Geometria e Trigonometria. Elementos de um triângulo retângulo O triângulo ABC da figura...

Geometria e Trigonometria

Geometria e TrigonometriaElementos de um triângulo retângulo

O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .

(Â é reto)

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados catetos.

Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n.

• h: medida da altura relativa à hipotenusa;• m: medida da projeção do cateto

sobre a hipotenusa;• n: medida da projeção do cateto

sobre a hipotenusa.

a

A

B C

bc

cate

to cateto

hipotenusa

CB

A

bc

a

h

m n

H

2

Geometria e TrigonometriaTeorema ou relação de PitágorasVamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um caso particular:

A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c).

a2 = b2 + c2

5

a cb

C

B

A

4

3 = +

3

a = 5b = 4 c = 3

a2 b2c2

Geometria e TrigonometriaDemonstração do teorema de Pitágoras

Existem muitas formas de demonstrar esse teorema. Vejamos uma delas, baseada na semelhança de triângulos.

Considere um triângulo ABC, retângulo em A, com altura relativa à hipotenusa.

AH

Temos que: a = m + n 1

CB

A

bc

a

h

m n

H

4


Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os lados correspondentes.

Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC.

Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo B em comum.

O que eles têm em comum?

Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA.

c2 = am 2

ah = bc 3

ch = bm 4

= =

c h

m

c b

a

m h

c

c b

a

5

Geometria e TrigonometriaVamos considerar agora os triângulos ABC e HAC.

Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo C em comum; portanto, são semelhantes.

Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum.

b2 = an

ah = bc

bh = nc

5

3

6 c2 = am 2

b2 + c2= an + am

b2 + c2= a(n + m)

1a = m + nComo,

Então, b2 + c2= a2

c b

a

A

CB

A

CH n

bh

6

Geometria e TrigonometriaOutras relações métricas importantes no triângulo retângulo

Assim como fizemos anteriormente, ao observar os dois triângulos podemos verificar que eles são semelhantes.

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobrea hipotenusa.

A

HB

c h

m CH

hb

n

= =

De , obtemos que .

=

7

Logo,

h2 = mn

A


c2 = am b2 = an

ah = bc 3

O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

Da demonstração do teorema de Pitágoras, você pôde notar que foram estabelecidas outras relações:

Também da demonstração, temos outra relação:

Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

8


c2 = am

ah = bca = m + n

Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são:

a2 = b2 + c2

h2 = mn

b2 = an

c b

a

m n

h

9

Geometria e TrigonometriaAplicações importantes do teorema de PitágorasDiagonal de um quadrado

O triângulo ADC é retângulo em D.

Podemos aplicar então o teorema de Pitágoras:

Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da medida de um lado por .

Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ? ℓ

A B

CD

d

ℓ

ℓ ℓ

ℓ

d2 = 2 + 2 ℓ ℓ d2 = 2 2 ℓ

d = ℓ

d = ℓ 2

10

Geometria e TrigonometriaAltura de um triângulo equilátero

O triângulo ABH é retângulo em H.

Vamos aplicar o teorema de Pitágoras:

Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos encontrar a medida (h) da altura desse triângulo em função de ℓ?

Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um lado por .

h2 + = ℓ 2 ℓ h = ou 2 ℓ

h2 = 2 _ 2 ℓ ℓ

h2 = 2 ℓ

h = ou ℓ

h = . ℓ

11

A

B C

h

H

ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ

Geometria e TrigonometriaDiagonal de um bloco retangular

Caso particular: diagonal do cubo

Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a, b, c, a diagonal de uma face mede d e a diagonal do bloco mede D.O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D, mas para calculá-la precisamos encontrar o valor de d.

Aplicando o teorema de Pitágoras:

d2 = a2 + b2

D2 = d2 + c2

D2 = a2 + b2 + c2

O cubo é um caso particular do bloco retangular em que a = b = c = ℓ; assim:

A

B C

I

E F

HH

D

da

b

c

D =

12

A

B C

D

I

F

HG

E

d

ℓ ℓ

ℓ

= =D = ℓ 2 + 2 + 2 ℓ ℓ ℓ ℓ2

Geometria e TrigonometriaTriângulo inscrito numa semicircunferência

Quando um dos vértices de um triângulo pertence à semicircunferência e os outros dois vértices são extremidades de um diâmetro, dizemos que o triângulo está inscrito numa semicircunferência.

Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é triângulo retângulo.

A

BOC

A

BOC

13

Geometria e TrigonometriaOutras situações que envolvem as relações métricas no triângulo retângulo

Os ternos pitagóricosTernos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação a2 = b2 + c2 são chamados ternos pitagóricos.

Tente pensar em um terno pitagórico!

Os mais conhecidos são:

3,4,5

5, 12, 13

5

4

3

14

Geometria e TrigonometriaClassificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se as medidas de seus três lados.Considere a, b e c as medidas dos três lados de um triângulo, na mesma unidade de medida, com a sendo a medida do lado maior.

Podemos classificar o triângulo com relação a seus ângulos internos:

Já sabemos que, se a2 = b2 + c2, temos um triângulo retângulo.

Se a2 > b2 + c2, temos um triângulo obtusângulo.

