GEOMETRIA NO 5º ANO: UMA ANÁLISE DOS LIVROS...
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LAÍS CRISTINA BARDINI
GEOMETRIA NO 5º ANO: UMA ANÁLISE DOS
LIVROS DIDÁTICOS
CAMPINAS
2015
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RESUMO
Com a o passar do tempo muitas transformações ocorreram no processo de ensino e aprendizagem, mudanças que vão desde metodologias de ensino até a formação dos profissionais. No entanto, ainda há conteúdos que necessitam um olhar atento como, por exemplo, a Geometria. Hoje nota-se que este conteúdo ainda é motivo de várias discussões e pesquisas, refletindo as dificuldades que os docentes apresentam em lecioná-lo. Esta situação colabora para que os professores procurem materiais que possam ajudá-los nas dúvidas decorrentes de seu dia a dia em sala de aula, sendo o mais comum deles o livro didático. Dessa forma, considerando a importância deste material didático e da Geometria, desenvolveu-se uma pesquisa qualitativa, utilizando o método de Análise de Conteúdo, procurando discutir o seguinte problema: Como alguns conteúdos geométricos estão presentes nos livros didáticos. Tendo como objetivo realizar a análise de alguns livros de Matemática utilizados na Rede Municipal de Rio Claro - SP, no 5º ano do Ensino Fundamental, e aprovados pelo PNLD. A primeira categoria, Aspectos Cotidianos, examinou como os livros têm desenvolvido a relação entre os aspectos cotidianos e a Geometria, e se esta ligação tem levado ou não o aluno a compreender, conhecer ou modificar o meio no qual está inserido; considerando que essa relação deve estar além do trabalho envolvendo apenas o uso de figuras cotidianas, semelhantes às geométricas. Já a segunda categoria, Manipulação e Concretização, analisou a questão da utilização dos materiais manipuláveis, como ela é realizada, ou qual o objetivo que a atividade propõe com sua utilização, ou ainda que papel eles desenvolvem em cada livro analisado. A terceira categoria, Nomenclatura, Identificação e Composição, apontou que apesar da literatura afirmar ser importante que o ensino das figuras geométricas envolva suas propriedades e características, a presente pesquisa constatou que o foco nos livros ainda está em apenas nomeá-las e identifica-las. Por fim, a quarta categoria, Relações entre as figuras bidimensionais e tridimensionais, expôs a importância de mostrar ao aluno a relação existente entre as figuras bidimensionais e tridimensionais; porém, essa relação foi pouco observada nos livros analisados. Enfim, este estudo também envolveu a análise das resenhas apresentadas no Guia do Livro Didático (BRASIL, 2013), trazendo o “olhar” do PNLD sobre cada obra, observando qual a avaliação e os resultados que este programa do governo faz sobre elas. Palavras-Chave: Guia. PNLD. Bidimensional. Tridimensional.
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ABSTRACT
With the passage of time many changes have occurred in the process of teaching and learning, changes ranging from teaching methodologies to the training of professionals. However, there is contents that need a closer look, for example, the geometry. Today we note that this content is still a matter of much discussion and research, reflecting the difficulties that teachers have in teaches it. This contributes to teachers seek materials that can help them with questions arising from their day to day in the classroom, the most common of the textbook. Thus, considering the importance of this educational material and geometry, developed a qualitative research, using content analysis method, trying to discuss the following problem: As some geometric contents are present in textbooks. Aiming to carry out the analysis of some math books used in the Municipal Net of Rio Claro - SP, in the 5th year of elementary school, and approved by PNLD. The first category, Everyday aspects, examined how the books have developed the relationship between the daily aspects and Geometry, and this link has led or not the student to understand, know or modify the environment in which it is inserted; considering that this relationship should be beyond work involving only the use of daily figures, similar to the geometric. The second category, Handling and Implementation, addressed the issue of the use of manipulatives, as it is performed, or what purpose the proposed activity with their use, or what role they develop in the analyzed book. The third category, classification, identification and composition, pointed out that despite the literature stating it was important that the teaching of geometric figures involving their properties and characteristics, this survey found that the focus is still on the books only name them and identify them. Finally, the fourth category, relations between two-dimensional and three-dimensional figures, explained the importance of showing students the relationship between the two-dimensional and three-dimensional figures; However, this correlation was slightly observed in the analyzed books. Finally, this study also involved the analysis of the review presented in the Textbook Guide (BRAZIL, 2013), bringing the "look" of PNLD on each work, noting that the evaluation and the results that this government program is about them. Keywords: Guide. PNLD. Two-dimensional. Three-dimensional.
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Sumário
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1
1 ASPECTOS SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ................................................. 5
1.1 O Ensino de Geometria no cotidiano escolar .............................................. 9
2 O LIVRO DIDÁTICO E AS POLÍTICAS PÚBLICAS ............................................... 15
2.1 Considerações sobre o PNLD .................................................................. 16
2.2 O que vem a ser o Guia do Livro Didático ................................................ 18
2.3 Um olhar sobre o livro didático dentro das escolas .................................. 22
3 METODOLOGIA ..................................................................................................... 25
3.1 Desenvolvimento ...................................................................................... 29
4 ALGUNS ASPECTOS DA LITERATURA ............................................................... 35
4.1 A relação dos aspectos cotidianos com o processo de ensino ................. 35
4.2 A importância do uso de materiais concretos ........................................... 40
4.3 Nomeação, Identificação e Composição de figuras .................................. 45
4.4 A relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais ..................... 48
5 UMA ANÁLISE REFLEXIVA SOBRE OS LIVROS DIDÁTICOS ............................ 53
5.1 Apresentação dos itens das resenhas divulgadas no Guia do Livro Didático e
utilizados na análise .................................................................................................. 53
5.1.1 Descrições sobre as obras analisadas .................................................. 58
5.1.2 Manipulação e Concretização ................................................................ 67
5.1.3 Nomenclatura, Identificação e Composição ........................................... 76
5.1.4 Relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais .................... 92
5.2 Analisando os materiais selecionados ...................................................... 96
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 109
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 115
xiii
Com muita satisfação dedico esta pesquisa aos meus pais, Francisco Renato e
Silvana Bardini, os quais me apoiaram a todo o momento para a realização deste sonho
que agora se concretiza.
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus por me oferecer a cada manhã mais um dia de
vida e por ter me dado forças mesmo nos piores momentos para que este sonho se
realizasse.
Agradeço infinitamente a minha orientadora Prof.ª Dr.ª Rúbia Barcelos Amaral,
que foi não somente uma a excelente profissional e pesquisadora que me orientou
durante toda a pesquisa e a concretização desse sonho, mas também por ter sido uma
amiga que sempre me ouviu, principalmente me dando forças quando tudo parecia não
ter fim.
Agradeço também ao Prof. Dr. Samuel Rocha pelo privilégio de tê-lo como co-
orientador e poder contar com suas contribuições durante a realização da pesquisa,
além do mais deixar aqui minha admiração pelas suas pesquisas e trabalhos que
envolvem a área da Educação.
Também não poderia deixar de agradecer a Prof. Dr.ª Rosa Lucia Sverzut
Baroni, ao Prof. Dr. Jorge Megid Neto, pelas contribuições em minha pesquisa
enquanto Banca Examinadora e minha admiração pelos trabalhos desenvolvidos por
estes pesquisadores, a qual eu incluo também a Prof. Dr.ª Heloisa da Silva e o Prof. Dr.
Antonio Miguel os quais agradeço por terem aceitado o convite para suplentes de
minha da Banca.
Agradeço ainda o incentivo e toda a paciência que meu namorado teve durante
este período, por entender a minha ausência em momentos os quais eu deveria estar
ao seu lado e ainda por adiar sonhos na espera de eu concluir essa importante etapa
de minha vida.
Não poderia esquecer os amigos do PECIM os quais conheci durante minha
caminhada no mestrado, principalmente a Karin, Cibele, Ana, Elen, Gilmer, Valdinei,
que não mediram esforços sempre que precisei de ajuda, contribuindo de alguma
maneira para o crescimento de minha pesquisa.
xvi
Por fim, não posso deixar de agradecer aos funcionários da Faculdade de
Educação que sempre estão dispostos a nos ajudar, em especial a secretária do
PECIM, Barbara Longo, que não poupou ajuda.
xvii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Os livros que os alunos de cada ano ou série recebem no PNLD ............ 17
Figura 2 - Descrição .................................................................................................. 19
Figura 3 - Seleção e distribuição de conteúdos ......................................................... 20
Figura 4 - Abordagem dos conteúdos ....................................................................... 20
Figura 5 - Manual do Professor ................................................................................. 21
Figura 6 - Livros analisados ...................................................................................... 30
Figura 7 - Páginas sobre Geometria ......................................................................... 31
Figura 8 - Observando conteúdos ............................................................................. 32
Figura 9 - Distribuição dos campos por volume – (DANTE, 2012) ............................ 54
Figura 10 - Distribuição dos campos por volume – (GAY, 2011) ............................... 56
Figura 11 - Distribuição dos campos por volume – (IMENES, LELLIS; MILANI, 2011)57
Figura 12 - Sólidos Geométricos ............................................................................... 59
Figura 13- Regiões planas e as placas de trânsito .................................................... 59
Figura 14 - Retomando a Geometria ......................................................................... 60
Figura 15 - Figuras planas de nosso cotidiano .......................................................... 61
Figura 16 - Polígono .................................................................................................. 61
Figura 17 - Desenhando circunferências ................................................................... 62
Figura 18 - Geometria ............................................................................................... 62
Figura 19 - Cortando velas ........................................................................................ 63
Figura 20 - Identificando Corpos Redondos .............................................................. 63
Figura 21 - Observando o cavalo .............................................................................. 63
Figura 22 - Círculos e circunferências ....................................................................... 64
Figura 23 - De olho nos triângulos ............................................................................ 64
Figura 24 - Paralelogramos ....................................................................................... 65
Figura 25 - Paralelogramos no cotidiano ................................................................... 65
Figura 26 - De olho no problema ............................................................................... 66
Figura 27 - Círculos ................................................................................................... 66
Figura 28 - Criando produtos e embalagens ............................................................. 66
xviii
Figura 29 - Reconhecendo formas espaciais ............................................................ 67
Figura 30 - Paisagens ............................................................................................... 67
Figura 31 - Material Dourado..................................................................................... 68
Figura 32 - Montando Cubos ..................................................................................... 69
Figura 33 - Contornos ............................................................................................... 69
Figura 34 - Contornando fases .................................................................................. 70
Figura 35 - Aperto de mãos ....................................................................................... 70
Figura 36 - Pintando peças ....................................................................................... 71
Figura 37 - Observando figuras ................................................................................. 72
Figura 38 - Formando triângulos com palitos ............................................................ 72
Figura 39 - O uso do Tangram .................................................................................. 73
Figura 40 - Explorando paralelogramos .................................................................... 73
Figura 41 - Justaposição de triângulos ...................................................................... 74
Figura 42 - Usando compasso .................................................................................. 74
Figura 43 - Utilizando Malhas .................................................................................... 75
Figura 44 - Dividindo círculos .................................................................................... 75
Figura 45 - Diferenciando poliedros de corpos redondos .......................................... 76
Figura 46 - Diferenciando poliedros de corpos redondos .......................................... 77
Figura 47 - Fases, arestas e vértices em poliedros ................................................... 77
Figura 48 - Analisando poliedros ............................................................................... 77
Figura 49 - Principais Poliedros ................................................................................. 78
Figura 50 - Observando o poliedro ............................................................................ 78
Figura 51- Regiões Planas ........................................................................................ 79
Figura 52 - Relembrando as regiões planas ............................................................. 79
Figura 53 - Identificando sólidos, regiões planas e contornos ................................... 80
Figura 54 - Reproduzindo polígonos ......................................................................... 80
Figura 55 - Nomeando polígonos e identificando lados e vértices ............................ 81
Figura 56 - Localização no plano, usando pares ordenados ..................................... 81
Figura 57 - Placas de trânsito, seus contornos e regiões planas .............................. 82
Figura 58 - Brincando também se aprende ............................................................... 82
Figura 59 - Figuras já estudadas ............................................................................... 83
xix
Figura 60 - Identificando figuras ................................................................................ 83
Figura 61 - Conceituando polígonos ......................................................................... 84
Figura 62 - Polígonos regulares ................................................................................ 84
Figura 63 - Medindo triângulos .................................................................................. 85
Figura 64 - Triângulo retângulo ................................................................................. 85
Figura 65 - Conceituando quadriláteros .................................................................... 86
Figura 66 - Identificando circunferências ................................................................... 86
Figura 67 - Observe e responda ................................................................................ 86
Figura 68 - Poliedros e corpos redondos .................................................................. 87
Figura 69 - Conceituando corpos redondos .............................................................. 87
Figura 70 - Observando as características de cada figura ........................................ 88
Figura 71 - Resolvendo problemas ........................................................................... 88
Figura 72 - Estudando polígonos regulares............................................................... 89
Figura 73 - Identificando e nomeando triângulos ...................................................... 89
Figura 74 - Identificando os triângulos no Tangram .................................................. 90
Figura 75 - Identificação de figuras através de dicas ................................................ 90
Figura 76 - Adivinhando a figura ............................................................................... 91
Figura 77 - Observando faces ................................................................................... 91
Figura 78 - De olho na malha .................................................................................... 91
Figura 79 - Mosaicos e polígonos ............................................................................. 92
Figura 80 - Sólidos geométricos e suas planificações ............................................... 93
Figura 81 - Relacionando figuras bidimensionais e tridimensionais .......................... 93
Figura 82 - Relação entre polígonos e poliedros ....................................................... 95
Figura 83 - Observando faces ................................................................................... 96
xxi
LISTA DE SIGLAS
CDCC/USP – Centro de Divulgação Científica e Cultural da Universidade de
São Paulo
CNLD – Comissão Nacional do Livro Didático
EJA – Educação de Jovens e Adultos
FNDE – Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação
MMM – Movimento da Matemática Moderna
NCTM – National Council of Teachers of Mathematics
PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD – Programa Nacional do Livro Didático
1
INTRODUÇÃO
Ao longo do tempo ocorreram muitas transformações no processo de ensino
da Matemática, mudanças que vão desde as metodologias utilizadas até a formação
dos professores. No entanto, mesmo em face dessas modificações, nota-se haver
conteúdos que necessitam de maior atenção, entre os quais podemos citar a
Geometria.
Tendo sido sistematizada há centenas de anos nas civilizações egípcias e
babilônicas, a Geometria teve, nesse período, grande importância para a divisão de
terras desses povos (SOARES, 2013).
Com o decorrer do tempo, o desenvolvimento da Educação e dos caminhos
percorridos pelo ensino, observa-se que o ensino dos conceitos geométricos
também passou por modificações. Pesquisas como a de Pirolla (2000), Passos
(2000) e Pereira (2001) indicam pouca atenção no ensino desses conteúdos, sendo
esta uma questão preocupante, uma vez que os conceitos envolvidos na Geometria
são significativos para a formação do indivíduo e sua relação com a sociedade onde
atua. Ademais, esse conteúdo também mostra importância para o desenvolvimento
de habilidades que irão ajudar em outras áreas do ensino. Bertonha (1989, p.27)
afirma que esse conteúdo está ligado à “formação e ao desenvolvimento cognitivo
do aluno, o que auxilia na concretização e compreensão de outros temas não
concernentes a Geometria”.
Em minha trajetória como professora de Ensino Infantil e Fundamental I nas
redes municipais de ensino, atuando há sete anos em sala de aula, observei que a
Geometria ainda é um conteúdo desvalorizado pelos docentes. Nos momentos de
planejamento das aulas, dos quais eu participei, sempre houve maior atenção para
alguns conteúdos, como as operações matemáticas e as medidas e a ideia de que a
Geometria deveria ser deixada para o último bimestre do ano, realidade esta que
sempre me “incomodou”. Pois, o último bimestre é um período mais acarretado de
tarefas, o que leva muitas vezes ao não cumprimento de todos os conteúdos
planejados, fazendo com que a Geometria fique esquecida, ou seja, não há tempo
para estudá-la.
2
E quando os docentes que lecionavam comigo trabalhavam com os
conceitos geométricos, eles os resumiam à simples identificação de figuras, sem
preocupação com suas propriedades, fator este que está ligado à formação desse
profissional, de acordo com Santos (2005 apud SCHIRLO; SILVA, 2009, p.2):
Tornar-se professor significa apoiar-se em experiências do passado e do presente e refletir sobre essas experiências, mobilizando e relacionando sua atuação em sala de aula. Logo, tornar-se um professor exige uma formação ampla, com ênfase na formação específica, com aprofundamento dos conceitos fundamentais e das relações da disciplina específica com as de outras da área do saber.
No entanto, principalmente nos cursos de Pedagogia, a formação docente
acaba não ocorrendo da forma como esses autores relatam. Há uma grande
quantidade de conteúdos que envolvem a disciplina de Matemática para serem
ministrados, fazendo com que alguns sejam apresentados de forma superficial.
Assim, esses déficits de formação vão aparecendo no decorrer da atuação do
docente. Porém, esse “cenário” pode ser consequência do trajeto que a Matemática
tem percorrido ao longo da história e que também contribuiu para o esquecimento e
a desvalorização da Geometria.
Dessa maneira, pode-se dizer que, devido a essas lacunas, alguns
professores acabam recorrendo a materiais que possam transformar esse cenário
de dúvidas e incertezas. Nesse âmbito, podemos citar o livro didático, lembrando
que é um material cujo objetivo é a complementação e o apoio ao trabalho do
professor, mas que diversas vezes se torna o protagonista das aulas, pois o docente
acaba se “agarrando” a ele, seguindo-o do início ao fim, como se ali estivessem
todas as respostas necessárias à sua atuação.
Portanto, diante de minha experiência como docente e dos vários estudos
que demonstram a importância do livro didático e dos conteúdos de Geometria, a
pesquisa desenvolvida analisou como os materiais didáticos utilizados pela Rede
Municipal de Rio Claro, SP, mais precisamente três livros do 5º ano do Ensino
Fundamental, apresentam os conteúdos geométricos.
Para tanto, desenvolveu-se uma pesquisa qualitativa, a qual Maanen (1979,
p.520) relata ser um “conjunto de técnicas interpretativas que visa descrever e
decodificar os componentes de um sistema complexo de significados”. Sabendo-se
que a pesquisa qualitativa se enquadra em diversos métodos, para a realização
deste estudo utilizou-se o método de análise de conteúdos, que, segundo Vergara
3
(2005, p.15), “é considerada uma técnica para o tratamento de dados que visa
identificar o que está sendo dito a respeito de determinado tema”. Pode-se dizer que
essa técnica é utilizada para descrever e interpretar textos e documentos.
Dessa forma, a pesquisa procurou discutir o seguinte problema: Como
alguns conteúdos geométricos estão presentes nos livros didáticos? Tendo como
objetivo realizar a análise de alguns livros de Matemática utilizados na Rede
Municipal de Rio Claro, SP, no 5º ano do Ensino Fundamental, com o intuito de que,
esse estudo seja utilizado como subsídio para os professores no momento da
escolha do livro didático ou para que estes profissionais possam observar a
importância dos aspectos analisados e que eles devem ser considerados durante o
processo de ensino e aprendizagem da Geometria.
Em face dessas considerações, a apresentação desta pesquisa encontra-se
dividida em 5 capítulos, sendo que o primeiro apresenta uma discussão sobre o
Ensino de Geometria e algumas informações relatando seus aspectos históricos,
seu surgimento e o “papel” nas comunidades antigas babilônicas e egípcias.
Também são mencionadas as transformações que a Matemática e seu ensino
passaram e que colaboraram para que os conteúdos geométricos fossem levados
ao esquecimento e à desvalorização, dentro e fora das salas de aula. Ainda são
consideradas informações e estudos que relatam a importância desses conceitos na
formação global do indivíduo e como, atualmente, são desenvolvidos esses
conteúdos pelos professores em sala.
O segundo capítulo traz parte da história percorrida pelo livro didático e a
formação dos órgãos responsáveis pela sua avaliação e distribuição para as escolas
públicas. Descrevendo como eles foram fundados e quais são seus objetivos até
que se constituísse o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que conhecemos
atualmente. Também é abordado o Guia do Livro Didático (GLD), uma vez que este
é parte do PNLD e traz informações importantes que auxiliam o professor no
momento da escolha do material que pretende utilizar com sua classe.
Já o terceiro capítulo menciona a metodologia utilizada, trazendo
concepções sobre a pesquisa qualitativa, o método da análise de conteúdos, os
autores nos quais este estudo se embasou e os caminhos percorridos desde a
escolha do tema até o desenvolvimento das categorias constituídas na análise.
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O quarto capítulo traz a discussão de literatura, trabalhando alguns autores
que já pesquisaram sobre Geometria. Exibe os assuntos envolvidos nas categorias
de análise, especialmente sobre a relação entre a Geometria e o cotidiano, a
importância dos materiais manipuláveis e concretos, aspectos sobre como ocorre ou
deveria ocorrer o ensino das nomenclaturas, a identificação e composição das
figuras e ainda a relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais, sendo
todas essas características importantes para o ensino e a aprendizagem da
Geometria.
O penúltimo capítulo apresenta uma descrição das atividades e dos textos
didáticos analisados, apontando quais são seus objetivos. Também é realizada a
análise desses materiais de acordo com as categorias, observando como os livros
vêm desenvolvendo os conteúdos de Geometria e buscando identificar as
características de cada material.
Enfim, o último capítulo, denominado Considerações Finais, traz
ponderações importantes sobre a análise realizada, fornecendo subsídios que
poderão auxiliar o professor na escolha do livro que utilizará com seus alunos, ou
até mesmo aspectos importantes que deverão ser considerados no processo de
ensino e aprendizagem dos conceitos geométricos. Além de levantar questões que
poderão dar início a novas pesquisas que envolvam a Geometria.
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1 ASPECTOS SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA
Este capítulo foi escrito com o intuito de apresentar alguns aspectos
importantes sobre a Geometria, já que este é o conteúdo escolhido para a realização
desta pesquisa. Dessa maneira, o presente estudo cita autores que já pesquisaram
sobre esse assunto, observando qual a história da Geometria, qual sua importância
e se vem sendo trabalhada ou não no interior das salas de aula.
No decorrer dos anos nota-se uma grande quantidade de modificações na
sociedade e em aspectos cotidianos do ser humano. E, o processo de ensino e
aprendizagem também vem sendo integrado às transformações.
Nascida da observação dos fenômenos naturais, a Matemática é tida como
alicerce de quase todas as outras áreas do conhecimento e é dotada de uma
arquitetura que permite desenvolver os níveis cognitivo e criativo (BIEMBENGUT;
HEIM, 2000, p.9). Sendo assim, é notável a presença da Matemática na natureza e
no dia a dia do ser humano, podendo remeter a muitas das formações e explicações
dos elementos naturais.
