Geometria plana semelhanca_triang_lista01

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Geometria Geometria Plana – Semelhança de Triângulos – Lista 01

01. (INSPER/12) Duas cidades X e Y são interligadas

pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia R102, também retilínea e perpendicular à R101. Está sendo construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que ligará X à capital do estado. A nova rodovia interceptará a R102 no ponto P, distante 120 km da cidade Z.

O governo está planejando, após a conclusão da obra, construir uma estrada ligando a cidade Y até a R103. A menor extensão, em quilômetros, que esta ligação poderá ter é (A) 250. (B) 240. (C) 225. (D) 200. (E) 180.

02. (UFPE/11) Na figura abaixo AB AD 25,

BC 15 e DE 7. Os ângulos ˆˆDEA, BCA e ˆBFA

são retos. Determine AF.

03. (UNESP/11) Para que alguém, com o olho normal,

possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de 0,005 mm.

Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é 04. (UNESP/11) Uma bola de tênis é sacada de uma

altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra? 05. (UFPR/11) Um telhado inclinado reto foi construído

sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura.

A altura do suporte em B é, então, de: (A) 4,2 metros. (B) 4,5 metros. (C) 5 metros. (D) 5,2 metros. (E) 5,5 metros.

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06. (EEWB/11) Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é

um quadrado. Calcule a área do quadrado: AM = 4 cm NA = 6 cm

(A) 2,4 cm (B) 2,0 cm (C) 1,6 cm (D) 1,4 cm 07. (MACK/11) A área do quadrado assinalado na figura

é igual a

(A) 15 (B) 20 (C) 12 (D) 18 (E) 16 08. (G1 - EPCAR (CPCAR)/11) A figura abaixo

representa o logotipo que será estampado em 450 camisetas de uma Olimpíada de Matemática realizada entre os alunos do “Colégio Alfa”. Essa figura é formada por um círculo de centro O inscrito num triângulo

isósceles cuja base BCmede 24 cm e altura relativa a

esse lado mede 16 cm O círculo será pintado com tinta cinza e sabe-se que é necessário, exatamente, 1 pote de tinta cinza para pintar

25400 cm .

Adote 3π

Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de potes necessários para pintar o círculo em todas as camisetas é igual a (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Os dois triângulos da figura são congruentes, ambos isósceles com base e altura medindo 1.

O triângulo da esquerda foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas paralelas à sua base e o da direita foi dividido em três partes de áreas iguais por duas retas perpendiculares à sua base. 09. (INSPER/11) A distância entre as duas retas

paralelas tracejadas no triângulo da esquerda é igual a

(A) 3 1

.3

(B) 3 2

.3

(C) 6 1

.3

(D) 6 3

.3

(E) 6 3

.3

10. (INSPER/11) A distância entre as duas retas

perpendiculares à base no triângulo da direita é igual a

(A) 3 2

.6

(B) 3 2

.6

(C) 3 3

.3

(D) 6 6

.6

(E) 3 6

.3

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11. (ENEM/10) Em canteiros de obras de construção civil

é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde (A) a mesma área do triângulo AMC. (B) a mesma área do triângulo BNC. (C) a metade da área formada pelo triângulo ABC. (D) ao dobro da área do triângulo MNC. (E) ao triplo da área do triângulo MNC. 12. (FGV/10) Bem no topo de uma arvore de 10,2 metros

de altura, um gavião casaca-de-couro, no ponto A da figura, observa atentamente um pequeno roedor que subiu na mesma árvore e parou preocupado no ponto B,

bem abaixo do gavião, na mesma reta vertical em relação ao chão. Junto à árvore, um garoto fixa verticalmente no chão uma vareta de 14,4 centímetros de comprimento e, usando uma régua, descobre que a sombra da vareta mede 36 centímetros de comprimento. Exatamente nesse instante ele vê, no chão, a sombra do gavião percorrer 16 metros em linha reta e ficar sobre a sombra do roedor, que não se havia movido de susto. Calcule e responda: Quantos metros o gavião teve de voar para capturar o roedor, se ele voa verticalmente de A para B?

13. (FUVEST/10) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma

bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir.

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? 14. (G1 - CPS/10) A figura representa os triângulos

retângulos PQR e STR, sendo

RS 5 cm, ST 3 cm e QT 6 cm . A medida do

cateto PQ, em centímetros, é

(A) 7,5. (B) 8,2. (C) 8,6. (D) 9,0. (E) 9,2.

