IntegracaoFuncional

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Integral de Caminho em Mecanica Quantica

Dyana C. Duarte, Ricardo L. S. Farias

11 de novembro de 2014

UFSM Dyana C. Duarte 1/42

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Roteiro

1 Motivacao

2 Formulacao de integral de caminhoPropagador via integral de caminhoExemplo: Oscilador Harmonico

3 Algumas referencias


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Motivacao

Ù A integracao de caminho (ou integracao funcional) nos fornece umaimportante ferramenta para o estudo de sistemas quanticos dos quaisqueremos saber, por exemplo, a evolucao temporal, dada pelo operadorHamiltoniano

Ù Esse metodo foi desenvolvido e utilizado primeiramente por RichardPhilips Feynman, em estudos sobre a eletrodinamica quantica. Feyn-man juntamente com Julian Schwinger e Sin-Itiro Tomonaga recebeuo premio Nobel de Fısica em 1965.


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Motivacao

Ù Podemos entender diversos problemas classicos e quanticos atravesdas integrais de caminho, mas essa formulacao e especificamente utilem teoria de campos,tanto relativıstica quanto nao-relativıstica. Essasintegrais fornecem um caminho para a quantizacao e para resolver asexpressoes das funcoes de Green, que sao relacionadas com amplitudesdos processos fısicos, como a dispersao e o decaimento de partıculas.


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Propagador via integral de caminhoExemplo: Oscilador Harmonico

Formulacao de integral de caminho

As quantidades p e q em mecanica quantica sao substituıdas por o-peradores que obedecem as relacoes de comutacao de Heisenberg. Aformulacao de integral de caminho e baseada diretamente na nocao depropagador K(qf , tf ; qi, ti). Dada uma funcao ψ(qi, ti) em um tempo tio propagador da a funcao de onda correspondente a outro tempo tf :

ψ(qf , tf ) =∫

K(qf , tf ; qi, ti)ψ(qi, ti)dqi (1)


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Da mesma forma que na mecanica quantica o modulo ao quadrado dafuncao de onda da a probabilidade de se encontrar uma partıcula emdeterminada regiao do espaco, o modulo ao quadrado do propagadornos da a probabilidade de que ocorra uma transicao de qi num tempo tipara qf num tempo tf :

P(qf , tf ; qi, ti) = |K(qf , tf ; qi, ti)|2 (2)


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Dividindo o intervalo entre (qi, ti) e (qf , tf ) em dois, sendo (q, t) otermo intermediario, como na figura, temos:

K(qf , tf ; qi, ti) =∫

K(qf , tf ; qt)K(qt; qi, ti)dq (3)

Figure : Propagacao de uma partıcula de (qi, ti) para (qf , tf ), via uma posicaointermediaria (q, t)


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Denotamos K(2A;1) a amplitude de probabilidade que o eletron passeda fonte 1 pelo buraco 2A, para os detectores 3, e assim por diante. Daequacao (3) temos, entao,

K(3; 1) = K(3; 2A)K(2A; 1) + K(3; 2B)K(2B; 1) (4)

Figure : Experimento de fenda dupla


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A probabilidade sera, entao:

P(3; 1) = |K(3; 1)|2 (5)

Nao podemos dizer que o eletron passara por A ou por B; ele passa, decerta forma, por ambos os caminhos (se nao for detectado em uma dasfendas). Essa nocao de todos os caminhos possıveis e importante noformalismo de integral de caminho.


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ou seja, ψ(q, t) = 〈qt|ψ〉H , e usando a relacao de completeza nos estadosencontramos:

〈qf , tf |ψ〉 =∫〈qf , tf |qi, ti〉〈qi, ti|ψ〉dqi (9)

Da eq, (8)

ψ(qf , tf ) =∫〈qf , tf |qi, ti〉ψ(qi, ti)dqi (10)

em comparacao com (1) teremos:

〈qf , tf |qi, ti〉 = K(qf , tf ; qi, ti) (11)

que e o resultado esperado.


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Dividimos o intervalo de tempo entre ti e tf dividido em (n + 1) partesiguais (τ), como na figura a seguir. A equacao (3) da, agora,

〈qf , tf |qi, ti〉 =∫

...

