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Substituição Trigonométrica

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Substituição Trigonométrica

1.Introdução

2.Resolução de Exemplos

1. Introdução

Para determinar a área de um círculo ou umaelipse, uma integral da forma

2 2a x dx−∫

aparece, onde a > 0.

1. Introdução

a substituição u = a2 – x2 poderia ser eficaz, mas,como está,

Se a integral fosse

2 2x a x dx−∫

2 2a x dx−∫é mais difícil.

1. Introdução

Se mudarmos a variável de x para θ pelasubstituição x = a senθ, então a identidade 1 – sen2θ =cos2θ permitirá que nos livremos da raiz, porque

2 2 2 2 2 2 2sen (1 sen )a x a a a− = − = −∫ ∫ ∫θ θ

2 2cos cosa a= =∫ θ θ

1. Introdução

Note a diferença entre a substituiçãou = a2 – x2 (na qual uma nova variável é uma funçãoda velha) e a substituição x = a senθ (a variávelvelha é uma função da nova).

1. Introdução

Em geral podemos fazer uma substituição daforma x = g (t) usando a Regra da Substituição aocontrário.

Para simplificar nossos cálculos, presumimosque g tem uma função inversa, isto é, g é um a um.Nesse caso, se trocarmos u por x e x por t naRegra da Substituição, obteremos

( )( ) ( ) ( )f x dx f g t g t dt′=∫ ∫Esse tipo de substituição é chamado de

substituição inversa.

1. Introdução

Na tabela a seguir listamos as substituiçõestrigonométricas que são eficazes para asexpressões radicais dadas em razão de certasidentidades trigonométricas.

Em cada caso, a restrição de θ é impostapara assegurar que a função que define asubstituição seja um a um.

Podemos fazer a substituição inversax = a sen θ desde que esta defina uma função um aum. Isso pode ser conseguido pela restrição de θno intervalo [-π/2, π/2].

1. Introdução

Expressão Substituição Identidade

2 2a x−

2 2a x+

2 2x a−

sen

[ 2, 2]

x a=∈ −

θθ π π

tg

( 2, 2)

x a=∈ −

θθ π π

sec

[0, 2) ou [ ,3 2)

x a=∈

θθ π π π

2 21 sen cos− =θ θ

2 21 tg sec+ =θ θ

2 2sec 1 tg= −θ θ

TABELA DE SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

OBS: Estes são os mesmos intervalos usados na definição de funções inversas.

2. Resolução de exemplos

Exemplo 1: Calcule a integral

2

2

9 xdx

x−

∫


Solução: Seja x = 3 sen θ, onde -π/2 ≤ θ ≤ π/2.Então dx = 3 cos θ d θ e

2 2 29 9 9sen 9cosx− = − =θ θ

3 cos 3cos= =θ θ


Note que cos θ ≥ 0 porque -π/2 ≤ θ ≤ π/2. Então aRegra da Substituição Inversa fornece

2

2 2

9 3cos3cos

9senx

dx dx− =∫ ∫

θ θ θθ

( )2

2 22

coscotg cossec 1

send d d= = = −∫ ∫ ∫

θ θ θ θ θ θθ

2cossec cotgd d C= − = − − +∫ ∫θ θ θ θ θ


Como esta é uma integral indefinida,devemos retornar à variável x original. Isso podeser feito usando-se as identidades trigono-métricas para expressar cotg θ em termos desen θ = x/3 ou pelo desenho de um diagrama, comona figura abaixo, onde θ é interpretado como umângulo de um triângulo retângulo.

sen3x=θ


Pelo Teorema de Pitágoras o comprimentodo lado adjacente é

29 x−

Assim podemos ler o valor de cotg θdiretamente da figura.

