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Interpolao 1Clculo NumricoProf.: Raimundo Nonato da Rocha Filho Engenharia Civil

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Alunos:Fernando Miras Junior Guilherme Bianco Joo Pedro Cardoso Pinheiro Leonardo Fernandes da Costa Feliciano Marcelo Henrique Damasceno Robson de Andrade Abro Engenharia Civil 3A

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Interpolao Em matemtica, denomina-se interpolao o mtodo que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos. Atravs da interpolao, podese construir uma funo que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, ento, a continuidade desejada. A interpolao permite fazer a reconstituio (aproximada) de uma funo, bastando para tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no contra-domnio da funo). A funo resultante garantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relao aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste.

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Interpolao Linear Em matemtica, denomina-se interpolao linear o mtodo de interpolao que se utiliza de uma funo linear p(x) (um polinmio de primeiro grau) para representar, por aproximao, uma suposta funo f(x) que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontnuo (ou degenerado) contido no domnio de f(x).

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Exemplo de interpolao linear

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Interpolao Polinomial Denomina-se interpolao polinomial o processo matemtico de interpolao em que a funo interpoladora um polinmio. A funo interpoladora a funo p(x).

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Exemplo de interpolao polinomial de grau superior a 1

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Regresso Em estatstica, regresso uma tcnica que permite explorar e inferir a relao de uma varivel dependente (varivel de resposta) com variveis independentes especficas (variveis explicatrias). A anlise da regresso pode ser usada como um mtodo descritivo da anlise de dados (como, por exemplo, o ajustamento de curvas) sem serem necessrias quaisquer suposies acerca dos processos que permitiram gerar os dados. Regresso designa tambm uma equao matemtica que descreva a relao entre duas ou mais variveis. O mtodo de estimao mais amplamente utilizado o mtodo dos mnimos quadrados ordinrios.

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Mtodo dos mnimos quadrados O Mtodo dos Mnimos Quadrados, ou Mnimos Quadrados Ordinrios (MQO) ou OLS (do ingls Ordinary Least Squares) uma tcnica de otimizao matemtica que procura encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenas entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenas so chamadas resduos).

Coeficiente de correlao

Para verificar se os pontos se aproximam de uma reta, calcula-se o coeficiente de correlao (R). Quanto mais perto de 1 mais os pontos xy se aproximam de uma reta.

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Exemplo do mtodo dos Mnimos Quadrados

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Regresso linear Em estatstica ou econometria, regresso linear um mtodo para se estimar a condicional (valor esperado) de uma varivel y, dados os valores de algumas outras variveis x. A regresso, em geral, trata da questo de se estimar um valor condicional esperado. A regresso linear chamada "linear" porque se considera que a relao da resposta s variveis uma funo linear de alguns parmetros. Os modelos de regresso que no so uma funo linear dos parmetros se chamam modelos de regresso no-linear.

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Exemplo de uma Regresso linear

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Regresso no-linear Em estatstica, a regresso no-linear uma forma de anlise observacional em que os dados so modelados por uma funo que uma combinao no-linear de parmetros do modelo e depende de uma ou mais variveis independentes. Os dados so ajustados geralmente pelo Mtodo dos mnimos quadrados ou por algum mtodo de aproximaes sucessivas.

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Exemplo de uma Regresso no-linear

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Exerccio 1.

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Equao de Hall-Petch Na metalurgia, gro um cristal isolado na matria em estado slido. O tamanho do gro um fator importante para avaliar as propriedades mecnicas de um material , em especial a dureza, a resistncia corroso e o limite de escoamento. Modelada pela seguinte frmula:

y

tenso limite de escoamento, d o tamanho mdio dos gros e

0 e k so constantes particularesmaterial.