∫dq1dq2...dqn〈qf , tf |qn, tn〉 ×

〈qn, tn|qn−1, tn−1〉...〈q1, t1|qi, ti〉 (12)

Figure : Propagacao de (qi, tt) a (qf , tf ) sobre diferentes caminhos


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A integral (12) e tomada sobre todas as possıveis trajetorias, e cadaum dos segmentos (qjtj; qj−1tj−1) pode ser dividido em intervalos aindamenores.Podemos calcular o propagador por um pequeno segmento da integralde caminho. De (8) temos:

〈qj+1, tj+1|qjtj〉 = 〈qj+1|e−iHτ/~|qj〉

= δ(qj+1 − qj) −iτ~〈qj+1|H|qj〉

=1

2π~

∫dp exp

[ i~

p(qj+1 − qj)]−

iτ~

⟨qj+1|H|qj

⟩(13)


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O Hamiltoniano, e constituıdo por uma parte cinetica e uma potencial.Neste caso e descrito por:

H =p2

2m+ V(q) (14)

H pode ser uma funcao qualquer de p mais uma funcao qualquer deq. Apos algumas manipulacoes na equacao (14) obtemos para o termocinetico:⟨

qj+1

∣∣∣∣∣∣ p2

2m

∣∣∣∣∣∣ qj

⟩=

∫dp′dp〈qj+1|p′〉

⟨p′

∣∣∣∣∣∣ p2

2m

∣∣∣∣∣∣ p⟩〈p|qj〉

=

∫dp′

hexp

[ i~

p(qj+1 − qj)] p2

2m(15)


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De forma analoga, para o termo de potencial:

〈qj+1|V(q)|qj〉 = V(qj+1 + qj

2

)〈qj+1|qj〉

= V(qj+1 + qj

2

)δ(qj+1 − qj)

=

∫dph

exp[ i~

p(qj+1 − qj)]

V(qj) (16)

em que qj =12 (qj + qj−1).


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Escrevemos, de (13) (15) e (16):

〈qj+1tj+1|qjtj〉 =1h

∫dpj exp

{ i~

[pj(qj+1 − qj) − τH(pj, q)]}

(17)

em que pj e o momento entre tj e tj+1 ou, de forma equivalente, qj eqj+1. Essa equacao nos da o propagador de um caminho possıvel.


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O propagador completo e dado substituindo em (12), no limite contınuo(em que pj e o momento ao longo do caminho entre qj e qj+1),

〈qf tf |qiti〉 = limn→∞

∫ n∏j=1

dqj

n∏j=0

dpj

h×

exp

i~

n∑j=0

[pj(qj+1 − qj) − τH(pj, qj)]

(18)

com q0 = qi, qn+1 = qf . De forma simbolica:

〈qf tf |qiti〉 =∫DpDq

hexp

i~

[∫ tf

tidt[pq − H(p, q)]

](19)

com q(ti) = qi, q(tf ) = qf .


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Ù No limite contınuo, q e uma funcao de t, e a integral e uma integralfuncional, ou seja, uma integral sobre todas as funcoes. Isso e infinito-dimensional. A expressao (19) e a expressao da integral de caminhopara a amplitude de transicao de (qi, ti) a (qf , tf ).Ù Cada funcao q(t) e p(t) define um caminho no espaco de fase. Naformulacao de integral de caminho devemos explicitar a expressao paraa amplitude de transicao, que e melhor adaptada para os problemas dedispersao.Ù As quantidades p e q ocorrentes na integral sao quantidades classicas,nao operadores, (c-numbers, nao q-numbers).


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Integrando a equacao (18) em p:


∫ n∏1

dqj

n∏0

dpj

h×

exp

i~

n∑0

pj(qj+1 − qj) −p2

j

2mτ − V(qj)τ

(20)

Completando os quadrados na equacao (20) encontramos:


( mihτ

)(n+1)/2 ∫ n∏1

dqj ×

exp

iτ~

n∑0

[m2

(qj+1 − qj

τ

)2− V

] (21)


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Ù No limite contınuo, teremos:

〈qf tf |qiti〉 = N∫Dq exp

[i~

∫ tf

tiL(q, q)dt

](22)

em que L = T − V , a lagrangeana classica. No limite, com n → ∞N torna-se infinito, mas isso nao importa desde que as amplitudes detransicao sejam sempre quantidades normalizadas. Finalmente, pode-mos escrever o propagador como:

〈qf tf |qiti〉 = N∫Dq exp

[ i~

S[q(t)]]

(23)

sendo S =∫

Ldt a acao classica.