Se a2 < b2 + c2, temos um triângulo acutângulo.

15

Geometria e TrigonometriaRelações métricas na circunferênciaRelação entre duas cordas de uma circunferência

Considerando os triângulos APC e DPB, temos:

ângulos inscritos de mesmo arco

ângulos opostos pelo vértice

Podemos concluir, então, que os triângulos são semelhantes. Logo,

Assim, demonstramos que:

Em toda circunferência, quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas das duas partes

de uma é igual ao produto das medidas das duas partes de outra.

C

DB

A

PNa circunferência ao lado, e são duas cordas que se cruzam no ponto P.

AP . BP = CP . DP

= =

16

Geometria e TrigonometriaRelação entre dois segmentos secantes a uma circunferência

Em toda circunferência, se traçamos dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa.

Ou seja, PA . PB = PC . PD

A B

D

C

P

17

Geometria e TrigonometriaRelação entre um segmento secante e um segmento tangente a uma circunferência

Observando os triângulos PAC e PBA, temos:

ângulo comum

ângulo de segmento e ângulo inscrito de mesmo arco

A

B

CP

Na circunferência abaixo, a partir do ponto P, temos um segmento tangente e um segmento secante .

18

Geometria e TrigonometriaPelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. Portanto, os lados homólogos têm medidas proporcionais:

Em toda circunferência, se traçamos, a partir de um mesmo ponto, um segmento tangente e um segmento secante, o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secantepela medida da sua parte externa.

(PA)2 = PB . PC= =

19

Geometria e TrigonometriaA ideia de tangente

tg = = índice de subida

20

alturaafastamento

percurso

afastamento

altura


sen =

21

alturapercurso

percurso

altura

A ideia de seno


cos =

A ideia de cosseno

22

afastamentopercurso

afastamento

percurso


sen θ(0º < θ < 90º)

23

OD OF OH = = =OC OE OG

CD EF GH = = =OC OE OG

CD EF GH = = =OD OF OH

cos θ(0º < θ < 90º)

tg θ(0º < θ < 90º)

Definição de seno, cosseno e tangente por semelhança


Relação fundamental

24

+ = = = 1 sen2 + cos2 =2 2

2c +b

a

22

aa

Relações entre seno, cosseno e tangenteLinks paraambiente online


25

Outras relações

Relações entre seno, cosseno e tangente

bc

1cb

1tg β

1tg βtg = = = tg =

basen = = cos β

cacos = = sen β

= = : = . = = tg = tg

β


sen cos tg

30°

45°

60°

26

1

12

32

33

22

22

32

12 3

Razões trigonométricas para ângulos de 30º, 45º e 60º


Substituindo h2 de (II) em (I), temos:

27

a2 = h2 + (b – x)2

c2 = h2 + x2

a2 = h2 + b2 – 2bx + x2 (I)

h2 = c2 – x2 (II)

a2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2 a2 = b2 + c2 – 2bx

Como x = c . cos Â, temos:a2 = b2 + c2 – 2b . cos Â para ângulos agudos.

Lei dos cossenos


28

a2 = h2 + (b + x)2 a2 = h2 + b2 + 2bx + x2 (I)

c2 = h2 + x2 h2 = c2 – x2 (II)

Substituindo h2 de (II) em (I), temos:

a2 = c2 – x2 + b2 + 2bx + x2 a2 = b2 + c2 + 2bx

Como x = c . cos BÂH e o cosseno de um ângulo é igual ao oposto do cosseno do seu suplemento (cos Â = –cos(180º – Â)), temos:a2 = b2 + c2 + 2b . c . cos BÂHou a2 = b2 + c2 – 2bc . cos Âpara ângulos obtusos.

Lei dos cossenos


Portanto:

29

sen = ou

sen Â = ou h = c . sen Â

h = a . sen

hc

ha

Então, c . sen Â = a . sen

Se traçarmos a altura relativa ao ângulo , obteremos:

Lei dos senos


Portanto:

30

hasen = ou

Lei dos senos

h = a . sen

sen (180º – Â) = hc e como sen (180º – Â) = sen Â,

então sen Â = ouhc h = c . sen Â

Então:a . sen = c . sen Â

Considerando a altura relativa ao ângulo

chegamos a:


A altura de cada um desses triângulos isósceles é chamada de apótema do polígono regular. O apótema é também mediana e bissetriz, pois os triângulos são isósceles.

31

Uso das relações trigonométricas em polígonos regulares inscritos em uma circunferência

Ligando o centro O a todos os vértices, obtemos cinco triângulos.Cada ângulo central mede 72˚, medida que se obtém fazendo 360˚ : 5.Cada um dos cinco triângulos obtidos é isósceles, com lados medindo r, r e ℓ.Cada um desses triângulos isósceles tem ângulos de 72˚, 54˚ e 54˚.

ℓ


32

32

6ar r 3

r 32

r 2

r 22

r 3

r2

Generalizações: hexágono, quadrado e triângulo regulares

, pois o triângulo é equilátero.ℓ6 = r

cos 30˚ = =

a6 =

2a6 =

Quadrado

4 =

a4 = =

Triângulo equilátero

3 =

a3 =

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