Entretanto, o que se percebe é que geralmente essa disciplina desagrada as
pessoas e os alunos, que não se importam com essa situação e a quase todo o
momento demonstram desinteresse por ela. Desinteresse este que pode interferir no
momento da aprendizagem. Sobre estas premissas, Johnson e Rising (1972, p.31)
relatam que “muitas pessoas têm orgulho em manifestar ignorância em Matemática,
mas poucos admitem que foram fracos estudantes em História”.
Outro aspecto observado na disciplina de Matemática é que alguns
professores classificam-na por conteúdos, julgando o que acham ou não difícil ser
compreendido, ou o que precisa ou não ser aprendido. Dentre tais conteúdos,
podemos citar os conceitos relacionados à Geometria.
Se pensarmos em seu contexto histórico, é possível destacar que a
Geometria vem apontando sua importância há anos. Soares (2013) relata que o uso
desse conteúdo se iniciou na antiguidade, nas civilizações egípcias e babilônicas,
por volta do século XX a.C., devido ao fato de que todo o ano o rio Nilo transbordava
invadindo extensões de terra. Com esse acontecimento, dois episódios ocorriam: o
primeiro é que as terras eram inundadas no período das chuvas e, logo após o
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escoamento dessas águas, elas se tornavam mais férteis, consequentemente,
produziam em maior quantidade; já o outro é que toda marcação de divisas era
derrubada, causando conflitos sociais. Sem essas marcações não era possível
delimitar até onde ir com o cultivo ou qual o valor a ser pago nos impostos. Enfim,
para sanar esse problema os faraós decidiram nomear pessoas para determinar a
divisa de lotes e terrenos de cada indivíduo. E a maneira que encontraram para
fazer esse trabalho foi mediante a divisão das terras em triângulos e retângulos,
nascendo, assim, a Geometria.
A partir desse marco histórico até a presente data, muitos foram, e são, os
estudos voltados a esse conteúdo, entre os quais podemos citar Freudenthal (1973),
que afirmou que a Geometria deve estar interligada com a realidade do aluno, uma
vez que ela é importante para que ele entenda o meio no qual está inserido de modo
a viver melhor.
Malkevitch (1991) considerou que o conceito de Geometria depende do
“público” ao qual se refere, dizendo que para os leigos esse conceito se resume a
compreensão das formas e do espaço para a compreensão do mundo.
Alsina (1999), através de seu “olhar”, respondeu o que é a Geometria. Já
Schell (1998), utilizou seus estudos para apontar os “fios” que constituem a
Geometria no currículo.
É possível ainda citar Fiorentini (1995), que relatou como o ensino da
Geometria era realizado na década de 1970, lembrando que, assim como outros
conteúdos, este sofreu influências do Movimento da Matemática Moderna. Morelatti
e Souza (2006) também discorreram sobre os reflexos causados pelo Movimento da
Matemática Moderna no ensino de Geometria, afirmando que este enfatizou de forte
maneira o simbolismo e a abstração, acabando por distanciar o ensino dos conceitos
geométricos dos conhecimentos cotidianos do aluno, ou seja, os alunos passaram a
não perceber a importância da Geometria em aspectos da sua realidade.
Bertonha (1989) desenvolveu um estudo sobre a Geometria na sala de aula.
Andrade (2004) valorizou o uso de materiais manipuláveis para o ensino da
Geometria. Lorenzato (1995) destacou que esse conteúdo tem papel importante na
formação do indivíduo, ajudando-o a interpretar o mundo em que vive e também o
auxilia em outros conteúdos da Matemática. Fainguelernt (1995) asseverou que a
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Geometria apresenta um papel fundamental no processo de ensino, pois auxilia o
indivíduo a transpor as informações concretas para as abstratas e generalizadas.
Pavanello (1989) investigou, por meio de uma análise histórica do Ensino de
Matemática, o porquê da Geometria estar desaparecendo dos currículos. Já Pirolla
(2000), Passos (2000) e Pereira (2001) apresentaram afirmações sobre o abandono
da Geometria nas instituições de ensino, chamando a atenção para a necessidade
de resgate desse conteúdo nas aulas de Matemática.
Dessa forma, a justificativa para o grande número de pesquisas realizadas
sobre a Geometria reflete a importância desta no desenvolvimento do indivíduo e a
maneira como ela vem, ou não, sendo trabalhada em sala de aula.
Sobre a importância do ensino e da aprendizagem da Geometria, Bertonha
(1989, p.27) afirmou que esse conteúdo está ligado à “formação e ao
desenvolvimento cognitivo do aluno, o que auxilia na concretização e compreensão
de outros temas não concernentes a Geometria”. Ou seja, a aprendizagem desse
conteúdo irá auxiliar no processo de aprendizagem de outras disciplinas e
desenvolver no aluno habilidades que favoreçam o seu pensamento lógico,
preparando-o para estudos mais avançados em outros níveis escolares.
Pode-se ainda dizer que sem o estudo da Geometria o indivíduo poderá ter
dificuldades em contextos que envolvam o pensar geométrico ou em questões que
envolvam a visualização, localização e demais situações cotidianas, pois, segundo
Lorenzato (1995, p.5):
A Geometria está por toda parte, mas é preciso conseguir enxergá-la mesmo não querendo, lida-se no cotidiano com as ideias de paralelismo, perpendicularismo, semelhança, proporcionalidade, medição (comprimento, área, volume), simetria: seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão, na comunicação oral, cotidianamente se está envolvido com a Geometria.
Além do mais, os conceitos geométricos auxiliam na resolução de problemas
e na realização de descobertas e investigações por parte do discente, tornando-o
mais independente no processo de aprendizagem.
A Geometria é um campo fértil para se trabalhar. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar e perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice versa. (BRASIL, 1997, p.33).
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Não são apenas os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN que relatam o
papel e a necessidade de se trabalhar com a Geometria no ensino. Barbosa (1999,
p.4) elenca algumas características fundamentais para que o professor se convença
da importância desse conteúdo em suas aulas.
As atividades investigativas em geometria conduzem rapidamente à necessidade de se lidar com diversos aspectos essenciais da natureza da própria Matemática. Formular e resolver problemas, fazer conjecturas, testá-las, validá-las ou refutá-las, procurar generalizações, comunicar descobertas e justificações, tornam-se processos naturais. Ao mesmo tempo, surgem oportunidades para se discutir o papel das definições e para se examinar as consequências de se adoptar uma ou outra definição, assim como para se compreender a natureza e o valor da demonstração em Matemática. Além disso, a geometria oferece numerosas ocasiões para se conhecerem exemplos sugestivos da história e da evolução matemática.
Diante das leituras das pesquisas que citam a importância desse conteúdo
para o desenvolvimento integral do aluno, é comum que relatem que a Geometria
não é trabalhada da forma como deveria ser em sala de aula, ou, até mesmo, é
esquecida pelos professores, sendo constatada apenas nos planejamentos.
Dessa forma, em face da relevância de recuperar esse conteúdo, faz-se
necessário um estudo dos fatores que levaram a Geometria ao abandono. Alguns
autores, como Valente (2013), relatam que muitas das mudanças no Ensino de
Matemática começaram com o Movimento da Matemática Moderna (MMM), em
1950. A partir de então o currículo matemático passou por transformações, que
colocaram como ideias principais na Geometria a centralização na abstração, no
formalismo e na Geometria não euclidiana. Assim, os professores teriam que se
adaptar a essa nova forma de ensinar, deixando de lado o que praticavam até a
presente data.
Em virtude das mudanças propostas para a Geometria, vindas do
Movimento da Matemática Moderna, começaram a surgir alguns dos motivos que
contribuíram para que esse conteúdo fosse esquecido. Como exemplo, citamos a
década de 1970, período em que a Educação Matemática tinha como finalidade a
formação integral do aluno para o meio social, de forma que ele fosse útil ao
sistema. Dessa maneira, conteúdos que não se encaixavam nesse objetivo eram
deixados de lado. Nesse mesmo âmbito, Fiorentini (1995, p.15) relata que “os alunos
9
eram capacitados para a resolução de exercícios ou de problemas padrão e a
Geometria não fugia a regra nas raras situações em que era abordada”.
Para Pavanello (1989), o problema ia além, como os novos métodos
modernos de ensinar Matemática não eram dominados pela maioria dos
professores, e ela passou a ser ensinada de forma intuitiva e sem uma
sistematização, pouco a pouco eles foram deixando alguns conteúdos de lado,
dando ênfase somente à Álgebra ou à Aritmética e à Teoria dos Conjuntos.
Pavanello (1989, p.103) afirma que:
A ideia central da Matemática Moderna consistia em trabalhar a matemática do ponto de vista de estruturas algébricas, com a utilização da linguagem simbólica da teoria dos conjuntos. Sob esta orientação, não só se enfatizava o ensino da álgebra, como se inviabilizava o da Geometria da forma como este era feito tradicionalmente.
Assim, os professores lecionavam o que os fazia se sentirem confiantes em
ensinar, deixando de lado os conteúdos que não dominavam. Pirolla (2000) relata
em seu estudo a dificuldade dos professores em relação ao ensino da Geometria,
fato este que pode ser atribuído ao processo de formação dos professores. Nesse
processo, muitos docentes não têm contato com os componentes curriculares que
envolvem este conteúdo, dando ênfase maior a conceitos julgados mais importantes,
como o cálculo.
Portanto, é possível dizer que o déficit na formação do referido profissional
se reflete no interior das salas de aula, na maneira como esse conteúdo é ensinado
e aprendido; assim, faz-se necessário um olhar para o ensino da Geometria.
1.1 O Ensino de Geometria no cotidiano escolar
Diante das pesquisas realizadas sobre os motivos que levaram a Geometria
ao esquecimento, é possível relatar que a maneira como esse conteúdo era ou é
ensinado também pode contribuir para esse aspecto negativo.
Para Almouloud et al. (2004), o primeiro motivo encontrado para o fracasso
de tal conteúdo está no Sistema Educativo, o qual define a política de educação com
recomendações e orientações gerais sobre os métodos, os conteúdos e o saber-
10
fazer, deixando para cada instituição de ensino definir o que é importante. Ainda
sobre o estudo acima citado, ele relatou que as pesquisas realizadas com alunos
apontaram que os conteúdos de Geometria são ensinados, na maioria das vezes,
pelos professores eventuais, ou seja, sempre que o professor titular está ausente.
Essa realidade é preocupante, pois demonstra o despreparo dos professores
em lidar com tais conceitos e, por esse motivo, acabam passando a
responsabilidade para o docente que comparece esporadicamente para trabalhar
com sua turma, lembrando que esses não participam do planejamento pedagógico
e, muitas vezes, não têm acesso a ele.
Perante os motivos apresentados, retornamos a formação do professor
como causadora do não ensino da Geometria. Recordando que a formação inicial
desse profissional enfatiza conteúdos considerados “mais importantes”, como a
utilização de fórmulas e o estudo dos cálculos. Raras vezes abordam-se os
conceitos geométricos, e, quando apresentados são superficiais.
Esse problema é maior quando observados os cursos de Pedagogia, os
quais, na maioria das vezes, em quatro anos devem preparar o aluno para ministrar
aulas na Educação Infantil, Ensino Fundamental I e Gestão Escolar. Ou seja, são
apresentadas grandes quantidades de conteúdos e teorias em um curto espaço de
tempo e, consequentemente, pouco tempo é dedicado à preparação específica na
área de Matemática, especialmente em Geometria.
Assim, os reflexos da má formação docente estão presentes na sua forma
de trabalho, pois é durante o desenvolvimento do deste que começam a aparecer
lacunas teóricas e práticas. Ademais, “ninguém promove aprendizagem do que não
sabe, ninguém desenvolve no outro aquilo que não teve oportunidade de
desenvolver em si mesmo.” (ALMOLOUD et al. 2004, p.99).
Como exemplo, em 1998 a Secretaria de Ensino Fundamental do Ministério
da Educação (MEC), por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), relatou
a necessidade da revisão dos modelos de formação de professores, para efetivar a
implantação de novas alternativas para o ensino de determinados conceitos, entre
estes o ensino de Geometria. No entanto, para Almouloud et al. (2004, p.3),
11
O Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP, 2000), revelou que muitos dos tópicos da Matemática, pelo fato de não serem planejados ou ensinados pelos professores, não são aprendidos por seus alunos. Um exemplo disso é que, embora os professores indiquem a Geometria como item importante, que merece lugar em todos os níveis de ensino, não há concordância quanto à seleção e à organização destes conteúdos.
Isso aponta que o professor reconhece a importância do ensino de
Geometria, porém, podem surgir dúvidas na organização e seleção de quais
conceitos realmente devem ser ensinados.
Esse “déficit formativo” levou, ao longo dos anos, à prática de uma
Matemática pouco significativa para os alunos da escola básica, pois se
fundamentou principalmente na memorização de algoritmos e fórmulas, como
descreve Polato:
Formado no início do século XX com métodos clássicos que envolvem a repetição de algoritmos, seu foco é a dominação de regras da aritmética, da álgebra e da Geometria a estratégia de ensino é voltada a aula expositiva sobre conceitos e fórmulas, com os alunos copiando e fazendo exercícios para a fixação. (POLATO, 2008, p. 38).
Assim, o ensino de Geometria, especialmente nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, passou a se prender no reconhecimento e na nomeação das formas
geométricas, no uso de fórmulas e de uma mistura sem relações entre os conceitos,
não propiciando condições para que o discente construa conhecimentos mais
elevados. Consequentemente, os alunos concluem sua carreira escolar sem obter o
conhecimento necessário sobre Geometria, o que segundo Araújo:
É fácil encontrar-se entre alunos de diferentes séries, ou até mesmo entre professores, aqueles que confundem o cubo com o quadrado; não identificam propriedades comuns ao quadrado e ao losango, ou ao quadrado e ao retângulo. (ARAÚJO, 1994, p. 13).
Muitos professores apresentam dificuldades nos conteúdos que envolvem as
figuras bidimensionais e tridimensionais.
Os polígonos, muitas vezes, são as primeiras formas geométricas com as
quais os alunos têm contato, sendo que este se inicia na Educação Infantil,
momento em que os discentes começam a aprender e reconhecer os quadrados,
triângulos e assim por diante. Porém, sabe-se que a Geometria não se restringe
12
apenas a essas figuras, muito menos ao reconhecimento e à nomenclatura das
formas geométricas. É preciso salientar que também existem as figuras
tridimensionais, que apresentam tanta importância quanto as bidimensionais.
Os conceitos ligados às figuras tridimensionais geralmente aparecem no
Ensino Fundamental. Em minha experiência como Pedagoga, observei que muitas
crianças acabam nomeando e classificando cubos e quadrados da mesma maneira,
como se fossem sinônimos.
É possível dizer que o estudo das figuras bidimensionais e tridimensionais
vai além da sua identificação e nomeação. O National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM) sugere que:
Os alunos devem ter conhecimento de conceitos tais como: paralelismo, perpendicularidade, congruência, semelhança e simetria. Devem também conhecer as propriedades das figuras planas e dos sólidos geométricos. Devem visualizar e verbalizar como os objetos se movem no mundo, usando translações, simetrias e rotações. Os conceitos geométricos devem ser explorados de modo a envolverem medições e resolução de problemas. (NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, 1990).
Mesmo com tantos conteúdos dentro da Geometria tidos como
indispensáveis, as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem
permanecem, o que pode estar relacionado ao papel da abstração que ela requer.
Os professores, na maioria das vezes, apresentam facilidade em lidar com materiais
concretos, mas não com a abstração, o “que dificulta a condução dos alunos a um
pensamento mais genérico, mais formal ou mais abstrato.” (ALMOULOUD et al.,
2004, p.99).
Isso não significa que trabalhar com materiais concretos que estejam
envolvidos em nosso cotidiano não seja importante, mas, é preciso que o aluno
também desenvolva a habilidade de abstrair para que possa entender os conceitos
geométricos. Sem esta abstração, torna-se difícil que o professor consiga atingir o
verdadeiro foco de trabalhar esse conteúdo, que é fazer com que o discente
compreenda e descreva de forma sistematizada o mundo em que vive.
Além da maneira como a Geometria é ou não trabalhada nas escolas,
existem os materiais utilizados como suporte ou como plano de aulas, dentre os
quais se destaca o livro didático. Muitos docentes se apegam a materiais que
deveriam ser suporte para seus planejamentos e os tornam planos de aulas únicos e
13
verdadeiros, utilizando-os do início ao fim. Portanto, faz-se necessário um olhar mais
minucioso sobre esse material, principalmente na área de Geometria, o que será
feito no capítulo a seguir.
15
2 O LIVRO DIDÁTICO E AS POLÍTICAS PÚBLICAS
Atualmente, as inovações e os estudos voltados ao processo de ensino e
aprendizagem são muitos. Procuram-se novos métodos, novas linguagens e novos
materiais que venham a auxiliar e melhorar esse processo. Mesmo com as
pesquisas e com os avanços tecnológicos que geram novos recursos didáticos,
como tablets e lousas digitais, o livro didático ainda é um dos mais utilizados em sala
de aula e, sendo ele nosso objeto de pesquisa, se faz necessário conhecê-lo melhor.
Por esse motivo, este capítulo traz um pouco da história do livro didático, de
sua importância e de aspectos importantes voltados ao Guia do Livro Didático, já
que este último traz considerações importantes sobre os materiais aprovados e é
utilizado pelos professores como um material de consulta para a escolha do livro a
ser utilizado. É importante ressaltar que o livro didático surgiu há algumas centenas
de anos, porém seus usos e maneiras de aquisição sofreram mudanças no decorrer
da História.
Alguns autores afirmam que o livro didático surgiu com objetivo religioso:
[...] no século XIX, o livro didático era como um adicional à Bíblia, até então, o único livro aceito pelas comunidades e usado nas escolas. Somente por volta de 1847, os livros didáticos passaram a assumir um papel de grande importância na aprendizagem e na política educacional. (OLIVEIRA; GUIMARÃES; BOMÉNY, 1984, p. 26).
Outros dizem que sua origem é anterior ao surgimento da imprensa.
Sua origem está na cultura escolar, mesmo antes da invenção da imprensa no final do século XV. Na época em que os livros eram raros, os próprios estudantes universitários europeus produziam seus cadernos de textos. Com a imprensa, os livros tornaram-se os primeiros produtos feitos em série e, ao longo do tempo a concepção do livro como “fiel depositário das verdades científicas universais” foi se solidificando. (GATTI JÚNIOR, 2004, p.36).
Foi somente em 1938 que o livro didático ganhou os olhares do governo,
através do Decreto-Lei nº 1.006, de 30/12/1938. Porém, segundo Freitag et al.
(1989), a Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD) possuía mais a função de
controle político-ideológico do que propriamente uma função didática.
Em 1945, em alguns locais, o professor começou a ter autonomia para
escolher o livro que iria trabalhar junto a seus alunos. Mas, somente em 1976 que se
16
iniciou a compra dos livros por parte do governo, utilizando recursos do Fundo
Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE).
Enfim, em 1985 o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) foi criado e,
em 1997, a produção do livro didático passou a ocorrer em massa e começou a
fazer parte do material didático da maioria das escolas públicas.
2.1 Considerações sobre o PNLD
Em torno da discussão sobre o histórico do livro didático e a criação do
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), é preciso relatar que mesmo este
tendo sido criado pelo MEC, em meados dos anos 1980, com o intuito de realizar a
distribuição gratuita dos livros para as escolas públicas do país, foi somente em
1993 que se iniciou o processo de avaliação anterior à distribuição dos materiais.
Hoje esse programa passou por transformações e traz como objetivo principal
subsidiar o trabalho pedagógico dos professores, por meio da avaliação e
distribuição de coleções de livros didáticos aos alunos da educação básica.
Antes da distribuição os livros são avaliados e, aqueles aprovados, têm uma
resenha publicada no Guia do Livro Didático, que é encaminhado para as escolas e
também fica disponível na internet, para que as unidades escolares possam
escolher o livro que mais se adequa ao seu projeto político pedagógico.
A escolha desse material ocorre a cada três anos, porém os livros
consumíveis de alfabetização e de Matemática, que são utilizados pelos primeiros,
segundos e terceiros anos do Ensino Fundamental, são repostos anualmente. Já os
demais anos escolares devem conservar os livros, que são devolvidos no fim do ano
letivo para que possam ser utilizados consecutivamente pelos outros discentes.
O PNLD atende aos alunos de Ensino Fundamental I e II, Ensino Médio e
também os da Educação Especial, para os quais são distribuídas obras didáticas em
Braille de Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, História, Geografia e
dicionários. Há também diferenciações entre as obras utilizadas por discentes da
zona rural, considerando que tanto pode haver classes multisseriadas quanto o
17
contexto social e cultural dessas crianças é diferenciado. Dessa maneira, a
distribuição dos materiais é disposta da seguinte forma:
Figura 1 - Os livros que os alunos de cada ano ou série recebem no PNLD
Fonte: http://www.fnde.gov.br/programas/livro-didatico/livro-didatico-apresentacao
Também é preciso ressaltar que outros materiais são oferecidos por esse
programa, como: dicionários; o PNLD alfabetização na idade certa, acervo este que
foi instituído por meio da Portaria nº 867, de 04/07/2012, e que busca a alfabetização
Matemática e de Língua Portuguesa através do Pacto Nacional pela Alfabetização
na Idade Certa, ou seja, crianças de até 8 anos de idade devem estar alfabetizadas;
e o PNLD EJA, que oferece obras voltadas ao Programa de Jovem e Adultos.
Assim, o PNLD procura atender a quase todas as faixas etárias e fases
escolares dos alunos, exceto a Educação Infantil, buscando a qualidade nos
materiais oferecidos. Para as faixas etárias às quais o PNLD atende, cabe aos
professores escolher o material que mais se adequa à sua turma, isso por meio das
resenhas apresentadas pelo Guia do Livro Didático.
18
2.2 O que vem a ser o Guia do Livro Didático
O Guia do Livro Didático1 é um manual que pretende auxiliar o professor no
momento da escolha do livro a ser utilizado nas escolas públicas do país. Nesse
sentido, apresenta ao seu leitor, o professor, resenhas de obras que foram avaliadas
e recomendadas pelo PNLD, seguindo concepções teóricas e princípios político-
pedagógicos considerados mais adequados ao atual momento do processo de
ensino-aprendizagem nas escolas brasileiras (TAGLIANI, 2009, p.307).
Após a leitura das resenhas, a escolha deve ser realizada com duas opções
de títulos, pois caso a escola não seja contemplada com a primeira coleção de livros
escolhidos, receberá a segunda opção.
Como já mencionado neste estudo, as obras que desejam participar do PNLD
passam por um critério avaliativo eliminatório, o qual segue os seguintes
parâmetros:
Os critérios eliminatórios comuns a serem observados na avaliação de todas as coleções submetidas ao PNLD 2013 são os seguintes: (i) respeito à legislação, às diretrizes e às normas oficiais relativas ao ensino fundamental; (ii) observância de princípios éticos necessários à construção da cidadania e ao convívio social republicano; (iii) coerência e adequação da abordagem teórico-metodológica assumida pela coleção, no que diz respeito à proposta didático-pedagógica explicitada e aos objetivos visados; (iv) correção e atualização de conceitos, informações e procedimentos; (v) observância das características e finalidades específicas do manual do professor e adequação da coleção à linha pedagógica nele apresentada; (vi) adequação da estrutura editorial e do projeto gráfico aos objetivos didático-pedagógicos da coleção (BRASIL, 2012, p.16).