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Oscilador Harmonico

Ù Como um exemplo das integrais de caminho, vamos considerar umoscilador harmonico unidimensional. A Lagrangeana e dada por

L =m2

[q2 − ω2q2

](24)

O propagador sera

K(q′, t; q, 0) =∫Dq exp

[ i~

S[q(t′)]]

(25)

com

S[q(t′)] =∫ t

0dt′L(q, q) (26)

em que q e q sao funcoes de t′ ao longo de cada trajetoria.


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Oscilador Harmonico

Ù Podemos reescrever a trajetoria generica total q(t′) como uma tra-jetoria classica mais uma variacao:

q(t′) = qcl(t′) + x(t′) (27)

A trajetoria classica e sempre a mesma. Aqui, as condicoes de con-torno iniciais nao sao as mesmas usuais em mecanica classica, deposicao e velocidade no instante inicial. Temos posicao no tempoinicial e posicao no tempo final, e queremos saber qual e a trajetoriaclassica.Ù Como os pontos final e inicial sao fixos, outra condicao de contornosera x(0) = x(t) = 0.


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Oscilador Harmonico

Ù A acao de qcl mais uma flutuacao x sera dada por:

S[qcl + x] =∫ t

0dt′L

=

∫ t

0dt′

[m2

[(qcl + x)2 − ω2(qcl + x)2]

=

∫ t

0dt′

m2

(q2cl − ω

2q2cl)︸︷︷︸

S[qcl(t′)]

+

∫ t

0dt′

m2

(x2 − ω2x2)︸︷︷︸S[x(t′)]

+

+

∫ t

0dt′

m2

(2qclx − 2ω2qclx)

(28)


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Oscilador Harmonico

Ù Essa integral tem tres partes. Primeiro, temos S em x = 0, o quenos da a acao ao longo da trajetoria classica. Como esta trajetoria estadefinida pelas equacoes de movimento classicas, S[qcl(t′)] e fixo, e naose altera ao mudarmos a trajetoria. Nesse caso o que varia e x, que estacontido na segunda parte da integral. Depois temos os termos cruzadosde qcl e x:

S[qcl + x] = S[qcl(t′)] + S[x(t′)] + m∫ t

0dt′[qclx︸︷︷︸∗

−ω2qclx] (29)


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Oscilador Harmonico

Ù A integral assinalada em (29) pode ser resolvida por partes. Tere-mos: [

mqclx]t

0−m

∫ t

0dt′[qclx + ω2qclx] (30)

O termo (mqclx) integrado de 0 a t e zero, devido as condicoes iniciais.O termo entre colchetes e a equacao classica do movimento, e tambeme igual a zero. Entao, a acao de uma trajetoria escrita como a trajetoriaclassica mais uma flutuacao sera a acao calculada sobre a trajetoriaclassica mais a acao calculada nas flutuacoes:

S[qcl + x] = S[qcl(t′)] + S[x(t′)] (31)


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Oscilador Harmonico

Ù A acao classica tem as condicoes de contorno, dependendo, por-tanto, de q e q′. Ja a integral sobre as flutuacoes vai de zero a zero emq, por isso depende somente de x. Podemos entao reescrever a integralfuncional:∫Dq exp

[ i~

S[q(t′)]]=

∫Dq exp

[ i~{S[qcl(t′)] + S[x(t′)]}

]= exp

[ i~

S[qcl(t′)]] ∫Dx exp

[ i~

S[x(t′)]]

(32)

O ultimo termo de (32) so depende dos instantes inicial e final, portantoe uma funcao de t que chamaremos F(t).


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Oscilador Harmonico

Ù Primeiramente vamos encontrar a acao classica, e para isso, temosa equacao do oscilador harmonico:

q2cl + ω

2q2cl = 0

{qcl(0) = qqcl(t) = q′

(33)

com as condicoes de contorno qcl(0) = q e qcl(t) = q′.


