura dapea.Na representao acima temos algumas retas que se projetam em verdadeira grandeza (VG) em unsplanos e em outros no. o caso das retas frontais s se projeta em VG no plano vertical de projees.J as retas verticais esto em VG no plano vertical de projees e no plano de perfil auxiliar, no planohorizontal, a projeo desta reta um ponto. (Veja o exerccio 17 da seo anterior).Exemplo:Vamos agora fazer algo que fique perto da Arquiteturaou qualquer outro Desenho Tcnico que vamos realizar.Dado o slido geomtrico ao lado verificamos trs tiposde retas:a. De topo: AB, CD, EF e GH;b. Fronto-horizontal: AC, BD, EG e FH;c. Vertical: AE, BF, CG e DH. 33 34. Tomando o ponto E como referncia, temos E(1,0; 5,0; 1,0), em metros, faa as projees,(horizontal, vertical e de perfil) de cada um dos, ligue as projees e tenha as retas numa pura.Use a escala de 1:100.Observando a figura tridimensional temos o plano ABCD visto de cima: Projeo Horizontal (Vista Superior) vista de frente temos o plano BDFH: Projeo Vertical (Vista Frontal) e, visto de lado temos o plano ABEF: Projeo Lateral (Vista de Perfil). As retas de Topo: AB, CD, EF e GH, esto em verdadeira grandeza nas projees superior e de perfil, as retas Fronto-horizontais: AC, BD, EG e FH esto em verdadeira grandeza nas projees frontal e superior, enquanto que as retas verticais: AE, BF, CG e DH esto em verdadeira grandeza nas projees frontal e de perfil.Exerccios:Executar a pura de cada uma das peas dadas abaixo: 1. 2. 3. 4.34 35. 5. 6.Soluo (de 1 a 6)Para representarmos as peas em pura procedemos como no exemplo do primas ABCDEFGH,mostrado acima.Observa-se a predominncia das retas: De topo; Vertical; Fronto-horizontal. Aparecem retas de perfil no exerccio 1 e 6, reta frontal no exerccio 4 e reta horizontal no exerccio 5.Devemos seguir a sequncia grfica necessria e teremos as representaes.Em sala de aula o professor far as representaes na sequncia lgica necessria.135 36. 2336 37. 4537 38. 6Procure identificar as retas que aparecem nas resolues comparando-as com o desenhoisomtrico dado no enunciado.BIBLIOGRAFIA:VITAL, Carlos Gentil Magalhes, Do Ponto Da Reta Do Plano, Vol. nico Salvador BA:Centro Editorial e Didtico da UFBA, 1990. 1 EdioFONSCA, Ana Anglica Sampaio e CARVALHO, Antonio Pedro Alves de PEDROSO,Gilberto de Menezes. Geometria Descritiva: Noes Bsicas Vol. nico Salvador BA:Quarteto Editora, 5 Edio 2003.PRINCIPE JR. Alfredo dos Reis, Noes de Geometria Descritiva vol.1. So Paulo: EditoraNobel, 2008.PRINCIPE JR. Alfredo dos Reis. Noes de Geometria Descritiva vol.2. So Paulo: EditoraNobel, 2008.MONTENEGRO, Gildo A., Desenho Arquitetnico, 4 ed, So Paulo: Editora Edgard Blucher,2001, 2007, 2010.MONTENEGRO, Gildo A., A Perspectiva dos Profissionais, 3 ed, So Paulo: Editora EdgardBlucher, 1983.BITTENCOURT, Leonardo, Uso das Cartas Solares Diretrizes para Arquitetos, Macei AL:Departamento de Arquitetura da UFAL- EDUFAL, 1990.FRENCH, Thomas E; VIERCK, Charles J, Desenho Tcnico e Tecnologia Grfica, 8.ed., SoPaulo: Editora Globo, 2005; 2009, 2010, 2011.MACHADO, Ardevan, Perspectiva: So Paulo: Editora Cupolo, 1965.38