Também há o processo eliminatório de acordo com cada disciplina. Para
Matemática, especificam-se critérios quanto à correção de conceitos e de
informações básicas, à adequação didático-metodológica e ao Manual do Professor,
além de outros aspectos, tais como:
1 No decorrer da pesquisa foi utilizada a palavra Guia para se referir ao Guia do Livro Didático (BRASIL, 2012).
19
No âmbito da correção dos conceitos e informações básicas, além dos erros explícitos, devem ser evitadas as induções ao erro e as contradições internas. Ainda que seja didaticamente indicada uma abordagem menos formal e mais intuitiva, no ensino inicial de conceitos abstratos, são injustificáveis conceituações confusas, que possam conduzir a ideias equivocadas ou capazes de gerar dificuldades na aprendizagem posterior dos conceitos. (BRASIL, 2012, p. 17).
Assim, após os livros serem aprovados são divulgadas suas resenhas. Na
página dezoito do Guia2, apresentam-se as orientações sobre como o professor
deve analisar essas resenhas.
As resenhas se iniciam com a identificação das obras, o conteúdo, o nome, o
ano da edição, a autoria, o código do PNLD e a imagem da capa. Logo após
expõem-se uma visão geral sobre os livros. A resenha apresenta ainda os aspectos
positivos e negativos da coleção em questão.
Essa descrição apresenta-se no Guia da seguinte maneira (BRASIL, 2012,
p.19)3:
Figura 2 - Descrição
Fonte: BRASIL, 2012, p.19
2 Referência ao Guia do Livro Didático do ano de 2013 o qual foi analisado por esta pesquisa, lembrado que existem Guias divulgados em outros anos e com avaliações distintas. 3 Nos textos redigidos no interior dos balões azuis são observados alguns erros de escrita, no entanto estes não foram corrigidos, pois, são apresentados de maneira fiel ao Guia do Livro Didático de 2013.
20
Figura 3 - Seleção e distribuição de conteúdos
Fonte: BRASIL, 2012, p.19
Relacionado à distribuição e seleção de conteúdos, o Guia traz, em suas
resenhas, como esta seleção acontece em cada obra, citando quais os conteúdos
mais desenvolvidos, ou seja, o que mais aparece naquela obra em específico.
Figura 4 - Abordagem dos conteúdos
Fonte: BRASIL, 2012, p.19
Nessa mesma seção apresentam-se a metodologia utilizada na coleção, os
aspectos relacionados à disposição de conteúdos, a meta esperada dos alunos, as
atividades que envolvem repetição ou memorização de conceitos, ou valorização
dos conhecimentos prévios, além da utilização de recursos tecnológicos e as
21
propostas de temas e atividades que ajudam a promover posturas e valores
importantes para o exercício da cidadania.
O Guia também apresenta pontos que tratam da linguagem, das
apresentações gráfico-editoriais, tais como: o tipo de letra utilizada, os aspectos
gráficos e a qualidade da obra (figuras, textos etc.), verificando sua adequação ao
ano correspondente e levando em consideração se estes tornam ou não o livro
atraente ao aluno.
A última característica apresentada é em relação ao Manual do Professor,
onde são observadas: sugestões de atividades, orientações para avaliação, entre
outros, conforme indicado a seguir (BRASIL, 2012, p.20):
Figura 5 - Manual do Professor
Fonte: BRASIL, 2012, p.20
No entanto, mesmo diante das avaliações realizadas, o próprio Guia traz as
seguintes considerações sobre esse material:
Uma coleção aprovada no PNLD 2013, certamente, reúne qualidades suficientes para ser um bom instrumento de formação para os anos iniciais do ensino fundamental, do 1º ao 3º anos ou do 4º e do 5º anos. Mas as recomendações feitas ao professor, nesta seção, podem ajudá-lo a um melhor aproveitamento da obra. Em linhas gerais, sugere-se um planejamento do trabalho docente que selecione os conteúdos a serem estudados, pois, muitas vezes, há na obra excessos em relação a alguns conteúdos e necessidade de complementações em relação a outros. Alerta-se, também, para o cuidado com repetições excessivas. O professor também é aconselhado a ampliar o uso de recursos didáticos, quando necessário, e a ter o cuidado no planejamento para uso do material.
22
Além disso, é alertado a contornar as imprecisões em explanações de alguns conteúdos e em atividades propostas. (BRASIL, 2013, p.20).
Sendo assim, fica clara a necessidade de estudos sobre esse material e a
sua importância em sala de aula.
2.3 Um olhar sobre o livro didático dentro das escolas
Observando o cenário tecnológico e a busca incansável realizada a cada dia
para a sua ampliação, principalmente no que diz respeito à comodidade e ao
conforto do ser humano, consideramos que a Educação não se distancia dessa
busca. E, muitas têm sido as tentativas de transformações por meios tecnológicos
que possam vir a substituir os materiais ditos antigos. Como exemplo, estão sendo
elaborados livros digitais para o uso de professores e alunos, porém o docente
continua fazendo uso de recursos tidos como mais simples, dentre os quais
podemos citar o livro didático impresso.
Alguns pesquisadores, como Gérard e Roegiers (1998, p.19), definem o livro
didático como “um instrumento impresso, intencionalmente estruturado para se
inscrever num processo de aprendizagem, com o fim de lhe melhorar a eficácia”. Já
Lopes (2007, p. 208) afirma que o livro didático é “uma versão didatizada do
conhecimento para fins escolares e/ou com o propósito de formação de valores”.
Também é possível dizer que esse material é um meio de ajudar o professor
e o aluno a estruturar os conteúdos a serem ensinados, afirmando a importância do
uso de livros didáticos no interior das salas de aula.
Nessa perspectiva é importante ressaltar que o livro, muitas vezes, pode ser
o único material a que o aluno tem acesso, tanto como recurso utilizado para
acompanhar os conteúdos ensinados em sala quanto como fonte de pesquisa para
novos conhecimentos. Assim, Frison et al. (2009, p.4) afirmam que:
Atualmente, os livros didáticos representam a principal, senão a única, fonte de trabalho como material impresso na sala de aula, em muitas escolas da rede pública de ensino, tornando-se um recurso básico para o aluno e para o professor, no processo ensino aprendizagem.
23
Não podemos deixar de destacar a questão que envolve os livros didáticos
impressos perante os avanços tecnológicos. Neste âmbito, observamos que ao
contrário do que muitos pensam, os recursos tecnológicos desenvolvidos não
substituem os recursos didáticos existentes, mas sim, os complementam. Ou seja, o
uso de computadores, tablets ou livro digital não substitui o uso do livro didático
impresso e nem está fazendo com que este desapareça das salas de aula. Esses
recursos servem como apoio ao livro impresso.
Ademais, devido à grande utilização desse recurso no ambiente escolar, ele
acaba assumindo diversas funções, algumas das quais:
[...] a função de informação de estruturação e organização de aprendizagem, e a função de guia do aluno no processo de apreensão do mundo exterior. Deste modo, a última função depende de o livro permitir que aconteça uma interação da experiência do aluno e atividades que instiguem o estudante a desenvolver seu próprio conhecimento ou, ao contrário, induzi-lo à repetições ou
imitações do real. Carneiro (2006, p.206).
Em outras palavras, o livro pode tornar-se um referencial, ter papel
importante nos aspectos políticos e culturais ou ser uma fonte de pesquisas que
auxilia no aprofundamento dos conteúdos, tornando-se um facilitador da
aprendizagem e um instrumento de apoio à prática pedagógica. Mas, contrariamente
a essa percepção, muitos professores não olham para o livro apenas como um
recurso para melhorar o processo de ensino, mas fazem dele o protagonista de suas
aulas.
Por isso, muitos docentes utilizam esse material para o preparo de suas
aulas ou, até mesmo, para segui-los como único recurso didático para o ensino.
O livro didático auxilia e contribui para o preparo das aulas e pode ser importante no cotidiano do aluno e do professor, ajudando ambos na organização do ensino, da aprendizagem e do trabalho tanto na
sala de aula como fora dela. (ALLEVATTO; TERTO,2009, p.43).
Essa prática pode ser observada, principalmente, quando o professor não
possui domínio pleno da disciplina que está lecionando ou devido aos déficits
deixados em sua formação. Nesse contexto, o docente acaba “agarrando-se” ao
livro e seguindo-o do início ao fim, pois sente segurança nos conteúdos ali
existentes. Mesmo tendo ciência de que nesse recurso são encontrados não
somente aspectos positivos, que podem ser propícios à aprendizagem, mas também
24
aspectos negativos, com os quais o professor deve ter cuidado para que estes não
cheguem aos alunos.
E não devemos esquecer que vivemos em um mundo capitalista, onde o
consumismo e a busca por lucro também se refletem na venda e na compra desses
materiais. Atualmente, editoras competem no mercado dos livros didáticos buscando
adquirir nessa “corrida” o maior número de clientes possível. Nessa disputa pelo
mercado foram surgindo objetos extras que poderão acompanhar os livros, caso
eles sejam escolhidos, tais como: CDs, mobiles e modelos físicos, abordados em
alguns assuntos. Em termos de mercado livreiro, Febvre e Martin (1992, p. 174)
afirmam:
Desde a origem, a imprensa apareceu como uma indústria regida pelas mesmas leis que as outras indústrias e o livro como uma mercadoria que os homens fabricavam antes de tudo para ganhar a vida [...] Pois o mercado do livro sempre foi semelhante a todos os outros mercados.
Portanto, o professor deve estar atento a todos estes aspectos na hora de
escolher o livro com o qual irá trabalhar durante sua prática, refletindo
principalmente no modo como eles repercutirão em sala de aula.
25
3 METODOLOGIA
A pesquisa desenvolvida traz uma análise de alguns dos livros de
Matemática utilizados no ano de 2014 na Rede Municipal de Rio Claro, no Estado de
São Paulo, no 5º ano do Ensino Fundamental. Nesse material, observou-se a forma
como alguns conteúdos de Geometria são apresentados.
Para tanto, a pesquisa procurou discutir a seguinte pergunta diretriz: Como
alguns conteúdos geométricos estão presentes nos livros didáticos? É preciso
destacar que não foram analisados todos os conteúdos de Geometria, apenas os
relacionados às figuras bidimensionais e tridimensionais.
Optou-se por uma pesquisa qualitativa que segundo Maanen (1979, p.520)
te a seguinte característica:
A expressão “pesquisa qualitativa” assume diferentes significados no campo das ciências sociais. Compreende um conjunto de diferentes técnicas interpretativas que visam a descrever e decodificar os componentes de um sistema complexo de significados. Tem por objetivo traduzir e expressar o sentido dos fenômenos do mundo social; trata-se de reduzir a distância entre indicador e indicado, entre teoria e dados, entre contexto e ação.
Esse tipo de pesquisa surgiu na década de 1970 e de acordo com Triviños
(1987, p.116), “o ensino sempre se caracterizou pelo destaque de sua realidade
qualitativa, apesar de manifestar-se frequentemente através de medições e de
quantificações”. No período anterior a essa década, a pesquisa quantitativa era mais
usual sendo marcada por gráficos e números, além de possuir hipóteses
previamente definidas.
A pesquisa qualitativa não se interessa em enumerar, medir eventos ou
instrumentos estatísticos na análise de dados. Nesse tipo de pesquisa, as hipóteses
são construídas no decorrer do estudo procurando entender os fenômenos
ocorridos. Por isso, esse estudo se enquadra no tipo de pesquisa qualitativa pelo
fato de valorizar as etapas percorridas, as conclusões e não somente os resultados
encontrados.
Godoy (1995) faz uma descrição dos aspectos importantes que constituem
uma pesquisa qualitativa, destacando que o pesquisador é o principal instrumento e
o mais confiável na observação e análise dos dados. Além disso, esta pesquisa
26
apresenta caráter descritivo, sendo a escrita fundamental desde o levantamento de
dados até o reconhecimento dos resultados.
Outro aspecto importante é o caráter indutivo que a pesquisa qualitativa
apresenta e isso se dá pelo fato do pesquisador não iniciar seus estudos com
hipóteses estabelecidas a priori, mas estas vão se tornando específicas no decorrer
da investigação. Ou seja, através de padrões encontrados na análise dos dados o
pesquisador desenvolve ideias e entendimentos, para isso ele procura interpretá-los
e explorá-los de forma minuciosa, retirando todas as informações possíveis.
[...] quando estamos lidando com problemas pouco conhecidos e a pesquisa é de cunho exploratório, este tipo de investigação parece ser o mais adequado. Quando o estudo é de caráter descritivo e o que se busca é o entendimento do fenômeno como um todo, na sua complexidade, é possível que uma análise qualitativa seja a mais indicada. (GODOY,1995, p.63).
Entretanto, esse tipo de pesquisa pode se atrelar a diferentes métodos,
sendo que o abordado para este estudo é a análise de conteúdo. Em um apanhado
histórico sobre a análise de conteúdo, verifica-se que sua utilização ocorre desde os
tempos antigos onde se procurava entender os textos sagrados. De acordo com
Triviños (1987), foi no período da Primeira Guerra Mundial, com os estudos de
Leavell, que ela adquiriu forma e caráter de método investigativo. Segundo Bardin
(1994, p. 18),
A definição de análise de conteúdo surge no final dos anos 40-50, com Berelson, auxiliado por Lazarsfeld afirmando que a análise de conteúdo é uma técnica de investigação que tem por finalidade a descrição objetiva, sistemática e quantitativa do conteúdo manifesto da comunicação.
Em 1977, Bardin publica sua obra, “Analyse de contenu”, onde descreve
com detalhes o processo de Análise de Conteúdo, sendo esta utilizada até hoje
como referência em diversas pesquisas que adotam tal metodologia.
Conforme Vergara (2005, p.15), “a análise de conteúdo é considerada uma
técnica para o tratamento de dados que visa a identificar o que está sendo dito a
respeito de determinado tema”. Em outras palavras, a análise de conteúdo é
utilizada para descrever e interpretar o conteúdo de documentos e textos e faz parte
das descrições sistemáticas que auxiliam o pesquisador a ir além de uma leitura
comum.
27
[...] a análise de conteúdo oscila entre os dois pólos do rigor da objetividade e da fecundidade da subjetividade. Absolve e cauciona o investigador por esta atração, pelo escondido, o latente, o não aparente, o potencial de inédito (do não-dito), retido em qualquer mensagem. (BARDIN, 1977, p.9).
Ainda segundo Bardin (1994, p.26), a análise de conteúdo se caracteriza
como:
Um conjunto de técnicas que permitem a exploração e análise das informações de uma pesquisa. É por meio da Análise de Conteúdo que é possível retirar informações contidas num texto, interpretá-las podendo assim relacioná-las ao contexto em que se deu determinada produção. Esta forma de análise leva o pesquisador, depois de muito estudo, a criar categorias, agrupando unidades de análise semelhantes, fazendo inferências sempre que necessário e possível.
Igualmente a análise de conteúdo enquanto método torna-se um conjunto de
técnicas de análise das comunicações que utilizam procedimentos sistemáticos e
objetivos de descrição do conteúdo das mensagens. Dessa maneira, ela é como um
jogo entre hipóteses, entre as técnicas de interpretação. Isso se concretiza pelo fato
de que a “análise de conteúdo se faz pela prática.” (BARDIN, 2009, p.51).
Para Triviños (1987, p.16), essa abordagem privilegia a linguagem escrita e
oral, mas não desmerece ou excluí as demais. Ainda de acordo com o autor, “a
intenção de se usar o método de análise de conteúdo nas mensagens escritas, é
porque estas são mais estáveis e constituem um material objetivo”.
Bardin (2009, p.121) afirma que a análise de conteúdo é dividida em três
fases: a pré-análise, a exploração do material e o tratamento dos resultados. Pode-
se caracterizar a fase de pré-análise como o momento inicial de investigação, sendo
escolhidos os documentos que serão analisados e o levantamento de hipóteses. Na
etapa de exploração do material, o pesquisador busca investigar minuciosamente
seus documentos, levantando dados e categorias para a pesquisa, os quais serão
interpretados na fase de tratamento dos resultados, na qual se busca uma resposta
ao problema inicial da pesquisa.
A análise de conteúdo é utilizada para descrever e interpretar o conteúdo de
documentos e textos. No entanto, afirma-se que a matéria-prima dessa análise pode
abranger materiais verbais ou não verbais, tais como: jornais, vídeos, livros, cartas
etc. E mais, os dados retirados dessas fontes chegam ao pesquisador necessitando
de um processamento que o ajude a interpretá-los. Sendo assim, o exame de um
28
texto por meio dessa análise serve de “suporte” para captar seu sentido simbólico.
Não pode ser esquecido o fato de que um texto contém muitos significados,
conforme Olabuenaga e Ispizúa (1989, p.185),
a) O sentido que o autor pretende expressar pode coincidir com o sentido percebido pelo leitor do mesmo;
b) O sentido do texto poderá ser diferente de acordo com cada leitor;
c) Um mesmo autor poderá emitir uma mensagem, sendo que diferentes leitores poderão captá-las com sentidos diferentes;
d) Um texto pode expressar um sentido do qual o próprio autor não esteja consciente.
Também é possível afirmar que um texto poderá ser analisado sob múltiplas
perspectivas, sendo elas instigadas pelo contexto em que se encontram. Em
decorrência disso a leitura não é algo neutro, ela é carregada de interpretações que
vão sendo guiadas pelos dados que o pesquisador tem em mãos. Por esse motivo, é
essencial que o contexto no qual os dados serão analisados seja explícito em
qualquer análise de conteúdo. Diante desse fato, é preciso que, dentro dessa
metodologia de pesquisa, os objetivos estejam claros, pois estes delimitarão os
dados significativos ao pesquisador.
Em ponto de vista, a técnica da análise de conteúdo também pode ser
constituída por cinco etapas, as quais Morais (1999, p.10) classifica como:
“Preparação das informações; Unitarização ou Transformação do conteúdo em
unidades; Categorização ou Classificação das unidades em categorias; Descrição e
Interpretação”.
A fase da Preparação é o momento no qual o autor identifica as diferentes
amostras de informação a serem analisadas, realiza uma leitura de todo o material e
começa a preparar o que é importante para que alcance seu objetivo. Bardin (1977)
classifica essa etapa como Pré-análise, na qual ocorre a leitura flutuante, ou seja, é
realizada uma leitura em que o autor vai “separando” o que lhe interessa e a partir
daí começam a surgir às hipóteses e os objetivos do trabalho.
Já na Unitarização, o pesquisador relê seu material, define as unidades de
análise, lembrando que cada unidade deve ser isolada para a classificação. Porém,
nesse isolamento as informações devem ter um significado completo em si mesmo.
Na fase de Categorização, os dados são agrupados por semelhanças
existentes entre eles. Isso se associa ao que Bardin define como a Exploração do
29
material e afirma que “as categorias emergem da classificação analógica dos
elementos, surgem da análise do trabalho” (BARDIN, 1979 p.119).
Diante dessas categorias inicia-se a Descrição, momento em que ocorre a
comunicação do resultado desse trabalho. Assim, é produzido um texto expressando
o conjunto de significados da categorização.
Por fim, na Interpretação é realizada uma compreensão profunda dos
conteúdos da Descrição.
Dessa maneira, essas fases podem se associar ao trabalho de Fileno (2007,
p.68), que resume as fases da análise de conteúdo da seguinte forma:
Na pré-análise será organizado o esquema de trabalho a ser seguido. Será estabelecido o procedimento, embora seja flexível. Na seguinte chamada de descrição analítica, o material coletado será examinado através de uma leitura “flutuante”, a fim de possibilitar a elaboração de categorias e, na última fase, chamada de interpretação referencial, onde as respostas serão categorizadas para finalmente tornar os dados brutos significativos.
Tendo estudado os diferentes autores citados, que tratam de análise de
conteúdo, minha escolha para a realização desta pesquisa foi utilizar as fases
descritas por Bardin, por meio das etapas especificadas a seguir.
3.1 Desenvolvimento e estruturação da pesquisa
Tendo como problema de pesquisa procurar discutir como alguns conteúdos
geométricos estão presentes nos livros didáticos, optou-se por escolher o 5º ano do
Ensino Fundamental por se tratar de um ano de transição entre o Ensino
Fundamental I e Ensino Fundamental II. Esse é o ano em que o aluno deve estar
preparado para mudanças em sua trajetória escolar. E a escolha pela Geometria se
deu pelo fato de que muitas pesquisas comprovam que este é um conteúdo pouco
trabalhado, ou não trabalhado, por vários professores em qualquer ano escolar, fato
que é reafirmado em minha experiência como professora.
Para iniciar esta pesquisa foram colhidas, junto à Secretaria Municipal de
Rio Claro – SP, informações sobre os livros utilizados pelas escolas que oferecem o
5º ano do Ensino Fundamental. Diante da apresentação de uma lista por parte desse
órgão foram identificados os materiais didáticos utilizados pelas unidades escolares.
30
A partir disso, tomou-se como critério para a escolha dos materiais,
primeiramente, o mais utilizado pela Rede, o qual 50% das Unidades Escolares
utilizam. Em seguida, ao observar que os demais livros apareciam apenas uma ou
duas vezes na lista foi realizada uma análise prévia de todos esses materiais e
então foram selecionados mais dois livros de uma mesma editora, porém com
objetivos e a forma de apresentar e organizar os conteúdos diferenciados. Sendo
assim, foram escolhidos três livros, a escolha ocorreu devido à metodologia adotada
pela pesquisa, o que tornaria inviável e comprometeria a análise caso a quantidade
de obras examinadas fosse maior.
Figura 6 - Livros analisados
Fonte: Foto tirada pelo pesquisador
Título Autor Editora
Projeto Buriti - Matemática
Mara Regina Garcia Gay Editora Moderna
Matemática Estela Milani
Luiz Márcio Imenes Marcelo Lellis
Editora Moderna
Ápis Matemática Luiz Roberto Dante Editora Ática
Após a seleção do material, foram tiradas cópias de todas as páginas que
abordavam os conteúdos geométricos relacionados às figuras bidimensionais e
tridimensionais. Para isso, os três livros foram observados do início ao fim,
marcando-se as páginas pertinentes ao estudo a fim de facilitar o processo de
fotocópias.
31
Figura 7 - Páginas sobre Geometria
Fonte: foto tirada pela pesquisadora
Em seguida, todas as cópias foram separadas por livros e por capítulos e na
ordem em que apareciam no material. Destacamos que, em dois dos livros
escolhidos os conteúdos matemáticos são separados em capítulos e no outro os
conteúdos aparecem divididos em quatro unidades e subdivididos em tópicos, ou
seja, a Geometria aparece nas quatro unidades.
Nesta fase denominada por Bardin (1977) de “Pré-Análise”, foi realizada
uma leitura flutuante de todo o material e este foi sendo organizado. A partir dessa
observação foi possível encontrar os materiais de maior importância para este
estudo.