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15. (G1 - CPS/10) Marcelo mora em um edifício que tem

a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de 20 metros. Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema:

• O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e

CE ;

• o segmento AB representa a antena;

• o segmento BC representa a altura do prédio;

• ponto D pertence ao segmento CE ;

• o ponto F pertence ao segmento AE ;

• o ponto B pertence ao segmento AC ;

• os segmentos BC e FD são congruentes;

• a medida do segmento BF é 12 m;

• a medida do segmento DE é 36 m. Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros, (A) 45. (B) 50. (C) 60. (D) 65. (E) 70. 16. (FUVEST/10) Na figura, o triângulo ABC é retângulo

com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D

pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto

BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC , de tal forma

que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3

2, então a

área do paralelogramo DECF vale

(A) 63

25

(B) 12

5

(C) 58

25

(D) 56

25

(E) 11

5

17. (UNEMAT/10) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos

lados AB e AC .

O segmento MN mede 6 cm.

A área do triângulo ABC mede:

(A) 218 3 cm

(B) 224 2 cm

(C) 230 2 cm

(D) 230 3 cm

(E) 236 3 cm

18. (ENEM/09) A rampa de um hospital tem na sua parte

mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é (A) 1,16 metros. (B) 3,0 metros. (C) 5,4 metros. (D) 5,6 metros. (E) 7,04 metros.

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19. (ENEM CANCELADO/09) A fotografia mostra uma

turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça

da turista é igual a 2

3da medida do queixo da esfinge até

o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por

(A) b d'

a c

(B) b 2d

a 3c

(C) b 3d'

a 2c

(D) b 2d'

a 3c

(E) b 2d'

a c

20. (G1 - CFTMG/08) O triângulo ABC da figura foi

construído sobre uma folha de papel quadriculado.

Se MN é paralelo a BC, pode-se afirmar que AC

AN é igual

a:

(A) 4

7

(B) 7

4

(C) 8

3

(D) 11 21. (G1 - CPS/08) Leia o texto a seguir.

Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a sombra da pirâmide de Quéops, cuja base é um quadrado de 230 metros de lado. Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou verticalmente no solo uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo. As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da estaca são, respectivamente, 255 metros e 2,5 metros. (Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C.

"Matemática na Medida Certa".Volume. São Paulo: Scipione)

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Com base nas informações do texto e das figuras, é válido afirmar que a altura da pirâmide, em metros, é (A) 14,80. (B) 92,50. (C) 148. (D) 925. (E) 1.480. 22. (FUVEST/05) Na figura, ABC e CDE são triângulos

retângulos, AB = 1, BC = 3 e BE = 2DE. Logo, a medida

de AE é

(A) ( 3)

2

(B) ( 5)

2

(C) ( 7)

2

(D) ( 11)

2

(E) ( 13)

2

23. (FUVEST/05) Na figura a seguir A, B e D são

colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo.

Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5

2,

determine o valor de m.

24. (FUVEST/04) Um lateral L faz um lançamento para

um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

(A) 18,8 m (B) 19,2 m (C) 19,6 m (D) 20 m (E) 20,4 m

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25. (FUVEST/03) O triângulo ABC tem altura h e base b

(ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:

(A)

bh

h b

(B)

2bh

h b

(C)

bh

h 2b

(D)

bh

2h b

(E)

bh

2 h b

26. (FUVEST/02) Na figura a seguir, os triângulos ABC e

DCE são equiláteros de lado ℓ, com B, C e E colineares.

Seja F a intersecção de BD com AC . Então, a área do

triângulo BCF é:

(A)

2( 3)

8

(B)

2( 3)

6

(C)

2( 3)

3

(D)

2(5 3)

6

(E)

2(2 3)

3

27. (FUVEST/99) Na figura adiante, as distâncias dos

pontos A e B à reta r valem 2 a 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá

estar o ponto E, do segmento CD , para que CÊA=DÊB?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 28. (FUVEST/98) No triângulo acutângulo ABC a base

AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é

(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 14 (E) 16

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29. (UNESP/97) Na figura, B é um ponto do segmento de

reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.

Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são: (A) 4,5 e 6,5. (B) 7,5 e 3,5. (C) 8 e 3. (D) 7 e 4. (E) 9 e 2. 30. (UNESP/95) Um obelisco de 12 m de altura projeta,

num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra.

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GABARITO:

01. (E)

Determinando o valor de k no triângulo XZP: K

2 = 120

2 + 160

2

K = 200 km.

XZP XDYΔ Δ

200 1202d 360 d 180km

300 d

02. Considere a figura.

Como AB 25 5 5 e BC 15 5 3, segue que o

triângulo ABC é semelhante ao triângulo retângulo de

lados 5, 3 e 4. Logo, AC 5 4 20.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE,

vem

2 2 2 2 2 2AD DE AE AE 25 7

AE 576

AE 24.

