III – Sistemas Não Lineares

Referência Principal:

Caos

N. Fidler-Ferrra, C. P. Cintra do Prado

Editora Edgar Blücher (1994)

III – B/C

Ciclos Limites

caóticas. soluções há não plano No

limites. ciclos a convergem elas plano, No

.equilíbrio de ponto um para convergem limitadas soluções linha, Na

autônomos. sistemas dos soluções das oassintótic

ntocomportame do formas as limita fase de espaço do Dimensão

caos.haver pode sional tridimenespaço No

nal.bidimensio espaço no caos há Não

Bendixson - Poincaré de Teorema ⇒

Tipos de Soluções no Plano

• Pontos Fixos

• Ciclos limites

• Ciclos (órbitas) homo e heteroclínicas

d t 8 1 - e c

e c r

estável limite ciclo periódica órbita 1 r

0) (0, : instável equilíbrio de Ponto

8

)r - 1 (r r

:Exemplo

t

t

+=θ=

→=

=θ

=•

•

instável limite ciclo instável periódica órbita 1 r

0) (0, : estável equilíbrio de Ponto

8

)r - 1 (r - r

:Exemplo

→=

=θ

=•

•

( )

( )

) v ( f- vde )v( é ) v ( f v equação da )v(

}v { )v( )v( equilíbrio de pontov

.z)v, t(Flim com - t reais números de }{t limitada não

edecrescent sequência umaexistir se )v( limite conjunto no está z

.z)v, t(Flim com treais números de

} t{ limitada não crescente sequência umaexistir se )v( z

. t quando z

para converge que pontos de sequência umahouver se ),v (t, F

solução da)v( , limite conjunto no está z ponto Um:Definição

R em veldiferenciá e contínuo mapa f ; ) v ( f v

Plano no Limites Conjuntos

00

0000

0n n

nn

0

0n n

n

n0

0

0

n

rrrrrrrrrr

rrrrrr

rr

rrr

rr

rrr

r

r

rrr

rrrr

=ω=α

=α=ω→

=∞→α

=∞→ω⊂

∞+→

ωω=

••

∞→

∞→

•

vazioconjunto :} { )(x 0, xPara

{0} )(x ,0 xPara

{a} )(x 0, xPara

a xe 0 x :equilíbrio de Pontos

0 a , ) x - a ( x x

Exemplo

00

00

00

=ω<=ω==ω>

==>=

•

0r ; a} {r ) , r(

{0} ) 0(

estável equilíbrio de ponto é mOrige

b

)r - a (r r

Exemplo

000 ≠==θω=ω

=θ

=•

•

) 0, a, ( ) , a(

0r ; a} {r ) , r(

{0} ) 0(

)0,0(

),a(

)0,a(

:equilíbrio de Pontos

) a r (sen

)r - a (r r

Exemplo

0

000

22

π=θ=θω≠∀==θω

=ω

π

−+θ=θ

=•

•

.equilíbrio de pontos são

)u( e )u( limites conjuntos os , )v( em u cada Para -c

ou periódica órbita uma é )v( -b

ou equilíbrio de ponto um é )v( a

limitadafor )v (t, F ) t ( órbita a Se

isolados. equilíbrio de pontos com,R em suave f ),v( f v

Bendixson - Poincaré de Teorema

0

0

0

0

2

rrrr

r

r

r

rr

ωαωωω−

⇒∞→=

•

não.ou A emestar pode v limite ponto O

)v para convergem queA em pontos de sequência uma Há (

.v de distintosA de pontos contem )v(N ça vizinhancada se

A conjunto um de limite ponto um é R v ponto Um

Limites Conjuntos dos esPropriedad

n

r

r

rr

r

ε

∈

) v( z ) v ( y e )y( z Se

Transitiva - 5

conectado. é órbita uma de limitado limite conjunto O

Conexão 4

).v( em está ) y (t, F todaórbita a então ),v( em está y Se

Invariança - 3

fechado. é limite conjunto Um

Fechamento - 2

vazio.conjunto um é não limite órbita uma de limite conjunto O

Existência -1

00

00

rrrrrr

rrrr

ω∈⇒ω∈ω∈

ω

−

ωω

ω

ω

sional. tridimen volumeum em

toroidalsuperfície uma preenche Movimento

T torusum formam áveisincomensur freqências Duas 2

III – D

Bifurcações de Ciclos Limites

23

2

3Rem)v(fvisdiferencia equações Para

RemperiódicaórbitaRemperiódicaÓrbita

RemPoincarédemapaoosanalisarem

⇒

= r&r

Sistemas bidimensionais

Estabilidade Estrutural

• Estabilidade da solução depende dos

parâmetros de controle.

• Mudança qualitativa na solução, com a

alteração de um parâmetro, caracteriza uma

bifurcação.

ChaosAlligood et al.

Mapa de Poincaré

ChaosAlligood et al.

Exemplo de Mapa de Poincaré

Atrator:ciclo limite com r = 1

...}r,r,{r

:Poincaré de Mapa

,210

ChaosAlligood et al.

BifurcaçãoSela-Nó

ChaosAlligood et al.

Dobramento de Período

ChaosAlligood et al.

Bifurcação de Hopf

)yxa(yxy

)yx-x(ay-x

Exemplo

22

22

−−+=−+=

&

&

ChaosAlligood et al.

Ilustração da Bifurcação de Hopf

ChaosAlligood et al.

Bifurcação de Hopf Sub-Crítica1

rr2arr 53

=θ

−+=&

&

ChaosAlligood et al.

Bifurcação de Hopf Sub-Crítica nas Equações de Lorenz