Na sequência, semelhante ao estudo realizado por Cury (2007), foram
montados cartazes com essas folhas, os quais foram confeccionados
separadamente, utilizando o livro individualmente como critério e tentando agrupar
cada conteúdo específico por semelhanças de conteúdos, de forma que todos os
conceitos apresentados pudessem ser observados facilmente.
32
Figura 8 - Observando conteúdos
Fonte: Foto tirada pela pesquisadora da técnica adotada para análise
A partir desse momento examinou-se minunciosamente os cartazes.
Surgiram algumas anotações e, então, uma observação mais específica desses
escritos. Etapa esta que Bardin (1979) define como “Exploração do material”.
De forma mais detalhada é possível relatar que após a confecção de todos
os cartazes, com as informações e os conteúdos pertinentes à pesquisa, foram
utilizadas palavras como: sólidos, figuras, Geometria, poliedros, polígonos e figuras
planas nas chamadas unidades de pesquisa. Para que os conteúdos pudessem ser
agrupados por conceitos e características que mais apareciam em cada material e
eles foram sendo agrupados por semelhanças, as quais, por seu turno, foram dando
origem às categorias.
Inicialmente se elencou vinte categorias, porém estas foram sendo
observadas novamente com a intenção de identificar quais aspectos eram mais
“marcantes” e que apareciam em todas as categorias. Das vinte categorias iniciais,
restaram quatro, sendo elas: Aspectos Cotidianos; Manipulação e Concretização;
Nomenclatura, Identificação e Composição; e as Relações entre as figuras
bidimensionais e tridimensionais. Assim é possível dizer que essas categorias
surgiram a posteriori da constituição dos dados.
A categoria denominada Aspectos Cotidianos procurou analisar a forma
como os conteúdos de Geometria são relacionados aos aspectos cotidianos e como
essa relação é realizada.
Na categoria intitulada Manipulação e Concretização, buscou-se fazer uma
análise de como são realizadas as atividades nas quais os discentes tenham
33
contato/manuseio com materiais diversos durante a aprendizagem dos conceitos
geométricos e quais propostas são apresentadas para esse tipo de material.
A terceira categoria desenvolvida foi nomeada Nomenclatura, Identificação e
Composição. Nesta, a análise teve como foco as atividades e os textos que traziam
conceitos que envolvessem as nomenclaturas (termos utilizados para nomear as
figuras trabalhadas), a identificação (aspectos que levem o aluno a identificar as
imagens observadas, conseguindo distingui-las) e a composição das figuras
geométricas.
Já a última categoria denominada, Relações entre as figuras bidimensionais
e tridimensionais, trata da relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais.
Através dessa se buscou analisar como ocorre esse aspecto nos materiais
selecionados.
Assim, as análises foram feitas em cada livro de maneira individual e, na
sequência, eles foram entrelaçados apresentando a forma como desenvolvem os
conteúdos geométricos analisados dentro de cada categoria. Sendo assim, esta
etapa da pesquisa foi identificada, de acordo com Bardin (1979), como a fase de
“Descrição” dentro da análise de conteúdos.
Na fase final da pesquisa, denominada “Interpretação”, foi desenvolvida a
busca de indícios que pudessem ajudar a responder aos objetivos inicialmente
definidos. O capítulo a seguir traz os aspectos de literatura que dão suporte à
análise e fundamentam essas categorias.
35
4 ALGUNS ASPECTOS DA LITERATURA
Diante das categorias elencadas no processo de análise realizada nesta
pesquisa, procurou-se na literatura aspectos relevantes sobre o ensino e
aprendizagem da Geometria, os quais nortearam a análise dos livros didáticos.
Sendo assim, o primeiro foco observado foi a questão ligada à categoria
Aspectos Cotidianos, lembrando que esta tem como foco observar como os
conteúdos de aspectos cotidianos dos alunos são relacionados aos conteúdos
matemáticos, no que tange à Geometria.
4.1 A relação dos aspectos cotidianos4 com o processo de ensino
No processo de ensino da Matemática é comum que alunos e professores
reconheçam a importância dessa Ciência em aspectos que envolvem características
cotidianas. Porém, diante de minha observação como docente, ao serem
questionados sobre quais conteúdos são importantes para a vida rotineira
relacionados à Matemática, muitos alunos se lembram das operações matemáticas
e das medidas de tempo, mas poucos citam o uso de conceitos da Geometria.
Fenômeno este que pode estar atrelado à maneira como os conteúdos
geométricos são trabalhados.
Tal crítica se torna mais gritante diante da constatação de que, para muitos problemas cotidianos, o educando apresenta um conhecimento específico que viabiliza a superação do problema colocado, e quando o conhecimento ai utilizado é transposto para a esfera escolar, o aluno passa a ter dificuldade na sua apropriação, isto devido ao distanciamento entre escola e o dia a dia. (GIARDINETTO,1999, p.51).
Existem muitos estudos nessa perspectiva. Giardinetto (1999), por exemplo,
realizou um estudo e publicou um livro chamado "Matemática Escolar e a
Matemática Cotidiana", retratando a importância dos dois saberes estarem
4 Ao significado de cotidiano é possível associar a ideia de presente, daquilo que acontece todos os dias e que implica rotina de repetição, à rotina relaciona-se a ideia de caminho, de rota, que, por sua vez, pode estar ligada semanticamente a ruptura, a corte, a rompimento (STECANELA, 2009, p.65).
36
unificados, pois, segundo o autor, um é dependente do outro no processo de ensino
e aprendizagem.
Outras pesquisas sobre Geometria também retratam essa importância no
decorrer da História do Ensino da Matemática entre há a de Bertonha (1989), que
relata o não ensino da Geometria por uma grande parte dos professores. E, ainda se
tratando desse ensino, Bertonha (1989, p.23) afirma:
[...] quando ensinada a Geometria não apresenta ligação com as experiências de vida do aluno, sendo que é na escola que deveriam existir pessoas capacitadas para manterem as conexões entre o que é ensinado, a experiência de vida dos alunos e a realidade social que culmina na aquisição de conhecimentos.
Para Freudenthal (1973), o trabalho com a Geometria é essencialmente
“compreender o espaço” em que a criança “deve aprender a conhecer, explorar,
conquistar, de modo a poder aí viver, respirar e mover-se melhor”. E ainda Abrantes
(1999) afirma que a relação entre situações da realidade concreta e situações
matemáticas encontra na Geometria inúmeros exemplos e concretizações, ou seja,
o campo da Geometria é propício para que os conhecimentos da vida real sejam
transformados em saberes escolares.
Souza e Franco (2012) afirmam em seus estudos sobre a aprendizagem da
Geometria no Ensino Infantil, que os discursos das professoras confirmaram a
hipótese de que o ensino da Geometria é reduzido ao estudo das figuras planas
elementares, isto é, o ensino se limita ao estudo das figuras somente como
conhecimento teórico, sem ligação com o “mundo” em que o aluno está inserido.
Alguns pesquisadores alegam que uma das possíveis razões para que se
firme esse distanciamento entre escola e cotidiano pode estar ligada à concepção
(modelo) de ensino a ser seguido. Dessa forma, podemos dizer que em uma
instituição que segue o modelo tradicional, que valoriza a informação em detrimento
da formação:
[...] coloca o professor como sujeito do processo, o detentor do saber, que deve ser transmitido a um aluno receptor, capaz de assimilar passiva e indiscriminadamente os conteúdos formais estabelecidos em cada disciplina, independentemente de outras considerações, até mesmo aquelas relacionadas às fases do desenvolvimento. (MIZUKAMI,1986, p.46).
37
Nesse modelo de ensino o professor está preocupado em ensinar conceitos já
definidos, como retas, polígonos, sólidos, e estes exigem do aluno uma repetição
constante para que esses conteúdos possam ser memorizados, sem um trabalho
cognitivo ou de formação de conceitos.
Já as concepções de ensino construtivistas colocam o aluno no centro do
processo de ensino e aprendizagem, e elas estão mediadas no sujeito, sendo este
ativo em sua formação. Assim, o papel do professor é interceder na aprendizagem
levantando significados do que deve ser ensinado. Nesse modelo de ensino o
docente deve trabalhar com situações do cotidiano do aluno aproveitando
aprendizagens e conhecimentos que ele já tem, valorizando o discente como
indivíduo que irá intervir na comunidade onde atua.
Então, pode-se dizer que esta última concepção de ensino torna o
aprendizado mais interessante ao aluno, pois irá aproximar escola e cotidiano,
surgindo, assim, significados e justificativas para a aprendizagem dos conceitos
matemáticos. É preciso lembrar que ensinar Geometria não é apenas apresentar
formas e figuras, mas também as relações que podem ser estabelecidas entre elas e
as transformações a que podem ser submetidas.
É conveniente reforçar que quando se trata do ensino das formas e figuras, é
preciso se atentar para não se “prender” apenas às formas mais comuns no dia a dia
dos alunos, mas procurar expandir esses conhecimentos.
É fácil perceber, então, que esta disciplina não trata só de linhas, ângulos, cálculo de áreas e volumes. Ela permite a leitura do mundo, através das relações que podem ser construídas, envolvendo os diversos elementos do espaço, e é expressivamente facilitadora da compreensão e solução de questões propostas pela vida, pela própria Matemática e por outras áreas do conhecimento humano. (COELHO,1998, p.12).
Diante do que foi apresentado pode-se afirmar que a Geometria está presente
na vida do ser humano e, por esse motivo, é necessária à construção de conteúdos
geométricos escolares que estejam interligados aos aspectos cotidianos. E ainda,
para os Parâmetros Curriculares Nacionais, a aprendizagem não é algo inconstante
e, sim, constante, e para que a aprendizagem possa se dar de forma significativa é
preciso que os mais diversos saberes se tornem aliados para que o indivíduo se
sinta capaz de compreender o mundo que o rodeia.
38
Contudo, para que isso se efetive, algumas particularidades devem ser
consideradas, como o fato de que os conhecimentos advindos do cotidiano são os
primeiros conhecimentos com os quais o indíviduo tem contato. Isso até mesmo
antes de seu ingresso no ambiente escolar, lembrando que nenhum aluno chega à
escola sem uma bagagem que tenha desenvolvido em sua vida cotidiana, junto ao
seu meio social e à sua comunidade. Dessa maneira, trazer esse conhecimento para
o mundo escolar não faz com que os ensinamentos escolares sejam minimizados.
Ao contrário, faz com que a escola tenha o papel de ampliar esses conhecimentos.
Isso se dá pela circunstância de que a matemática cotidiana se constrói de
forma simples e não sistematizada, está presente em um simples objeto, fato ou
acontecimento, ou em uma simples conversa informal.
Na vida cotidiana, determinado conceito manifesta-se na forma imediata, segundo parâmetros pragmáticos e imediatos. Conforme já mencionado, essa apropriação ocorre na relação do individuo com os demais por decorrência de suas práticas no seio da prática social global. Trata-se de expressões conceituais assistemáticas do saber historicamente acumulado. (GIARDINETTO,1999, p.49).
Em outras palavras, muitas vezes os conhecimentos cotidianos, os quais o
aluno adquire por fazer parte de sua necessidade ou estar presente em sua vida
social, acabam passando despercebidos, sem que o aluno consiga “enxergar” que
esse aprendizado trata-se de um conteúdo geométrico ou de outra esfera do
conhecimento.
Outra questão, é que, segundo o estudo de Giardinetto (1999), o
conhecimento no cotidiano se apresenta de forma fragmentada, manifestando-se
segundo uma lógica conceitual que é própria das exigências de toda a vida
cotidiana. Trata-se, assim, de uma lógica conceitual adequada aos objetivos
específicos da pessoa, que corresponderam à sua necessidade naquele momento,
ou seja, o cotidiano seleciona o que é importante para determinada pessoa aprender
ou não; isto devido ao meio no qual está inserida.
Consequentemente, chega um momento em que o conhecimento de aspectos
cotidianos já não se faz suficiente. “A própria vida cotidiana passa a exigir
conhecimentos desenvolvidos em outras esferas de objetivações, o que reafirma a
importância da apropriação dos conteúdos escolares para a formação do indivíduo”
(GIARDINETTO, 1999, p.46). Então, é nesse instante que se nota a necessidade de
relacionar os saberes cotidianos com os saberes matemáticos.
39
Por esse motivo é que no ambiente escolar o conhecimento não deve ser
apresentado através de conceitos pré-estabelecidos ou de forma decorada, mas
sim, que estes tenham significados ao aluno, pois é na escola que os saberes
cotidianos serão sistematizados, organizados. E, no âmbito da Geometria, “ainda
que a criança lide com ela no seu dia a dia antes de ingressar na escola, é nesta
que irá tomar consciência do que sabe, bem como do que não sabe” (COELHO
1998, p.14).
É na escola que os alunos se deparam pela primeira vez com conteúdos
geométricos muitas vezes já encontrados, porém, despercebidos em sua vida
cotidiana, isso quer dizer que é nesse ambiente que os conteúdos antes intuitivos se
tornam sistematizados. Ou seja, é no ambiente escolar que os conhecimentos
adquiridos informalmente serão transformados em formais.
Essa sistematização pode ser facilitada através da utilização do livro didático,
sabendo que este é um instrumento que auxilia o docente e pode trazer elementos
que ajudem nessa mudança. Porém, para que isso ocorra, é preciso que esse
material possibilite que o discente traga para o interior da escola os conhecimentos e
experiências aprendidos em seu cotidiano, para que estes possam ser organizados,
podendo ser passados de informações para saberes. Salienta-se que apesar dos
aspectos cotidianos serem importantes ao processo de ensino é preciso cuidado
para que não ocorra a supervalorização desses conteúdos, de modo que venham a
prejudicar a construção de conhecimentos escolares necessários ao indivíduo.
Quando ocorre uma polarização entre saber cotidiano e saber escolar, enfatizando-se de forma unilateral a utilização do saber cotidiano e gerando, com isso, o fenômeno da supervalorização do saber cotidiano em detrimento da sua relação com o saber escolar. (GIARDINETTO,1999, p.58).
Observa-se que a necessidade de considerar os aspectos da vida cotidiana
como algo importante para o ensino fez com que pesquisas passassem a
supervalorizar o conhecimento matemático cotidiano, perdendo-se de vista a relação
com o saber escolar.
A valorização extrema do saber cotidiano, muitas vezes, acaba limitando a
aquisição de novos conhecimentos pelo aluno, pois o indivíduo adquire alguns
diante de sua necessidade, ou seja, faz parte de seu cotidiano aquilo que é preciso
para prestar serviços, ou os saberes vindos de sua cultura, fazendo com que outras
40
esferas do saber não cheguem até esse sujeito. Sendo assim, se os livros ou
professores abordarem apenas o conhecimento cotidiano se isolada a chance da
pessoa obter novos conhecimentos e ir além do que já conhece.
É importante lembrar que o saber escolar se apresenta de forma
sistematizada e com base em teorias que ajudarão o indivíduo a entender os
conhecimentos construídos no decorrer de sua vida.
Portanto, pode-se afirmar que os aspectos cotidianos e escolares deveriam
caminhar juntos e que ambos apresentam igual importância no processo de ensino.
Já que aprender não é apenas decorar respostas para algumas situações e, sim, ter
a capacidade de explicar, de apreender e compreender, e de enfrentar criticamente
situações novas.
4.2 A importância do uso de materiais concretos
Nesta seção se abordou o papel dos materiais concretos manipuláveis no
processo de ensino. Ou seja, aqueles que levam o aluno à manipulação e que
venham facilitar ou construir conceitos geométricos. Não considerando como
exemplos os materiais os quais o docente manipula, pois a estes é dado o nome de
recursos didáticos.
Como definição de recursos didáticos, Chamorro (2003) explica que são
meios que os professores utilizam como apoio no ato de lecionar ou ainda pode-se
dizer que os recursos didáticos constituem todas as formas de apresentação de
algum tema.
É comum que, muitas vezes, os docentes fiquem maravilhados diante de
materiais manipulativos, os quais trazem resultados positivos na aprendizagem.
Porém, de acordo com Fiorentini e Miorim (1990, p.1):
O professor nem sempre tem clareza das razões fundamentais pelas quais os materiais ou jogos são importantes para o ensino-aprendizagem da matemática e, se são necessários, e em que momento devem ser usados.
41
O que acontece é que, na maioria das vezes, esses materiais são utilizados
por se ouvir falar que causam motivação ao aluno (quebra de rotina) ou talvez por
deixar a aula mais alegre, esperando maior participação por parte dos discentes.
No entanto, mesmo sabendo que, para o professor, a utilização de materiais
manipuláveis é uma maneira de facilitar o aprendizado, os pesquisadores Carraher,
Carraher e Schilemann (1988) relatam que os materiais manipuláveis não são tão
importantes assim, tendo maior importância os princípios lógico-matemáticos. E
reforçam essa ideia por defenderem que:
Apesar desses materiais serem formados por objetivos, podem ser considerado um conjunto de objetos abstratos por existirem apenas na escola, para finalidade de ensino, e não tem qualquer conexão com o mundo da criança. (CARRAHER; CARRAHER; SCHILEMANN, 1988, p.180).
Destacam ainda que o que realmente importa para o ensino são as situações
sociais.
Pode-se dizer que o uso desses materiais ou recursos didáticos também
sofreram transformações decorrentes dos aspectos educacionais e das concepções
de ensino que também influenciaram na maneira de utilizá-lós.
No século XVI acreditava-se que as crianças aprendiam como adultos. Dessa
maneira, era preciso corrigir os defeitos delas e essa correção acontecia por meio da
transmissão de conhecimentos. O aluno era “vazio” e o professor lhe passava os
conteúdos necessários. Esse é o modelo de ensino que conhecemos como
tradicional e o uso de materiais diversos era considerado inútil e ainda incômodo
para a disciplina que se devia ter em sala. Fiorentini e Miorim (1990, p.2) relatam
ainda que:
Os poucos que os aceitavam e utilizavam o faziam de maneira puramente demonstrativa, servindo apenas de auxiliar a exposição, a visualização e memorização do aluno. Exemplos disso são: o flanelógrafo, as réplicas grandes em madeira de figuras geométricas, desenhos ou cartazes fixados nas paredes.
Deve-se considerar que o uso desses materiais nem sempre é avaliado de
maneira positiva, isso irá depender do objetivo que o professor espera atingir em sua
aula. O que esses autores criticam é o seu constante uso e sempre da mesma
forma.
42
No século XVIII, Rousseau (apud PASQUETTI, 2008, p.14) começou a
valorizar os jogos e trabalhos manuais, dando ênfase ao processo natural do
desenvolvimento da criança. Nessa nova concepção de ensino o contato direto com
os objetos passou a ser importante. Assim, Rousseau iniciou a valorização dos
jogos, da experiência vinda do contato direto com os materiais e a importância do
trabalho manual.
Nesta nova concepção, a escola passa a valorizar os aspectos biológicos e psicológicos do aluno em desenvolvimento, ou seja, o sentimento, o interesse, a espontaneidade, a criatividade e o processo de aprendizagem e, às vezes, priorizando estes aspectos em detrimento da aprendizagem dos conteúdos. (PASQUETTI, 2008, p.14).
Em meio a essa nova concepção de escola surge uma “escola ativa”, onde é
valorizada a manipulação dos materiais, o uso de jogos precedentes aos conteúdos
e o conhecimento construído a partir das experiências.
Assim, muitos estudos, como o de Suydam e Higgins (1977), Sowell (1989) e
Serrazina (1990), afirmam que o uso de materiais manipuláveis trazem maiores
benefícios à aprendizagem do que a sua não utilização, o que ocorre em qualquer
faixa escolar.
Outra pesquisadora que apoia o uso de materiais concretos em sala e adere à
concepção da “escola ativa” é a italiana Maria Montessori, que, através de estudos
com crianças deficientes, nos quais ocorre a valorização dos materiais visual e tátil,
provou que o uso desses recursos também deve ser feito em salas com alunos ditos
“normais”. Reforçando que a aprendizagem surge de uma ação, nesse âmbito,
Azevedo (1979, p.27) afirma que "nada deve ser dado à criança, no campo da
matemática, sem primeiro apresentar a ela uma situação concreta que a leve a agir,
a pensar, a experimentar, a descobrir, e daí, a mergulhar na abstração”.
Nesse mesmo sentido, é possível afirmar que, de acordo com os estudos de
Vale (1999), o uso de materiais concretos torna as ideias abstratas significativas
para a aprendizagem que se dá através do contato com esse material. Portanto,
aprender torna-se um processo ativo de construção do conhecimento, com
significado.
E ainda Montessori (apud FIORENTINI; MIORIN, 1990), afirma em um de
seus estudos que o uso de materiais como o "material dourado", os "triângulos
construtores" e os "cubos para composição e decomposição de binômios, trinômios"
43
é de extrema relevância no processo de ensino, devido à importância destes na
percepção visual e tátil.
Ainda em apoio à utilização dos materiais manipulativos, Chevallard (1991)
salienta que os recursos didáticos são desenvolvidos para facilitar o processo de
ensino. Também Pais (1996) ressalta que estes são utilizados como modelos para
ajudar na representação de conceitos em um primeiro momento, por exemplo, na
contagem de vértices, arestas etc., mas que é preciso atenção para que o aluno não
se torne dependente desses materiais, limitando, assim, seu desenvolvimento em
outros aspectos cognitivos.
No entanto, alguns autores advertem que é preciso ter cuidado com o uso
desses materiais, pois sua utilização deve ter um sentido que leve o aluno a
reflexão. Machand (1990) nos diz que é preciso ter cuidado com as bases
epistemológicas implícitas nesses materiais, como em todos os outros materiais, os
quais podem ser utilizados no processo de ensino, refletindo a respeito para que não
haja uma supervalorização destes.
Nessa mesma linha, Gravemeijer (1991) destaca que trabalhar
constantemente com esses materiais não prepara o aluno para trabalhar sem eles e
que isso se torna um problema no momento de construir termos de relações e
conceitos matemáticos.
Ademais, muitos docentes cometem erros, acreditando que manipulando
recursos didáticos como uma maneira de construção de conceitos ou exemplificação
levará o aluno a atingir o objetivo esperado. No entanto, esta é uma ideia errônea,
pois o aluno é que deve ter acesso a esses materiais: “o aluno tem que mexer nos
materiais, interpretando as suas características e resolvendo os problemas com sua
ajuda.” (ALMIRO, 2004, p.7).
Além do que, esse acesso aos materiais manipulativos não pode ser restrito a
apenas um momento na aprendizagem e depois dispensado como se o dever já
tivesse sido cumprido, ao contrário, seu uso deve ser oportunizado em vários
momentos. Os materiais devem estar sempre ao alcance dos alunos para que estes
possam ter acesso quando acharem necessário no momento da aprendizagem.
Assim, o ato de manipular permite ao aluno experimentar e descobrir padrões e
relações que são essenciais em Matemática (MATOS; SERRAZINA,1996) . Ou seja,
é preciso deixar que o aluno brinque, explore esses recursos e ainda que o
44
professor procure desafiar, questionar o discente para que utilize o material de forma
reflexiva.