Como os triângulos ADE e BGC são semelhantes por

AA, temos que

GC BC 15 7 35

GC .24 8DE AE

Logo, 35 125

AG AD GC 20 .8 8

Por outro lado, os triângulos ADE e AGF também são

semelhantes por AA. Desse modo,

12524

AF AG 8AF 15.25AE AD

03. (C)

1 x 15x x 3000mm 3m

0,005 15 0,005

04. Considere a figura abaixo.

Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes

por AA.

Portanto, sabendo que AB 21dm, DE 9dm e

BE 120dm, vem

AB BC 21 120 EC

9DE EC EC

7 EC 360 3 EC

EC 90dm 9 m.

05. (D)

Traçando DF AC, temos que os triângulos DHE e

DGF são semelhantes por AAA.

Se HE x, vem:

x 12x 1,2 m.

2 20

Assim, a altura do suporte em B é:

4 x 4 1,2 5,2 m.

06. (A)

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MBC MAN

4 x x 124x 24 6x 10x 24 x

4 6 5

Δ Δ

Portanto, x = 2,4. 07. (A)

21 2

3 x~ x 15

x 5 Δ Δ

Logo, a área do Quadrado é 15 unid

2

08. (A)

2 2 2AC 16 12 AC 20

R 16 RAOD ~ ACM R 6

12 20Δ Δ

Área que será pintada.

A = 2 2 2A 450. .R 450.3.6 48600cmπ

Número de potes = 486009

5400

09. (D)

Considere a figura.

Como os triângulos MNS e MPQ são semelhantes,

temos que

(MNS) A 1.

(MPQ) 3A 3

Assim, como a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, vem

11

h 1 3h .

1 3 3

Além disso, os triângulos MNS e MOR também são

semelhantes. Então,

(MNS) A 1.

(MOR) 2A 2

Daí,

12

2 2

h 1 3 3 1 6h .

h 2 h 2 3

Portanto, a distância pedida é igual a

2 1

6 3 6 3h h .

3 3 3

10. (E)

Considere a figura.

Como os triângulos NOP e MOQ são semelhantes,

temos

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(NOP) A 2.

(MOQ) 3A 2 3

Sabendo que a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, vem

11

b 2 1 2 6b .

1 2 3 2 63

Portanto, a distância pedida é dada por

1 6 3 62 PQ 2 .

2 6 3

11. (E)

2

MNC

ABC

S 1

S 2

SABC = 4.SMNC

SABMN= SABC – SMNC = SABMN = 4.SMNC - SMNC

SABMN = 3. SCMN (TRIPLO)

12. Cálculo da medida da sombra da árvore.

mxx

5,2536

4,142,10

Aplicando teorema de Tales, temos:

mdd

4,6255

16

2,10

13.

yy

xx

8,0

4,0

9,0

2,1

~~ 321

Aplicando a propriedade da proporção

Nas duas últimas razões:

yy

xx

8,0

4,0

9,0

2,1

8,0

4,0

9,0

2,1

xx

Resolvendo temos: x = 6/17 Resposta x = 6/17 m

14. (A)

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST, temos:

2 2 2z 3 5 z 4.

RST ~ RPQΔ Δ , logo:

3 44x 30 x 7,5

x 6 4

Portanto, PQ = 7,5 cm. 15. (C)

Considerando x a altura do prédio, temos:

ABF ~ ACE

20 12

20 x 12 36

20 1

20 x 4

x 60 m

Δ Δ

16. (A)

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(AC)2 = 4

2 + 3

2 AC = 5

∆DBE ~ ∆ABC 5

2

3

34

yx x = 1,2 e y = 0,9

A base do paralelogramo será 3 – 0,9 = 2,1 e sua altura será x = 1,2

Logo sua área será A = 2,1. 1,2 = 25

63

100

252

10

12

10

21

17. (E)

AMN ~ ABC logo, BC = 2.6 = 12

Área do ABC = 4

312 2

= 336 cm2

18. (D)

mxxx

6,52,3.2,2)2,3(8,02,2

8,0

2,3

2,3

19. (D)

Na figura o ∆BC ~ ∆ADE logo

c

d

a

b como d =

3

2.d

‘

Temos 2c

2d

a

b '

20. (B)

21. (C)

.m148x5,2

370

1

x

:DCE~VAC

ΔΔ

22. (C)

23. m = 2 + (5 2)

2

24. (B) 25. (D) 26. (A) 27. (A) 28. (B) 29. (E) 30. 4,08 m

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