29cotg

xx−=θ


Como

1sen sen3 3x x

C− = ⇒ = +

θ θ

Então

2

2

9cotg

xdx C

x− = − − +∫ θ θ

2 21

2

9 9sen

3x x x

dx Cx x

−− − = − − +

∫


Exemplo 2: Determine a área limitada pela elipse

2 2

2 2 1x ya b

+ =


Solução: Resolvendo a equação da elipse para y,temos:

2 2 2 2 2

2 2 2 21y x y a xb a b a

−= − ⇒ =

( )2

2 2 2 2 22

b by a x y a x

a a= − ⇒ = ± −


Porque a elipse é simétrica em relação aambos os eixos, a área total A é quatro vezes aárea do primeiro quadrante, conforme a figuraabaixo

2 2

2 2 1x ya b

+ =


A parte da elipse no primeiro quadrante édada pela função

2 2 0 xb

y a x aa

= − ≤ ≤

e, dessa forma

2 2

0

14

a bA a x dx

a= −∫


Para avaliar essa integral substituímosx = a sen θ. Então dx = a cos θ dθ. Para mudar oslimites de integração notamos que quando x = 0,sen θ = 0, logo θ = 0; quando x = a, sen θ = 1, assimθ = π/2. Também

2 2 2 2 2 2 2sen cosa x a a a− = − =θ θ

cos cosa a= =θ θ

já que 0 ≤ θ ≤ π/2.


Portanto

/22 2

0 0

4 4 cos cosab b

A a x dx a a da a

= − = ⋅∫ ∫π

θ θ θ

( )/2 /22

2

0 0

14 cos 4 1 cos2

2a b

d ab da

= = +∫ ∫π π

θ θ θ θ

/2

0

12 sen2 2

2 2ab ab ab = + = =

π πθ θ π


Mostramos que a área de uma elipse comsemi-eixos a e b é πab. Em particular, tomandoa = b = r, provamos a famosa fórmula que diz que aárea de um círculo de raio r é πr 2.

OBS: Como a integral no Exemplo 2 era a definida,mudamos os extremos de integração e não tivemosde convertê-los de volta à variável x original.



2 2

1

4dx

x x +∫


Solução: Seja x = 2 tg θ, -π/2 < θ < π/2. Entãodx = 2 sec2θ dθ e

( )2 2 24 4tg 4 4 tg 1x + = + = +θ θ

24sec 2 sec 2sec= = =θ θ θ


Assim, temos

2

22 2

2sec4tg 2sec4

dx d

x x=

⋅+∫ ∫θ θ

θ θ

2

1 sec4 tg

d= ∫θ θ

θ


Para avaliar essa integral trigonométricacolocamos tudo em termos de sen θ e cos θ.

2

2 2 2

sec 1 cos costg cos sen sen

= ⋅ =θ θ θθ θ θ θ


Portanto, fazendo a substituição u = sen θ,temos

2 22 2

1 cos 14 sen 4 u4

dx dud

x x= =

+∫ ∫ ∫θ θθ

1 1 1 cossec4 u 4sen 4

C C C = − + = − + = − +

θθ


Usamos a figura abaixo para determinarcossec θ.

Assim

2 4cossec

xx

+=θ

tg2x=θ

2

2 2

444

dx xC

xx x

+= − ++∫



2 4

xdx

x +∫


Solução: Seria possível usar a substituiçãotrigonométrica x = 2 tg θ aqui (como no Exemplo3). Mas a substituição direta u = x 2 + 4 é maissimples, porque du = 2x dx e

2

2

14

24

x dudx u C x C

ux= = + = + +

+∫ ∫


OBS: O Exemplo 4 ilustra o fato de que mesmoquando as substituições trigonométricas sãopossíveis, elas nem sempre dão a solução mais fácil.Deve-se primeiro visualizar um método mais fácil.


Exemplo 5: Calcule a integral abaixo, onde a > 0.