Também é preciso que os docentes disponham de maior atenção ao uso
adequado desses materiais para que não ocorra a distorção do objetivo almejado
pelo professor, pois, algumas vezes, buscando auxiliar a aprendizagem do aluno a
partir do uso de recursos didáticos que possam exemplificar ou representar um
conceito, pode ocorrer a inversão didática. Para Pais (1990, p.6), “uma inversão
didática ocorre quando um instrumento pedagógico, idealizado para facilitar o
processo de aprendizagem, passa a ser utilizado como se fosse o próprio objeto de
estudo em si mesmo”.
Alves e Morais (2006, p.338) ainda chamam a atenção para o fato de que
devemos pensar que:
O grande desafio deve ser construir recursos que ajudem a compreender e a desenvolver os conceitos matemáticos e não serem os próprios recursos fontes de dificuldade e o início do insucesso, em Matemática dos alunos.
Outra característica do ensino de Geometria é a utilização de materiais como
o Tangram, que, embora não pareça, é um material complexo que exige reflexão em
seu uso, uma vez necessita de regras que envolvem a construção do desenho e
uma atenção tão cuidadosa como a manipulação de materiais tridimensionais. Por
isso, se o professor não se atentar, o trabalho com esses materiais acaba não tendo
o resultado esperado.
E ainda se tratando do ensino de Geometria, pode-se afirmar que este é
propício para a utilização de materiais concretos, pois em muitos momentos, são
indispensáveis à concretização de situações para a compreensão de problemas e
conceitos.
Almiro (2004, p.8) reforça que:
Na verdade, os modelos físicos podem ser um auxiliar importante, pois o contacto e manipulação das figuras e as transformações que se vão operando com os materiais, através de uma série de tentativas, facilitando a passagem do concreto para o abstracto, podem contribuir para que o aluno construa conhecimento matemático mais sólido e duradouro.
Enfim, o docente deve ter em mente o porquê, como e quando utilizar os
materiais manipulativos, para que o uso desses recursos possa facilitar a
45
aprendizagem. E, ainda é preciso saber que a utilização desses materiais deve ser
realizada de forma reflexiva.
4.3 Nomeação, Identificação e Composição de figuras
Tendo em vista que a Geometria vem de um processo de mais ou menos
2200 anos, para que realmente pudesse ser formalizada como algo importante para
o desenvolvimento humano, as pesquisas sobre esse conteúdo têm ganhado força,
já que muitos, como O’Daffer (1980) e Post (1980), apontam que esta desenvolve
capacidades intelectuais, como a percepção espacial, a criatividade e o raciocínio
hipotético-dedutivo.
Mas, para que esse desenvolvimento aconteça de forma efetiva, é necessário
que uma sequência de conceitos sejam desenvolvidos. Porém, iniciaremos
abordando como são desenvolvidos os conceitos que envolvem as nomenclaturas
no ensino de Geometria.
Segundo o dicionário Michaelis5, nomear tem como significado
1- Designar pelo nome, proferir o nome de; 2- Chamar pelo nome; 3- Proferir o
próprio nome. E no ensino de Geometria, não é diferente. Geralmente, no início da
apresentação dos conceitos geométricos, vários nomes são apresentados aos
alunos para que estes comecem a ter contato com o mundo geométrico.
O trabalho envolvendo nomenclaturas, muitas vezes, tem início na Educação
Infantil, em que os professores começam a apresentar para as crianças as figuras
geométricas e a nomeá-las conforme suas formas, sendo que essa maneira de
trabalho se estende por diversos anos escolares. Vale lembrar que a utilização da
nomeação correta pelo docente no ensino de Geometria é importante, a fim de
minimizar a dificuldade que os alunos demonstram ter em relação às nomeações.
É fácil encontrar-se entre alunos de diferentes séries, ou até mesmo entre professores, aqueles que confundem o cubo com o quadrado; não identificam propriedades comuns ao quadrado e ao losango, ou ao quadrado e ao retângulo. (ARAÚJO, 1994, p.13).
5 Dicionário online. Disponível em:
<http://michaelis.uol.com.br/moderno/portugues/index.php?lingua=portugues-portugues&palavra=nomear>. Acesso em: 23 abr. 2014.
46
Muitos são os alunos que avançam os anos escolares sem ter construído
conhecimentos básicos de Geometria, como é o caso do reconhecimento das
propriedades das figuras. Na maioria das vezes, o ensino se resume à memorização
das nomenclaturas sem criar situações onde o trabalho com a nomeação das figuras
esteja ligado às características delas, individualmente e de uma com a outra, ou
seja, desenvolvendo atividades mais reflexivas.
Dessa forma, devido ao ensino voltado ao memorizar, muitas vezes, o que
ocorre é que depois de trabalhar apenas com figuras regulares, quando o aluno se
depara, por exemplo, com um pentágono irregular, ele não consegue nomeá-lo ou
identificá-lo.
A memorização de uma nomenclatura diferente e precisa introduz
componentes que não são usuais na vida diária. “Tal fato é um dos principais
motivos dificultadores à aprendizagem da Matemática. Portanto, o aprendizado da
Matemática, que depende muito de símbolos próprios e específicos, a tornam mais
inacessível.” (MARKARIAN, 1998, p.24).
Outro aspecto que traz um aprendizado errôneo, quando se trabalha a
nomenclatura, são os termos utilizados para representar algo. Nesse contexto é
comum encontrar atividades ou professores que se referem às faces de uma figura
nomeando-as de lados, decorrendo no uso não coerente das nomenclaturas e na
confusão dos alunos (PAVANELLO, 2001).
Junto ao ensino da identificação estão entrelaçadas as nomenclaturas e a
composição de figuras. Mesmo quando o assunto é a nomenclatura percebe-se que
as dificuldades dos alunos continuam sendo apresentadas, principalmente nos anos
iniciais do Ensino Fundamental.
Verificamos também que os alunos, após cursarem as quatro primeiras séries do Ensino Fundamental e terem supostamente vivenciado situações relacionadas às figuras não planas e planas, continuavam confundindo seus nomes, chamando, por exemplo, o cubo de quadrado, o paralelepípedo de retângulo, bem como não
reconhecendo as mesmas figuras em diferentes posições. (VASCONCELLOS, 2008, p.86).
Talvez isso aconteça porque as figuras são apresentadas aos alunos sempre
da mesma forma ou na mesma posição, restringindo o conhecimento construído
pelos discentes no reconhecimento e na identificação das figuras vistas na escola, e
quando elas mudam de posição ou ambiente se tornam irreconhecíveis para eles.
47
Como exemplo, citamos o ensino de figuras como o triângulo, que, na maioria
das vezes, são apresentadas sempre da mesma maneira, ou seja, sempre de forma
prototípica.
Outra questão é que normalmente o professor, ao ensinar Geometria, não se
preocupa “[...] em trabalhar as relações existentes entre as figuras, fato esse que
não auxilia o aluno a progredir para um nível superior de compreensão de
conceitos.” (PAVANELLO, 2001, p. 183).
Há também o reconhecimento e a identificação de figuras planas
bidimensionais e tridimensionais. Muitos discentes não conseguem identificar as
características que os diferenciam. Um estudo realizado por Vasconcellos (2009),
com alunos da 4ª série, demonstrou que muitas crianças não conseguiam identificar
as figuras apresentadas de forma tridimensional.
Fica claro que embora seja importante o aluno saber nomear e identificar as
figuras geométricas, o professor não deve se prender apenas a esses aspectos. Do
mesmo modo, é preciso ter cuidado na classificação dos materiais a serem utilizados
com os alunos, para que não sejam selecionados aqueles que se preocupam
somente com esta parte do ensino de Geometria. Embora a falta desse conteúdo
prejudique o desenvolvimento do aluno, um trabalho somente voltado a este também
não traz benefícios a ele.
Desde os estudos de Alarcón (1978 apud PANIZZA, 2006, p. 176) é visto que
o ensino de Geometria em nossas escolas se reduz a fazer com que nossos
estudantes memorizem os nomes das figuras, os mapas geométricos e as fórmulas
que servem para calcular áreas e volumes. Ao estar em contato com esta
concepção de ensino o aluno não é preparado para que seja capaz de resolver
problemas advindos de situações cotidianas e que estão além dos muros da escola.
Nesse sentido, os PCN ressaltam a importância do constante trabalho de
observação e construção de figuras para que o aluno possa perceber as
semelhanças e diferenças entre elas e, a partir dessa exploração, reconhecer figuras
tridimensionais e bidimensionais, bem como a identificação de suas propriedades.
O trabalho realizado envolvendo nomenclaturas deve ser dosado. O aluno
deve saber as terminologias, porém não deve estar preso somente a elas. Já no
desenvolvimento de identificação e composição de figuras é preciso que esses
conceitos sejam desenvolvidos de maneira diversificada e que busque o raciocínio
48
do aluno, e não somente a memorização de imagens, para que ele consiga fazer o
uso da Geometria em qualquer situação vivenciada e não somente no interior das
salas de aula, como obrigação escolar.
4.4 A relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais
Diante do assunto abordado na seção anterior, fica clara a importância de um
ensino onde os alunos não sejam apenas incentivados a decorar ou reconhecer a
denominação de figuras, mas que possam distinguir as características que as
tornam semelhantes ou não. Por esse motivo, esta seção trata de observar como a
literatura relata a importância de estabelecer relações entre as figuras
bidimensionais e tridimensionais.
Visualizar e reconhecer as figuras bidimensionais e tridimensionais é uma
tarefa complexa para a maioria dos alunos, que não conseguem nem mesmo
conceituar essas figuras e demonstram dificuldades na sua leitura e visualização.
No entanto, essa dificuldade não é algo atual ou fruto dos novos modelos de
Ensino. A dificuldade na representação (desenho) e na leitura das formas
bidimensionais e tridimensionais ocorre desde a antiguidade.
Diferentes povos vivenciaram maneiras peculiares de transpor para uma
superfície plana o espaço, imbricadas em uma cultura visual própria. “Os egípcios
utilizavam a perspectiva horizontal, os hindus a perspectiva irradiante, os chineses e
os japoneses a perspectiva a vôo de pássaro, os próprios bizantinos a perspectiva
invertida.” (DEBRAY, 1993, p. 230).
Mesmo sendo uma questão estudada desde a antiguidade é comum
encontrar alunos e professores que admitem ter dificuldade com o trabalho
geométrico, principalmente em se tratando das figuras bidimensionais e
tridimensionais. Como já mencionado, muitos não reconhecem nem diferenciam os
conceitos que as envolvem.
Vasconcellos (2008) sugere que a maioria dos alunos não consegue distinguir
as imagens planas das não planas, isto devido à maneira como as figuras
geométricas têm sido trabalhadas. Provavelmente, as figuras planas estão sendo
49
estudadas sem relação com as não planas. É possível, também, que sejam
escassas as atividades que envolvam, relacionem ou distingam as figuras não
planas de suas representações gráficas. Ou seja, esses conceitos são trabalhados
separadamente, como se não houvesse relações entre eles, o que caracteriza que o
professor trabalha esses conteúdos em momentos distintos e o aluno não consegue
fazer relações entre essas figuras e, muito menos, estabelecer suas diferenças.
A relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais deve estar
presente no estudo da Geometria, já que quase todo o tempo estamos em contato
com elas em nosso cotidiano. É recomendada a criação de atividades nas quais as
crianças sejam envolvidas em situações que privilegiem “[...] a percepção de
semelhanças e diferenças entre cubos e quadrados, paralelepípedos e retângulos,
pirâmides e triângulos, esferas e círculos.” (BRASIL 1997, p.73).
Muitos docentes dão ênfase a cálculos na Geometria ou à nomeação das
figuras, esquecendo-se de outros conceitos que também fazem parte desse
conteúdo, como a composição e o estudo das caracteristicas dessas figuras ou a
relação delas com o cotidiano. Moron (1999) aponta que as graduações que formam
professores para atuar nas séries iniciais deixam falhas nos estudos que englobam o
trabalho com as figuras geométricas, planas e não planas. E que isso faz com que
esses profissionais se sintam inseguros no planejamento levando-os a selecionar os
conteúdos que irão lecionar, comprometendo a aprendizagem do aluno.
Alguns professores, e talvez os livros didáticos, não estão desenvolvendo
atividades ou aspectos teóricos que demonstram a importância de entender as
figuras bidimensionais e tridimensionais, compreendendo suas características.
Kallef (1994) explica que nos dias atuais, ao trabalhar com a Geometria, a
escola ainda sofre influência do Movimento da Matemática Moderna, que
desconsidera o mundo tridimensional em que vivemos e prioriza os desenhos sobre
superfícies planas, a repetição, a classificação e a memorização das nomenclaturas
das figuras planas, relegando a um momento posterior a exploração e a
manipulação dos sólidos geométricos.
Dessa maneira, mais uma vez, é notada a falta de relação entre os aspectos
bidimensionais e tridimensionais. A partir da minha experiência como docente posso
relatar que a maioria dos professores, principalmente da Educação Infantil, por
50
diversas vezes se utilizam de objetos tridimensionais focando apenas uma face
deles para utilizar como exemplo de figura plana.
Nessa mesma linha de pensamento, Kazanowski (2010) relata que a priori o
ensino da Geometria é feito a partir de pontos e retas, conceitos estes que são
abstratos aos alunos. Dessa maneira, seria mais conveniente que o estudo da
Geometria se inicie pelas formas tridimensionais, de modo que a criança seja capaz
de abstrair as noções de poliedros, corpos redondos, face, aresta e vértice. Embora
estas também sejam noções abstratas os objetos utilizados se caracterizam como
concretos.
Assim, fica evidenciada a necessidade de propor explorações do espaço
tridimensional. As crianças habitam um mundo tridimensional, lidam com objetos
tridimensionais em seu cotidiano, os quais servem de modelos para as figuras
geométricas. Portanto, a tradição de trabalhar quase que exclusivamente com
figuras planas no Ensino Fundamental precisa ser rompida. A relação do aspecto
tridimensional com o bidimensional, tanto no estudo de Geometria quanto no
cotidiano, nos leva a concordar com Campos (2001). Para a autora, “é somente a
partir de figuras tridimensionais que as bidimensionais planas ganham sentido”
(VASCONCELLOS, 2011, p.86).
Também Kazanowski (2010) relembra que o ensino das figuras
bidimensionais surge em meio aos conceitos das figuras tridimensionais, mais
propriamente quando o professor dá início ao trabalho com planificações, etapa em
surgem alguns polígonos.
A partir do estudo das formas bidimensionais o professor tem em mente que
trabalhar com elas é apenas levar o aluno a conhecer e a desenhar quadrados,
retângulos etc. No entanto, sabe-se que o estudo delas é algo bem mais complexo.
Segundo a Matriz de Referencial da Matemática IDEB-SAEB/ Prova Brasil, referente
aos quadriláteros:
Por meio de figuras, ele (o aluno) deve ser capaz de reconhecer as características próprias dos quadriláteros e perceber que um quadrilátero satisfaz as definições do retângulo e do losango, que um paralelogramo satisfaz as definições do trapézio, e que tanto o losango quanto o retângulo satisfazem a definição do paralelogramo. (BRASIL, 2007).
51
Os PCN (BRASIL, 1998) ainda ressaltam outras características importantes
para o trabalho com essas figuras, tais como:
• A importância do constante trabalho de observação e construção de
figuras para que o aluno possa perceber as semelhanças e diferenças
entre elas e, a partir dessa exploração, reconhecer figuras tridimensionais
e bidimensionais, bem como a identificação de suas propriedades;
• A composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando
diferentes possibilidades de identificação de simetria em figuras
tridimensionais;
• Exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais.
Identificação de figuras poligonais e circulares nas superfícies planas das
figuras tridimensionais.
Assim, todas essas características podem ser desenvolvidas através da
maneira como os conteúdos são trabalhados pelo professor e apresentados aos
alunos ou através de atividades propostas para esse público, as quais devem ser
elaboradas pelo docente, ou encontradas nos livros didáticos, já que o objetivo
desse material é abranger, de forma significativa, os conteúdos geométricos.
Perante os aspectos de literatura apresentados, a seguir será realizada uma
análise dessas categorias nos livros didáticos selecionados, com o intuito de
observá-los.
53
5 UMA ANÁLISE REFLEXIVA SOBRE OS LIVROS DIDÁTICOS
Neste capítulo serão apresentados e analisados os dados da pesquisa
considerando as resenhas divulgadas no Guia do Livro Didático (BRASIL, 2013),
junto aos aspectos de literatura previamente abordados. Reforçando que esta
pesquisa tem como propósito observar como alguns livros didáticos aprovados pelo
PNLD apresentam alguns conceitos geométricos.
5.1 Apresentação dos itens das resenhas divulgadas no Guia do Livro Didático
e utilizados na análise
Iniciaremos pelo livro Ápis (DANTE, 2012). Segundo o Guia (BRASIL, 2012),
o item denominado “Visão Geral” sobre a obra afirma que:
A coleção favorece a construção do conhecimento por meio de situações contextualizadas que valorizam a interação e a discussão entre os alunos. São apresentadas algumas situações problema com as explicações dos procedimentos e, em seguida, propostas diversas atividades. No entanto, poucas propiciam o desenvolvimento da capacidade investigativa, a utilização de diferentes estratégias de resolução e a comparação entre elas. Em vários momentos, há excesso de conteúdos, especialmente no campo de números e operações. Em geometria, a notação matemática recebe uma atenção maior do que a recomendável. (BRASIL, 2012, p.156).
Sobre a “Descrição da obra”, apresenta-se o seguinte:
Os livros estruturam-se em capítulos, cujos conteúdos são apresentados por páginas ilustradas que mostram situações conhecidas das crianças, associadas aos assuntos a serem abordados. Segue-se uma sequência de atividades intercaladas pelas seções: Desafio; Bate-papo; Você sabia que...; Vamos Ler?; Você vai gostar! E Brincando também se aprende, as quais estimulam a interação entre alunos. Ao final de cada capítulo, encontram-se, também, as seções: Vamos ver de novo? E o que estudamos, estas últimas com sugestões de atividades para a família desenvolver com os alunos. Os volumes são concluídos por seções que trazem brincadeiras relacionadas ao período de férias, por exemplo; desafios para que as crianças escrevam sobre o que mais gostaram de estudar em Matemática durante o ano; glossário e bibliografia da obra, além das seções
54
especiais, que relacionam a Matemática com temas transversais: no 4º ano, Matemática e meio ambiente e, no 5º, Matemática e trânsito. (BRASIL, 2012, p.156).
Já na “Distribuição dos conteúdos”, atentando-se para o quinto ano, é
possível observá-la a partir do gráfico, o qual ilustra a proporção dos conteúdos
presentes no Guia (Brasil, 2012, p.158):
Figura 9 - Distribuição dos campos por volume – (DANTE, 2012)
Fonte: Guia (Brasil, 2012, p.158)
Assim, os “Conteúdos geométricos” desenvolvidos nesse livro foram
avaliados da seguinte forma:
A abordagem dos conteúdos do campo apoia-se em muitas classificações e em nomenclatura. Além disso, há poucas investigações e excesso de notação. Nos dois volumes, o estudo das figuras geométricas planas é realizado a partir dos sólidos e suas planificações, o que é adequado. O trabalho com localização, feito por meio de plantas e maquetes, é reduzido. As noções de ângulo e de ampliação e redução de figuras geométricas também são pouco focalizadas. (BRASIL, 2013, p.158).
O último aspecto observado no Guia é a questão da “Metodologia” de Ensino
utilizada pelo autor na obra:
A coleção parte de situações que resgatam conhecimentos já trabalhados anteriormente, associadas a conceitos extraescolares, cujo objetivo é ampliar e aprofundar a abordagem dos conteúdos. Estes são apresentados com base em explanações teóricas ou em exemplos, seguidos de propostas de atividades. Os alunos são incentivados a elaborar e verificar estratégias para a solução de problemas e a formular problemas. Diversas seções envolvem contextos significativos e possibilitam a interação e as discussões entre os alunos. A Matemática é articulada com diversas áreas do conhecimento e com temas da atualidade, o que favorece a educação para a cidadania. Atividades com várias soluções, desafios e jogos são um destaque na obra, assim como aquelas que envolvem o uso da calculadora, o cálculo mental e por estimativas. Os materiais concretos sugeridos são diversos, mas poucos têm o
55
seu manuseio valorizado. O Manual do Professor traz orientações que podem incentivar o uso adequado dos recursos didáticos e auxiliar os docentes na elaboração de estratégias que ajudem na construção de conceitos pelos estudantes. (Brasil, 2012, p.158, grifo do autor).
Já no livro Projeto Buriti (GAY, 2011), de acordo com a avaliação realizada
pelo PNLD, o Guia (BRASIL, 2012) traz, no item denominado “Visão Geral”, as
seguintes considerações:
Na metodologia adotada, a sistematização de muitos conteúdos é feita com base na resolução de atividades pelos alunos. No entanto, a apresentação dos conceitos e procedimentos não oferece oportunidades suficientes para que o aluno desempenhe um papel mais ativo na aprendizagem. As unidades são iniciadas com cenas do cotidiano, seguidas por questões referentes aos conteúdos a serem trabalhados. A obra traz situações adequadas para que se abordem temas transversais ou de outras áreas do conhecimento. O campo de números e operações recebe atenção privilegiada, mas os demais campos ocupam espaço razoável, o que é um ponto positivo da coleção. Acertadamente, são feitas sucessivas retomadas dos conteúdos apresentados, ao longo da coleção. Contudo, muitas vezes são encontradas repetições dispensáveis. De modo geral, há articulações entre os campos da matemática escolar. A presença de diferentes jogos em uma seção final dos volumes pode contribuir para a retomada de conteúdos abordados, bem como para a interação entre os alunos. (BRASIL, 2012, p.223).
Na seção de “Descrição” sobre o livro é relatado como este é organizado e
como são desenvolvidos os conteúdos:
Cada livro organiza-se em nove unidades. No início de cada volume, detalha-se a organização da obra e são apresentados os ícones que indicam estratégias de cálculo e o trabalho com temas transversais. As aberturas das unidades contêm sempre cenas da vida cotidiana para que alunos façam observações, reflitam e discutam com os colegas, auxiliados pela mediação do professor. Nas aberturas encontram-se, também, as seções Para começar e Para refletir, com questionamentos aos alunos sobre o conteúdo da unidade. Em seguida, são propostas Atividade de problemas variados, organizados por tópico do conteúdo abordado. Os dois volumes incluem as seções: Compreender problemas, Compreender informações, Matemática em textos, A Matemática me ajuda a ser..., Matemática em jogos e Para terminar. No final de cada livro, há sugestões de leituras, material para decalcar, glossário e bibliografia utilizada. (BRASIL, 2012, p.223).
O gráfico abaixo, encontrado no Guia (BRASIL, 2012, p.225), apresenta a
quantidade de espaço trabalhado com cada conteúdo.