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Resoluo:d y x 0,006 334 12,91 0,011 276 9,53 0,017 249 7,67 0,025 235 6,32 0,039 216 5,06 0,060 197 4,08 0,081 194 3,51 0,105 182 3,09

Regresso Linear usando a calculadora CASIO fx-82MSA = 137,94 B = 14,94 R (fator de correlao) = 0,9979 Y =1 37,94 + 14,94x

Substituindo o dimetro mdio de 0,05 mm, obtemos a equao nolinear:

y = 137 + 14,94 . 0,05 y = 204,75 MPa

y = 137 + 14,94

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Comparaes:d (mm) 0,006 334330,81 0,96 %

0,011 276280,39 1,59%

0,017 249252,52 1,41%

0,025 235232,43 1,09%

0,039 216213,59 1,12%

0,060 197198,93 0,98%

0,081 194190,43 1,84%

0,105 182184,05 1,13%

y (mpa) y2 (mpa) E = |y-y2| y

Na segunda linha da tabela y so apresentadas as respectivas resistncias (MPa) obtidas atravs de uma amostra. Na terceira linha da tabela y2 so apresentadas as respectivas resistncias (MPa) obtidas atravs da equao encontrada a partir do Mtodo dos Mnimos Quadrados. Na quarta linha so expressos os erros de y2 em funo de y resultando uma mdia de aproximadamente 1,27% dentro do intervalo d [0,006;0,105].

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Grficos:

x = mm / y = MPa

Grfico resultante da medio feita atravs da amostra

Grfico resultante do uso da equao dos Mnimos Quadrados.

Nota-se que o grfico utilizando o mtodo dos Mnimos Quadrados se assemelha muito ao grfico feito atravs dos dados obtidos na amostra, dentro do intervalo d [0,006;0,105].

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Uso do MATLAB380 360 340 320450 600 550 500

300 280 260 240 220250 400 350 300

200 180 2 4 6 8 10 12 14200 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Grfico plotado em MATLAB da reta Y =1 37,94 + 14,94x

Grfico plotado em MATLAB da reta

y = 137 + 14,94

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Algoritmo usado no MATLAB

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Exerccio 2.

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Resoluo:

x y

253 1,63 2468,8

273 1,71 2961,2

313 1,87 2961,2

373 2,17 3319,7

473 2,53 4066,0

573 2,98 4602,7

673 3,32 5258,8

773 3,64 5904,3

1273 5,04 9011,8

Regresso Linear usando a calculadora CASIO fx-82MS A = 943,43 B = 6,38 R (fator de correlao) = 0,9996

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Resoluo:

Desenvolvendo a equao teremos:1/C = 6,38 S/C = S/ 0,157 = 943,43 C = 0,157 S = 147,87

Substituindo os valores de C e S obtemos a equao no-linear: Obs: A temperatura T dever ser expressa em Kelvin. K = C + 273

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Comparaes:T(C) (Pa.s) 2 (Pa.s) E = |-2| -20 1,63 1,58 3,07 % 0 1,71 1,68 1,75 % 40 1,87 1,89 1,07 % 100 200 2,17 2,17 0% 2,53 2,60 2,77 % 300 2,98 2,99 0,34 % 400 3,32 3,34 0,60 % 500 3,64 3,66 0,55 % 1000 5,04 4,33 14,09 %

Na segunda linha da tabela so apresentadas as respectivas viscosidades (Pa.s) obtidas atravs de uma amostra. Na terceira linha da tabela 2 so apresentadas as respectivas viscosidades (Pa.s) obtidas atravs da equao encontrada a partir do Mtodo dos Mnimos Quadrados. Na quarta linha so expressos os erros de 2 em funo de resultando uma mdia de aproximadamente 1,27% dentro do intervalo T [-20;500], e de aproximadamente 2,69% dentro do intervalo T [-20;1000].

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Grficos:

x = T(C) / y = (Pa.s)

Grfico resultante da medio feita atravs da amostra

Grfico resultante do uso da equao dos Mnimos Quadrados.

Nota-se que o grfico utilizando o mtodo dos Mnimos Quadrados se assemelha muito ao grfico feito atravs dos dados obtidos na amostra, dentro do intervalo d [-20;0,1000].