2 2

dx

x a−∫


Solução: Seja x = a secθ, onde 0 < θ < π/2 ouπ < θ < 3π/2 . Então dx = a secθ tgθ dθ e

( )2 2 2 2 2 2 2sec sec 1x a a a a− = − = −θ θ

2 2tg tg tga a a= = =θ θ θ


Portanto, fazendo a substituição u = sen θ,temos

2 2

sec tgtg

dx ad

ax a=

−∫ ∫θ θ θθ

sec ln sec tgd C= = + +∫ θ θ θ θ


O triângulo da figura abaixo mostra a tgθ.Assim temos

secxa

=θ

2 2

tgx a

a−=θ


2 2ln sec tg

dx

x a= +

−∫ θ θ

2 2

2 2ln

dx x x aC

a ax a

−= + +−∫

2 2

2 2ln

dx x x aC

ax a

+ −= +−∫

2 2

2 2ln ln

dxx x a a C

x a= + − − +

−∫


Escrevendo C1 = C – ln a, temos

2 212 2

lndx

x x a Cx a

= + − +−∫


OBS: As substituições hiperbólicas podem serutilizadas no lugar de substituições trigonomé-tricas e elas, às vezes, nos levam a respostas maissimples. Mas geralmente usamos substituiçõestrigonométricas, porque as identidades trigono-métricas são mais familiares que as identidadeshiperbólicas.


Exemplo 6: Calcule a integral definida

( )3 3 /2 3

3/220 4 9

xdx

x +∫


Solução: Primeiro notamos que

( ) ( )33/22 24 9 4 9 .x x+ = +

Logo, a substituição trigonométrica éapropriada. Embora (4x2 + 9)1/2 não seja exata-mente uma expressão da tabela de substituiçõestrigonométricas, ela se torna parte delas quandofazemos a substituição preliminar u = 2x.


Quando combinamos esta com a substituiçãoda tangente, temos

23 3tg sec

2 2x dx d= ⇒ =θ θ θ

( )2 2 24 9 9tg 9 9 tg 1x + = + = +θ θ

29sec 3 sec 3sec= = =θ θ θ


Quando

0 tg 0 0x = ⇒ = ⇒ =θ θ

3 3tg 3

2 3x = ⇒ = ⇒ = πθ θ


( )

33 3 /2 /33

23/2 32

0 0

27tg 38 sec

27sec 24 9

xdx d

x=

+∫ ∫

π θθ θ

θ

/3 /33 3

30 0

3 tg 3 sencos

16 sec 16 cosd d= =∫ ∫

π πθ θθ θ θθ θ

( )2/3 /32

2 20 0

1 cos3 sen sen 3sen

16 cos 16 cosd d

−= =∫ ∫

π π θθ θ θ θ θθ θ


Agora substituímos u = cos θ de modo quedu = - sen θ dθ. Quando θ = 0, u = 1; quando θ = π/3,u = 1/2.

( )( )23 3 /2 /33

3/2 220 0

1 cos3sen

16 cos4 9

xdx d

x

−=

+∫ ∫

π θθ θ

θ

( )1/2 1/2 1/22 2

22 2

1 1 1

3 1 u 3 u 1 31

16 16 16du du u du

u u−− −= − = = −∫ ∫ ∫

( )1/2

1

3 1 3 1 32 1 1

16 16 2 32u

u = + = + − + =



23 2

xdx

x x− −∫


Solução: Podemos transformar o integrando emuma função para a qual a substituiçãotrigonométrica é apropriada completando oquadrado.

( )2 23 2 3 2x x x x− − = − +

( ) ( )223 1 2 1 4 1x x x= + − + + = − +


Isso sugere a substituição u = x + 1. Entãodu = dx e x = u – 1, assim

2

1

4

udu

u

−−∫


Agora substituímos

2sen 2cosu du d= ⇒ =θ θ θ

( )2 2 24 4 4sen 4 1 senu− = − = −θ θ

24cos 2 cos 2cos= = =θ θ θ


Obtendo

2 2

1

3 2 4

x udx du

x x u

−=− − −∫ ∫

( )2sen 1 2cosd C= − = − − +∫ θ θ θ θ

2 14 sen2u

u C− = − − − +

2 1 13 2 sen

2x

x x C− + = − − − − +

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