56
Figura 10 - Distribuição dos campos por volume – (GAY, 2011)
Fonte: Guia (BRASIL, 2012, p.225)
Na “Abordagem” dos conteúdos, é apontado que:
Neste campo, enfatizam-se as classificações e a identificação de nomenclatura, com base em observações de imagens e na formalização precoce. São raras as oportunidades em que os alunos são chamados a manusear objetos, fazer experimentos e a generalizar. Em uma unidade do volume 5, é realizado um trabalho mais formal com a geometria plana, que parte do conceito de reta e chega à classificação de propriedades dos triângulos e quadriláteros. (BRASIL, 2012, p.225).
Ao término o Guia (BRASIL, 2012, p.225) apresenta a “Metodologia” proposta
na coleção.
Na coleção, opta-se por se sistematizar muitos conteúdos a partir da resolução de atividades. No entanto, a apresentação de conceitos e procedimentos é um tanto diretiva e oferece poucas oportunidades para que o aluno tire conclusões próprias, estabeleça hipóteses e proponha estratégias pessoais. De forma geral, os contextos envolvem práticas sociais relacionadas aos temas transversais, como saúde, meio ambiente e pluralidade cultural. Além disso, são frequentes as articulações com outras áreas do conhecimento. Dessa forma, possibilitam-se reflexões sobre a prática cidadã. No entanto, é limitado o aproveitamento das situações para discussões mais ricas tanto do ponto de vista dos contextos quanto das conexões da matemática escolar com outros saberes. O uso de materiais concretos é pouco incentivado na obra.
Enfim, o terceiro livro, Matemática (IMENES; LELLIS; MILANI, 2011), o Guia
apresenta a seguinte avaliação sobre essa obra no item “Visão Geral”:
A metodologia adotada na obra pauta-se na resolução de problemas, o que contribui para uma construção significativa dos conhecimentos. Os conceitos são estudados em diferentes situações, favorecendo a investigação de propriedades e de regularidades. Incentiva-se a interação por meio de jogos e trabalho em grupos ou em duplas. Essa estratégia contribui para a apropriação e o uso correto da linguagem e da argumentação matemáticas. Em especial,
57
a seção Conversar para aprender sempre abre espaço para o aluno observar padrões, explicar e justificar situações propostas. Há uma variedade de textos voltados para questões ambientais e para práticas sociais atuais, a partir dos quais são bem explorados conhecimentos matemáticos. O Manual do Professor traz valiosas contribuições para o trabalho em sala de aula. (BRASIL, 2012, p.202).
No item de “Descrição”, são feitas as seguintes considerações:
Um texto dirigido ao aluno e denominado Seu livro é assim... apresenta cada um dos volumes. Estes são estruturados em quatro unidades, subdivididas em itens. No sumário, os diferentes campos da Matemática são identificados por cores. As unidades são abertas com a seção Primeiros contatos, seguem-se as seções Vamos?, Veja se já sabe, Conversar para aprender e Refletindo Mais. No final, são apresentados um Glossário Temático e indicações de leitura, tanto na seção De leitor para leitor quanto na bibliografia da obra. Diversos ícones indicam como algumas atividades devem ser resolvidas: oralmente, em dupla, em grupo, no caderno, com a calculadora e por cálculo mental. (BRASIL, 2012, p.202).
Já a “Divisão dos conteúdos” o Guia (BRASIL, 2012, p.203) exibe o seguinte
gráfico:
Figura 11 - Distribuição dos campos por volume – (IMENES, LELLIS; MILANI, 2011)
Fonte: Guia (BRASIL, 2012, p.203)
Sobre os “Conteúdos geométricos”, são abordados os seguintes aspectos:
Os conteúdos do campo são desenvolvidos com base na exploração e na investigação de propriedades das figuras geométricas planas ou espaciais, sem ênfase em definições. Em muitas atividades, propõe-se o uso de diferentes materiais concretos nas construções geométricas, o que amplia a descoberta de regularidades e de propriedades. As atividades com mapas são bem exploradas. (BRASIL, 2012, p.204).
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Já quanto a “Metodologia” apresentada afirma que:
A metodologia adotada na obra contribui para a autonomia e para a formação cidadã do aluno. Isso ocorre, especialmente, por se atribuir às crianças um papel central na aquisição dos conceitos matemáticos e por se incentivar a discussão de temas atuais e pertinentes à Matemática. Em geral, o conteúdo é apresentado por meio de situações problema relacionadas ao cotidiano dos alunos. Seguem-se propostas de atividades, às vezes acompanhadas de sistematizações. Em outras atividades, essa tarefa de organização do conhecimento é delegada ao professor. A interação entre os alunos é incentivada por meio de jogos, de atividades em grupos ou em duplas e de discussões em sala de aula. A calculadora é utilizada para a investigação de propriedades e de cálculos com “números grandes”; suas aplicações são discutidas na realização das atividades. O manuseio de material concreto é valorizado, assim como o uso de moldes, disponíveis no Manual do Professor. (BRASIL, 2012, p.204, grifo do autor).
A seguir será apresentada a descrição dos elementos analisados.
Ressaltamos que a apresentação destes, assim como a análise, foram separadas
por categorias e iniciadas pelo livro de Dante (2012), seguidas pelo de Gay (2011) e,
por fim, pelo de Imenes, Lellis e Milani (2011).
5.1.1 Descrições sobre as obras analisadas
Nesta seção são apresentados, de forma descritiva, os exercícios e demais
elementos que foram analisados nas obras estudadas. É importante frisar que esta
descrição foi realizada por categorias, mantendo a ordem dos livros como descrita
no item anterior.
A primeira categoria a ser observada é denominada Aspectos Cotidianos.
Na obra de Dante (2012), os conteúdos de Geometria se encontram em dois
capítulos dos 11 existentes, sendo eles os capítulos 2 e 9. O capítulo 2, intitulado
“Geometria”, trata dos sólidos geométricos, sendo que o exercício inicial traz figuras
cotidianas para serem relacionadas, de acordo com a forma apresentada, ao
respectivo nome. Nessa atividade, também é esperado que o aluno esboce, através
de desenhos, o sólido correspondente.
59
Figura 12 - Sólidos Geométricos
Fonte: DANTE, 2012, p.28.
Nesse mesmo exercício, é solicitado que o aluno identifique através de nomes
de objetos cotidianos se eles podem ser classificados como poliedros ou corpos
redondos, e, sugere que se faça um esboço deles.
O segundo exercício, relaciona conteúdos geométricos aos aspectos
cotidianos, traz o estudo das regiões planas relacionando-as com as placas de
trânsito. Nele, o objetivo é que o aluno preencha uma tabela que deve conter o
nome do contorno formado pelas placas e o significado delas no trânsito. Para isso,
a atividade conta com 9 placas.
Figura 13- Regiões planas e as placas de trânsito
Fonte: DANTE, 2012, p. 50.
60
Também foram observadas atividades cujo enunciado demanda ao aluno o
reconhecimento de objetos que lembrem figuras geométricas, de acordo com as
características mencionadas, como faces iguais e assim por diante. E, ainda, um
exercício que solicita que o aluno identifique na sala de aula objetos que dão ideia
de regiões planas.
O capítulo 9 desse material, denominado “Retomando a Geometria”, se
inicia com a figura de duas pessoas andando de bicicleta. O intuito da imagem é
despertar o interesse do aluno pela roda da bicicleta, destacando que é uma
circunferência e que este será um dos assuntos abordados pelo capítulo.
Figura 14 - Retomando a Geometria
Fonte: DANTE, 2012, p.194.
Nesse mesmo capítulo, a relação com o cotidiano também aparece quando
o autor aborda os polígonos e utiliza figuras do cotidiano para relembrar esse
conceito. No exercício abaixo, é solicitada a indicação de quais placas dão a ideia de
triângulo, quadrilátero, pentágono ou hexágono.
61
Figura 15 - Figuras planas de nosso cotidiano
Fonte: DANTE, 2012, p. 209.
Logo na sequência, tem-se uma atividade na qual aparecem três placas de
trânsito para o aluno identificar os polígonos regulares.
Figura 16 - Polígono
Fonte: DANTE, 2012, p. 210.
Também foi observado um exercício relacionado ao conceito de círculos e
circunferências, no qual o autor pede para que a criança trace três circunferências
de tamanhos diferentes utilizando moedas. Nessa atividade aparecem outros
materiais relacionados ao cotidiano, como uma lata de batatas, junto a um material
essencialmente escolar – o compasso.
62
Figura 17 - Desenhando circunferências
Fonte: DANTE, 2012, p. 214.
Partindo para o livro de Gay (2011), nota-se que este traz os conceitos de
Geometria em 2 dos 9 capítulos existentes, sendo estes os capítulos 3 e 8.
Iniciando a descrição pelo capítulo de número 3, o qual é nomeado
“Geometria”, apresenta-se a imagem de uma construção. O aluno deve observá-la e
registrar os objetos na obra que se assemelham às figuras geométricas não planas.
Figura 18 - Geometria
Fonte: GAY, 2011, p. 60.
O exercício seguinte é sobre corpos redondos e poliedros, onde aparecem
nomenclaturas como esferas, cone, cilindro, paralelepípedos, pirâmide e é solicitado
que se desenhe ou escreva objetos cotidianos que lembrem essas figuras.
Em seguida há uma atividade com cortes em velas, que demanda ser
assinalada a região plana encontrada após as velas serem cortadas.
63
Figura 19 - Cortando velas
Fonte: GAY, 2011, p.63.
Nesse mesmo capítulo, nas páginas nomeadas de “Atividades”, é identificada
uma tarefa em que se devem classificar os objetos cotidianos em corpos redondos
ou poliedros.
Figura 20 - Identificando Corpos Redondos
Fonte: GAY, 2011, p.70.
O último exercício envolvendo aspectos cotidianos desse capítulo apresenta
um cavalo preso a uma corda e esta amarrada em uma estaca presa ao chão, sendo
que a tarefa é citar qual figura geométrica representa a área em que o cavalo
consegue pastar.
Figura 21 - Observando o cavalo
Fonte: GAY, 2011, p.71.
64
Ainda nesse capítulo, diante dos conceitos sobre as circunferências e os
círculos, outro exercício requer que o aluno escreva três objetos que sejam
parecidos com o círculo e com a circunferência.
Figura 22 - Círculos e circunferências
Fonte: GAY, 2011, p. 69.
No capítulo 8, intitulado “Mais Geometria”, há uma questão em que aparecem
triângulos formados por palitos de fósforos, onde o aluno deve relacionar
semelhanças e diferenças entre os triângulos, de acordo com a medida dos lados.
Figura 23 - De olho nos triângulos
Fonte: GAY, 2011, p. 220.
Já na seção em que são trabalhados os paralelogramos, o exercício,
representado na figura 24, exige que se descreva as figuras, pensando em uma
pessoa que não as conheça.
65
Figura 24 - Paralelogramos
Fonte: GAY, 2011, p. 224.
Em outra atividade analisada, aparecem figuras de objetos que devem ser
apontadas de acordo com os paralelogramos que se parecem.
Figura 25 - Paralelogramos no cotidiano
Fonte: GAY, 2011, p. 225.
O último livro analisado foi escrito por Imenes, Lellis e Milani (2011).
Lembrando que esse material didático é dividido em Unidades e os conteúdos de
Geometria aparecem no decorrer do livro, não sendo centralizados em capítulos
específicos.
O primeiro exercício identificado nessa categoria encontra-se junto aos
conceitos de círculos e circunferências, sendo este um problema matemático que
relaciona o conceito de raio e perímetro, através da medida de uma caixinha de CD
(quadrado).
66
Figura 26 - De olho no problema
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p.93.
Nesse exercício é proposta uma nova situação problema envolvendo um
acontecimento cotidiano e o conceito de círculo.
Figura 27 - Círculos
Fonte IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p.93.
A outra tarefa propõe que o aluno deve montar uma embalagem para um
produto a seu gosto, que deve ter a forma de um prisma e ser apresentado de modo
planificado.
Figura 28 - Criando produtos e embalagens
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p. 191.
Em outro exercício, aparecem objetos cotidianos nos quais se devem
identificar as formas geométricas relacionadas a eles.
67
Figura 29 - Reconhecendo formas espaciais
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p.192.
Na última atividade analisada é proposto que a partir de figuras reais se
reproduza a mesma imagem utilizando régua e compasso, ou seja, para que ao
construir essa figura sejam percebidas as formas geométricas nela existentes.
Figura 30 - Paisagens
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p.134.
5.1.2 Manipulação e Concretização
Nessa categoria de análise, procurou-se observar as atividades que
proporcionam ao aluno a oportunidade de manipulação ou de concretização dos
conceitos geométricos ligados às figuras bidimensionais e tridimensionais. Ou seja,
68
foram elencados os exercícios que levam o discente a manipular e ter acesso a
materiais concretos que venham auxiliar na construção de conceitos geométricos.
As atividades em que o professor é quem utiliza os materiais concretos não
se enquadram nessa categoria, pois estes são classificados, nesta pesquisa, como
recursos didáticos e não materiais manipuláveis.
No livro de Dante (2012), nota-se que a maior parte de sugestões e ideias de
como desenvolver atividades com materiais manipuláveis aparece na área de
orientações ao professor e propõe o uso de materiais diversos nas atividades a
serem realizadas pelos alunos.
Exemplo disso é o exercício abaixo, no qual, é sugerido que durante o ensino
dos sólidos geométricos se utilize o material dourado como material manipulável na
realização dessa atividade.
Figura 31 - Material Dourado
Fonte: DANTE, 2012, p. 28.
O mesmo acontece na atividade de número 3, com os exercícios que
exploram a planificação e a construção dos sólidos. O autor sugere que sejam
entregues aos alunos os moldes planificados esperando que, através da
observação, eles respondam qual deles resultará na construção de um cubo. Após
obter a resposta deve-se deixar que o discente monte o molde para confirmar ou
não sua hipótese.
69
Figura 32 - Montando Cubos
Fonte: DANTE, 2012, p. 34.
Na atividade abaixo, que envolve contornos, nas orientações ao professor é
proposto que se utilizem materiais concretos como moedas, barbantes e palitos para
a realização da atividade.
Figura 33 - Contornos
Fonte: DANTE, 2012, p. 38.
Já a atividade de número 3 também se refere a contornos e sugere a sua
realização de maneira concreta.
70
Figura 34 - Contornando fases
Fonte: DANTE, 2012, p. 39.
E, por fim, no exercício 4, que traz a relação entre a resolução de problemas e
os conceitos geométricos é recomendado que a situação problema apresentada seja
concretizada utilizando os próprios alunos para representarem cada fase da tarefa,
como é observado na figura abaixo.
Figura 35 - Aperto de mãos
Fonte: DANTE, 2012, p. 43.
Após a resolução da atividade e construção do hexágono com os discentes,
estes farão a representação através de um desenho no caderno, no qual cada
vértice corresponde uma pessoa e cada cumprimento interpreta um segmento de
reta.
Ao final do livro, encontram-se também modelos impressos de sólidos
geométricos planificados, que podem ser construídos e utilizados para a realização
de exercícios.
No livro de Gay (2011), notou-se que durante as atividades propostas aos
alunos não foram registradas tarefas que os levassem a explorar ou manipular os
materiais. Porém, nas orientações para o professor há algumas sugestões para a
concretização dos conceitos geométricos e a manipulação de formas.
71
Nessas orientações existe um texto intitulado Espaço e Forma, o qual coloca
a importância de se desenvolver conceitos geométricos e que estes devem ir além
da identificação e nomeação de figuras. Em seguida, são apresentadas orientações
específicas para cada um dos conteúdos que envolvem a Geometria. Propõe-se que
sejam levados para a sala de aula exemplos de figuras planas e não planas, como
sugestão de manipulação e concretização desses conceitos, para que as ideias dos
alunos sobre elas sejam discutidas.
Outro exercício que sugere o manuseio de materiais parte de manchas de
tinta feitas por objetos tridimensionais em uma folha de papel. Antes de trabalhar
com esse exercício é proposto ao professor que sejam utilizadas diferentes
embalagens, que deverão ser levadas para a sala pelos alunos. Eles devem pintar
uma das faces de cada embalagem e carimbá-la em uma folha de papel sulfite,
instigando os discentes a responderem com o que essas figuras planas, esses
carimbos, se parecem.
Figura 36 - Pintando peças
Fonte: GAY, 2011, p. 64
Nas atividades relacionadas aos conceitos de círculo e circunferência é
sugerido ao docente que este reproduza a atividade abaixo com os alunos, para que
eles possam observar a diferença entre círculo e circunferência e registrar suas
conclusões. Outra ideia, para essa mesma atividade, é que se desafie o aluno a
representar essas mesmas figuras sem lápis e papel.
Assim, o objetivo dessa atividade é levar o discente a visualizar, através de
materiais diversos, os conceitos de círculo e circunferência.
72
Figura 37 - Observando figuras
Fonte: GAY, 2011, p. 68
Nesse mesmo material, no capítulo 8, são abordados alguns conceitos sobre
losangos, retângulos e quadrados. A primeira atividade que leva à manipulação ou
concretização dos conceitos trabalhados está localizada na parte destinada ao
professor (Manual do Professor). E é sugerido a ele que, por meio de palitos de
fósforos ou palitos de sorvete, proponha aos discentes a construção de diferentes
triângulos.
Figura 38 - Formando triângulos com palitos
Fonte: GAY, 2011, p. 149
Outra atividade proposta é que o professor consulte o site do Centro de
Divulgação Científica e Cultural da Universidade de São Paulo (CDCC/USP) e veja
como construir um Tangram, a partir de dobraduras, e propor problemas diversos
aos alunos, tais como:
73
Construa triângulos usando, de diferentes maneiras, três peças do Tangram.
Quantas maneiras você encontrou?
Figura 39 - O uso do Tangram
Fonte: GAY, 2011, p. 150
Na seção dos quadriláteros, no Manual, o livro sugere como atividade de
exploração de paralelogramos que se distribuam algumas figuras reproduzidas em
folhas de papel sulfite e que os alunos as recortem. Em seguida, orienta a fazer um
corte em cada paralelogramo de modo que possam construir um ou mais trapézios.
Figura 40 - Explorando paralelogramos
Fonte: GAY, 2011, p.152
Por fim, esse livro didático traz uma seção denominada “Para Terminar”, onde
há uma atividade (fig. 41), na qual é desenvolvida a criação de figuras a partir da
justaposição dos triângulos construídos.
74
Figura 41 - Justaposição de triângulos
Fonte: GAY, 2011, p. 230
Ainda nessa mesma categoria, passa-se à observação do livro de Imenes,
Lellis e Milani (2011). Nesse material, uma primeira atividade de manipulação
aparece ao discutir como utilizar um compasso na construção de uma
circunferência.
Figura 42 - Usando compasso
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p. 90
A partir dessa proposta o aluno deve construir desenhos geométricos em
malhas quadriculadas, como sugere o livro.
75
Figura 43 - Utilizando Malhas
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p. 91
Em seguida é apresentada uma atividade com um círculo de papel, o qual
deve ser dobrado para a construção do conceito de perpendicularidade. A partir
deste são criados outros desenhos, como ilustra a imagem abaixo.
Figura 44 - Dividindo círculos
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p. 92
Reforçamos que nas duas atividades o foco não está na realização dos
desenhos no caderno ou na malha quadriculada, mas, sim, na construção do círculo
por meio do compasso e na realização das dobras (círculos), as quais irão originar o
conceito de perpendicularidade.
Na página 191 (IMENES; LELLIS; MILANI, 2011) é proposta uma atividade
que, a partir de planificações fornecidas pelo professor, o aluno deve construir um
sólido geométrico e transformá-lo em embalagem de algum produto criado por ele.
Esta atividade já foi mencionada na primeira categoria de análise (Figura 28), mas,
lhe faz jus citar novamente devido ao fato de que o aluno deve manipular
planificações e, a partir delas, construir sua embalagem. Este é o último exercício
76
que propõe a manipulação e concretização de conceitos geométricos na parte
analisada por esta pesquisa.
5.1.3 Nomenclatura, Identificação e Composição
Nesta categoria analisamos como os livros desenvolveram os conceitos que
envolvem nomenclatura, identificação e composição de figuras. Seguindo o mesmo
critério de análise, o primeiro livro trabalhado foi o de Dante (2012).
Iniciando pelo capítulo 2 desse material, verifica-se, na página 28, o exercício
1, lembrando que essa atividade já foi mencionada na primeira categoria desta
pesquisa (Figura 12), e traz como proposta de atividade a relação
objeto/nomenclatura de sólidos, sendo figuras tais como: bola, dado, caixas etc.
Em seguida, na página 30, aparecem três exercícios sobre a classificação de
poliedros e corpos redondos. O exercício de número 1 pede para que o aluno
classifique os desenhos em poliedros e corpos redondos.
Figura 45 - Diferenciando poliedros de corpos redondos
Fonte: DANTE, 2012, p.30
Já no exercício de número 2 é preciso escrever a diferença entre poliedro e
corpo redondo. E, no exercício de número 3, devem-se desenhar os objetos citados
e depois classificá-los em poliedros e corpos redondos.
77
Figura 46 - Diferenciando poliedros de corpos redondos
Fonte: DANTE, 2012, p.30
Logo após, o enunciado do exercício de número 4 traz as definições de
vértice, aresta e face, solicitando a localização dessas partes no paralelepípedo.
Figura 47 - Fases, arestas e vértices em poliedros
Fonte: DANTE, 2012, p.30
Na atividade de número 5 o aluno deve indicar o nome de um poliedro que
possua todas as faces iguais e desenhá-lo no caderno.
Já o exercício de número 6 sugere que eles analisem os poliedros
desenhados e respondam as perguntas sobre eles.
Figura 48 - Analisando poliedros
Fonte: DANTE, 2012, p.30
Na página 31, o livro traz como título: Principais Poliedros, dando ênfase aos
prismas e as pirâmides e eles são conceituados em forma de exercícios.
78
Dessa forma, o exercício de número 1 traz uma pequena explicação sobre
prismas e pede para que o discente nomeie um dos prismas apresentados.
Figura 49 - Principais Poliedros
Fonte: DANTE, 2012, p. 31
O exercício de número 2 define o que vem a ser uma Pirâmide, traz exemplos
e pede para que seja indicado o número de vértices e faces de todas as pirâmides
apresentadas.
Outros exercícios dão ênfase ao cálculo de vértice, aresta e face. Assim,
somente no exercício de número 5 é que reaparece a nomeação de figuras,
envolvendo a relação de Euler, apresentada na atividade quatro.
Figura 50 - Observando o poliedro
Fonte: DANTE, 2012, p. 32
É apresentada, ainda, a definição de Regiões Planas.
79
Figura 51- Regiões Planas
Fonte: DANTE, 2012, p.35
Em seguida são apresentados quatro exercícios sobre esse conceito. O
primeiro solicita que o aluno nomeie no caderno as figuras apresentadas. Já no
segundo, o processo se inverte: o livro traz o nome de figuras planas e convida o
discente a desenhá-la. Na atividade de número 3 é sugerido que o discente observe
os objetos presentes na sala de aula e que dão ideia de figuras planas. E, por fim, o
exercício 4 traz perguntas sobre sólidos relacionados ao conceito de figuras planas.
