Geometria EspacialGeometria Espacial

Diedros e triedrosDiedros e triedros

Professor: João GilbertoProfessor: João Gilberto

DiedroDiedro O diedro é a reunião de dois semiplanos, O diedro é a reunião de dois semiplanos, e e de mesma origem. de mesma origem.

A origem é uma reta A origem é uma reta rr comum denominada aresta e os comum denominada aresta e os semiplanos, denominados faces.semiplanos, denominados faces.

rr

Seção de diedroSeção de diedro

A seção de um diedro é interseção desse diedro A seção de um diedro é interseção desse diedro com um plano secante (plano setor com um plano secante (plano setor ) à sua ) à sua aresta.aresta.

rr

BBAA

OO

Seção reta de um diedroSeção reta de um diedro

A seção reta ou normal de um diedro é aquela feita por um A seção reta ou normal de um diedro é aquela feita por um plano perpendicular à aresta.plano perpendicular à aresta.

A medida dessa seção é a medida do diedro.A medida dessa seção é a medida do diedro.

rr

BBAA

OO

Classificação de diedrosClassificação de diedros

Diedros opostos pela aresta: são diedros que têm por seção reta dois ângulos

opostos pelo vértice.

Diedros adjacentes: são diedros que têm por seção reta

dois ângulos adjacentes.

rr

Classificação de diedrosClassificação de diedros

Diedros complementaresDiedros complementares: são : são dois diedros cuja soma das dois diedros cuja soma das medidas é igual a um ângulo medidas é igual a um ângulo reto (90º);reto (90º);

Diedros suplementaresDiedros suplementares: são : são dois diedros cuja soma das dois diedros cuja soma das medidas é igual a um ângulo medidas é igual a um ângulo raso (180º);raso (180º);

Bissetor de um diedroBissetor de um diedro é um é um semiplano de origem na aresta semiplano de origem na aresta que divide o interior do diedro que divide o interior do diedro em dois diedros adjacentes.em dois diedros adjacentes.

rr

TriedroTriedro

Triedro é a região definida pela reunião de três Triedro é a região definida pela reunião de três semi-retas não-coplanares com origem em um semi-retas não-coplanares com origem em um mesmo vértice.mesmo vértice.

V

a

b

c

TriedroTriedro

As medidas das faces do triedro As medidas das faces do triedro são as medidas dos ângulos são as medidas dos ângulos aÔb, bÔc e cÔa.aÔb, bÔc e cÔa.

Chamando as faces e suas Chamando as faces e suas respectivas medidas de frespectivas medidas de f11, f, f22, e , e

ff33, pode-se provar que qualquer , pode-se provar que qualquer

face é menor do que a soma face é menor do que a soma das outras duas:das outras duas:

O

a

b

c

ff11 < < ff22 + f + f33

ff22 < < ff11 + f + f33

ff33 < < ff11 + f + f22

TriedroTriedro Supondo fSupondo f11 a maior das a maior das

faces:faces:

A soma das medidas das A soma das medidas das faces é menor que 360ºfaces é menor que 360º

Cada face tem medida Cada face tem medida compreendida entre 0º e compreendida entre 0º e 180º.180º.

V

a

b

c

ff22 – f – f33 < f < f11 < < ff22 + f + f33

ff11 + + ff22 + f + f33 < 360° < 360°

i n

Ângulos poliédricosÂngulos poliédricos

Ângulo poliédrico é a Ângulo poliédrico é a generalização do conceito de generalização do conceito de triedro para triedro para n > 3 n > 3 semi-retas semi-retas não-coplanares, com origem não-coplanares, com origem num ponto e definindo uma num ponto e definindo uma região no espaço. região no espaço.

ff11 < < ff22 + f + f33 + ... + f + ... + fnn

ff11 + + ff22 + f + f33 + ... + f + ... + fnn < 360° < 360°

0° < 0° < ffii < 180° < 180°

a

bc

de

V