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Oscilador Harmonico

Ù Primeiro escrevemos a solucao geral da equacao (33):

qcl(t′) = A sin(ωt′) + B cos(ωt′) (34)

das condicoes de contorno temos, para qcl(0):

qcl(0) = q→ B = q

e para qcl(t):

q′ = A sin(ωt) + q cos(ωt)

A =q cos(ωt) − q′

sin(ωt)


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Oscilador Harmonico

Ù ou seja,

qcl(t′) =q′ − q cos(ωt)

sin(ωt)sin(ωt′) + q cos(ωt′) (35)

Podemos entao, calcular a acao classica:

S[qcl(t′)] =∫ t

0dt′

m2

(q2cl − ω

2q2cl) (36)

Desenvolvendo essa equacao encontramos que:

S[qcl(t′)] =m2

qclqcl

∣∣∣∣∣t0

(37)

(Durante o desenvolvimento de (36) encontramos um termo que e iguala trajetoria classica, e portanto vale zero )


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Oscilador Harmonico

Ù substituindo (35) em (37) para calcular a acao encontramos:

S[qcl(t′)] =mω

2 sin(ωt)[(q′2 + q2) cos(ωt) − 2qq′] (38)

O propagador para o oscilador harmonico sera entao, uma funcaodo tempo, que e uma integral funcional de zero a zero vezes uma ex-ponencial:

K = F(t) exp{ i~

S[qcl(t′)]}

= F(t) exp[ imω2~ sinωt

[(q′2 + q2) cos(ωt) − 2qq′]]

(39)


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Oscilador Harmonico

Ù A fim de calcular o fator F(t) em (39), as variaveis de integracaopodem ser alteradas para um conjunto mais util. Como x(t) = 0 em 0 eem t essa funcao pode ser escrita como uma serie de Fourier de senosda forma:

x(t) =N−1∑n=1

an sinnπt′

t(40)

em que t (tempo total) e an sao constantes arbitrarias. Essa mudancade variaveis deve ser acompanhada por um fator correspondente aoJacobiano da transformacao. Para a mudanca (40), o Jacobiano e dadopor:

J ≡ J(a1, a2, ..., aN−1) = det[sin

nπt

(tj − ta)]

(41)

em que n e j sao os ındices da matriz dada pelo Jacobiano.


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Oscilador Harmonico

Ù Uma computacao direta de J seria complicada, pois trata-se de cal-cular o determinante de uma matriz infinita. Podemos, ao inves decalcula-lo, inferir o seu valor a partir de resultados conhecidos. Se ob-servarmos a equacao do oscilador harmonico (33), vemos que, a menosdo termo de potencial ω2qcl temos a mesma equacao da partıcula livre.Entao o valor de J deve ser o valor da constante para a partıcula livre:

J =( m2πi~t

)1/2(42)


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Oscilador Harmonico

Ù Se dividirmos a trajetoria em N intervalos iguais, haverao N−1 pon-tos intermediarios, ou seja, teremos N − 1 coeficientes de Fourier in-dependentes na equacao (40). Para calcular a acao sobre as flutuacoesusamos as relacoes de ortogonalidade das funcoes seno e cosseno deFourier e os resultados abaixo:

∫ t

0dt′[x(t′)]2 =

∑n,m

∫ t

0dt′anam

(nπt

) (mπt

)cos

(nπt′

t

)cos

(nπt′

t

)

=t2

N−1∑n=1

(nπt

)2a2

n (43)


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Oscilador Harmonico

Ù E tambem∫ t

0dt′[x(t′)]2 =

∑n,m

∫ t

0dt′anam sin

(nπt′

t

)sin

(mπt′

t

)

=t2

N−1∑n=1

a2n (44)

Com os resultados (43) e (44), a acao sobre as flutuacoes sera:

S[x(t′)] =∫ t

0dt′

m2

(x2 − ω2x2) =mt4

N−1∑n=1

[(nπt

)2− ω2

]a2

n

(45)


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Oscilador Harmonico

Ù E o nosso propagador sera:

K(q′, t; q, 0) = A′e[ i~S[qcl(t′)]]

∫da1...daN−1 ×

exp

imt4~

N−1∑n=1

[(nπt

)2− ω2

]a2

n

(46)

= A′e[ i~S[qcl(t′)]]

∫da1...daN−1 ×

exp

− mt4i~

N−1∑n=1

[(nπt

)2− ω2

]a2

n

(47)

Em que, da passagem (46) para (47) foi feita uma rotacao de Wick,(t → −it), e A′ e uma constante.