Figura 52 - Relembrando as regiões planas
Fonte: DANTE, 2012, p. 35
Seguindo para a página 39, o exercício 3 (Figura 34), o qual já foi
mencionado em outra categoria, requer que o aluno observe o nome e a posição do
sólido geométrico, contorne a face apoiada sobre a folha e escreva o nome do
contorno obtido.
80
Em se tratando ainda de nomeação, identificação e composição, o exercício
de número 5, abaixo, enuncia que se identifiquem os sólidos geométricos, as regiões
planas ou os contornos.
Figura 53 - Identificando sólidos, regiões planas e contornos
Fonte: DANTE, 2012, p. 40
Na sequência o livro passa para a conceitualização de Polígono e pede para
que se identifiquem os polígonos entre as figuras e os reproduza.
Figura 54 - Reproduzindo polígonos
Fonte: DANTE, 2012, p. 42
Na continuidade, novamente o conceito de vértice e face é retomado junto à
nomeação de polígonos.
81
Figura 55 - Nomeando polígonos e identificando lados e vértices
Fonte: DANTE, 2012, p.42
O livro traz ainda como sugestão de atividade um exercício envolvendo
localização e nomeação, no qual, por meio de pares ordenados, os alunos devem
identificar as figuras.
Figura 56 - Localização no plano, usando pares ordenados
Fonte: DANTE, 2012, p. 44
Já a tarefa que envolve placas de trânsito solicita, em forma de tabela, que se
escreva o nome da figura e o significado da placa.
82
Figura 57 - Placas de trânsito, seus contornos e regiões planas
Fonte: DANTE, 2012, p. 50
O capítulo 2 é finalizado com um jogo de percurso onde se exige do aluno
conhecimentos sobre poliedros, região poligonal, polígono, aresta, face e vértice,
para que consiga realizar a brincadeira.
Figura 58 - Brincando também se aprende
Fonte: DANTE, 2012, p.51
Prosseguindo no mesmo material aparece um exercício de localização de
regiões retangulares, circulares e outras.
83
Figura 59 - Figuras já estudadas
Fonte: DANTE, 2012, p. 196
O mesmo acontece a seguir, onde são pedidos conceitos que não foram
abordados na análise junto à identificação e nomeação de figuras.
Figura 60 - Identificando figuras
Fonte: DANTE, 2012, p.197
O conteúdo sobre polígonos é retomado e são oferecidos aos discentes
exercícios sobre identificação.
84
Figura 61 - Conceituando polígonos
Fonte: DANTE, 2012, p. 208
Esse modelo de atividade permanece em outras páginas, porém é introduzido
o conceito de polígono regular, devendo este ser identificado.
Figura 62 - Polígonos regulares
Fonte: DANTE, 2012, p.210
Em outro exercício é trabalhado o conceito de triângulo e medidas com o
intuito de fazer o aluno identificar os triângulos com três lados iguais, dois iguais e
um diferente, e todos diferentes.
85
Figura 63 - Medindo triângulos
Fonte: DANTE, 2012, p. 211
A atividade seguinte propõe que os triângulos retângulos sejam identificados.
A identificação deverá ser realizada por meio de imagens ou através de desenhos
de triângulos feitos pelos alunos a partir de orientações.
Figura 64 - Triângulo retângulo
Fonte: DANTE, 2012, p. 212
Posteriormente são apresentados os quadriláteros solicitando que os
identifique através de descrições.
86
Figura 65 - Conceituando quadriláteros
Fonte: DANTE, 2012, p. 213
No exercício de número 2 é proposto que se aponte quais dos desenhos são
ou não circunferências.
Figura 66 - Identificando circunferências
Fonte: DANTE, 2012, p. 214
Já em uma seção denominada “Outras Atividades”, o exercício 1 apresenta
uma imagem e algumas perguntas sobre os seus lados.
Figura 67 - Observe e responda
Fonte: DANTE, 2012, p.216
87
Passando para a apresentação do livro de Gay (2011), na página 62, têm-se
os exercícios 1 e 2. A atividade de número 1 trabalha com a identificação e
nomeação de figuras e com os conceitos de figuras planas e não planas.
Figura 68 - Poliedros e corpos redondos
Fonte: DANTE, 2012, p. 62
Já no exercício 2 é preciso identificar a figura que não faz parte do grupo
indicado. Observando a página 63, o exercício 3 traz o conceito de figuras
arredondadas (corpos redondos) e não arredondadas (poliedros), pedindo para que
os discentes identifiquem semelhanças e diferenças entre eles.
Figura 69 - Conceituando corpos redondos
Fonte: GAY, 2011, p. 63
A atividade abaixo está relacionada ao conceito de contorno, porém o aluno
deve conhecer a nomenclatura das figuras para que consiga responder à questão.
88
Figura 70 - Observando as características de cada figura
Fonte: GAY, 2011, p. 64
O mesmo acontece na atividade número 3 da mesma página, na qual é
pedido para que se discuta sobre polígonos e não polígonos, repetindo a mesma
linhagem no exercício 4. Logo após, a atividade de número 2 exige conhecimentos
sobre poliedros para que se identifique a figura correta. O exercício seguinte,
número 3, requer reconhecimento de nomenclaturas das figuras e suas
características.
Figura 71 - Resolvendo problemas
Fonte: GAY, 2011, p. 70
No término desse capítulo, para a resolução do exercício de número 5 é
preciso identificar os polígonos regulares em meio a outras figuras.
89
Figura 72 - Estudando polígonos regulares
Fonte: GAY, 2011, p. 85
Já no capítulo 8 o primeiro exercício identificado é o número 3, que apresenta
algumas imagens de triângulos e pede para nomeá-las e identificá-las.
Figura 73 - Identificando e nomeando triângulos
Fonte: GAY, 2011, p. 221
Continuando na atividade de número 4, a partir do Tangram o aluno deve
identificar e contar os triângulos de acordo com a nomenclatura.
90
Figura 74 - Identificando os triângulos no Tangram
Fonte: GAY, 2011, p. 221
Na atividade de número 4 é apresentado o conceito de retângulo, losango e
quadrado, exigindo a identificação de figuras a partir das “dicas” oferecidas.
Figura 75 - Identificação de figuras através de dicas
Fonte: GAY, 2011, p. 225
O mesmo acontece no exercício de número 6, no qual é preciso descobrir
qual é o paralelogramo referido pela atividade.
91
Figura 76 - Adivinhando a figura
Fonte: GAY, 2011, p. 225
Ao final desse capítulo, na seção denominada "Para Terminar", são
encontrados os exercícios de número 1 e 3, com o objetivo de identificar as figuras
apresentadas.
Figura 77 - Observando faces
Fonte: GAY, 2011, p. 230
Figura 78 - De olho na malha
Fonte: GAY, 2011, p. 230
92
Passando a observar o livro escrito por Imenes, Lellis e Milani (2011). Na
página 192, o exercício 2 (Figura 29) exige a identificação de figuras e, em seguida,
o reconhecimento da nomenclatura correta de algumas formas espaciais.
Aparecem nesse mesmo aspecto, na página 229, os exercícios 1, 2, 3, 4 e 5.
Sendo que o exercício de número 1 pede o reconhecimento de formas planas; o 2,
exige que se localizem as figuras pedidas na malha quadriculada; e os exercícios 3,
4 e 5 apresentam perguntas para que sejam respondidas utilizando a nomeação de
figuras geométricas.
Figura 79 - Mosaicos e polígonos
Fonte: IMENES; LELLIS; MILANI, 2011, p. 229
5.1.4 Relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais
Nesta categoria, analisou-se a relação existente, ou não, entre as figuras
bidimensionais e tridimensionais.
Observou-se que no livro escrito por Dante (2012) essa relação se apresenta
quando são trabalhados os sólidos e suas planificações e depois inversamente,
fazendo com que o aluno reflita indo além do conhecimento das figuras e
estabelecendo a relação entre o bidimensional e o tridimensional.
93
Figura 80 - Sólidos geométricos e suas planificações
Fonte: DANTE, 2012, p. 33
Figura 81 - Relacionando figuras bidimensionais e tridimensionais
Fonte: DANTE, 2012, p.34
Na página 34 há outra atividade que pode fazer o aluno raciocinar sobre as
diferentes planificações que levam à construção de uma mesma forma
tridimensional, atividade esta já mencionada nesta pesquisa (Figura 32).
94
Figura 32: Montando cubos
Fonte: DANTE, 2012, p. 34
Numa outra atividade o objetivo é explicar o conceito de regiões planas
relatando que estas surgem de um sólido geométrico que é planificado e, assim, as
partes que o formam isoladamente compõem a região plana ou bidimensional,
lembrando que esse exercício também já foi citado (Figura 51).
Figura 51: Regiões Planas
Fonte: DANTE, 2012, p.35
O mesmo acontece na atividade de número 4, na qual os conceitos sobre
figuras planas são apresentados aos alunos a partir de figuras tridimensionais.
95
Figura 82 - Relação entre polígonos e poliedros
Fonte: DANTE, 2012, p. 35
Na página 39 é proposto que a partir de um sólido geométrico o aluno
contorne uma das suas faces e escreva o nome do contorno encontrado, exercício
este já apresentado (Figura 29).
Passando para o livro de Gay (2011) observa-se uma tarefa (Figura 36) na
qual é preciso fazer correspondência entre as “manchas” feitas através das figuras
tridimensionais. Pode-se dizer que estes dois exercícios se enquadram nessa
categoria, pois procuram mostrar ao aluno que as partes que compõem uma figura
tridimensional, quando isoladas, passam a ser uma figura bidimensional com
características e propriedades específicas.
Figura 36: De olho nas manchas
Em outra atividade (Figura 83), são utilizadas figuras tridimensionais para
que se identifique nas faces delas as figuras bidimensionais.
96
Figura 83 - Observando faces
Fonte: GAY, 2011, p. 230
Já no livro escrito por Imenes, Lellis e Milani (2011) há uma atividade que
trabalha a relação entre figuras bidimensionais e tridimensionais a partir da
montagem de uma embalagem. O aluno deve apresentá-la de forma planificada e
montada, ou seja, passando da forma bidimensional para a tridimensional. Vale
lembrar que essa mesma atividade já foi mencionada em outras categorias aqui
apresentadas (Figura 28).
A seguir, será realizada a análise das atividades descritas neste capítulo.
5.2 Analisando os materiais selecionados
Partindo dos livros selecionados e com base na literatura apresentada no
capítulo 4 seguimos para análise. Ela foi realizada por categorias situando os três
livros em cada uma destas e, posteriormente, entrelaçando os três materiais
escolhidos.
Iniciando pela categoria Aspectos Cotidianos constatou-se que na obra de
Dante (2012), aparecem situações de relação entre os aspectos cotidianos e os
conceitos geométricos, principalmente na forma de exercícios. Como por exemplo, a
atividade 1 (Figura 12) que relaciona objetos cotidianos aos sólidos geométricos.
Isso também aparece em outra atividade (Figura 13) cujo enunciado pede para que
o aluno diga se reconhece objetos que lembram figuras geométricas de acordo com
as características mencionadas, como faces iguais e assim por diante. E um
97
exercício que requer que o aluno identifique, na sala de aula, objetos que oferecem
ideia de regiões planas. Além de outros que trazem propostas parecidas com as
citadas.
Pode-se dizer que essa relação ocorre de maneira natural, por meio de
situações ou questões as quais os alunos conseguem “ligar” aos acontecimentos ou
conhecimentos que fazem parte de seu dia a dia. Por esse motivo ganham sentido
para o aluno.
Porém, Souza e Franco (2012) constataram em seu estudo, assim como esta
pesquisa, em face do material analisado, que na maioria das atividades em que há a
relação escola-cotidiano a ênfase maior está no estudo das figuras bidimensionais.
Isso não apresenta características negativas, o que causa preocupação é a questão
das figuras bidimensionais aparecerem em locais onde o foco seria as
tridimensionais, característica que pode trazer dúvidas ou gerar confusões ao aluno.
Há também a questão referente ao fato de que as figuras cotidianas
utilizadas, na maioria das vezes, são apresentadas com o intuito de desenvolver a
aprendizagem de nomenclaturas e identificação das figuras bidimensionais e
tridimensionais.
Ademais, a valorização dos conhecimentos que o aluno traz de suas
experiências cotidianas é observada em alguns exercícios desse material, os quais
exigem que o aluno relacione algum objeto de seu conhecimento com a
nomenclatura de algumas figuras geométricas. Isso permite um espaço para que o
professor promova momentos em que o aluno possa expressar seus saberes e
curiosidades construídos ao longo de sua vida, fazendo com que estes se
transformem em saberes escolares, como ressalta Giardinetto (1989).
Diante da minha experiência como professora é possível dizer que esse tipo
de atividade é algo considerado trivial, que a maioria dos docentes realiza quando
inicia a introdução de conceitos geométricos. Sendo assim, o que se espera, talvez,
seja um espaço que instigue o aluno a refletir e relatar sobre os conhecimentos que
possui de Geometria, extramuros da escola.
Também foi observado que nesse material quase não há exercícios que
envolvam situações problemas com situações cotidianas e que o aluno possa
relacioná-las com os conceitos geométricos.
98
Apesar disso, as figuras cotidianas apresentadas por essa obra são de
conhecimento dos alunos e fazem parte de sua rotina, figuras estas que saem
daquelas quase sempre utilizadas pelos materiais didáticos, tais como: bola, mesa,
chapéu de aniversário etc. E outras como por exemplo, placas de trânsito que
relacionam os conceitos geométricos com os conteúdos de cidadania (observado na
Figura 13), que requer do aluno tanto conhecimento dos conceitos geométricos
quanto aquele relacionado ao Código de Trânsito.
Enfim, pode-se dizer que embora o livro conceda uma atenção maior aos
conteúdos escolares isoladamente há momentos nos quais acontecimentos,
situações ou cenários da vida cotidiana são envolvidos no ensino desses conteúdos
de forma positiva, possibilitando ao aluno compreender que a Geometria está
presente nas ações humanas diárias. Talvez, esse material pudesse oferecer uma
diversidade maior de exercícios com essa proposta e não apenas por meio das
semelhanças entre figuras geométricas e objetos.
O Guia menciona, em “Visão Geral,” que essa obra apresenta situações
problemas com as explicações dos procedimentos, e, em seguida, são propostas
atividades. No entanto, como levantado nesta análise, no campo da Geometria
quase não aparecem essas situações, podendo ocorrer em outros conteúdos. O
Guia também reforça, no item de “Descrição”, a relação dos conteúdos geométricos
com os temas transversais, que fazem parte da formação do cidadão e colaboram
para a sua atuação na sociedade.
Já no livro de Gay (2011) são exibidas atividades diversificadas que
proporcionam a relação entre cotidiano e Geometria. Como na atividade que sugere
que o aluno realize cortes em frutas ou velas, instigando-o a dizer quais as formas
que surgirão após esses cortes. Também há solução de problemas envolvendo
situações reais do cotidiano. Como exemplo, pode ser citada a atividade de número
5 (Figura 21), que mostra o cenário em que há um cavalo amarrado a uma estaca e
sugere ao aluno que figura geométrica poderá ser formada quando o cavalo se
deslocar.
Outras tarefas vão além da simples classificação de figuras ou do uso delas
como exemplos das formas geométricas e instigam o aluno a construir a relação
entre o conhecimento teórico sobre os conceitos geométricos e a sua existência no
cotidiano. Essa relação fica clara na atividade (Figura 24) que sugere que o aluno
99
descreva o que vêm a ser os paralelogramos, a partir de figuras cotidianas,
lembrando que essa descrição deve ser realizada por indivíduos que desconheçam
esses conceitos. Assim, de acordo com o que Franco e Souza (2012) defendem,
essa atividade permite que o discente vá além dos aspectos teóricos, construindo
uma ligação entre eles e o mundo no qual está inserido.
É possível afirmar que esse material apresenta atividades em que o objetivo é
a identificação de figuras cotidianas e sua relação com as figuras geométricas.
Procura-se, dessa maneira, trazer o conhecimento que o aluno já possui sobre
Geometria para a sala de aula. É por meio desse exercício que o aluno pode se
atentar aos conteúdos e conhecimentos já adquiridos e descobrir o que ainda não
sabe, já que é no ambiente escolar que o discente é instigado a ir além dos saberes
que possuí e tomar ciência dos saberes que não domina.
Pode-se dizer que essa relação entre a matemática escolar e cotidiana não
acontece de maneira “forçada”, mas, por intermédio das atividades propostas o
aluno vai percebendo a relação existente entre a escola e a vida.
Retomando o Guia, ele descreve que as unidades são iniciadas com cenas do
cotidiano seguidas por questões referentes aos conteúdos a serem trabalhados.
Assinala também que a obra traz situações adequadas para que se abordem temas
transversais ou de outras áreas do conhecimento. Entretanto, no campo da
Geometria não é notada a presença dos temas transversais.
Enfim, a obra apresenta maneiras diversificadas de trabalhar os conteúdos
geométricos juntamente com os aspectos cotidianos, não se prendendo à utilização
de objetos rotineiros ou utilizando-os apenas como formas de exemplificação.
Ao analisar a obra de Imenes, Lellis e Milani (2011) é possível avaliar que os
exercícios procuram fazer relação entre os conteúdos geométricos e os aspectos
cotidianos de forma diversificada, caracterizando-se numa metodologia diferente da
tradicional. Em outras palavras, o livro não se prende a memorização de conceitos e
nem a apresentação maçante ou repetitiva de um mesmo tipo de atividade
objetivando que aluno chegue a um determinado conhecimento.
Considera-se que por meio da atividade de observação de figuras cotidianas,
na qual o aluno deve relatar as figuras geométricas existentes, é possível fazer com
que ele perceba o que realmente sabe ou não sobre determinado conceito.
100
Também é possível afirmar que não há exagero na valorização dos conteúdos
cotidianos, lembrando que Giardinetto (1999) denomina supervalorização quando a
preocupação com algum conceito se faz de forma exagerada.
A obra em questão também mostra atividades diferentes, como a utilização de
situações problemas; exemplificada na atividade 1 (Figura 26) que apresenta um
problema relacionando conceitos de perímetro com uma caixinha de CD (quadrado).
Exercícios deste tipo podem fazer com que o aluno “veja” a importância e o
significado de aprender os conceitos e que eles estão presentes em seu dia a dia.
Uma vez realizado a exame individual dos livros partiu-se para uma análise
que os entrelaçasse. Primeiramente, em todos os materiais analisados há relação
entre os aspectos cotidianos e os conceitos geométricos, e essa relação aparece de
maneira natural. Também é possível afirmar que todos eles apresentam atividades
que trazem figuras cotidianas para que os alunos identifiquem nelas as figuras
bidimensionais e tridimensionais, sendo que o escrito por Dante (2012) é o que
apresenta maior número desse modelo de atividade. Enquanto que o livro de Gay
(2011), nessa categoria, chama atenção por apresentar diversas formas (situações
problemas, atividades diferenciadas etc.) de trabalhar as figuras cotidianas
relacionando-as aos conceitos geométricos.
Enfim, pode-se dizer que todos procuram “aproveitar” os saberes que o aluno
já possui e propor atividades que tenham significado para ele. Além do mais,
nenhuma das obras se prende à utilização de exercícios que levam apenas a
memorização de conceitos, o que é de grande importância de acordo com Polato
(2008).
Referente à categoria Manipulação e Concretização, Dante (2012)
apresenta a montagem de sólidos geométricos, a utilização do material dourado e o
uso de materiais diversos, como barbante, moeda e palitos.
Nesta corrente, Matos e Serrazina (1996) apontam para a necessidade de
deixar que o aluno brinque, explore, e ainda que o professor o desafie e questione,
para que os materiais sejam utilizados de forma reflexiva. O uso de materiais ocorre
com a intenção de fazer com que o aluno reflita sobre os conceitos geométricos
implícitos nas atividades. Isso fica claro nos exercícios de montagem de um cubo a
partir de diversos moldes ou na tarefa que envolve contornos.
101
Já em relação ao material permanente, o qual estará à disposição do aluno
sempre que necessário, o livro apresenta os sólidos geométricos que eles devem
construir, utilizando-os primeiramente na conceitualização de vértices, arestas e
faces. A disponibilização desses materiais aos alunos para sua manipulação,
sempre que achar necessário, é algo importante, segundo os estudos de Matos e
Serrazina (1996).
Outra característica do livro de Dante (2012) é orientar o professor sobre o
momento e como utilizar os materiais concretos, evitando que aconteça o que
pontuam Fiorentini e Miorim (1990), isto é, nem sempre o professor tem
conhecimento do por que, como e quando utilizar determinados materiais, jogos ou
recursos didáticos. Realidade esta que prejudica o uso dos materiais concretos,
pois, se o professor não souber o momento adequado seu uso se torna irrelevante e
não atinge os objetivos esperados.
Enfim, nessa obra são apresentados materiais de manipulação e
concretização, assim como recursos didáticos que podem ser utilizados pelo
professor, porém os recursos didáticos não foram analisados nesta pesquisa. Já
sobre os materiais manipuláveis, eles foram utilizados em situações diferenciadas e
buscaram criar “momentos” de reflexão por parte do aluno, exigindo deles a
utilização de conceitos geométricos já aprendidos.
O Guia informa que na obra de Dante (2012) as ideias e sugestões sobre os
materiais concretos sugeridos são diversos, mas poucos têm o seu manuseio
valorizado. Entretanto, há uma discordância entre a pesquisa realizada e essas
afirmações, uma vez que são encontradas no Manual do Professor tanto ideias de
como ele pode utilizar esses materiais quanto como o aluno pode manuseá-los,
permitindo afirmar que o autor se preocupou com esse aspecto e o valorizou.
Analisando a obra de Gay (2011) é possível dizer que há poucos exercícios
que asseguram diretamente ao aluno a construção ou manipulação de materiais.
Porém, no Manual do Professor há várias ideias e sugestões direcionadas ao
docente, com opções de atividades que possam ser realizadas com a classe.
De maneira geral, pode-se notar que alguns materiais são utilizados como
forma de materialização dos conceitos, já outros são propostos para que o aluno
reflita sobre o que deve realizar, como a montagem de figuras planas a partir de
outras. Característica esta que pode trazer benefícios à aprendizagem, pois o uso de
102
materiais concretos deve fazer com que o discente reflita sobre o conceito a ser
adquirido (MATOS; SERRAZINA, 1996).
Sobre essa obra o Guia afirma que o material apresenta conceitos de forma
diretiva, o que restringe a oportunidade do aluno tirar as próprias conclusões sobre o
conteúdo/conceito ensinado. Porém, como já citado, talvez através da reflexão do
aluno para solucionar os problemas propostos ou realizar as atividades oferecidas,
ele seja instigado a tirar conclusões sobre o conceito que está sendo apresentado.
É observado também que os materiais utilizados não são propostos em
atividades diversificadas, ou seja, em cada uma das tarefas sugeridas são utilizados
materiais diferentes, novos, o que não possibilita ao aluno a exploração de um
mesmo material em diversos contextos.
