Geometria Plana

ESCOLA ESTADUAL PROF. ANDRONICO DE MELLOMATEMÁTICA

PROFª ANNA LUISA

Geometria Plana

Quadrilátero

Definição:

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.

Elementos

Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.

Lados:

Diagonais:

Ângulos internos ou ângulos do

quadrilátero ABCD: .

Observações

1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.

2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.

Anna Luisa– Matemática 1

Côncavos e Convexos

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo

Quadrilátero

Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.

Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.

Do triângulo ABD, temos :

a + b1 + d1 = 180º. 1

Do triângulo BCD, temos:

c + b2 + d2 = 180º. 2

Adicionando 1 com 2 , obtemos:

a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º

a + b + c + d = 360º


Observações

1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:

Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.

2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.

Se = 360º

Quadriláteros Notáveis

Paralelogramo

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Exemplo:

h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria. Destacamos alguns paralelogramos:

Quadrilátero

Retângulo

Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).

Exemplo:


Losango

Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.

Exemplo:

Quadrado

Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.

Exemplo:

É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.


Trapézio

É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.

Exemplo:

Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.

Quadrilátero

Destacamos alguns trapézios:

Trapézio retângulo

É aquele que apresenta dois ângulos retos.

Exemplo:


Trapézio isósceles

É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.

Exemplo:

Trapézio escaleno

É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.

Exemplo:


Quadrilátero

Propriedades dos Paralelogramos

1ª Propriedade

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

H: ABCD é paralelogramo.

T:

DemonstraçãoAfirmativa Justificativa

1. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª Propriedade

Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.



T:


1. Hipótese.

2. Hipótese.

3. Lado comum.

4. Caso L.L.L.

3ª Propriedade

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo

T:


1. é diagonal (2ª propriedade)

2. Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.

3.Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.

4.

5.


Quadrilátero

4ª Propriedade

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.


T:


1. Ângulos alternos internos.

2. Lados opostos (1ª propriedade).

3. Ângulos alternos internos.

4. Caso A.L.A..

5. Lados correspondentes em triângulos congruentes.

Resumindo:

Num paralelogramo:

← os lados opostos são congruentes;

← cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;

← os ângulos opostos são congruentes;

← as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade característica do retângulo.

As diagonais de um retângulo são congruentes.


T: ABCD é retângulo.

H: .

a) Triângulos

Sendo R o raio da circunferência circunscrita, r o da inscrita e p = o semiperímetro, a área de um triângulo pode ser calculada das seguintes formas:


b) Retângulo

c) Paralelogramo

d) Trapézio

e) Losango

f) Quadrado


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PROFª ANNA LUISALista de Exercicios

Ângulos


Áreas


1) Determine a área das seguintes figuras (em cm):

a)

b)

c)

d)

e)

2) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo? 3) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio? 4) Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?

5) Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:a) a = 25 e b = 12b) a = 14 e b = 10

6. Os "Nove Capítulos sobre a Arte Matemática" é um compêndio chinês de Matemática, com mais de 2300 anos de idade. Nele, encontramos este problema: determine o diâmetro do círculo inscrito no triângulo de lados 6, 8 e 10. Calcule você esse diâmetro.

Resp: 4

7. Seja um triângulo ABC eqüilátero de lado 2. No interior desse triângulo, cuja área é , foi escolhido arbitrariamente um ponto P. Determine a soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo.

Resp:

8. Seis círculos, todos de raio 1cm, são dispostos no plano conforme mostram as figuras a seguir:


a.) Calcule a área do triângulo ABC.Resp:

b.) Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC.

Resp: . A área do triângulo ABC é maior do que a área do paralelogramo.

9. Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:

a.) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.

Resp: 2,25 mb.) Calcular a área do triângulo ABC.

Resp:

10. Na figura adiante, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semicircunferência de centro A e raio AB=AC=AD=R.

A diagonal forma com os lados e ângulos e , respectivamente. Logo, determine a área do quadrilátero ABCD.

Resp:

11. Um terreno tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura adiante:


O lado tem a mesma medida que e vale 6m. O ângulo mede 30°. Calcule a área do terreno.

Resp:

12. A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1 , que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2. Determine a área da região hachurada.

resp: 913. Uma piscina retangular, de 6m de largura por 12m de comprimento, é contornada por

uma superfície ladrilhada de 2m de largura, porém tendo os cantos formando triângulos, como mostra a figura. Determine a área (em m2) dessa região ladrilhada, que está marcada na figura.

Resp: 80 14. Para um quadrado de lado a, determine: o raio da circunferência circunscrita a ele, seu

apótema e sua área.

Resp: e a2

15. Dado um triângulo eqüilátero de lado a, determine: o raio da circunferência circunscrita a ele, seu apótema e sua área.

Resp: e

16. Para um hexágono regular de área , determine a área da coroa circular formada

pelas circunferências inscrita e circunscrita à ele.

Resp:


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