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Oscilador Harmonico

Ù Temos agora que resolver a integral em (47), que e um produto degaussianas que conhecemos o resultado. Temos, para uma das inte-grais: ∫ +∞

−∞

dan exp{−

imt4~

[(nπt

)2− ω2

]an

}=

(4πi~mt

) 12 (nπ

t

)−1[1 −

(ωtnπ

)2]− 1

2

(48)

Substituindo em (47) encontramos:

K(q′, t; q, 0) = A′′e[ i~S[qcl(t′)]]

[1 −

(ωtnπ

)2]− 1

2

(49)

Em que a constante A′′ e a combinacao das constantes que correspondeao Jacobiano.


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Oscilador Harmonico

Ù No limite, quando n→ ∞, podemos usar a representacao da funcaoseno por um produto infinito:

∞∏n=1

(1 +

ω2T2

n2π2

)− 12

=

(ωt

sinhωt

) 12

(50)

Analiticamente, (47) retorna ao tempo real se fizermos a rotacao deWick inversa, ou seja, t → it. Usando a identidade [sinh iωt = i sinωt]e combinando (49) e (50) teremos, finalmente, o resultado de F(t):

F(t) =( m2πi~t

) 12( iωti sinωt

) 12=

( mω2πi~ sinωt

) 12

(51)


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Oscilador Harmonico

Ù Combinando os resultados (39) e (51) temos o propagador para ooscilador harmonico:

K(q′, t; q, 0) =( mω2πi~ sinωt

) 12

exp[imω[(q′2 + q2) cos(ωt) − 2qq′]

2~ sinωt

](52)

E interessante notar que este resultado geral mostra que o caminhodominante sera a trajetoria classica. O efeito de todos os outros camin-hos, independente de sua forma, simplesmente geram o prefator F(t).Isto sera verdade desde que o prefator nao tenha nenhuma dependenciacom o Jacobiano J(t), e que todas as dependencias de J estejam conti-das na acao ao longo da trajetoria classica.


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Oscilador Harmonico

Ù Se fizermos t → −i~β, q′ = q e integrarmos esse resultado em q,encontramos a funcao de particao do oscilador harmonico:

Z =

(mω

2π~ sinh (β~ω)

) 12∫ +∞

−∞

exp[−q2

(mω

cosh (β~ω) − 1~ sinh (β~ω)

)]dq

=1√

2[cosh (β~ω) − 1

] (53)

ou ainda, fazendo algumas manipulacoes no resultado acima temos:

Z =

[2(eβ~ω + e−β~ω

2− 1

)]− 12

=e

12β~ω[(

eβ~ω − 1)2] 1

2

=e

12β~ω

1 − e−β~ω(54)


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Oscilador Harmonico

Ù A partir desse resultado, e possıvel, por exemplo, calcular a energialivre de Helmholtz f , que e a forma de fazermos a conexao entre amecanica estatıstica e a termodinamica no ensemble canonico, e nessecaso e dada por

f = −1β

limN→∞

1N

ln Z

=12~ω + kBT ln

[1 − exp

(−~ω

kBT

)](55)


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Oscilador Harmonico

Ù Com isso podemos calcular as quantidades termodinamicas de umsistema como o solido de Einstein, que e um sistema no qual N os-ciladores harmonicos unidimensionais quanticos, localizados e nao-interagentes oscilam com a mesma frequencia fundamental ω. A en-tropia s e dada por

s = −∂f∂T

= −kB ln[1 − exp

(−~ω

kBT

)]+ kB

(~ω

kBT

)exp(−~/kBT)

[1 − exp(−~ω/kBT)](56)

e o calor especıfico c

c = T∂s∂T

(57)


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Ù MacKenzie, R. Path Integral Methods and Aplications. Universitede Montreal, Montreal, 2000.

Ù Piza, A. F. R. de Toledo 1a, 2ae 3a aulas do curso de “IntegracaoFuncional na Mecanica Quantica” da escola de fısica teorica na USP.http://video.if.usp.br/aulas <acesso em 10/10/2014> Universidade deSao Paulo - USP, 2008.Ù Ryder, H. L. Quantum Field Theory - 2nd edition. Cambridge, 1996.

Ù Swanson, M. S. Path Integral and Quantum Processes. San DiegoCA, 1992.Ù Feynmann, R.P.; Hibbs, A. R. Quntum Mechanics and Path Inte-grals. New York, 1965


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