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Uso do MATLAB10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 200

5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 200

400

600

800

1000

1200

1400

400

600

800

1000

1200

1400

Grfico plotado em MATLAB da reta Y =943,43 + 6,38x

Grfico plotado em MATLAB da reta

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Algoritmo usado no MATLAB

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Regresso Linear usando a calculadora CASIO fx-82MSA = 0,00255 B = 1,2445 R (fator de correlao) = 0,9976 Reescrevendo a equao utilizando um polinmio de primeira ordem, teremos: Y = 0,00255 x + 1,2445

Ou

= 0,00255 K + 1,2445

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Grficos:

Grfico resultante do uso da equao linear utilizando o mtodo dos Mnimos Quadrados.

= 0,00255 K + 1,2445

x = T(C) y = (Pa.s)

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Comparaes:T(C) (Pa.s) -20 1,63 0 1,71 40 1,87 100 2,17 200 2,53 300 2,98 400 3,32 500 3,64 1000 5,04

3 (Pa.s)

1,89

1,9413,45 %

2,049,09 %

2,201,38 %

2,453,16 %

2,719,06 %

2,967,83 %

3,2211,54 %

4,4910,91 %

E = |-3| 15,95 %

Na segunda linha da tabela so apresentadas as respectivas viscosidades (Pa.s) obtidas atravs de uma amostra.

Na terceira linha da tabela 3 so apresentadas as respectivas viscosidades (Pa.s) obtidas atravs da equao linear a partir do Mtodo dos Mnimos Quadrados.Na quarta linha so expressos os erros de 2 em funo de resultando uma mdia de aproximadamente 9,15% dentro do intervalo T [-20;1100].

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Concluses:

Anlise Numrica A anlise numrica um ramo da matemtica que estuda mtodos construtivos (na forma de algoritmos) que convergem para entidades matemticas cuja existncia foi demonstrada. objetivo da anlise numrica encontrar sucesses que aproximem os valores exatos com um nmero mnimo de operaes elementares. Em termos mais simples, os mtodos numricos correspondem a um conjunto de ferramentas ou mtodos usados para se obter a soluo de problemas matemticos de forma aproximada, sendo aplicados a problemas que no apresentam uma soluo exata.

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Aplicaes:Exerccio 1 Tenso de escoamento a tenso mxima que o material suporta ainda no regime elstico de deformao, se houver algum acrscimo de tenso o material no segue mais a lei de Hooke (T = E.x) e comea a sofrer deformao plstica (deformao definitiva). O uso especfico da frmula no se aplica diretamente aos estudos da Engenharia Civil, sendo mais utilizado na Engenharia Metalrgica, para determinao da teno de escoamento de gros de metais. Usada tambm na Engenharia de Materiais para determinao de suas constantes, que so caractersticas especficas dos materiais.

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Aplicaes:Exerccio 2 A viscosidade a propriedade dos fluidos correspondente ao transporte microscpico de quantidade de movimento por difuso molecular. Ou seja, quanto maior a viscosidade, menor ser a velocidade em que o fluido se movimenta. A equao de Suzerainty tem uso especfico para a determinao do coeficiente de viscosidade de gases, no sendo usada diretamente na Engenharia Civil. Aplicvel na Engenharia Mecnica e Engenharia de Petrleo, sendo usada para projetos de tubulaes de gases.

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Bibliografia Wikipdia - pt.wikipedia.org UFMS www.del.ufms.br/tutoriais/matlab/apresentacao.htm Equao de Hall Petch www.aaende.org.ar/sitio/biblioteca/material/PDF/COTE 130.PDF UFS ww.fisica.ufs.br/egsantana/cinematica/regresion/regresi on.htm Anlise Numrica, Notas de aula T. Diogo & M. Tom www.math.ist.utl.pt/~avicente/AN/2003/antext2003.pdf