No livro de Imenes, Lellis e Milani (2011) constatou-se que nas atividades
examinadas o intuito maior está na representação de desenhos por meio do
compasso, da régua e das malhas quadriculadas, lembrando que apenas a
construção de desenhos e o uso da malha quadriculada não são considerados
materiais concretos e manipuláveis, pois o aluno não os manuseia.
Nesse viés, o Guia ressalta que o manuseio de material concreto é
valorizado, assim como o uso de moldes disponíveis no Manual do Professor. Assim,
é preciso saber o que o Guia entende por materiais manipuláveis, uma vez que
esses materiais não foram observados, conforme mencionado anteriormente.
Dessa forma, os materiais concretos e manipulativos que o aluno possa
explorar antes da apresentação dos conteúdos geométricos são observados em
menor proporção do que nas demais obras, característica que pode remeter aos
objetivos que o autor espera atingir com sua obra. No entanto, o Guia não traz qual
é o objetivo que o autor espera atingir, sendo esta uma informação importante para
o professor no momento da escolha do material. Ademais, Azevedo (1979) já
destacava em seu estudo que nada na Matemática deve ser entregue a criança sem
que ela possa explorar, ter contato, e depois de toda uma “descoberta” ir para a
abstração.
Após a análise individual de cada obra pode-se perceber que todos os livros
apresentam atividades onde há a manipulação e utilização de materiais concretos.
Cada material apresenta esse aspecto de maneira diferente, mas com algumas
semelhanças. Como por exemplo, os livros de Dante (2012) e Gay (2011) que
103
trazem ideias sobre a utilização dos materiais manipuláveis na seção destinada aos
alunos e também nas orientações ao professor. Sendo que nas orientações
encontram-se a maioria das sugestões de atividades que levam o aluno a
manipulação, apresentando materiais diversos.
Já o livro de Imenes, Lellis e Milani (2011) é o que apresenta menor número
de atividades voltadas à manipulação. Nessa obra a maior parte do trabalho com os
conceitos de Geometria é realizada por meio do uso de malhas quadriculadas, as
quais esta pesquisa não considerou como material manipulável. Conforme Matos e
Serrazina (1996) afirmam, o ato de manipular permite ao aluno experimentar e
descobrir padrões e relações que são essenciais em Matemática. Dessa forma, as
malhas quadriculadas não permitem essas experiências ao discente e nem que ele
as manipulem, o que as faz não se encaixarem no rol de materiais manipuláveis.
Enfim, o material de Gay (2011), assim como o de Dante (2012), em seu rol
de atividades analisadas nesta categoria trazem características positivas ao ensino,
pois nota-se que exigem do aluno a utilização de conceitos aprendidos
anteriormente, a observação e a reflexão. Ainda em relação ao livro de Gay, um dos
exercícios analisados faz com que o discente tenha conhecimento das propriedades
de algumas figuras geométricas, uma importante característica destacada por Araújo
(1994) para o Ensino de Geometria e que quase não é vista nos livros didáticos.
Já na categoria Nomenclatura, Identificação e Composição, observa-se
nos aspectos de literatura, a importância de trabalhar com a nomeação correta das
figuras e suas partes. O que também é afirmado por Araújo (1994), que expõe a
necessidade desse saber para que o aluno não confunda cubo com quadrado, por
exemplo.
Na obra de Dante (2012), é possível afirmar que há uma preocupação maior
com esse quesito e também que, em quase todas as atividades, o objetivo é
apresentar as nomenclaturas ao discente e fazer com que ele aprenda a identificar
as figuras bidimensionais e tridimensionais. Característica que pode trazer prejuízos
a aprendizagem do aluno, uma vez que, valorizando exageradamente um conceito
outros acabam sendo deixados de lado. Como ressalta Giardinetto (1999), a
supervalorização de um conteúdo/conceito acaba sendo um ponto negativo no
processo de ensino e aprendizagem.
104
Esse fato é reforçado no Guia, o qual relata que esse livro apresenta certo
excesso de atividades sobre os conteúdos desenvolvidos:
A grande quantidade de informações e atividades presentes na obra pode comprometer a aprendizagem dos alunos, que não terão tempo suficiente para o entendimento dos conceitos. A sistematização dos conteúdos a ser feita pelos professores poderá, igualmente, ser dificultada pela mesma razão. (BRASIL, 2012, p.157).
Outro modelo de atividade apresentado é a questão do aluno desenhar a
figura a partir de sua nomenclatura, esse tipo de exercício poderia ser utilizado
também para que as características das figuras fossem exploradas, ressaltando
diferenças ou semelhanças entre elas e as relações existentes. Nesse âmbito,
Pavanello (2001, p. 183) relata que o não trabalho com as relações existentes entre
as figuras não auxilia o aluno a atingir um nível superior de compreensão de
conceitos.
É possível dizer que esse material não se prende a apenas um tipo de
atividade, há exercícios com abordagens diversificadas em relação ao desenho de
figuras fazendo com que o aluno, a partir das características apresentadas, possa
chegar à forma geométrica esperada pelo exercício.
Dessa forma, é preciso pensar que ao desenhar um sólido geométrico o aluno
pode ser instigado a perceber as suas propriedades, fazendo com que o ato de
produzir desenhos não se torne automático, ou seja, desenhar sem pensar no que
está sendo realizado.
Também é notória a presença do desenvolvimento de atividades que
envolvem a contagem e o reconhecimento das faces, dos vértices e das arestas
nesse material, sendo relacionadas à teoria de Euler na realização de algumas
atividades. Já as atividades de classificação são mínimas nessa obra.
Seguindo a análise é possível apontar que o livro apresenta características
positivas, como a preocupação de apresentar as figuras de maneiras diferentes para
que não se tornem prototípicas (que estão sempre numa mesma posição), como
caracteriza a preocupação de Vasconcellos quando diz:
Os alunos, após cursarem as quatro primeiras séries do Ensino Fundamental e terem supostamente vivenciado situações relacionadas às figuras não planas e planas, continuavam confundindo seus nomes, chamando, por exemplo, o cubo de quadrado, o paralelepípedo de retângulo, bem como não reconhecendo as mesmas figuras em diferentes posições. (VASCONCELLOS, 2008, p. 86).
105
Nos exercícios há presença de polígonos irregulares. São figuras pouco
trabalhadas e de baixa familiarização dos alunos, fato de grande importância no
processo de aprendizagem, podendo fazer com que eles deixem de conhecer
apenas figuras comuns, como triângulo, quadrado, cubo etc., e conheçam figuras
diferentes e que são comuns no ensino de Geometria.
Passando para a análise do livro de Gay (2012), pode-se observar que ele
procura desenvolver a nomeação, classificação e composição das figuras de forma
diversificada, o que pode ser percebido já no rol de atividades que os docentes terão
acesso. Como exemplo, é possível citar a atividade 2 (Figura 68), na qual o aluno
deve descobrir qual é a figura "intrometida" em meio as figuras com propriedades
semelhantes. Também na atividade 2 (Figura 71), por meio de uma situação
problema é pedido para que o aluno, a partir de descrições, identifique e nomeie as
figuras corretas.
O livro também desenvolve um trabalho com nomenclaturas não focando o
aluno apenas na memorização, mas fazendo com que ele se aproprie dos nomes
corretos a medida que vão sendo apresentados os conceitos geométricos; isto é, os
conceitos são apresentados junto com as atividades de nomenclatura.
Ainda é possível destacar a forma como a identificação e a nomeação são
trabalhadas, onde a ênfase não está somente em nomear, mas em descobrir e
observar as características que cada figura apresenta. Essa realidade vai em
direção oposta ao que Araújo (1994) apontou em sua pesquisa. Ele afirma ser
comum encontrar alunos e professores que desconhecem as características
existentes nas figuras, chegando a mencionar figuras distintas como sendo as
mesmas ou ainda não identificando propriedades em comum que estas podem
apresentar.
Nesse âmbito, pode-se dizer que, conforme Pavanello (2001) afirma em suas
pesquisas em relação à importância da utilização da nomeação correta das formas e
figuras geométricas, foi observado que houve a preocupação com essas
características, não oferecendo situações em que as nomenclaturas fossem
apresentadas de maneira inadequada.
Por fim, o que se observa é que esse material procurou diversificar a maneira
de apresentação das figuras ao estudante. Em alguns momentos aparecem figuras
distintas e justapostas de maneira diferenciada, entre as quais estão os pentágonos,
106
alguns retângulos e outras figuras. Porém, algumas ainda são mantidas nas
posições tradicionais, como, por exemplo: triângulos sempre sentados, cubos e
paralelepípedos na maioria das vezes deitados.
Já a obra de Imenes, Lellis e Milani (2012) não se preocupou apenas em
desenvolver a nomenclatura e a identificação de figuras, mas, sim, em explorar as
características das figuras e relacionar a nomenclatura com outros conceitos
geométricos, como o conhecimento de lados perpendiculares, hexágonos,
quadrados etc.
Também é possível notar a presença de figuras bidimensionais e
tridimensionais nas atividades, sendo uma característica positiva ao aprendizado de
conceitos geométricos. Entretanto, as figuras são apresentadas sempre da mesma
maneira, ou seja, os triângulos sempre "sentados", os quadrados posicionados
sempre da mesma forma, o que pode trazer confusão ao aluno, que, quando se
depara com figuras apresentadas de maneira diferenciada não as reconhecem.
Vasconcellos (2008) relata, em sua pesquisa com alunos da 4ª série, que
muitas crianças não conseguem identificar as figuras que podiam ou não ficar “em
pé”. Realidade que pode ser decorrente da maneira como as figuras são
apresentadas aos discentes.
Passando para a observação conjunta das três obras, percebe-se que o livro
que apresenta o maior número de atividades que envolvem identificação, nomeação
e composição é o livro de Dante (2012).
No entanto, quando observada a questão da composição percebe-se que em
dois dos materiais as figuras obedecem ao mesmo padrão, como, por exemplo, os
triângulos sempre “sentados”. Além do mais, aspectos voltados à composição das
figuras geométricas não são trabalhados com os alunos em nenhuma das obras
observadas.
É possível afirmar que a maioria das atividades analisadas, exceto no livro de
Imenes, Lellis e Milani (2011), mesmo as que se enquadram nas demais categorias,
envolvem a nomeação e identificação de figuras, o que mostra ser esse o conteúdo
de maior preocupação a ser desenvolvido com os estudantes; ou seja, ainda é o
conteúdo mais valorizado quando se trata do ensino de Geometria. Esse é um dado
preocupante se pensarmos que a Geometria envolve muitos outros aspectos
presentes na vida cotidiana e escolar.
107
Partindo para a última categoria avaliada, denominada Relações entre as
figuras bidimensionais e tridimensionais. No livro de Dante (2012) nota-se que as
atividades voltadas à relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais são
mínimas comparando-as com as demais categorias apresentadas. Mas, as
atividades apresentadas também são diversas, não seguindo sempre um mesmo
padrão. Ademais, elas ocorrem de maneira natural, conforme as atividades vão
sendo propostas ou alguns conceitos vão sendo apresentados.
Esse tipo de relação é importante do “ponto” de vista matemático devido ao
fato de ajudar as crianças a entenderem as diferenças e características presentes
entre as figuras bidimensionais e tridimensionais, além de poderem entender o
processo de planificação e solidificação das formas geométricas.
Já no material de Gay (2012), pode-se dizer que as atividades que trabalham
essa relação também aparecem de forma amena, ou seja, esse aspecto é pouco
enfatizado, dependendo do professor para que ele destaque essa relação durante
sua aula ou na apresentação teórica sobre elas. O mesmo acontece na obra de
Imenes, Lellis e Milani (2012), onde o trabalho com essa relação também aparece
minimizado se comparado com as demais categorias. Pode-se ressaltar que,
quando aparecem, essas atividades demonstram o processo de planificação de
sólidos fazendo com que o aluno observe as figuras as quais surgirão após essa
planificação.
Assim, as atividades observadas apresentam aspectos positivos, iniciando a
relação sempre das figuras tridimensionais para as bidimensionais, conforme
Kazanowski (2010) propõe em sua pesquisa. Seguem também o que Vasconcellos
(2008) afirma, dizendo que é a partir das figuras tridimensionais que as
bidimensionais ganham sentido. Por outro lado, os termos bidimensionais e
tridimensionais quase não aparecem em nenhum dos três materiais, sendo
substituídos por “sólidos geométricos” ou “poliedros” e “figuras planas” ou
“polígonos”.
Percebe-se também que o desenvolvimento dos conceitos geométricos,
principalmente os voltados às figuras, ainda é realizado separadamente, como se tal
relação não apresentasse aspectos importantes à aprendizagem e formação do
aluno.
108
Enfim, nota-se que todas as obras examinadas trazem aspectos positivos e
também considerações importantes que devem ser analisadas com detalhes pelo
professor na hora da escolha do livro que pretende utilizar. Assim, algumas
observações podem ser pontuadas, sendo estas apresentadas no capítulo a seguir.
109
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
De acordo os autores estudados no capítulo 1, os quais já pesquisaram sobre
aspectos voltados a Geometria, eles afirmam que o conteúdo traz benefícios aos
alunos que vão além dos muros escolares. Pois, como Lorenzato (1995) relata,
estes conceitos estão envolvidos na formação do indivíduo, ajudando-o a interpretar
o mundo em que vive e dando bases para a aprendizagem de outros conteúdos
matemáticos.
Os estudos realizados por esses autores também mostram que apesar de sua
importância o ensino desse conteúdo passou por transformações, como o
Movimento da Matemática Moderna e outros fatores que também estão envolvidos
no processo de ensino e que contribuíram para a mudança metodológica, ou o
trabalho com menor frequência da Geometria.
Essas transformações modificaram a maneira de trabalho do professor não
somente para o ensino da Geometria, mas também de outros conteúdos. Além
disso, a formação docente é essencial para que esse profissional conduza mais
tarde sua prática em sala de aula. No entanto, é possível dizer que essa formação
nem sempre ocorre como deveria, um exemplo são os cursos de Pedagogia, os
quais envolvem várias disciplinas em sua grade curricular, e que necessita ser
cumprida em quatro anos. Ou seja, um tempo curto para que o futuro docente se
aproprie dos conhecimentos necessários a cada disciplina, refletindo em sala de
aula.
Assim, os professores começaram a buscar recursos que possam aperfeiçoar
ou suprir as “lacunas” e dúvidas decorrentes das situações surgidas em sua prática.
Entre esses recursos o livro didático se tornou uma opção, uma vez que é o mais
acessível ao docente pelo fato de ser oferecido pelo governo as escolas públicas, ou
mesmo pela facilidade que este material oferece.
Segundo estudos realizados por Santos e Carneiro (2006) e Frison (2009),
constata-se a predominância do uso do livro didático pela maioria dos professores,
ainda que atualmente a tecnologia ofereça uma grande variedade de outros
materiais. Por esse motivo, esta pesquisa utilizou o livro didático como objeto de
estudo, com destaque para a Geometria.
110
De início o Guia aponta que a Geometria vem sendo valorizada nos livros,
significando mudanças no que alguns estudos realizados anteriormente afirmam,
como por exemplo, que a Geometria sempre era trabalhada ao final dos livros
didáticos ou a destinação de um espaço menor nesses materiais para este
conteúdo.
Apesar das transformações serem visíveis se observa que entre os conceitos
geométricos há a valorização de alguns e a apresentação superficial de outros,
podendo citar, como exemplo, a questão do ensino da identificação e nomeação de
figuras, sendo estes os aspectos mais trabalhados em duas das três obras
analisadas. Infelizmente, essa questão pode passar a falsa ideia de que a
importância maior do ensino da Geometria está no aluno saber nomear figuras,
sendo que não é esse o principal objetivo do ensino deste conteúdo.
Dessa forma, é preciso lembrar que ensinar a nomenclatura correta é
importante, porém é preciso que o aluno saiba as características de cada figura, o
que as torna semelhantes ou diferentes. E, embora os livros tragam atividades com
esse intuito, elas poderiam ser mais exploradas juntamente com os exercícios que
trabalham a nomenclatura e a identificação das figuras.
Quanto a relação entre os conhecimentos geométricos e os conhecimentos
cotidianos os livros a trazem de forma natural. Porém, ela ocorre, na maioria das
vezes, através de figuras do meio cotidiano que se assemelham as figuras
geométricas ou vice-versa. De acordo com os autores que embasaram a análise
esta relação poderia ocorrer de forma diferente, por meio de situações decorrentes
do dia a dia que fossem levadas para a sala, valorizando assim as aprendizagens
que se desenvolvem junto ao meio social e cultural em que o aluno está inserido e, a
partir destas, ocorrer a introdução do conhecimento geométrico.
Entretanto, nenhum dos livros analisados propõe modelos de atividades em
que o aluno seja convidado a explorar de forma prática o seu ambiente, ou seja, não
são sugeridas ideias para ele reconheça o cotidiano em torno da escola.
Freudenthal (1973) relata a ligação da Geometria com a realidade do aluno para que
ele entenda o meio no qual está inserido. Lorenzato (1995) também afirma que a
Geometria está por toda a parte, porém, é preciso saber enxergá-la.
Já na questão dos materiais manipuláveis e concretos o Guia define que a
utilização de um objeto para associar-se a um conceito matemático faz desse objeto
111
um modelo concreto. No entanto, nenhuma das obras analisadas traz a referência
do que seu autor entende por material manipulável. Ademais, a pesquisadora
analisou essa categoria observando o que é realizado com o material e, assim,
considerou-o ou não um material manipulável. Por exemplo, no caso do uso da
malha quadriculada para a reprodução de figuras geométricas a pesquisa não
considerou. Dessa forma, esta pode ser uma questão a ser repensada: qual é o
papel dos materiais manipuláveis e o que pode ou não ser considerado um material
manipulável ou concreto?
Além do que, ficou claro que são várias as maneiras de uso desses materiais,
mas é necessário que a manipulação seja feita pelo aluno de forma que ele possa
explorá-lo o máximo possível e a partir disso ser instigado, questionado e
“provocado” a tirar suas conclusões e construir conhecimentos. A pesquisa também
monstra que os materiais concretos utilizados não necessariamente precisam ser
escolares, eles podem ser objetos que fazem parte do dia a dia.
Nesta mesma categoria a análise demonstra que as resenhas divulgadas no
Guia também são passiveis de erros ou contradições, realidade notada quando ele
menciona que na obra de Dante (2012) o trabalho com manuseio de materiais é
pouco valorizado, contrariamente, ao examinar o livro, é visto no Manual do
Professor ideias de como esses materiais podem ser utilizados, o que demonstra
que há preocupação do autor com este quesito. E ainda, diante deste fato, é preciso
lembrar que o Manual do Professor deve ser olhado como uma importante parte do
livro, pois ali estão informações que podem complementar as atividades propostas
aos alunos.
Tratando-se da relação entre as figuras bidimensionais e tridimensionais, este
é um aspecto pouco trabalhado nos livros, mesmo sendo essa uma relação
importante e que ajuda o aluno a compreender as figuras e suas propriedades.
Segundo os autores que tratam desse tema, porém, os exercícios que foram
analisados mostram a importância dessa relação, trazendo aspectos, como por
exemplo, do porquê de uma das faces de um cubo poder ser chamada de quadrado.
Ou ainda, foram observadas atividades relatando que na planificação de uma figura
tridimensional surgem figuras bidimensionais. Talvez essa pudesse ser uma questão
mais explorada pelos materiais didáticos, uma vez que este aspecto pode ajudar o
112
aluno a entender as características dessas figuras ou ainda que estas possuem
“ligações”.
Portanto, mesmo que essa pesquisa tenha trazido subsídios que auxiliem o
professor na escolha do livro a ser utilizado, é preciso que ele tenha em mente o
objetivo que deseja atingir com sua turma e qual sua proposta pedagógica, para que
assim consiga fazer uma escolha responsável. Além do mais, o livro não deve ser
utilizado como único recurso ou material pedagógico, é preciso que o docente
procure outros materiais que possam complementá-lo.
Contudo, é preciso deixar claro que os materiais analisados apresentam
outras particularidades que também são importantes no ensino da Geometria, como
os aspectos históricos, a visualização, a relação da Geometria com outros conceitos
matemáticos e o uso de jogos ou questões ligadas à abstração.
No decorrer do trabalho surgiram outras indagações para futuras pesquisas,
como a questão de como é o uso do livro pelo professor? Será que este profissional
observa as orientações do Manual do Professor, uma vez que esse estudo mostra
que ali se encontram informações importantes. Ou ainda, mesmo a pesquisa tendo
mostrado que os conteúdos geométricos estão sendo mais valorizados pelo livro
didático, o professor estaria reconhecendo esta valorização? Ou, ele estaria
selecionando os capítulos dos livros que acha necessário trabalhar?
Esse estudo observou outros “pontos” que podem ser investigados no intuito
de melhorar o ensino e a aprendizagem de conceitos geométricos, pesquisas que
podem surgir de questionamentos como: Na Educação Infantil, que não há o uso do
livro didático, como ocorre o ensino da Geometria? Quais os aspectos que o
professor observa na hora da escolha do livro?
Pode-se afirmar que todas as considerações obtidas neste trabalho se
tornaram claras devido aos procedimentos metodológicos utilizados, desde a
confecção dos cartazes, que ajudaram na visualização dos conteúdos a serem
examinados, auxiliando no surgimento das categorias, até as análises finais. E
também que se a pesquisa fosse realizada novamente os mesmo procedimentos
seriam repetidos. Como autocrítica ao trabalho, talvez este pudesse ter analisado
não somente os conteúdos voltados às figuras bidimensionais e tridimensionais, mas
também outros que estão envolvidos na Geometria e que não fizeram parte desta
análise.
113
Também é possível dizer que esta pesquisa trouxe transformações em minha
atuação como professora, apesar de algumas questões sempre terem me
incomodado, como o fato de trabalhar a Geometria sempre no último bimestre do
ano ou de forma corrida, apenas para cumprir o planejamento. Pude constatar que
havia muitas questões as quais eu não tinha conhecimento ou que passaram
despercebidas durante minha atuação. Entre essas posso citar a importância de não
trazer o ensino da identificação e nomeação de figuras com o foco apenas na
aprendizagem do nome correto, é preciso que o aluno se aproprie das
características que essas figuras possuem, porque dessa forma a aprendizagem
deixa de ser mecânica. Ou o fato de que o uso do material manipulável só surte
efeito quando o aluno tem acesso e é instigado a manuseá-lo de forma reflexiva, e
que quando o material é utilizado pelo professor este é um recurso didático. O que
mais me impressionou foi o fato de não ter em minha prática, nem na Educação
Infantil, nem no Ensino Fundamental, olhado para a importância de mostrar ao aluno
a relação existente entre as figuras bidimensionais e tridimensionais, o que o ajuda a
entender melhor os conceitos envolvidos.
Portanto, espero que assim como eu, professora, pude repensar o meu
ensinar geométrico, outros docentes ao ter acesso a esta pesquisa também possam
refletir em como está sendo realizado seu trabalho com o ensino da Geometria.
115
REFERÊNCIAS
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